Zastosowanie falek w przetwarzaniu obrazów

Podobne dokumenty
Transformata falkowa

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Cyfrowe przetwarzanie i kompresja danych

2. Próbkowanie Sygnały okresowe (16). Trygonometryczny szereg Fouriera (17). Częstotliwość Nyquista (20).

Przetwarzanie Sygnałów. Zastosowanie Transformaty Falkowej w nadzorowaniu

TRANSFORMATA FALKOWA. Joanna Świebocka-Więk

LABORATORIUM AKUSTYKI MUZYCZNEJ. Ćw. nr 12. Analiza falkowa dźwięków instrumentów muzycznych. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE ANALIZY FALKOWEJ.

TRANSFORMATA FALKOWA 2D. Oprogramowanie Systemów Obrazowania 2016/2017

POSZUKIWANIE FALKOWYCH MIAR POTENCJAŁU INFORMACYJNEGO OBRAZÓW CYFROWYCH JAKO WSKAŹNIKÓW JAKOŚCI WIZUALNEJ

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów

4 Zasoby językowe Korpusy obcojęzyczne Korpusy języka polskiego Słowniki Sposoby gromadzenia danych...

Teoria sygnałów Signal Theory. Elektrotechnika I stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Przekształcenie Fouriera obrazów FFT

Transformata Fouriera

EKSTRAKCJA CECH TWARZY ZA POMOCĄ TRANSFORMATY FALKOWEJ

Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych. Wykład 8 Transformaty i kodowanie cz. 2. Przemysław Sękalski.

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Wykład 10. Transformata cosinusowa. Falki. Transformata falkowa. dr inż. Robert Kazała

Akustyka muzyczna ANALIZA DŹWIĘKÓW MUZYCZNYCH

Rozdział 1 PODSTAWOWE POJĘCIA I DEFINICJE

Transformaty. Kodowanie transformujace

Adaptive wavelet synthesis for improving digital image processing

Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego.

Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry Pojęcia podstawowe Klasyfikacja sygnałów

Transformata Laplace a to przekształcenie całkowe funkcji f(t) opisane następującym wzorem:

ANALIZA SEMANTYCZNA OBRAZU I DŹWIĘKU

Kompresja dźwięku w standardzie MPEG-1

Kompresja Danych. Streszczenie Studia Dzienne Wykład 13, f(t) = c n e inω0t, T f(t)e inω 0t dt.

Zmiany fazy/okresu oscylacji Chandlera i rocznej we współrzędnych bieguna ziemskiego.

Przekształcenia widmowe Transformata Fouriera. Adam Wojciechowski

Podstawy Automatyki. wykład 1 ( ) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Politechnika Świętokrzyska. Laboratorium. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Ćwiczenie 6. Transformata cosinusowa. Krótkookresowa transformata Fouriera.

NIEOPTYMALNA TECHNIKA DEKORELACJI W CYFROWYM PRZETWARZANIU OBRAZU

przetworzonego sygnału

Falki, transformacje falkowe i ich wykorzystanie

Laboratorium Przetwarzania Sygnałów Biomedycznych

Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy.

uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t

PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW

Technika audio część 2

Przetwarzanie i transmisja danych multimedialnych. Wykład 7 Transformaty i kodowanie. Przemysław Sękalski.

Fundamentals of Data Compression

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015

MODELOWANIE OBRAZÓW METODAMI ANALIZY FUNKCJONALNEJ (WIELU SKAL)

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Grafika Komputerowa Wykład 2. Przetwarzanie obrazów. mgr inż. Michał Chwesiuk 1/38

AiR_TSiS_1/2 Teoria sygnałów i systemów Signals and systems theory. Automatyka i Robotyka I stopień ogólnoakademicki

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017

Metody Przetwarzania Danych Meteorologicznych Ćwiczenia 14

Wykład 6: Reprezentacja informacji w układzie optycznym; układy liniowe w optyce; podstawy teorii dyfrakcji

przedmiot kierunkowy (podstawowy / kierunkowy / inny HES) obieralny (obowiązkowy / nieobowiązkowy) polski semestr VI

Analiza szeregów czasowych: 2. Splot. Widmo mocy.

FFT i dyskretny splot. Aplikacje w DSP

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

Pałkowa analiza sygnałów

Transformacja Fouriera i biblioteka CUFFT 3.0

Zygmunt Wróbel i Robert Koprowski. Praktyka przetwarzania obrazów w programie Matlab

CYFROWE PRZTWARZANIE SYGNAŁÓW (Zastosowanie transformacji Fouriera)

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji.

Ćwiczenie 3. Właściwości przekształcenia Fouriera

Według raportu ISO z 1988 roku algorytm JPEG składa się z następujących kroków: 0.5, = V i, j. /Q i, j

Przedmowa 11 Ważniejsze oznaczenia 14 Spis skrótów i akronimów 15 Wstęp 21 W.1. Obraz naturalny i cyfrowe przetwarzanie obrazów 21 W.2.

