gkrol@mail.wz.uw.edu.pl #8 Błąd I i II rodzaju powtórzenie. Dwuczynnikowa analiza wariancji 1
Ryzyko błędu - powtórzenie Statystyka niczego nie dowodzi, czyni tylko wszystko mniej lub bardziej prawdopodobnym S. Lem Czy możliwe jest otrzymanie średniej M=7, przy założeniu że 30-elementowa próba pochodzi z populacji o μ=5? Możliwe, ale może być bardzo mało prawdopodobne (w zależności od σ) A jednak: musimy podjąć binarną decyzję (TAK albo NIE, przyjmujemy lub odrzucamy H 0 ) 2
Przykład: klient płacący podejrzanym banknotem Możemy banknot przyjąć lub odrzucić. Jakie są możliwe rezultaty naszych decyzji? Co jeśli odrzucimy prawdziwy banknot? Co jeśli przyjmiemy fałszywy banknot? 3
4 możliwe rezultaty decyzji dot. H 0 Odrzucenie fałszywej H0 Nieodrzucenie prawdziwej H0 Odrzucenie prawdziwej H0 Błąd pierwszego rodzaju Nieodrzucenie fałszywej H0 Błąd drugiego rodzaju 4
Błąd I i II rodzaju: α i β Odrzucamy H 0 Nie odrzucamy H 0 H 0 prawdziwa Błąd I rodzaju α 1-α H 0 fałszywa 1-β Błąd II rodzaju β 5
Dwuczynnikowa analiza wariancji Pozwala w jednym eksperymencie ocenić efekt dwóch niezależnych zmiennych nominalnych, oraz interakcji między tymi czynnikami, na ilościową zmienną zależną. Co zrobić, kiedy zmienna niezależna jest także ilościowa? Wyższą skalę pomiaru zawsze można potraktować jako niższą 6
Efekt główny i interakcyjny Jeśli wpływ zmiennej niezależnej na zmienną zależną w analizie wariancji jest istotny, to znaczy że: istotny jest efekt główny czynnika Kiedy łączny efekt 2 czynników nie da się przewidzieć na podstawie efektów czynników działających osobno, mówimy o: efekcie interakcji czynników Np. alkohol i środki nasenne Efekt addytywny oraz efekt interakcyjny 7
Przykład: czas snu, terapia i leki C1 Bez leków C2 Z lekami R1 Bez terapii R2 Z terapią M R1 C1 Średni czas snu osób Nie poddanych terapii i nie zażywających leków M R2 C1 Średni czas snu osób Poddanych terapii i nie zażywających leków M R1 C2 Średni czas snu osób Nie poddanych terapii Zażywających leki M R2 C2 Średni czas snu osób Poddanych terapii i zażywających leki 8 R row C - column
C1 Bez leków Wersja 1 (6.1, s.232) C2 Z lekami Efekt leków R1 Bez terapii R2 Z terapią 5h 6h 6h-5h=1h 7h 8h 8h-7h=1h Efekt terapii 7h-5h=2h 8h-6h=2h Hipotetyczne średnie wyniki od 20 osób w każdej grupie (celi) Efekt prosty terapii (bez leków): +2h Efekt prosty terapii (z lekami): +2h Efekt główny terapii (uśredniony): = (2h+2h)/2 = 2h Jaki jest efekt prosty i główny drugiego czynnika? 9
Porównanie efektów prostych 8,5 8 7,5 7 6,5 6 5,5 Bez terapii Z terapią 5 4,5 4 Bez leków Z lekami Równoległe linie oznaczają.. 10
