Badanie dynamiki wybranych indeksów giełdowych Marzena Kozłowska, Ryszard Kutner Zakład Dydaktyki Fizyki Instytut Fizyki Doświadczalnej Wydział Fizyki, Uniwersytet Warszawski Marzena.Kozlowska@fuw.edu.pl XV Konferencja Naukowa Młodych Ekonomistów Warszawa, 21-22 września 2009.
I. Wstęp. Pomimo tego, że między fizyką a ekonomią istnieją istotne różnice metodologiczne, obserwuje się wiele wyraźnych analogii pomiędzy dynamiką i probabilistyką złożonych układów fizycznych, ekonomicznych czy nawet społecznych. Metody i algorytmy używane do opisu zjawisk fizycznych stanowią podłoże i inspiracje dla wielu owocnych metod i algorytmów stosowanych w analizie danych ekonomicznych. Znalezienie modelu opisującego lokalne, chwilowe piki indeksów giełdowych, dobrze widoczne np. w dziennych danych empirycznych, stanowi jedno z zasadniczych, pragmatycznych i badawczych wyzwań stojących zarówno przed inwestorami giełdowymi, jak też przed analitykami rynków finansowych a zwłaszcza ekonofizykami. Zasadniczy charakter tego wyzwania bierze się z faktu, że piki te zbudowane są na tzw. bańkach czy też bąblach giełdowych, których pękanie jest bezpośrednią przyczyną ciągle powtarzających się kryzysów i krachów giełdowych, a których natura jest wciąż zagadkowa. W mojej pracy doktorskiej zaproponowałam, wyprowadzony w unikalny sposób, deterministyczny Reologiczny Model Fraktalnej Dynamiki Rynku Finansowego (RMFDRF), który bazuje na fraktalnym, liniowym, niejednorodnym równaniu zawierającym pamięć, umożliwiającym opisanie dynamiki indeksu. Model RMFDRF stanowi uogólnienie i zreinterpretowanie modelu fraktalnej relaksacji materiału plastycznego (lepkosprężystego biopolimeru), jaki został stworzony w 1991 roku przez Glöckle i Nonnenmahera (GN) do opisu relaksacji naprężenia wałeczka z ciasta mącznego, mierzonego za pomocą dynanometru przy ustalonym wydłużeniu wałeczka. W niniejszej pracy koncentruję się na analizie trendu obserwowanego w dziennych notowaniach Warszawskiego Indeksu Giełdowego (WIG), a także na analogicznej analizie dla indeksów innych giełd, np. średniej wielkości typu Frankfurckiej GPW (index DAX), jak też dużych takich jak np. DJIA czy NASDAQ. Celem jest opisanie zarówno zbocza opadającego jak i narastającego, traktując je jako dwa odrębne procesy, dla lokalnych w czasie, dobrze ukształtowanych pików za pomocą funkcji uwzględniającej także oscylacje. Rozważania prowadzone w pracy oparte są na dwóch wzajemnie powiązanych procesach, są to: niedebye'owskie czy też nieeksponencjalne procesy relaksacji zaobserwowane dla wielu materiałów plastycznych, jak również dla danych tikowych dotyczących kontraktów futures notowanych na londyńskiej LIFE oraz różne rodzaje bąbli spekulacyjnych związanych z krachami giełdowymi. Rozwiązanie znalezione w ramach zaproponowanego w pracy Reologicznego Modelu Fraktalnej Dynamiki Rynku Finansowego, uzupełnione przykładowo o oscylacje logarytmiczno-periodyczne, stanowi podstawę, która może być w przyszłości użyta do budowy systemów oprogramowania monitorującego i analizującego rynki finansowe oraz ułatwiającego przeprowadzenie prognoz
