Podróże o Imerium Liczb Część 08. Liczby Mersenne a, Fermata i Inne Liczby Rozdział 5 5. Okresy rozwinięć liczb wymiernych Andrzej Nowicki 20 maja 2012, htt://www.mat.uni.torun.l/~anow Sis treści 5 Okresy rozwinięć liczb wymiernych 67 5.1 Secjalne liczby ierwsze............................. 67 5.2 Długość okresu zasadniczego........................... 71 5.3 Długość okresu zasadniczego sumy dwóch liczb wymiernych.......... 73 5.4 Okresy zasadnicze i odzielność rzez 9..................... 74 5.5 Okresy o arzystych długościach......................... 76 5.6 Okresy zasadnicze o długościach odzielnych rzez 3.............. 83 5.7 Cykliczność okresów................................ 88 Wszystkie książki z serii Podróże o Imerium Liczb naisano w edytorze L A TEX. Sisy treści tych książek oraz ewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie autora: htt://www-users.mat.uni.torun.l/~anow.
5 Okresy rozwinięć liczb wymiernych oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 5.1 Secjalne liczby ierwsze oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Niech 2 q N. Wiemy (atrz 4.4.9), że jeśli q-rozwinięcie ułamka 1 n jest okresowe, to długość okresu zasadniczego (czyli liczba d q (n)) jest dzielnikiem liczby ϕ(n). W szczególności, gdy n = jest liczbą ierwszą, długość tego okresu jest dzielnikiem liczby 1. W tym rzyadku okres zasadniczy może mieć długość co najwyżej równą 1. Mówić będziemy, że dana liczba ierwsza jest q-secjalna, jeśli q-rozwinięcie liczby 1 jest okresowe i długość okresu zasadniczego jest równa 1. Mówić będziemy, że dana liczba ierwsza jest secjalna, jeśli jest 10-secjalna, tzn. jeśli rozwinięcie dziesiętne liczby 1 jest okresowe i 1 jest długością okresu zasadniczego. Sójrzmy na rozwinięcia dziesiętne ułamków 1 7 i 1 17 : 1 7 = 0, (142857), 1 = 0, (0588235294117647). 17 Okresy zasadnicze tych rozwinięć mają długości równe odowiednio 6 = 7 1 i 16 = 17 1. Liczby ierwsze 7 i 17 są więc secjalne. Rozważanej własności nie osiada, na rzykład, liczba 1 ierwsza 11. Mamy tutaj 11 = 0, (09); okres zasadniczy ma długość 2, a 11 1 = 10 2. Liczba ierwsza 11 nie jest więc secjalna. 5.1.1 (Male). Wszystkie secjalne liczby ierwsze mniejsze od 1000 : 7 17 19 23 29 47 59 61 97 109 113 131 149 167 179 181 193 223 229 233 257 263 269 313 337 367 379 383 389 419 433 461 487 491 499 503 509 541 571 577 593 619 647 659 701 709 727 743 811 821 823 857 863 887 937 941 953 971 977 983 5.1.2. Istnieje dokładnie 8 secjalnych liczb ierwszych takich, że 1900 < < 2100. Są to liczby ierwsze: 1913, 1949, 1979, 2017, 2029, 2063, 2069, 2099. (Male). 5.1.3 (Male). Wszystkie q-secjalne liczby ierwsze z rzedziału (1900, 2100), dla q < 10 : q = 2 1901, 1907, 1931, 1949, 1973, 1979, 1987, 1997, 2027, 2029, 2053, 2069, 2083, 2099; q = 3 1901, 1913, 1949, 1951, 1973, 1987, 1997, 1999, 2011, 2069, 2081, 2083; q = 5 1907, 1913, 1933, 1987, 1993, 1997, 2003, 2017, 2027, 2053, 2063, 2083, 2087; q = 6 1907, 1913, 1979, 1999, 2027, 2029, 2053, 2081, 2099; q = 7 1949, 1973, 1993, 2003, 2011, 2027, 2039, 2083, 2087, 2089; q = 8 1901, 1907, 1931, 1949, 1973, 1979, 1997, 2027, 2069, 2099. 67
68 Andrzej Nowicki, Liczby Mersenne a i inne. 5. Okresy rozwinięć liczb wymiernych 5.1.4 (Male). Wszystkie q-secjalne liczby ierwsze mniejsze od 100 dla ewnych q : q = 2 : 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83; q = 3 : 2, 5, 7, 17, 19, 29, 31, 43, 53, 79, 89; q = 5 : 2, 3, 7, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 73, 83, 97; q = 6 : 11, 13, 17, 41, 59, 61, 79, 83, 89; q = 7 : 2, 5, 11, 13, 17, 23, 41, 61, 67, 71, 79, 89, 97; q = 8 : 3, 5, 11, 29, 53, 59, 83; q = 10 : 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97; q = 11 : 2, 3, 13, 17, 23, 29, 31, 41, 47, 59, 67, 71, 73; q = 12 : 5, 7, 17, 31, 41, 43, 53, 67; q = 13 : 2, 5, 11, 19, 31, 37, 41, 47, 59, 67, 71, 73, 83, 89, 97; q = 14 : 3, 17, 19, 23, 29, 53, 59, 73, 83, 89, 97; q = 15 : 2, 13, 19, 23, 29, 37, 41, 47, 73, 83, 89, 97; q = 17 : 2, 3, 5, 7, 11, 23, 31, 37, 41, 61, 97; q = 18 : 5, 11, 29, 37, 43, 53, 59, 61, 67, 83; q = 19 : 2, 7, 11, 13, 23, 29, 37, 41, 43, 47, 53, 83, 89; q = 20 : 3, 13, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 67, 73, 83. Pojawią się teraz symbole Legendre a. Definicje i odstawowe własności tych symboli można znaleźć w różnych książkach z elementarnej teorii liczb (na rzykład: [S50], [Wino], [HW5]). W [N-3] znajduje się oddzielny odrozdział o tych symbolach. 5.1.5. Niech 2 q P. Jeśli liczba ierwsza 3 jest q-secjalna, to q nie jest odzielne rzez oraz ( ) q = 1. D. Załóżmy, że 3 jest q-secjalną liczbą ierwszą. Przyuśćmy, że q. Niech q = a, a N, a < q. Wtedy 1 normalne rozwinięcie o odstawie q liczby 1 jest skończone: 1 = 0, a q. Zatem q. Symbol Legendre a kongruencja ( q = a q. Z równości tej wynika, że ) jest liczbą równą albo 1, albo 1. Wiemy onadto, że zawsze zachodzi ( ) q q 1 (mod ), ( ) gdzie 1 = 1 2. Przyuśćmy, że q = 1. Wtedy q 1 1 i mamy srzeczność: Zatem ( ) q = 1. 1 = d q () 1 = 1 2. Z owyższego stwierdzenia wynika: ( ) 5.1.6. Jeśli liczba ierwsza 7 jest secjalna, to symbol Legendre a 10 jest równy 1.
Andrzej Nowicki, Liczby Mersenne a i inne. 5. Okresy rozwinięć liczb wymiernych 69 Imlikacja w rzeciwnym ( ) kierunku nie musi być rawdziwa. Istnieją liczby ierwsze 7, z symbolem Legendre a 10 równym 1, które nie są secjalne. Takimi są, na rzykład, ) liczby ierwsze 11 i 73. Wartości symbolu są dobrze znane: 5.1.7. Jeśli 7 jest liczbą ierwszą, to ( 10 ( ) { 10 1, gdy r (mod 40), gdzie r {7, 9, 11, 17, 21, 23, 29, 33}, = 1, gdy r (mod 40), gdzie r {1, 3, 13, 19, 27, 31, 37, 39}. Mamy zatem: 5.1.8. Żadna liczba ierwsza ostaci 40k + 1 nie jest secjalna. To samo dotyczy liczb ierwszych ostaci: 40k + 3, 40k + 13, 40k + 19, 40k + 27, 40k + 31, 40k + 37 i 40k + 39. 5.1.9. Istnieje nieskończenie wiele liczb ierwszych niesecjalnych. D. Wynika to z orzedniego faktu i znanego twierdzenia Dirichleta o liczbach ierwszych w ostęie arytmetycznym. Czy dla każdej odstawy q 2 istnieje chociaż jedna liczba ierwsza q-secjalna? Przyuśćmy, że jedna istnieje. Czy wtedy jest ich nieskończenie wiele? Mało wiadomo na ten temat. 5.1.10. Załóżmy, że odstawa q 2 jest liczbą kwadratową. Jeśli q jest arzyste, to nie istnieje żadna q-secjalna liczba ierwsza. Jeśli q jest niearzyste, to jedyną q-secjalną liczbą ierwszą jest liczba 2. ( ) D. Niech q = a 2, 2 a N i rzyuśćmy, że 3 jest q-secjalną liczbą ierwszą. Wtedy q = 1 (atrz 5.1.5). Ale ( ) q = ( ) a 2 = ( ) 2 a = (±1) 2 = 1. Otrzymaliśmy srzeczność: 1 = 1. Nie ma zatem żadnych niearzystych q-secjalnych liczb ierwszych. Pozostaje do zbadania tylko liczba ierwsza = 2. Jeśli q jest arzyste, to q-rozwinięcie ułamka 1 2 jest oczywiście skończone; w tym rzyadku liczba ierwsza 2 nie jest więc q-secjalna. Jeśli natomiast q jest niearzyste, to mamy q-rozwinięcie okresowe 1 2 = c q + c q 2 + c q 3 +, gdzie c = q 1 2. Długość okresu zasadniczego jest równa 1 = 2 1. W tym rzyadku liczba ierwsza 2 jest q-secjalna. 5.1.11 (Hioteza Artina). Dla każdej niekwadratowej liczby q 2 istnieje nieskończenie wiele q-secjalnych liczb ierwszych. ([Gy04] 376).