C1 Bez leków Wersja 2 (6.2, s.233) C2 Z lekami Efekt leków R1 Bez terapii R2 Z terapią 8h 6h 6h-8h=-2h 6h 8h 8h-6h=2h Efekt terapii 6h-8h=-2h 8h-6h=2h Hipotetyczne średnie wyniki od 20 osób w każdej grupie (celi) Efekt prosty terapii (bez leków): -2h Efekt prosty terapii (z lekami): +2h Efekt główny terapii (uśredniony): = (2h-2h)/2 = 0h Jaki jest efekt prosty i główny drugiego czynnika? 11
Porównanie efektów prostych 8,5 8 7,5 7 6,5 Bez terapii 6 Z terapią 5,5 5 4,5 4 Bez leków Z lekami Przecinające się linie oznaczają.. 12
C1 Bez leków Wersja 3 (6.3, s.234) C2 Z lekami Efekt leków R1 Bez terapii R2 Z terapią 4h 5h 5h-4h=1h 6h 9h 9h-6h=3h Efekt terapii 6h-4h=2h 9h-5h=4h Hipotetyczne średnie wyniki od 20 osób w każdej grupie (celi) Efekt prosty terapii (bez leków): 2h Efekt prosty terapii (z lekami): 4h Efekt główny terapii (uśredniony): = (4h+2h)/2 = 3h Jaki jest efekt prosty i główny drugiego czynnika? 13
Porównanie efektów prostych 10 9 8 7 6 5 Bez terapii 4 Z terapią 3 2 1 0 Bez leków Z lekami Nierównoległe linie oznaczają.. 14
Schemat 2x2: wpływ wykładowcy oraz sposobu motywowania C1 Straszenie C2 Zachęcanie R1 Wykładowca 1 8, 7,9,8 M R1C1 =8 3,2,4,3 M R1C2 =3 M R1 =5.5 R2 Wykładowca 2 6,5,7,6 M R2C1 =6 5,4,6,5 M R2C2 =5 M R2 =5.5 M C1 =7 M C2 =4 M=5.5 (przykład 6.4, s. 235) 15
Możliwe typy porównań 1/2 Średnia straszonych (MC1) ze średnią ogólną (M): prosty efekt główny straszenia Średnia zachęcanych (MC2) ze średnią ogólną (M): prosty efekt główny zachęcania Razem: efekt główny czynnika C (uśrednionego na wszystkich poziomach czynnika R) Śr. studentów wykładowcy 1 (MR1) ze śr. og. (M): prosty efekt główny wykładowcy 1 Śr. Studentów wykładowcy 2 (MR2) ze śr. og. (M): prosty efekt główny wykładowcy 2 Razem: efekt główny czynnika R (uśrednionego na wszystkich poziomach czynnika C) 16
Możliwe typy porównań 2/2 Średnia straszonych przez wykładowcę 1 (MR1C1) i wykładowcę 2 (MR2C1): prosty efekt interakcji: wpływ wykładowcy na efektywność straszenia. Średnia zachęcanych przez wykładowcę 1 (MR1C1) i wykładowcę 2 (MR2C1): prosty efekt interakcji: wpływ wykładowcy na efektywność zachęcania. Można porównać też MR1C1 i MR1C2, oraz MR2C1 i MR2C2 Razem: efekt interakcji R x C. Wystąpi, jeśli efekt jednego czynnika nie jest taki sam na wszystkich poziomach drugiego czynnika 17
SCHEMAT WNIOSKOWANIA KROK 1 OPIS MODELU Zmienne niezależne: Czynnik C typ motywowania Czynnik R wykładowca Zmienna zależna: wynik egzaminu (s. ilościowa) Próba: 4 grupy, n=4, N=16 Założenia: Rozkład normalny zm. zależnej w podgrupach; brak istotnych różnic w wariancji zm. Zależnej losowy przydział do grup 18