zmniejszających ryzyko inwestycji finansowych. I. Relaksacja fraktalna Do opisania niedebye'owskich procesów relaksacyjnych w układach złożonych stosuje się kilka rodzajów funkcji relaksacji, są to między innymi: prawo Kohlrauscha-Williamsa-Wattsa (KWW), czyli tzw. rozciągnięty eksponens, prawo Nuttinga, czyli asymptotyczne prawo potęgowe, funkcja Mittag-Lefflera (ML). Funkcja Mittag-Lefflera: odgrywa dominującą rolę w mojej pracy. Jest ona naturalnym uogólnieniem funkcji eksponens, którą otrzymuje się przyjmując w powyższym wyrażeniu α =1, gdzie α jest tak zwanym parametrem kształtu. Dla 0 < α < 1, funkcja ML charakteryzuje się dwiema granicami, tj. wymienionym wyżej prawem KWW i prawem Nuttinga dla krótkich i długich czasów odpowiednio. Zanim przejdę do analizy indeksów giełdowych, chciałabym zwrócić uwagę na rysunek 1 przedstawiający ( w skali log-log) wartości mediany cen transakcyjnych domów i parcel (S) w Stanach Zjednoczonych w okresie styczeń 1988 - grudzień 2008 r. (czarne punkty) wraz z funkcją Mittag-Lefflera (czerwona krzywa) dopasowaną do tych punktów. Rysunek 1: Porównanie przebiegu funkcji Mittag-Lefflera (czerwona krzywa) z danymi empirycznymi (czarne punkty) dotyczącymi wartości mediany cen transakcyjnych domów i parcel
(S) w Stanach Zjednoczonych. Otrzymana zgodność jest jednym z kluczowych wyników mojej pracy, gdyż wskazuje na przydatność funkcji ML jako narzędzia nadającego się do opisu rynkowych danych makroekonomicznych ograniczonych do horyzontów czasowych nie przekraczających czasu aktywności zawodowej pojedynczego pokolenia. Maksimum funkcji Mittag-Lefflera ( t c ) przypada tutaj na marzec 2007 roku, pokrywając się z punktem określającym zmianę empirycznego trendu t MAX ( czyli tutaj t c = t MAX ), natomiast wartości charakteryzujących ją parametrów wynoszą: α=0.60, τ=95 miesięcy. Widoczna zmiana trendu z wznoszącego na opadający jest tutaj bezpośrednią pochodną załamania się rynku kredytów hipotecznych w USA oraz, związanego z tym, spadkiem cen nieruchomości. Na rysunku 1 znajduje się również dla porównania funkcja eksponens ( zielona krzywa) oraz rozciągnięty eksponens ( krzywa niebieska). Z analizy danych empirycznych dla rynku hipotecznego wynika kilka istotnych faktów, a mianowicie: punkt zwrotny trendu ( z wzrostowego na spadkowy) nigdy nie jest ulokowany w obszarze, w którym funkcja ML pokrywa się( z dobrym przybliżeniem) z rozciągniętym eksponensem (linia czerwona i niebieska), punkt ten nigdy nie leży wcześniej od punktu przecięcia funkcji ML z funkcją eksponens (przecięcie linii czerwonej i zielonej), stąd oszacowanie możliwego położenia punktu zwrotnego jest natychmiastowe, punkt zwrotny leży w pobliżu punktu zrównania tempa wzrostu funkcji eksponens i ML. I. Reologiczny Model Fraktalnej Dynamiki Rynku Finansowego Wyprowadzenie przeze mnie fenomenologicznego, deterministycznego Reologicznego Modelu Fraktalnej Dynamiki Rynku Finansowego składa się z dwóch części: 1) Pierwszej, w której zaproponowano liniowe, zwyczajne równanie różniczkowe pierwszego rzędu, opisujące ewolucję indeksu charakteryzującego rynek wyidealizowany w obrębie dobrze określonych lokalnych pików, na dziennych danych empirycznych na zamknięciu. 2) Drugiej, zawierającej fraktalne uogólnienie tego równania. W tej części został zaproponowany sposób przejścia od równania z punktu 1) do tzw. fraktalnego równania różniczkowego zawierającego operatory różniczkowania ułamkowego, uwzględniając np. pamięć okresową, której wkład do rozwiązania ma charakter niejawny. W taki sposób przejawia się tutaj dążenie rynku do degradacji ewentualnego arbitrażu, gdyż istnienie pamięci w jawnej postaci może doprowadzić do jego pojawienia się lub wzmocnienia. Równanie to posłuży do opisu dynamiki wybranych indeksów giełdowych.