70 Andrzej Nowicki, Liczby Mersenne a i inne. 5. Okresy rozwinięć liczb wymiernych Załóżmy, że m 2 jest ustaloną liczbą naturalną i a jest liczbą naturalną względnie ierwszą z m. Wiemy (twierdzenie Eulera), że wtedy m a ϕ(m) 1. Jeśli sełniony jest jeszcze warunek: m a r 1, dla 1 r < ϕ(m), (czyli jeśli ϕ(m) jest najmniejszą liczbą naturalną r taką, że m a r 1), to mówi się ([S50], [Wino], [HW5]), że a jest ierwiastkiem ierwotnym liczby m. Z własności okresów zasadniczych, rzedstawionych w orzednich odrozdziałach, wynika zatem nastęujące stwierdzenie. 5.1.12. Niech 2 q P. Liczba ierwsza jest q-secjalna wtedy i tylko wtedy, gdy q jest ierwiastkiem ierwotnym liczby. ([HW5] 115). Wiadomo (atrz na rzykład [S50] str. 183-186), że każda liczba ierwsza osiada ierwiastek ierwotny. Mamy zatem: 5.1.13. Dla każdej liczby ierwszej istnieje liczba naturalna q 2 taka, że liczba jest q- secjalna. Innymi słowy, dla każdej liczby ierwszej istnieje odstawa q 2 taka, że długość okresu zasadniczego q-rozwinięcia liczby 1 wynosi 1. Wiemy (atrz na rzykład 4.4.9), że długości okresów zasadniczych q-rozwinięć liczby wymiernej x zależą tylko od mianownika liczby x. Mamy zatem: 5.1.14. Niech 2 q N i niech x = a m, gdzie a Z, 2 m N, nwd(a, m) = 1. Niech będzie q-kodzielnikiem mianownika m. Jeśli jest q-secjalną liczbą ierwszą, to długość okresu zasadniczego q-rozwinięcia liczby x jest równa 1. 5.1.15. Niech x = a m, gdzie a Z, 2 m N, nwd(a, m) = 1. Niech będzie kodzielnikiem dziesiętnym mianownika m. Jeśli jest secjalną liczbą ierwszą, to długość okresu zasadniczego rozwinięcia dziesiętnego liczby x jest równa 1. Zajmowaliśmy się takimi liczbami ierwszymi, których odwrotności mają rozwinięcia dziesiętne o okresie zasadniczym równym ϕ(). Istnieją również liczby złożone osiadające tę własność. 5.1.16. Jeśli m 3 jest taką niearzystą liczbą naturalną, że rozwinięcie dziesiętne liczby 1 m ma okres zasadniczy o długości ϕ(m), to m jest otęgą niearzystej liczby ierwszej, różnej od 5. ([Mon] 62(7)(1955) 485). 5.1.17. Istnieje nieskończenie wiele takich liczb naturalnych m, których odwrotności mają rozwinięcie dziesiętne o okresie zasadniczym długości ϕ(m). ([Mon] 62(7)(1955) 485). D. Własność tę osiadają wszystkie otęgi siódemki (atrz 5.2.4). H. T. R. Aude, Intrinsic decimals, Mathematics News Letter, 8(1)(1933) 8-12. G. H. Hardy, E. M. Wright, Decimals with the maximum eriod, [HW5] 114-115. J. McGiffert, Intrinsic decimals, Mathematics News Letter, 7(3)(1932) 7-10. K. S. Rao, A note on the recurring eriod..., [Mon] 62(7)(1955) 484-487. D. Shanks, Artin s conjectures, [Shan] 80-83, 222-225. D. Singh, Concerning the recirocal of a rime, [Mon] 61(1)(1954) 32-34.
Andrzej Nowicki, Liczby Mersenne a i inne. 5. Okresy rozwinięć liczb wymiernych 71 oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 5.2 Długość okresu zasadniczego oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Niech 2 q N. Jeśli x jest liczbą wymierną, to rzez D q (x) oznaczać będziemy długość okresu zasadniczego q-rozwinięcia liczby x. W rzyadku gdy q = 10, długość tę oznaczać będziemy rzez D(x). Jeśli rozwinięcie to jest skończone, to rzyjmujemy, że D q (x) = 1. Wiemy, że D q (x) zależy tylko od mianownika liczby x. Niech x = a m, a Z, m N, nwd(a, m) = 1 i oznaczmy rzez m 1 i m 2 odowiednio q-kodzielnik i q-dzielnik liczby m. Przyomnijmy (atrz 4.4.9), że D q (x) = d q (m), tzn. D q (x) jest najmniejszą liczbą naturalną d taką, że m 1 q d 1. Stąd wynika, że długości 1 okresów zasadniczych q-rozwinięć liczb x i m 1 są identyczne. Zachodzą więc zawsze równości ( ) ( ) 1 1 D q (x) = D q = D q. m 1 m Jeśli m jest dowolną liczbą naturalną, to liczbę D q ( 1 m oznaczać będziemy rzez L q (m). Innymi słowy, L q (m) jest długością okresu zasadniczego q-rozwinięcia ułamka 1 m. Jeśli to q-rozwinięcie jest skończone, to rzyjmujemy: L q(m) = 1. Ponadto, rzez L(m) oznaczać będziemy liczbę Jest jasne, że L 10 (m) = D 10 ( 1 m ) ) L q (m) = L q (m 1 ), ( 1 = D. m) gdzie m 1 jest q-kodzielnikiem liczby m. W szczególności dla rozwinięć dziesiętnych mamy: 5.2.1. Niech m = 2 α 5 β m 1, gdzie α, β są nieujemnymi liczbami całkowitymi oraz m 1 jest liczbą naturalną względnie ierwszą z 10. Wtedy L(m) = L(m 1 ). Wykażemy teraz: 5.2.2. Niech 2 q N. Jeśli m i n są względnie ierwszymi liczbami naturalnymi, to ( ) L q (mn) = nww L q (m), L q (n). D. Oznaczmy rzez m 1, n 1 q-kodzielniki liczb odowiednio m i n. Ponieważ nwd(m, n) = 1, więc nwd(m 1, n 1 ) = 1. Ponadto, m 1 n 1 jest q-kodzielnikiem iloczynu mn. Niech d = L q (m), e = L q (n), k = L q (mn), u = nww(d, e). Przyomnijmy, że d, e, k są najmniejszymi liczbami naturalnymi odowiednio takimi, że m 1 q d 1 n 1 q e 1, m 1 n 1 q k 1. Należy udowodnić, że k = u. Liczba q u 1 jest odzielna rzez liczby q d 1 i q e 1; jest więc odzielna rzez m 1 i rzez n 1, a zatem jest odzielna rzez iloczyn m 1 n 1. Stęd wynika, że k u.
72 Andrzej Nowicki, Liczby Mersenne a i inne. 5. Okresy rozwinięć liczb wymiernych Z odzielności m 1 n 1 q k 1, otrzymujemy kolejno: m 1 q k 1, n 1 q k 1, d k, e k i ostatecznie u = nww(d, e) k. Zatem k = u. W owyższym dowodzie w istotny sosób wykorzystaliśmy to, że jeśli m N i d jest najmniejszą liczbą naturalną taką, że m q d 1, to każda liczba naturalna u sełniająca warunek m q u 1, jest odzielna rzez d. Korzystając z tego faktu, łatwo można udowodnić nastęne stwierdzenie. 5.2.3. Niech 2 q N i niech będzie liczbą ierwszą taką, że q. Wtedy: (1) jeśli L q () jest liczbą arzystą, to każda liczba ostaci L q ( n ), gdzie n N, jest arzysta; (2) jeśli 2 i L q () jest liczbą niearzystą, to każda liczba ostaci L q ( n ), gdzie n N, jest niearzysta. D. Oznaczmy: d = L q (), d n = L q ( n ) dla n N. (1). Ponieważ n q dn 1, więc q dn 1 i stąd d d n. Ale d jest arzyste, więc każde d n jest również arzyste. (2). Załóżmy, że d jest niearzyste i rzyuśćmy,że istnieje n takie, że d n jest arzyste; niech d n = 2e n, e n N. Wtedy n q 2en 1, więc q 2en 1, więc d 2e n. Ale nwd(2, d) = 1, więc d e n i stąd mamy odzielność: q en 1. Mamy onadto: q 2en 1 = (q en 1) (q en + 1), n q 2en 1, n q en 1, czyli musi dzielić liczbę q en + 1. Zatem 2, gdyż 2 = (q en + 1) (q en 1). Jest to srzeczne z tym, że 2. 5.2.4. Niech będzie liczbą ierwszą różną od 2 i 5 i niech d = L(). Niech k będzie liczbą naturalną taką, że k 10 d 1 i k+1 10 d 1. Wtedy dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość ( L k+n) = n L(). Przykłady: (1) L(3) = 1, L(3 2 ) = 1, L(3 n ) = 3 n 2 dla n 2; (2) L(7 n ) = 6 7 n 1. dla n 1; (3) L(11 n ) = 2 11 n 1, dla n 1; (4) L(13 n ) = 6 13 n 1, dla n 1; (5) L(17 n ) = 16 17 n 1, dla n 1. ([Kw] 2/2000 25-29). 5.2.5. Z owyższego twierdzenia wynika w szczególności, że okres zasadniczy rozwinięcia dziesiętnego ułamka 1 3 100 ma długość równą 3 98. W tym okresie zasadniczym: (1) wystęuje blok 123456789; (2) wystęuje blok składający się z 20 jednakowych cyfr; (3) wystęuje każdy blok składający się z 46 cyfr. ([Kw] 9/1991 s.25 M1280). L. Semionowa, Ułamki okresowe (o rosyjsku), [Kw] 2000/2 25-29.