SCHEMAT WNIOSKOWANIA KROK 1 OPIS MODELU, c.d. Hipotezy: H1.1: Efekt główny czynnika C jest istotny statystycznie (Typ motywowania wpływa na wynik egzaminu) H0: μ C1 = μ C2 = μ H1.2: Efekt główny czynnika R jest istotny statystycznie (Wynik zależy od wykładowcy) H0: μ R1 = μ R2 = μ H1.3: Efekt interakcji R i C jest istotny statystycznie (Wpływ typu motywowania na wynik egzaminu zależy od wykładowcy) μ R1C1 μ R1C2 = μ R2C1 μ R2C2 = μ 19
SCHEMAT WNIOSKOWANIA KROK 1 OPIS MODELU, c.d. n= 4 (liczebność grupy) r = 2 c = 2 N = 16 Wybór sposobu testowania hipotez: Dwuczynnikowa analiza wariancji Decyzje podejmujemy na podstawie testu F 20
SCHEMAT WNIOSKOWANIA KROK 2: OBLICZENIA Wyliczenie średnich w 4 grupach i średnich brzegowych 9 8 7 6 5 Wykładowca 1 Wykładowca 2 4 3 Straszona Zachęcana 21
SCHEMAT WNIOSKOWANIA KROK 2: OBLICZENIA Dla czynnika C (zróżnicowanie wyjaśnione przez typ motywacji): SS C1 = (M C1 M) 2 = (7-5.5) 2 = SS C2 = (M C2 M) 2 = (4-5.5) 2 = SS C = n*r*(ss C1 + SS C2 ) Dla czynnika R (zróżnicowanie wyjaśnione przez wykładowcę): SS R1 = (M R1 M) 2 = (5.5-5.5) 2 = SS R2 = (M R2 M) 2 = (5.5-5.5) 2 = SS R = n*c*(ss R1 + SS R2 ) 22
SCHEMAT WNIOSKOWANIA KROK 2: OBLICZENIA Dla efektu interakcji (SS RC ) Dla każdej grupy należy policzyć SS i zsumować je dla wszystkich grup: (M R*C* - (M R* + M C* ) + M) 2 SS R1C1 = (M R1C1 (M C1 +M R1 ) + M) 2 = SS R2C1 = (M R2C1 (M C1 +M R2 ) + M) 2 = SS R1C2 = (M R1C2 (M C2 +M R1 ) + M) 2 = SS R2C2 = (M R2C2 (M C2 +M R2 ) + M) 2 = SS RC = n*(ss R1C1 + SS R2C1 + SS R1C2 + SS R2C2 ) = 23
SCHEMAT WNIOSKOWANIA KROK 2: OBLICZENIA SS W zróżnicowanie niewyjaśnione W przykładzie SS w każdej komórce = 2 SS W = 4*2=8 s 2 w= 8/df s 2 w= 8/[r*c(n-1)] = 24
SCHEMAT WNIOSKOWANIA KROK 2: OBLICZENIA, statystyka F Źródło zmienności SS df s 2 F Czynnik C Typ motywowania Czynnik R Wykładowca Interakcja R x C Zróżnicowanie niewyjaśnione SS C = 36 c-1 = 1 s 2 C = F C = SS R = 0 r -1 = 1 s 2 R = F R = SS RC = 16 (r-1)(c-1) = 1 s 2 RC = F RC = SS W = 8 r*c(n-1) = 12 s 2 w = Razem SS T = 60 25
SCHEMAT WNIOSKOWANIA KROK 3: PODJĘCIE DECYZJI Źródło zmienności Czynnik C Typ motywowania Czynnik R Wykładowca Interakcja R x C Zróżnicowanie niewyjaśnione Razem df F F(1,12)= (F kryt.) c-1 = 1 F C = r -1 = 1 F R = (r-1)(c-1) = 1 r*c(n-1) = 12 F RC = 26
SCHEMAT WNIOSKOWANIA KROK 3: PODJĘCIE DECYZJI Źródło zmienności Czynnik C Typ motywowania Czynnik R Wykładowca Interakcja R x C Zróżnicowanie niewyjaśnione Razem df F F(1,12)= (F kryt.) c-1 = 1 F C = 54 F > 4,75 r -1 = 1 F R = 0 F < 4,75 (r-1)(c-1) = 1 r*c(n-1) = 12 F RC = 24 F > 4,75 27
28
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ! 29