Powyższe podejście oparte jest w dużej mierze na strategii dotyczącej badań prowadzonych w ramach współczesnej reologii poświęconych nieeksponencjalnej relaksacji materiałów plastycznych (lepkosprężystych) takich jak np. biopolimery. Strategia ta stanowi podstawę Fraktalnego Modelu Ciała Stałego (FMCS). Istnieje wiele wersji FMCS, opartych na rożnych sposobach fraktalizacji równań, jak też na różnego typu połączeniach elementów mechanicznych, takich jak sprężyny i amortyzatory, stanowiących przecież podstawowe elementy mikroskopowe różnych mechanicznych struktur makroskopowych ciał plastycznych rozpatrywanych w ramach reologii. Zasadnicze założenia modelu mówią, że: 1) W obszarach narastających i pękających spekulacyjnych bąbli giełdowych, gdzie decyzje muszą być podejmowane szybko, dominującą rolę odgrywają gracze giełdowi bazujący na analizie technicznej (gracze techniczni), a nie na fundamentalnej. Gracze techniczni śledzą na bieżąco notowania interesujących ich indeksów oraz obroty na akcje tworzący dany indeks i na tej podstawie ustalają strategię działania, składając odpowiednie oferty kupna lub sprzedaży. Można zatem sądzić, że chwilowa wartość nadwyżki zleceń U(t) może zależeć tylko od chwilowej, względnej wielkości danego indeksu X(t) oraz chwilowej względnej wielkości obrotów V(t). Jak widać wartość U(t) może być traktowana jak miara chwilowej aktywności tej części rynku, która dotyczy danego indeksu, przy czym znak dodatni U(t) mówi o tym, że mamy do czynienia z przewagą kupna czyli lewym zboczem lokalnego maksimum (w przypadku braku fluktuacji i oscylacji), a ujemny, że ma miejsce wyprzedaż akcji tworzących ten indeks, czyli z prawym zboczem (również w przypadku braku fluktuacji i oscylacji). 2) Założenie drugie mówi o tym, że zależność chwilowej nadwyżki zleceń od chwilowej, względnej wielkości danego indeksu i obrotów na nim, jest biliniowa, co jest zgodne z panującym duchem liniowości pojęć ekonomicznych i można ją wyrazić następująco: gdzie jest różnicą pomiędzy chwilowym popytem D(t) ( 0) na akcje tworzące dany indeks i ich całkowitą chwilową podażą S(t) ( 0), a a 0 i b 0 są niezależnymi od czasu współczynnikami. Wolumen obrotów na akcje tworzący dowolny indeks, będący chwilową wielkością zrealizowanych transakcji definiuje się następująco: Ponadto zakładamy, że zachodzi związek:
gdzie Δt oznacz tu jeden dzień transakcyjny. W celu rozważenia wyidealizowanej dynamiki indeksu należy użyć liniowego równania różniczkowego, wiążącego indeks z obrotami, mającego następującą postać: Kombinacja równania (2) i (5) pozwala wyeliminować wolumen obrotów i uzyskać równanie opisujące wyidealizowaną dynamikę indeksu w następującej formie: gdzie odpowiednie współczynniki zdefiniowane są następująco: oraz mają swoją reologiczną interpretację, bowiem równanie (7) jest analogonem podstawowego równania reologicznego Standardowego Modelu Zenera Ciała Stałego. Typowa mechaniczna realizacja tego modelu składa się z połączonych równolegle: elementu Maxwella ( połączone w szereg dwa elementy: amortyzator i sprężyna), odpowiedzialnego za plastyczność materiału. elementu sprężystego. W modelu tym relacja między chwilowym całkowitym naprężeniem σ(t) a chwilowym całkowitym odkształceniem ε(t) jest podana poniższym liniowym równaniem różniczkowym pierwszego rzędu: gdzie τ 0 jest czasem relaksacji, czyli czasem po którym nastąpi przejście od sprężystego do plastycznego stanu materiału. Porównując równania (7) i (9) można zauważyć analogie między rynkiem papierów wartościowych i reologią, co przedstawia tabela nr 1. Tabela 1. Analogie między reologią i giełdą papierów wartościowych. Giełda papierów wartościowych Ciało stałe Indeks giełdowy X(t) Odkształcenie ε(t)