Andrzej Nowicki, Liczby Mersenne a i inne. 5. Okresy rozwinięć liczb wymiernych 73 oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 5.3 Długość okresu zasadniczego sumy dwóch liczb wymiernych oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Niech q 2 będzie ustaloną liczbą naturalną. Przyomnijmy, że rzez D q (x) oznaczamy długość okresu zasadniczego q-rozwinięcia liczby wymiernej x. W rzyadku rozwinięć dziesiętnych długość tę oznaczamy rzez D(x). Jeśli rozwinięcie jest skończone, to rzyjmujemy: D q (x) = 1. Udowodniliśmy (atrz 4.4.4), że q-rozwinięcie danej liczby wymiernej x osiada okres (niekoniecznie zasadniczy) długości d wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby całkowite c, r takie, że r 0 oraz c x = q r (q d 1). Wiemy onadto, że długość dowolnego okresu jest liczbą odzielną rzez długość okresu zasadniczego. Jeśli istnieje okres długości d, to istnieją okresy długości nd, dla dowolnej liczby naturalnej n. Przy omocy tych faktów, łatwo można udowodnić nastęujące stwierdzenie. 5.3.1. Niech 2 q N i niech x 1, x 2 będą liczbami wymiernymi. Oznaczmy: d 1 = D q (x 1 ), d 2 = D q (x 2 ), d = D q (x + y), d = D q (x y). Wtedy d i d są dzielnikami liczby nww(d 1, d 2 ). ([FieK] 108-110). D. Niech w = nww(d 1, d 2 ). Ponieważ d 1 w i d 2 w, więc q-rozwinięcia liczb x 1, x 2 osiadają okresy (niekoniecznie zasadnicze) długości w. Z 4.4.4 wynika, że istnieją liczby całkowite c 1, c 2, r 1, r 2 takie, że r 1 0, r 2 0 oraz Niech r = r 1 r 2. Mamy wtedy: x 1 = c 1 q r1 (q w 1), x c 2 2 = q r2 (q w 1). x 1 ± x 2 = c q r (q w 1), gdzie c = q r2 c 1 ± q r1 c 2. Zatem q-rozwinięcia liczb x 1 + x 2 i x 1 x 2 osiadają okresy o długości w. Długości okresów zasadniczych tych liczb, czyli liczby d i d, są więc dzielnikami liczby w = nww(d 1, d 2 ). 5.3.2. Niech 2 q N i niech x 1, x 2 będą liczbami wymiernymi. Oznaczmy: d 1 = D q (x 1 ), d 2 = D q (x 2 ), d = D q (x 1 + x 2 ). Wtedy: ([FieK] 108-110). d nww(d 1, d 2 ), d 1 nww(d, d 2 ), d 2 nww(d 1, d). D. Wykorzystujemy równości x 1 = (x 1 + x 2 ) x 2, x 2 = (x 1 + x 2 ) x 1 i stwierdzenie 5.3.1. 5.3.3. Niech 2 q N i niech a, b, c będą liczbami naturalnymi. Nastęujące dwa warunki są równoważne. (1) Istnieją liczby wymierne x i y takie, że D q (x) = a, D q (y) = b, D q (x + y) = c. (2) a nww(b, c), b nww(c, a), c nww(a, b). ([FieK] 109).
74 Andrzej Nowicki, Liczby Mersenne a i inne. 5. Okresy rozwinięć liczb wymiernych 5.3.4. Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych x i y mają okresy zasadnicze o długościach odowiednio równych 6 i 12. Ile może być równa długość okresu zasadniczego rozwinięcia dziesiętnego liczby x + y? ([OM] Moskwa 1993). R. ([FieK] 108-110). Niech d oznacza długość okresu zasadniczego rozwinięcia dziesiętnego liczby x + y. Z 5.3.2 wiemy, że d musi być dzielnikiem liczby 12 = nww(6, 12). Zatem d = 1, 2, 3, 4, 6 lub 12. Ponadto, 12 nww(6, d) oraz 6 nww(12, d). Liczby 1, 2, 3, 6 tych warunków nie sełniają. Pozostają jedynie dwa rzyadki: d = 4 lub d = 12. Każdy z tych rzyadków jest możliwy. Niech x = 0, (000001), y = 0, (011100110110). Wtedy x + y = 0, (0111) i mamy: D(x) = 6, D(y) = 12, D(x + y) = 4. Niech x = 0, (000001), y = 0, (000000000001). Wtedy x+y = 0, (000001000002) i mamy: D(x) = 6, D(y) = 12, D(x + y) = 12. W odobny sosób można udowodnić: 5.3.5. Jeśli rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych x i y mają okresy zasadnicze o długościach odowiednio równych 4 i 6, to okres zasadniczy rozwinięcia dziesiętnego liczby x + y ma długość równą 3 lub 12. Każdy rzyadek jest możliwy. To samo zachodzi dla rozwinięć rzy dowolnej odstawie q 2. 5.3.6. Jeśli rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych x i y mają okresy zasadnicze o długościach odowiednio równych 1 i n, to okres zasadniczy rozwinięcia dziesiętnego liczby x + y ma długość równą n. To samo zachodzi dla rozwinięć rzy dowolnej odstawie q 2. D. Mamy: 1 = D q (x), n = D q (y). Niech d = D q (x + y). Z 5.3.2 wiemy, że d musi być dzielnikiem liczby n = nww(1, n). Ponadto, n nww(1, d) = d. Zatem d n i n d, czyli d = n. 5.3.7. Niech będzie liczbą ierwszą i niech a < b będą liczbami naturalnymi. Jeśli rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych x i y mają okresy zasadnicze o długościach odowiednio równych a i b, to okres zasadniczy rozwinięcia dziesiętnego liczby x+y ma długość równą b. To samo zachodzi dla rozwinięć rzy dowolnej odstawie q 2. D. Mamy: a = D q (x), b = D q (y). Niech d = D q (x+y). Z 5.3.2 wiemy, że d musi być dzielnikiem liczby b = nww( a, b ). Ponadto, b nww( a, d). Jedynie d = b sełnia te warunki. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 5.4 Okresy zasadnicze i odzielność rzez 9 oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Sójrzmy na kilka rzykładów rozwinięć dziesiętnych ewnych liczb wymiernych: 1 13 = 0, (076923); 1 14 = 0, 0(714285); 1 = 0, 02(27). 44 Długości okresów zasadniczych są większe od 1 i w każdym rzyadku kodzielniki dziesiętne mianowników są liczbami ierwszymi (równymi odowiednio 13, 7 i 11). Mamy tu trzy liczby okresów zasadniczych: 76923, 714285, 27. Wszystkie te liczby są odzielne rzez 9. Wykażemy, że tak jest zawsze.