Nadwyżka zleceń U(t) Naprężenie σ(t) Wolumen obrotów V(t) Chwilowa temperatura T(t) Wykorzystując mechaniczną reprezentację modelu Zenera można pokusić się o interpretację sprężyny jako analogonu czysto emocjonalnego, irracjonalnego, niczym nie skrępowanego postępowania inwestorów, czyli po prostu analogon euforii wywołanej przez chciwość, podczas gdy amortyzator może być analogonem czysto racjonalnego zachowania czyli awersji do ryzyka, strachu. Taka interpretacja może przyczynić się do konstrukcji mechanicznego modelu opisującego istotne aspekty rzeczywistego rynku papierów wartościowych wskazując np. na wpływ struktury sprzężeń pomiędzy inwestorami na wieloskalową dynamikę indeksów giełdowych. Pragnę zwrócić uwagę na fakt, iż równanie (7) opisuje jedynie chwilową, tymczasową sytuację, nie uwzględniając tego, że inwestorzy dysponują bogatszą wiedzą dotyczącą historycznych notowań indeksu oraz, że mają oni pewną opinie na temat przyszłych wartości indeksu. Zatem w celu uogólnienia tego równania, wyrażenia (2) i (5) powinny zostać rozszerzone do następujących postaci: oraz gdzie współczynniki z indeksem górnym - dotyczą przeszłości a z + teraźniejszości. Kombinacja równań (10) i (11) pozwoli uzyskać uogólnione równanie, które jest jednak trudne do rozwiązania ze względu na duża liczbę niewiadomych, stąd też posługuję się analogią do fizycznego modelu materiału lepkosprężystego co pozwala ominąć tę trudność. Po zastosowaniu fraktalnej operacji różniczkowo - całkowej, odgrywającej bardzo ważną rolę we współczesnej reologii, ale stosowanej również w ekonometrii (modele ARIFMA), uzyskujemy równanie całkowe, które opisuje dwa niezależne zbocza lokalnych pików indeksu:
gdzie niezależna zmienna: Konkretna postać funkcji U(y) została narzucona oscylacyjnym charakterem indeksu, stąd fraktalne zagadnienie (12) zostało rozwiązane przy założeniu, że: W oparciu o bezpośrednią obserwację danych empirycznych, okazało się że zarówno ω jak i Δω są znacznie mniejsze od jedności, co pozwala na uproszczenie dokładnego rozwiązania zagadnienia do następującej formy: gdzie wszystkie współczynniki i parametry są rzeczywiste oraz Jak widzimy, rozwiązanie (14), w zupełności wystarczające do porównania przewidywań modelu z danymi empirycznymi, składa się z części zawierającej funkcję Mittag-Lefflera oraz części zawierającej iloczyn cosinusów. We wzorze (14) parametr α jest parametrem odpowiedzialnym za kształt funkcji relaksacji. I. Porównanie z giełdowymi danymi empirycznymi i wnioski W tym podrozdziale zaprezentuję wyniki uzyskane z dopasowania krzywej, która wyraża się za pomocą formuły (14) do danych empirycznych wybranych indeksów giełdowych. Jak zwykle czarne punkty na wykresach dotyczą notowań indeksu giełdowego ( na zamknięciu sesji). Na rysunku 2 przedstawione zostało lewe zbocze największego a zarazem najlepiej ukształtowanego piku indeksu WIG,związanego z obecnie panującym światowym kryzysem gospodarczym. Zamieszczona na tym rysunku czerwona krzywa ciągła pochodzi z dopasowania wyrażenia (14) do danych empirycznych przy braku dudnień, czyli przy założeniu, że Δω=0. Oprócz tego, dla porównania naniesiony został również tzw. rozciągnięty eksponens (ciągła krzywa niebieska), w który przechodzi funkcja Mittag-Lefflera, gdy y 0.
Rysunek 2 Lewe zbocze lokalnego, ostatniego piku indeksu WIG, ewolucja dziennych notowań datowanych od 2750 dnia transakcyjnego (subiektywnie wybrany początek lokalnego piku traktowany tutaj dla prostoty jako punkt 0) do 3609 sesji uznawanej za empiryczny koniec tego zbocza a zarazem wyznaczającej położenie maksimum piku ( t = t MAX ). Notowania składają się z 860 punktów empirycznych o horyzoncie czasowym od 06.02.2004 do 06.07.2007. Końcowy punkt obu krzywych teoretycznych (dla t = t c ) przypada na 22.08.2007, czyli 892 dzień transakcyjny. Wydaje się, że dopasowanie krzywej jest zadowalające, jednakże jak się okazało parametry τ 1 oraz X 1 są obarczone dużymi niepewnościami (odpowiednie dane przedstawione są w tabelach 2 i 3). Sugeruje to istnienie zasady nieoznaczoności parametrów modelu, którą można traktować jako finansowy analogon zasady nieoznaczoności Heisenberga w fizyce kwantowej. W taki sposób może przejawiać się dążenie giełdy do uniemożliwienia zaistnienia arbitrażu. A zatem na rynkach finansowych istnieje swoista reguła przekory przypominająca regułę Lenza w fizyce. Rynek na którym inwestorzy poszukują zysku przeciwstawia się temu w taki sposób, aby zysk nie był możliwy bez ryzykownego zainwestowania kapitału. Zwróćmy uwagę, że nachylenie wykresu w punkcie t c jest pionowe, czyli pochodna dx(t)/dt rozbiega się przy t t c od lewej strony. W tym sensie można traktować przejście od fazy wznoszącego trendu do opadającego jak analogon przemiany fazowej pierwszego rodzaju, czyli nieciągłej. Pragnę podkreślić, że wspomniana analogia do przemiany fazowej pierwszego rodzaju ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy 0 < α <1, a dla α > 2 można mówić o przemianach fazowych wyższych rzędów.