Andrzej Nowicki, Liczby Mersenne a i inne. 5. Okresy rozwinięć liczb wymiernych 75 5.4.1. Niech x = a m, gdzie a Z, m N, nwd(a, m) = 1. Załóżmy, że kodzielnik dziesiętny liczby m jest liczbą ierwszą i długość okresu zasadniczego rozwinięcia dziesiętnego liczby x jest co najmniej równa 2. Wtedy liczba utworzona z cyfr okresu zasadniczego rozwinięcia dziesiętnego liczby x jest odzielna rzez 9. D. Niech d = d 10 (m), r = r 10 (m) i oznaczmy rzez m 1, m 2 odowiednio kodzielnik dziesiętny i dzielnik dziesiętny liczby m. Uwzględniając założenia mamy: d 2 oraz m 1 = jest liczbą ierwszą różną od 2 i 5. Ponadto, 10 r = sm 2 dla ewnej liczby naturalnej s. Wiemy (atrz twierdzenie 4.4.5), że a m = a 0 + czyli a10 r (10 d 1) = m 2 c i stąd u 10 r + v 10 r (10 d 1) = c 10 r (10 d 1), as(10 d 1) = c, gdzie c = a 0 10 r (10 d 1) + u(10 d 1) + v; liczby a 0, u są całkowite i v jest liczbą utworzoną z cyfr okresu zasadniczego rozwinięcia dziesiętnego liczby x. Należy okazać, że 9 v. Liczby as i są względnie ierwsze. Liczba ierwsza dzieli więc liczbę 10 d 1 = (10 1 1)t, gdzie t = 10 d 1 + 10 d 2 + + 1. Ale d 2, więc (10 1 1). Zatem t; liczba t teraz równość 9asw = c, czyli: jest więc całkowita, oznaczmy ją rzez w. Mamy i z tej równości wynika, że 9 v. 9asw = a 0 10 r (10 d 1) + u(10 d 1) + v = 9a 0 10 r t + 9ut + v Założyliśmy, że kodzielnik dziesiętny mianownika liczby x jest liczbą ierwszą. Czy to założenie jest otrzebne? Czasem musimy to jednak założyć. Kodzielnik mianownika liczby 1 33 jest liczbą złożoną, równą 33. Ponieważ 1 33 = 0, (03), więc w tym rzyadku liczba utworzona z cyfr okresu zasadniczego jest równa 3 i nie jest odzielna rzez 9. Nastęne stwierdzenie mówi, że tak się nie może zdarzyć w rzyadku, gdy kodzielnik dziesiętny mianownika nie jest odzielny rzez 3. 5.4.2. Niech x = a m, gdzie a Z, m N, nwd(a, m) = 1. Załóżmy, że m = 2α 5 β m 1, gdzie α, β są nieujemnymi liczbami całkowitymi oraz m 1 2 jest liczbą naturalną względnie ierwszą z 30. Wtedy liczba utworzona z cyfr okresu zasadniczego tego rozwinięcia dziesiętnego liczby x jest odzielna rzez 9. D. Kodzielnikiem dziesiętnym liczby m jest liczba m 1, która nie jest odzielna rzez 3. Dzielnikiem dziesiętnym liczby m jest m 2 = 2 α 5 β. Niech d = d 10 (m), r = r 10 (m) = max(α, β). Przyomnijmy, że d jest najmniejszą liczbą naturalną taką, że m 1 10 d 1. Ponieważ 3 m 1 i m 1 > 1 więc m 1 10 1 1. Zatem d 2. Ponadto, 10 r = sm 2 dla ewnej liczby naturalnej s. Wiemy (atrz twierdzenie 4.4.5), że czyli a10 r (10 d 1) = m 1 m 2 c i stąd a m = a 0 + u 10 r + v 10 r (10 d 1) = c 10 r (10 d 1), as(10 d 1) = m 1 c, gdzie c = a 0 10 r (10 d 1) + u(10 d 1) + v; liczby a 0, u są całkowite i v jest liczbą utworzoną z cyfr okresu zasadniczego rozwinięcia dziesiętnego liczby x. Należy okazać, że 9 v.
76 Andrzej Nowicki, Liczby Mersenne a i inne. 5. Okresy rozwinięć liczb wymiernych Liczby as i m 1 są względnie ierwsze. Liczba m 1 dzieli więc liczbę 10 d 1 = (10 1 1)t, gdzie Ale nwd(m 1, 10 1 1) = 1. Zatem m 1 t; liczba teraz równość 9asw = c, czyli: i z tej równości wynika, że 9 v. t = 10 d 1 + 10 d 2 + + 1. t m 1 jest więc całkowita, oznaczmy ją rzez w. Mamy 9asw = a 0 10 r (10 d 1) + u(10 d 1) + v = 9a 0 10 r t + 9ut + v Podobną własność osiadają liczby okresów zasadniczych q-rozwinięć liczb wymiernych. 5.4.3. Niech 2 q N i niech x = a m, gdzie a Z, 2 m N, nwd(a, m) = 1. Jeśli q-kodzielnik liczby m jest względnie ierwszy z liczbą q 1, to liczba utworzona z cyfr okresu zasadniczego q-rozwinięcia liczby x jest odzielna rzez q 1. D. Niech m 1 i m 2 będą odowiednio q-kodzielnikiem i q-dzielinikiem liczby m. Niech d = d q (m), r = r q (m). Przyomnijmy, że d jest najmniejszą liczbą naturalną taką, że m 1 q d 1. Ponadto, istnieje liczba naturalna s taka, że q r = sm 2. Wiemy (atrz twierdzenie 4.4.5), że czyli aq r (q d 1) = m 1 m 2 c i stąd a m = a 0 + u q r + v q r (q d 1) = as(q d 1) = m 1 c, c q r (q d 1), gdzie c = a 0 q r (q d 1) + u(q d 1) + v; liczby a 0, u są całkowite i v jest liczbą utworzoną z cyfr okresu zasadniczego q-rozwinięcia liczby x. Należy okazać, że (q 1) v. Liczby as i m 1 są względnie ierwsze. Liczba m 1 dzieli więc liczbę q d 1 = (q 1)t, gdzie t = q d 1 + q d 2 + + 1. Ale nwd(m 1, q 1) = 1. Zatem m 1 t; liczba oznaczmy ją rzez w. Mamy teraz równość (q 1)asw = c, czyli: (q 1)asw = a 0 q r (q d 1) + u(q d 1) + v = (q 1)a 0 10 r t + (q 1)ut + v i z tej równości wynika, że (q 1) v. Zanotujmy szczególny rzyadek owyższego stwierdzenia. t m 1 jest więc całkowita, 5.4.4. Niech 2 q N i niech x = a m, gdzie a Z, 2 m N, nwd(a, m) = 1. Załóżmy, że długość okresu zasadniczego q-rozwinięcia liczby x jest co najmniej równa 2. Jeśli q-kodzielnik liczby m jest liczbą ierwszą, to liczba utworzona z cyfr okresu zasadniczego q-rozwinięcia liczby x jest odzielna rzez q 1. oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 5.5 Okresy o arzystych długościach oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo W tym odrozdziale zajmować się będziemy ewnymi liczbami wymiernymi, których rozwinięcia rzy danej odstawie q 2 (tzn. q-rozwinięcia) osiadają okresy zasadnicze o arzystych długościach. Skoncentrujmy się najierw na rozwinięciach dziesiętnych. mają okresy zasadnicze o długościach odo- Rozwinięcia dziesiętne ułamków 1 7, 1 wiednio równych 6, 2, 6: 11 i 1 13 1 7 = 0, (142857), 1 11 = 0, (09), 1 = 0, (076923). 13
Andrzej Nowicki, Liczby Mersenne a i inne. 5. Okresy rozwinięć liczb wymiernych 77 Długości te są liczbami arzystymi. Już wiemy (atrz 5.4.1 lub 5.4.2), że wszystkie liczby okresów zasadniczych, w naszym rzyadku liczby 124857, 9 i 76923, są odzielne rzez 9. Okresy zasadnicze mają jeszcze jedną ciekawą własność. Podzielmy je na dwie ołówki i dodajmy: 142 + 857 = 999, 0 + 9 = 9, 076 + 923 = 999. Otrzymaliśmy liczby zbudowane z samych dziewiątek. Rozwinięcie dziesiętne ułamka 1 97 ma okres zasadniczy o arzystej długości, równej 96. Z ołówkami tego okresu zróbmy to samo: 010309278350515463917525773195876288659793814432 + 989690721649484536082474226804123711340206185567 999999999999999999999999999999999999999999999999. Otrzymaliśmy liczbę zbudowaną z 48 dziewiątek. Wykażemy, że rozważaną własność osiadają okresy zasadnicze wszystkich nierzywiedlnych ułamków ostaci a, gdzie jest liczbą ierwszą większą od 5, jeśli tylko długość okresu zasadniczego jest liczbą arzystą. Wykażemy również, że ewne inne liczby wymierne też osiadają tę własność. 5.5.1 (E. Midy 1836). Niech x = a m, gdzie a Z, m N, nwd(a, m) = 1. Załóżmy, że m = 2 α 5 β, gdzie α, β są nieujemnymi liczbami całkowitymi oraz jest liczbą ierwszą różną od 2 i 5. Załóżmy onadto, że długość okresu zasadniczego rozwinięcia dziesiętnego liczby x jest liczbą naturalną arzystą, równą 2λ. Wtedy suma dwóch ołówek okresu zasadniczego jest równa 10 λ 1; jest liczbą zbudowaną z samych dziewiątek. ([Dic1], [RaT], [Mon] 74(6)(1967) 669-673, [Gins]). D. ([RaT] 197-200). Niech d = d 10 (m), r = r 10 (m) i oznaczmy rzez m 1, m 2 odowiednio kodzielnik dziesiętny i dzielnik dziesiętny liczby m. Uwzględniając założenia mamy: d = 2λ 2 oraz m 1 = jest liczbą ierwszą różną od 2 i 5. Ponadto, 10 r = sm 2 dla ewnej liczby naturalnej s (w tym rzyadku r = max(α, β)). Wiemy (atrz twierdzenie 4.4.5), że czyli a10 r (10 d 1) = m 2 c i stąd a m = a 0 + u 10 r + v 10 r (10 d 1) = c 10 r (10 d 1), as(10 d 1) = c, gdzie c = a 0 10 r (10 d 1) + u(10 d 1) + v; liczby a 0, u są całkowite i v jest liczbą utworzoną z cyfr okresu zasadniczego rozwinięcia dziesiętnego liczby x. Wiemy, że 1 v < 10 d 1. Oznaczmy rzez A i B liczby utworzone z dwóch ołówek okresu zasadniczego. Mamy wtedy równość v = A10 λ + B. Ponadto, A 10 λ 1 i B 10 λ 1. Przyuśćmy, że A = 10 λ 1 i B = 10 λ 1. Wtedy v = A10 λ + B = (10 λ 1)10 λ + 10 λ 1 = 10 2λ 1 = 10 d 1 i mamy srzeczność, gdyż v < 10 d 1. Co najmniej jedna z liczb A i B jest więc ostro mniejsza od 10 λ 1. Mamy zatem: 0 < A + B < 2(10 λ 1). Należy wykazać, że A + B = 10 λ 1.
78 Andrzej Nowicki, Liczby Mersenne a i inne. 5. Okresy rozwinięć liczb wymiernych Liczby as i są względnie ierwsze. Liczba ierwsza dzieli więc liczbę 10 d 1 = 10 2λ 1 = (10 λ 1)(10 λ + 1). Ponieważ d jest najmniejszą liczbą naturalną taką, że 10 d 1, więc liczba 10 λ 1 nie jest odzielna rzez. Zatem dzieli liczbę 10 λ + 1. Liczba 10λ +1 jest więc całkowita, oznaczmy ją rzez w. Mamy teraz równość (10 λ 1)asw = c, czyli: (10 λ 1)asw = a 0 10 r (10 2λ 1) + u(10 2λ 1) + v. Z równości tej wynika, że liczba v jest odzielna rzez 10 λ 1. Ale v = A10 λ + B = A(10 λ 1) + (A + B). Suma A + B jest więc odzielna rzez 10 λ 1; niech A + B = h(10 λ 1), gdzie h N. Wykazaliśmy, że 0 < A + B < 2(10 λ 1); zatem h = 1 i stąd A + B = 10 λ 1. Drobne modyfikacje rzedstawionego dowodu ozwalają udowodnić, że odobną własność osiadają okresy zasadnicze q-rozwinięć ewnych liczb wymiernych. 5.5.2. Niech 2 q N i niech x = a m, gdzie a Z, 2 m N, nwd(a, m) = 1. Załóżmy, że q-kodzielnik liczby m jest liczbą ierwszą i długość okresu zasadniczego q-rozwinięcia liczby x jest liczbą naturalną arzystą, równą 2λ. Wtedy suma dwóch ołówek okresu zasadniczego q-rozwinięcia liczby x jest równa q λ 1; jest więc liczbą zbudowaną w systemie numeracji o odstawie q z samych cyfr q 1. D. Niech d = d q (m), r = r q (m) i oznaczmy rzez m 1, m 2 odowiednio q-kodzielnik i q-dzielnik liczby m. Z założeń wynika, że d = 2λ 2 oraz m 1 = jest liczbą ierwszą i q. Ponadto, q r = sm 2 dla ewnej liczby naturalnej s. Wiemy (atrz twierdzenie 4.4.5), że czyli aq r (q d 1) = m 2 c i stąd a m = a 0 + u q r + v q r (q d 1) = as(q d 1) = c, c q r (q d 1), gdzie c = a 0 q r (q d 1) + u(q d 1) + v; liczby a 0, u są całkowite i v jest liczbą utworzoną z cyfr okresu zasadniczego q-rozwinięcia liczby x. Wiemy, że 1 v < q d 1. Oznaczmy rzez A i B liczby utworzone z dwóch ołówek okresu zasadniczego. Mamy wtedy równość v = Aq λ + B. Ponadto, A q λ 1 i B q λ 1. Przyuśćmy, że A = q λ 1 i B = q λ 1. Wtedy v = Aq λ + B = (q λ 1)q λ + q λ 1 = q 2λ 1 = q d 1 i mamy srzeczność, gdyż v < q d 1. Co najmniej jedna z liczb A i B jest więc ostro mniejsza od q λ 1. Mamy zatem: Należy wykazać, że A + B = q λ 1. 0 < A + B < 2(q λ 1). Liczby as i są względnie ierwsze. Liczba ierwsza dzieli więc liczbę q d 1 = q 2λ 1 = (q λ 1)(q λ + 1). Ponieważ d jest najmniejszą liczbą naturalną taką, że q d 1, więc liczba q λ 1 nie jest odzielna rzez. Zatem dzieli liczbę q λ + 1. Liczba qλ +1 jest więc całkowita, oznaczmy ją rzez w. Mamy teraz równość (q λ 1)asw = c, czyli: (q λ 1)asw = a 0 q r (q 2λ 1) + u(q 2λ 1) + v.
Andrzej Nowicki, Liczby Mersenne a i inne. 5. Okresy rozwinięć liczb wymiernych 79 Z równości tej wynika, że liczba v jest odzielna rzez q λ 1. Ale v = Aq λ + B = A(q λ 1) + (A + B). Suma A + B jest więc odzielna rzez q λ 1; niech A + B = h(q λ 1), gdzie h N. Wykazaliśmy, że 0 < A + B < 2(q λ 1); zatem h = 1 i stąd A + B = q λ 1. Powróćmy do rozwinięć dziesiętnych. Załóżmy, że okres zasadniczy rozwinięcia dziesiętnego danej liczby wymiernej ma długość arzystą d = 2λ, gdzie λ jest ewną liczbą naturalną. Oznaczmy rzez v liczbą utworzoną z cyfr okresu zasadniczego i niech v = b 1 10 d 1 + b 2 10 d 2 + + b d 1 10 + b d, gdzie b 1,..., b d {0, 1,..., 9}. Połówkami okresu zasadniczego są wtedy liczby A = b 1 10 λ 1 + b 2 10 λ 2 + + b λ 1 10 + b λ, B = b λ+1 10 λ 1 + b λ+2 10 λ 2 + + b 2λ 1 10 + b 2λ. Załóżmy, że suma tych ołówek jest zbudowana z samych dziewiątek, tzn. załóżmy, że A+B = 10 λ 1. Wtedy suma ostatnich cyfr tych liczb ma ostatnią cyfrę równą 9 i suma ta nie może być równa 19 (onieważ cyfry należą do zbioru {0, 1,..., 9}). Zatem b λ + b 2λ = 9; rzy dodawaniu ostatnich cyfr nie rzenosimy nic do amięci. Suma rzedostatnich cyfr liczb A i B również ma ostatnią cyfrę równą 9 i z tych samych owodów nie może być równa 19. Zatem b λ 1 + b 2λ 1 = 9 i znowu nie rzenosimy nic do amięci. Kontunuując to ostęowanie, otrzymujemy równości b i + b λ+i = 9, dla i = 1, 2,..., λ. Udowodniliśmy nastęujące stwierdzenie. 5.5.3. Niech x = a m, gdzie a Z, m N, nwd(a, m) = 1. Załóżmy, że kodzielnik dziesiętny liczby m jest liczbą ierwszą i długość okresu zasadniczego rozwinięcia dziesiętnego liczby x jest liczbą naturalną arzystą, równą 2λ. Niech v = b 1 10 2λ 1 + b 2 10 2λ 2 + + b 2λ 1 10 + b 2λ będzie liczbą utworzoną z cyfr okresu zasadniczego rozwinięcia dziesiętnego liczby x; liczby b 1,..., b 2λ należą do zbioru {0, 1,..., 9}. Wtedy b i + b λ+i = 9, dla wszystkich i = 1, 2,..., λ. W szczególności, suma cyfr liczby v jest równa 9λ. Podobnie jest dla dowolnych q-rozwinięć: 5.5.4. Niech 2 q N i niech x = a m, gdzie a Z, m N, nwd(a, m) = 1. Załóżmy, że q-kodzielnik liczby m jest liczbą ierwszą i długość okresu zasadniczego q-rozwinięcia liczby x jest liczbą naturalną arzystą, równą 2λ. Niech v = b 1 q 2λ 1 + b 2 q 2λ 2 + + b 2λ 1 q + b 2λ będzie liczbą utworzoną z cyfr okresu zasadniczego q-rozwinięcia liczby x; liczby b 1,..., b 2λ należą do zbioru {0, 1,..., q 1}. Wtedy b i + b λ+i = q 1, dla wszystkich i = 1, 2,..., λ. W szczególności, suma cyfr liczby v, w systemie numeracji o odstawie q, jest równa (q 1)λ.