Tabela 2. Charakterystyczne parametry otrzymane z dopasowania wyrażenia (14), opisujące ostatnie piki dla indeksów z giełd małych, średnich i dużych. Indeksy L i R oznaczają wartość parametru dla lewego i prawego zbocza odpowiednio. Tabela 3. Parametry kalibrujące, uzyskane z dofitowania formuły (14), opisujące indeksy pokazane w tabeli 2 Podobnej analizy dokonałam również dla zbocza prawego ostatniego maksimum lokalnego Warszawskiego Indeksu Giełdowego (WIG), co zostało przedstawione na rysunku 3.
Rysunek 3.Prawe i lewe zbocze ostatniego piku indeksu WIG. Dane empiryczne rozciągają się od 06.02.2004 (2750 sesja) do 18.05.2009 (4073 sesja). Teoretyczny początek bessy to 24.04.2007 (3559 sesja). Odpowiednie parametry umieszczone są w tabelach 2 i 3. Wyniki analizy ostatnich pików indeksów DAX, DJIA, Shanghai Composite widoczne są na poniższych wykresach: Rysunek 4. Ostatni, związany z aktualnie panującym kryzysem, pik indeksu DAX z naniesionymi dopasowaniami otrzymanymi z ze wzoru (14). Dane empiryczne rozciągają się od 04.09.2003 do 01.07.2009 roku. Lewe zbocze kończy się 13.07.2007 roku, zaś prawe rozpoczyna datą 12.07.2007 roku.
Rysunek 5. Ostatni, związany z aktualnie panującym kryzysem, pik indeksu DJIA z naniesionymi dopasowaniami otrzymanymi z ze wzoru (14). Dane empiryczne rozciągają się od 16.03.2005 do 09.06.2009 roku. Lewe zbocze kończy się 12.09.2007 roku, zaś prawe rozpoczyna datą 01.10.2007 roku. Rysunek 6. Ostatni, związany z aktualnie panującym kryzysem, pik indeksu Shanghai Composite (SCI) z naniesionymi dopasowaniami otrzymanymi ze wzoru (14) dla obu zboczy. Dane empiryczne rozciągają się od 15.08.2006 do 05.02.2009 roku. Lewe zbocze kończy się 18.10.2007 roku, zaś prawe rozpoczyna datą 16.10.2007 roku.
Widoczne na wszystkich wykresach nieciągłości lub zazębianie się krzywych w kolorze czerwonym wynika z niepewności związanej z ustaleniem punktu zwrotnego hossa-bessa oraz traktowaniem obu zboczy jako niezależnych ścieżek. Warto również wspomnieć o dobroci wykonywanych przeze mnie fitów. Okazało się tak jak to pokazują dane w tabeli 4, że wszystkie wartości R 2 mieszczą się w przedziale [0.9967, 0.9996]. Tabela 4. Dokładność z jaką wykonywane były dopasowania wyrażenia (14) do danych empirycznych. Uzyskane parametry znajdują się w tabelach 2 i 3. Wydaje mi się, że Reologiczny Model Fraktalnej Dynamiki Rynku Finansowego mógłby być włączony do bazy modeli wykorzystywanych przez różne instytucje do prowadzenia analiz rynkowych a w tym przynajmniej prognoz krótkoterminowych, typu ekstrapolacyjnego. Bibliografia M. Kozłowska, A. Kasprzak and R. Kutner, Fractional Market Model and its verification on the Warsaw Stock Exchange, Int. J. Mod. Phys. C 19,453-469 (2008) wraz z zawartymi tam odnośnikami. M. Kozłowska, Uogólniony i zreinterpretowany model materiałów lepkosprężystych jako narzędzie do badania dynamiki indeksów giełdowych, praca doktorska wykonana w ramach Studiów Doktoranckich Wydziału Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego- w recenzji.