80 Andrzej Nowicki, Liczby Mersenne a i inne. 5. Okresy rozwinięć liczb wymiernych Zajmowaliśmy się liczbami ierwszymi, których odwrotności osiadały q-rozwinięcia z arzystymi długościami okresów zasadniczych. Istnieją liczby ierwsze, dla których te okresy mają długości niearzyste. 5.5.5. Wszystkie liczby ierwsze < 100 takie, że długość okresu zasadniczego q-rozwinięcia ułamka 1 jest liczbą niearzystą. q = 2 : 7, 23, 31, 47, 71, 73, 79, 89; q = 3 : 2, 11, 13, 23, 47, 59, 71, 83; q = 4 : 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 73, 79, 83, 89; q = 5 : 2, 11, 19, 31, 59, 71, 79; q = 6 : 5, 19, 23, 43, 47, 67, 71; q = 7 : 2, 3, 19, 29, 31, 37, 47, 59, 83; q = 8 : 7, 23, 31, 47, 71, 73, 79, 89; q = 9 : 2, 7, 11, 13, 19, 23, 31, 37, 43, 47, 59, 61, 67, 71, 79, 83; q = 10 : 3, 31, 37, 41, 43, 53, 67, 71, 79, 83; q = 11 : 2, 5, 7, 19, 43, 79, 83; q = 12 : 11, 23, 37, 47, 59, 61, 71, 83; q = 13 : 2, 3, 23, 43, 53, 61, 79; q = 14 : 11, 13, 31, 43, 47, 67; q = 15 : 2, 7, 11, 43, 53, 59, 61, 67, 71; q = 16 : 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89. 5.5.6. Wszystkie liczby ierwsze 1900 < < 2100 takie, że długość okresu zasadniczego q-rozwinięcia ułamka 1 jest liczbą niearzystą. q = 2 : 1913, 1951, 1999, 2039, 2063, 2087, 2089; q = 3 : 1907, 1931, 1979, 2003, 2027, 2029, 2039, 2063, 2087, 2099; q = 4 : 1907, 1913, 1931, 1951, 1979, 1987, 1999, 2003, 2011, 2027, 2039, 2063, 2083, 2087, 2089, 2099; q = 5 : 1931, 1949, 1951, 1979, 1999, 2011, 2039, 2099; q = 6 : 1901, 1949, 1987, 1997, 2011, 2039, 2063, 2083, 2087; q = 7 : 1907, 1931, 1951, 1979, 1987, 1997, 2063, 2069, 2099; q = 8 : 1913, 1951, 1999, 2039, 2063, 2087, 2089; q = 9 : 1907, 1931, 1933, 1951, 1979, 1987, 1993, 1999, 2003, 2011, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2083, 2087, 2099; q = 10 : 1907, 1933, 1951, 1987, 1999, 2003, 2027, 2039, 2083. Istnieją takie liczby wymierne o arzystej dłgości okresu zasadniczego, dla których omawiana suma ołówek nie jest liczbą zbudowaną z samych dziewiątek. Potwierdzają to nastęujące dwa rzykłady. 5.5.7. Rozwinięcie dziesiętne ułamka 1 119 = 1 równej 48. Suma ołówek tego okresu jest równa: 7 17 008403361344537815126050 + 420168067226890756302521 428571428571428571428571. Suma ta nie jest liczbą zbudowaną z samych dziewiątek. (Male). ma okres zasadniczy arzystej długości, 5.5.8. Rozwinięcie dziesiętne ułamka 1 187 = 1 równej 16. Suma ołówek tego okresu jest równa: 11 17 ma okres zasadniczy arzystej długości, 00534759 + 35828877 36363636. Suma ta nie jest liczbą zbudowaną z samych dziewiątek. (Male).
Andrzej Nowicki, Liczby Mersenne a i inne. 5. Okresy rozwinięć liczb wymiernych 81 Rozważane własności osiadają również otęgi liczb ierwszych (o ile odowiednie długości okresów są liczbami arzystymi). 5.5.9. Niech będzie liczbą ierwszą różną od 2 i 5 taką, że długość okresu zasadniczego, rozwinięcia dziesiętnego ułamka 1, jest liczbą arzystą. Niech m = 2 α 5 β n, gdzie α, β są nieujemnymi liczbami całkowitymi oraz n jest liczbą naturalną. Rozważmy liczbę wymierną x = a m ; a Z, nwd(a, m) = 1. Liczba ta osiada nastęujące własności. (1) Długość okresu zasadniczego rozwinięcia dziesiętnego liczby x jest liczbą arzystą; niech d = 2λ będzie tą długością. (2) Suma dwóch ołówek okresu zasadniczego jest równa 10 λ 1, czyli jest liczbą zbudowaną z samych dziewiątek. (3) Niech v = b 1 10 2λ 1 +b 2 10 2λ 2 + +b 2λ 1 10+b 2λ będzie liczbą utworzoną z cyfr okresu zasadniczego rozwinięcia dziesiętnego liczby x; liczby b 1,..., b 2λ należą do zbioru {0, 1,..., 9}. Wtedy b i + b λ+i = 9, dla wszystkich i = 1, 2,..., λ. W szczególności, suma cyfr liczby v jest równa 9λ. D. (1). Parzystość okresu zasadniczego wynika z 5.2.3. (2). Niech d = d 10 (m), r = r 10 (m) i oznaczmy rzez m 1, m 2 odowiednio kodzielnik dziesiętny i dzielnik dziesiętny liczby m. Z rzyjętych założeń wynika, że d = 2λ 2, r = max(α, β) oraz m 1 = n, m 2 = 2 α 6 β. Ponadto, 10 r = sm 2 dla ewnej liczby naturalnej s. Wiemy (atrz twierdzenie 4.4.5), że a m = a 0 + u 10 r + v 10 r (10 d 1) = c 10 r (10 d 1), czyli a10 r (10 d 1) = n m 2 c i stąd as(10 d 1) = n c, gdzie c = a 0 10 r (10 d 1) + u(10 d 1) + v; liczby a 0, u są całkowite i v jest liczbą utworzoną z cyfr okresu zasadniczego rozwinięcia dziesiętnego liczby x. Wiemy, że 1 v < 10 d 1. Oznaczmy rzez A i B liczby utworzone z dwóch ołówek okresu zasadniczego. Mamy wtedy równość v = A10 λ + B. Ponadto, A 10 λ 1 i B 10 λ 1. Przyuśćmy, że A = 10 λ 1 i B = 10 λ 1. Wtedy v = A10 λ + B = (10 λ 1)10 λ + 10 λ 1 = 10 2λ 1 = 10 d 1 i mamy srzeczność, gdyż v < 10 d 1. Co najmniej jedna z liczb A i B jest więc ostro mniejsza od 10 λ 1. Mamy zatem: 0 < A + B < 2(10 λ 1). Należy wykazać, że A + B = 10 λ 1. Liczby as i są względnie ierwsze. Potęga n dzieli więc liczbę 10 d 1 = 10 2λ 1 = (10 λ 1)(10 λ + 1).
82 Andrzej Nowicki, Liczby Mersenne a i inne. 5. Okresy rozwinięć liczb wymiernych Ponieważ d jest najmniejszą liczbą naturalną taką, że n 10 d 1, więc liczba 10 λ 1 nie jest odzielna rzez n. Zatem dzieli liczbę 10 λ + 1. Zauważmy, że nie może dzielić liczby 10 λ 1. W rzeciwnym bowiem rzyadku mielibyśmy srzeczność: 2 = ( 10 λ + 1 ) ( 10 λ 1 ). Stąd wynika, że liczba 10 α + 1 jest odzielna rzez n. Liczba 10λ + 1 ją rzez w. Mamy teraz równość (10 λ 1)asw = c, czyli: n jest więc całkowita, oznaczmy (10 λ 1)asw = a 0 10 r (10 2λ 1) + u(10 2λ 1) + v. Z równości tej wynika, że liczba v jest odzielna rzez 10 λ 1. Ale v = A10 λ + B = A(10 λ 1) + (A + B). Suma A + B jest więc odzielna rzez 10 λ 1; niech A + B = h(10 λ 1), gdzie h N. Wykazaliśmy, że 0 < A + B < 2(10 λ 1); zatem h = 1 i stąd A + B = 10 λ 1. (3). Tę własność wykazujemy dokładnie tak samo jak 5.5.3. Drobne modyfikacje rzedstawionego dowodu ozwalają udowodnić to dla q-rozwinięć. 5.5.10. Niech 2 q N i niech będzie liczbą ierwszą taką, że q, 2 i długość okresu zasadniczego, q-rozwinięcia ułamka 1, jest liczbą arzystą. Niech m będzie liczbą naturalną, której q-kodzielnikiem jest liczba n dla ewnego naturalnego n. Rozważmy liczbę wymierną x = a m ; a Z, nwd(a, m) = 1. Liczba ta osiada nastęujące własności. (1) Długość okresu zasadniczego q-rozwinięcia liczby x jest liczbą arzystą; niech d = 2λ będzie tą długością. (2) Suma dwóch ołówek okresu zasadniczego jest równa q λ 1, czyli jest liczbą zbudowaną, w systemie numeracji o odstawie q, z samych cyfr q 1. (3) Niech v = b 1 q 2λ 1 + b 2 q 2λ 2 + + b 2λ 1 q + b 2λ będzie liczbą utworzoną z cyfr okresu zasadniczego q-rozwinięcia liczby x; liczby b 1,..., b 2λ należą do zbioru {0, 1,..., q 1}. Wtedy b i + b λ+i = q 1, dla wszystkich i = 1, 2,..., λ. W szczególności, suma cyfr liczby v, zaisanej w systemie numeracji o odstawie q, jest równa (q 1)λ. L. E. Dickson, Periodic decimal fractions, [Dic1] 159-179. W. G. Leavitt, A theorem on reeating decimals, [Mon] 74(6)(1967) 669-673. W. G. Leavitt, Reeating decimals, [Cmj] 15(4)(1984) 299-308. J. Lewittes, Midy s theorem for eriodic decimals, rerint 2006. E. Midy, De quelques ror. des nombres et des fractions décimales ériodiques, Nantes, 1836. H. Rademacher, O. Toelitz, Okresy rozwinięć dziesiętnych liczb wymiernych, [RaT] 182-200.
Andrzej Nowicki, Liczby Mersenne a i inne. 5. Okresy rozwinięć liczb wymiernych 83 oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 5.6 Okresy zasadnicze o długościach odzielnych rzez 3 oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Niech 7 będzie liczbą ierwszą. Wiemy (atrz orzedni odrozdział), że jeśli okres zasadniczy rozwinięcia dziesiętnego ułamka 1 ma długość arzystą, to suma dwóch ołówek tego okresu jest liczbą zbudowaną z samych dziewiątek. Brian D. Ginsberg w racy [Gins] z 2004 roku udowodnił, że odobna własność zachodzi również wtedy, gdy długość okresu zasadniczego jest liczbą odzielną rzez 3. Dla = 7 mamy okres 142857 i 14 + 28 + 57 = 99. Dla = 13 mamy okres 076923 i 07 + 69 + 23 = 99. Okresem zasadniczym dla = 31 jest 15-cyfrowa liczba 032258064516129. Podzielmy ją na trzy części i te części dodajmy: 03225 + 806645 + 16129 = 99999. 5.6.1 (B. D. Ginsberg, 2004). Niech będzie taką liczbą ierwszą, że rozwinięcie dziesiętne jej odwrotności ma okres zasadniczy o długości odzielnej rzez 3. Podzielmy ten okres na trzy równej długości części. Wtedy suma tych trzech części jest liczbą zbudowaną z samych dziewiątek. ([Gins]). D. (B. D. Ginsberg). Z założenia wynika, że 2 i 5. Niech d = 3k będzie długością okresu zasadniczego rozwninięcia dziesiętnego ułamka 1 i niech v będzie liczbą utworzoną z cyfr okresu zasadniczego. Wtedy 10 3k 1 = v i 0 < v < 10 3k 1. Liczba v jest ostaci A10 2k + B10 k + C, gdzie A, B, C są nieujemnymi liczbami całkowitymi mniejszymi od 10 k. Ponieważ 0 < v < 10 3k 1, więc Wykażemy, że A + B + C = 10 k 1. Liczba ierwsza dzieli liczbę 0 < A + B + C < 3 ( 10 k 1 ). 10 3k 1 = ( 10 k 1 ) ( 10 2k + 10 k + 1 ) i nie dzieli liczby 10 k 1 (gdyż 3k jest długością okresu zasadniczego); musi więc dzielić czynnik 10 2k + 10 k + 1. Mamy zatem liczbę naturalną w = 102k + 10 k + 1 oraz równości (a 1 ) ( 10 k 1 ) w = v = A10 2k + B10 k + C = A ( 10 2k 1 ) + B ( 10 k 1 ) + (A + B + C), z których wynika, że suma A+B +C jest odzielna rzez 10 k 1; niech A+B +C = h(10 k 1), gdzie h N. Wiemy, że 0 < A + B + C < 3(10 k 1); zatem h = 1 lub h = 2. Wystarczy teraz wykazać, że rzyadek h = 2 rowadzi do srzeczności. Przyuśćmy, że h = 2. Wtedy A + B + C = 2 ( 10 k 1 ) i z równości (a 1 ), o odzieleniu rzez 10 k 1, otrzymujemy równość (a 2 ) 10 2k + 10 k + 1 = A10 k + A + B + 2. Przyuśćmy, że A = 0. Ponieważ B 10 k 1, C 10 k 1 i B + C = A + B + C = 2(10 k 1), więc wtedy B = 10 k 1 i mamy srzeczność: = 102k + 10 k + 1 B + 2 = 102k + 10 k + 1 10 k + 1 = 1 + 102k 10 k + 1.
84 Andrzej Nowicki, Liczby Mersenne a i inne. 5. Okresy rozwinięć liczb wymiernych Zatem A 1. Wykażemy, że (a 3 ) A < 10 k. Przyuśćmy, że tak nie jest, tzn. rzyuśćmy, że A 10k. Wtedy, wykorzystując (a 2), mamy: A + B = 102k + 10 k + 1 A10 k + A + 1 A10k 2 A10 k 2 = 10 k 10k + 10k + 1 A10k 2 = A + 1 2 i stąd mamy srzeczność: 0 B 1 2 < 0. Zatem istotnie A < 10k. W szczególności stąd wynika, że < 10 k. Zauważmy teraz, że ( ) 10 C = 2(10 k 1) (A + B) > 2(10 k k 1) + 10k 1 = 10 k 10k 1. Zatem 10 k 10k 1 < C 10k 1. Po omnożeniu tego rzez i o dodaniu jedynki, otrzymujemy: (a 4 ) 10 k 10 k + 1 < C + 1 10 k + 1. Sójrzmy jeszcze raz na oczątkową równość 10 3k 1 = ( 10 2k A + 10 k B + C ). Z równości tej wynika, że liczba C + 1 jest odzielna rzez 10 k. Istnieje więc liczba naturalna m taka, że C + 1 = m10 k. Wstawiając to do (a 4 ) i o odzieleniu rzez 10 k, otrzymujemy: 1 1 10 k < m 1 10 k, stąd 2 < m < i stąd m = 1. Zatem C+1 = ( 1)10 k = 10 k 10 k i stąd wynika, że dzieli liczbę 10 k + 1. Wiemy, że dzieli również liczbę 10 2k + 10 k + 1. Zatem dzieli różnicę tych liczb, czyli liczbę 10 2k. Jest to jednak srzeczne z tym, że jest liczbą ierwszą różną od 2 i 5. Przyuszczenie, że h = 2 rowadzi więc do srzeczności. Zatem h = 1 i mamy: A + B + C = 10 k 1. 5.6.2. Wszystkie liczby ierwsze, mniejsze od 1000, których odworotności mają rozwinięcia dziesiętne o okresie zasadniczym długości odzielnej rzez 3 : Jest 58 takich liczb. (Male). 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 97, 109, 127, 151, 157, 163, 181, 193, 199, 211, 223, 229, 241, 277, 283, 307, 313, 337, 367, 373, 379, 397, 409, 433, 439, 487, 499, 523, 541, 571, 577, 601, 613, 619, 631, 709, 727, 739, 757, 769, 787, 811, 823, 829, 853, 877, 883, 919, 937, 991. 5.6.3. Wszystkie liczby ierwsze, mniejsze od 3000, których odworotności mają rozwinięcia dziesiętne o okresie zasadniczym niearzystej długości odzielnej rzez 3 : 31, 37, 43, 67, 151, 163, 199, 277, 283, 307, 397, 439, 523, 613, 631, 757, 787, 853, 883, 919, 991, 1039, 1093, 1123, 1279, 1399, 1471, 1609, 1693, 1747, 1759, 1867, 1933, 1951, 1999, 2083, 2203, 2239, 2311, 2347, 2557, 2671, 2683, 2707, 2719, 2797, 2803. Jest 47 takich liczb. (Male).
Andrzej Nowicki, Liczby Mersenne a i inne. 5. Okresy rozwinięć liczb wymiernych 85 Przedstawiony tu dowód Ginsberga, jego twierdzenia 5.6.1, można z drobnymi zmianami rzeisać i otrzymać dowód nastęującego twierdzenia dla dowolnych q-rozwinięć. 5.6.4. Niech 2 q N. Niech będzie liczbą ierwszą, względnie ierwszą z q. Załóżmy, że q-rozwinięcie ułamka 1 ma okres zasadniczy o długości równej 3k, gdzie k N. Podzielmy ten okres na trzy części o długości k. Wtedy suma tych trzech części jest liczbą równą q k 1, tzn. suma ta jest taką liczbą, która w systemie numeracji o odstawie q jest zbudowana z samych cyfr q 1. D. Niech v będzie liczbą utworzoną z cyfr okresu zasadniczego q-rozwinięcia ułamka 1. Wtedy q 3k 1 = v i 0 < v < q 3k 1. Liczba v jest ostaci Aq 2k + Bq k + C, gdzie A, B, C są nieujemnymi liczbami całkowitymi mniejszymi od q k. Ponieważ 0 < v < q 3k 1, więc Wykażemy, że A + B + C = q k 1. Liczba ierwsza dzieli liczbę 0 < A + B + C < 3 ( q k 1 ). q 3k 1 = ( q k 1 ) ( q 2k + q k + 1 ) i nie dzieli liczby q k 1 (gdyż 3k jest długością okresu zasadniczego); musi więc dzielić czynnik q 2k + q k + 1. Mamy zatem liczbę naturalną w = q2k + q k + 1 oraz równości (b 1 ) ( q k 1 ) w = v = Aq 2k + Bq k + C = A ( q 2k 1 ) + B ( q k 1 ) + (A + B + C), z których wynika, że suma A + B + C jest odzielna rzez q k 1; niech A + B + C = h(q k 1), gdzie h N. Wiemy, że 0 < A + B + C < 3(q k 1); zatem h = 1 lub h = 2. Wystarczy teraz wykazać, że rzyadek h = 2 rowadzi do srzeczności. Przyuśćmy, że h = 2. Wtedy A + B + C = 2 ( q k 1 ) i z równości (b 1 ), o odzieleniu rzez q k 1, otrzymujemy równość (b 2 ) q 2k + q k + 1 = Aq k + A + B + 2. Przyuśćmy, że A = 0. Ponieważ B q k 1, C q k 1 i B + C = A + B + C = 2(q k 1), więc wtedy B = q k 1 i mamy srzeczność: Zatem A 1. Wykażemy, że = q2k + q k + 1 B + 2 = q2k + q k + 1 q k + 1 (b 3 ) A < q k. = 1 + q2k q k + 1. Przyuśćmy, że tak nie jest, tzn. rzyuśćmy, że A qk. Wtedy, wykorzystując (b 2), mamy: A + B = q2k + q k + 1 Aq k + A + 1 Aqk 2 = A + 1 2 Aq k 2 = q k qk + qk + 1 Aqk 2
86 Andrzej Nowicki, Liczby Mersenne a i inne. 5. Okresy rozwinięć liczb wymiernych i stąd mamy srzeczność: 0 B 1 2 < 0. Zatem istotnie A < qk. W szczególności stąd wynika, że < q k. Zauważmy teraz, że ( ) q C = 2(q k 1) (A + B) > 2(q k k 1) + qk 1 = q k qk 1. Zatem q k qk 1 < C qk 1. Po omnożeniu tego rzez i o dodaniu jedynki, otrzymujemy: (b 4 ) q k q k + 1 < C + 1 q k + 1. Sójrzmy jeszcze raz na oczątkową równość q 3k 1 = ( q 2k A + q k B + C ). Z równości tej wynika, że liczba C + 1 jest odzielna rzez q k. Istnieje więc liczba naturalna m taka, że C + 1 = mq k. Wstawiając to do (b 4 ) i o odzieleniu rzez q k, otrzymujemy: 1 1 q k < m 1 q k, stąd 2 < m < i stąd m = 1. Zatem C + 1 = ( 1)q k = q k q k i stąd wynika, że dzieli liczbę q k + 1. Wiemy, że dzieli również liczbę q 2k + q k + 1. Zatem dzieli różnicę tych liczb, czyli liczbę q 2k. Jest to jednak srzeczne z tym, że nwd(, q) = 1. Przyuszczenie, że h = 2 rowadzi więc do srzeczności. Zatem h = 1 i mamy: A + B + C = q k 1. W twierdzeniach 5.6.1 i 5.6.4 rozatrywane są rozwinięcia ułamków ostaci 1. Liczniki są równe 1. To założenie jest tutaj istotne. Ułamek 3 7 = 0, (428571) ma okres zasadniczy o długości odzielnej rzez 3, a suma 42 + 85 + 71 = 198 nie jest liczbą zbudowaną z samych dziewiątek. Czy istnieją odobne twierdzenia dla odwrotności otęg liczb ierwszych? Okres zasadniczy ułamka 1 3 3 = 0, (037) ma długość odzielną rzez 3, natomiast suma 0 + 3 + 7 = 10 nie jest zbudowana z samych dziewiątek. Przykład ten dotyczy otęg liczby ierwszej = 3. Okazuje się, że trójka jest tu liczbą wyjątkową. Udowodnimy, że dla otęg wszystkich innych liczb ierwszych (różnych od 3) również zachodzi rozważana własność i to dla dowolnych q- rozwinięć. Dowód olega tylko na drobnej modyfikacji rzedstawionego tu dowodu Ginsberga jego twierdzenia 5.6.1. 5.6.5. Niech 2 q N i niech będzie liczbą ierwszą taką, że q, 3 i długość okresu zasadniczego, q-rozwinięcia ułamka 1, jest liczbą odzielną rzez 3. Wtedy q-rozwinięcie 1 każdego ułamka ostaci, gdzie n N, ma okres zasadniczy o długości odzielnej rzez 3. n Niech n N. Załóżmy, że q-rozwinięcie ułamka 1 ma okres zasadniczy o długości równej n 3k, gdzie k N. Podzielmy ten okres na trzy części o długości k. Wtedy suma tych trzech części jest liczbą równą q k 1, tzn. suma ta jest taką liczbą, która w systemie numeracji o odstawie q jest zbudowana z samych cyfr q 1. D. Oznaczmy rzez d 1 i d n długości okresów zasadniczych q-rozwinięć odowiednio ułamków 1 1 i. Ponieważ n q dn 1, więc q dn 1 i stąd d n 1 d n. Z założenia 3 d 1. Zatem 3 d n. Okres zasadniczy q-rozwinięcia ułamka 1 ma więc długość odzielną rzez 3. n Ustalmy n N i niech 3k będzie długością okresu zasadniczego q-rozwinięcia liczby 1 n. Niech v będzie liczbą utworzoną z cyfr tego okresu zasadniczego. Wtedy q 3k 1 = n v i 0 < v < q 3k 1.
Andrzej Nowicki, Liczby Mersenne a i inne. 5. Okresy rozwinięć liczb wymiernych 87 Liczba v jest ostaci Aq 2k + Bq k + C, gdzie A, B, C są nieujemnymi liczbami całkowitymi mniejszymi od q k. Ponieważ 0 < v < q 3k 1, więc Wykażemy, że A + B + C = q k 1. Liczba n dzieli liczbę 0 < A + B + C < 3 ( q k 1 ). q 3k 1 = ( q k 1 ) ( q 2k + q k + 1 ). i nie dzieli liczby q k 1 (gdyż 3k jest długością okresu zasadniczego); Zatem czynnik q 2k + q k + 1 jest odzielny rzez. Przyuśćmy, że q k 1 również jest odzielne rzez. Wtedy q k 1 (mod ) i wtedy 0 q 2k + q k + 1 1 + 1 + 1 = 3 (mod ), czyli 3 wbrew temu, że 3. Zatem q k 1 i z jednoznaczności rozkładu na czynniki ierwsze wynika, że liczba q 2k +q k +1 jest odzielna rzez n. Mamy zatem liczbę naturalną w = q2k + q k + 1 n. Teraz owtarzamy to samo co było w dowodach twierdzeń 5.6.1 i 5.6.4. Mamy równości (c 1 ) ( q k 1 ) w = v = Aq 2k + Bq k + C = A ( q 2k 1 ) + B ( q k 1 ) + (A + B + C), z których wynika, że suma A + B + C jest odzielna rzez q k 1; niech A + B + C = h(q k 1), gdzie h N. Wiemy, że 0 < A + B + C < 3(q k 1); zatem h = 1 lub h = 2. Wykażemy, że rzyadek h = 2 rowadzi do srzeczności. Przyuśćmy, że h = 2. Wtedy A + B + C = 2 ( q k 1 ) i z równości (b 1 ), o odzieleniu rzez q k 1, otrzymujemy równość (c 2 ) q 2k + q k + 1 n = Aq k + A + B + 2. Przyuśćmy, że A = 0. Ponieważ B q k 1, C q k 1 i B + C = A + B + C = 2(q k 1), więc wtedy B = q k 1 i mamy srzeczność: Zatem A 1. Wykażemy, że n = q2k + q k + 1 B + 2 = q2k + q k + 1 q k + 1 (c 3 ) n A < q k. = 1 + q2k q k + 1. Przyuśćmy, że tak nie jest, tzn. rzyuśćmy, że A qk n. Wtedy, wykorzystując (c 2 ), mamy: A + B = q2k + q k + 1 n Aq k + A + 1 n Aqk 2 = A + 1 n 2 Aq k 2 = q k qk n + qk n + 1 n Aqk 2 i stąd mamy srzeczność: 0 B 1 n 2 < 0. Zatem istotnie n A < q k. W szczególności stąd wynika, że n < q k. Zauważmy teraz, że ( ) q C = 2(q k 1) (A + B) > 2(q k k 1) n + qk 1 = q k qk n 1.