Ćwiczenie 4. Filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (SOI)

Obliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński

Analiza i modelowanie przepływów w sieci Internet. Andrzej Andrijew

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Dyskretne przekształcenie Fouriera cz. 2

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

DYSKRETNA TRANSFORMACJA FOURIERA

Zastosowanie analizy falkowej do wykrywania uszkodzeń łożysk tocznych

Kodowanie transformacyjne. Plan 1. Zasada 2. Rodzaje transformacji 3. Standard JPEG

Szybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform)

PODSTAWY I ALGORYTMY PRZETWARZANIA SYGNAŁÓW PROGRAM WYKŁADÓW PROGRAM WYKŁADÓW PROGRAM WYKŁADÓW

Zaawansowane metody numeryczne

3. Przetwarzanie analogowo-cyfrowe i cyfrowo-analogowe... 43

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień

Układy stochastyczne

Szereg i transformata Fouriera

) (2) 1. A i. t+β i. sin(ω i

Filtracja obrazu operacje kontekstowe

CZWÓRNIKI KLASYFIKACJA CZWÓRNIKÓW.

Przetwarzanie obrazów wykład 6. Adam Wojciechowski

dr inż. Krzysztof Stawicki

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

POLITECHNIKA POZNAŃSKA

Analiza porównawcza wybranych transformat w kontekście zobrazowania zaszumionego sygnału harmonicznego

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

TRANSFORMATA FALKOWA WYBRANYCH SYGNAŁÓW SYMULACYJNYCH

BIBLIOTEKA PROGRAMU R - BIOPS. Narzędzia Informatyczne w Badaniach Naukowych Katarzyna Bernat

Politechnika Wrocławska Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Przetwarzanie sygnałów laboratorium ETD5067L

DYSKRETNE PRZEKSZTAŁCENIE FOURIERA C.D.

ZAGADNIENIA DO EGZAMINU MAGISTERSKIEGO

Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Wykład 2. Transformata Fouriera

Opis efektów kształcenia dla modułu zajęć

Założenia i obszar zastosowań. JPEG - algorytm kodowania obrazu. Geneza algorytmu KOMPRESJA OBRAZÓW STATYCZNYCH - ALGORYTM JPEG

Transkrypt:

Informatyka, S2 sem. Letni, 2013/2014, wykład#1 Zastosowanie falek w przetwarzaniu obrazów dr inż. Paweł Forczmański Katedra Systemów Multimedialnych, Wydział Informatyki ZUT 1 / 61

Alfréd Haar Alfréd Haar (węg.: Haar Alfréd, ur. 11 października 1885 r. w Budapeszcie - zm. 16 marca 1933 r. w Szegedzie) węgierski matematyk. Haar, A., Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme, (Erste Mitteilung), Math. Ann. 69 (1910), 331 371 (at GDZ). (This is Haar's thesis, written under the supervision of David Hilbert.) Po ukończeniu sławnego Fasori Gimnázium, studiował od 1904 na Uniwersytecie w Getyndze i doktoryzował się w 1909 roku u Dawida Hilberta. Po kilku latach pracy jako asystent w Getyndze wrócił na Węgry, by rozpocząć pracę na Uniwersytecie w Kolozsvárze (obecnie Cluj-Napoca w Rumunii). Po pierwszej wojnie światowej przeniósł się na krótko do Budapesztu, a stamtąd do Szegedu. Haar zajmował się głównie badaniem równań różniczkowych pochodnych cząstkowych, teorią aproksymacji Czebyszewa i teorią grup topologicznych. Nazwana jego imieniem miara Haara przenosi miarę Lebesgue'a na grupy lokalnie zwarte. Falka Haara jest pierwszą znaną falką, została wprowadzona przez Alfréda Haara w 1909 lub 1910 r. Jest to szczególnie prosta falka. 2 / 61

Analiza falkowa Do roku 1930 do analizy częstotliwości stosowane były wzory Fouriera. Wykazał on, że każda funkcja o okresie 2π może być przedstawiona jako szereg Wspołczynniki a0, ak, bk, wyznaczane są w następujący sposob: 3 / 61

Analiza falkowa: historia 4 / 61

Geneza falek Fale: funkcje oscylujące w czasie, w przestrzeni lub w obu tych dziedzinach. Analiza Fouriera jest analizą falową (harmoniczną). Przedstawia ona sygnał przy użyciu funkcji sinusoidalnych. Ta metoda jest użyteczna przede wszystkim do analizy częstotliwościowej szeregów czasowych stacjonarnych. 5 / 61

Pochodzenie nazwy Falki: małe fale (z fr.les ondelettes, ang.wavelets) o energii skoncentrowanej w stosunkowo krótkim przedziale czasowym. Analiza falkowa polega na dekompozycji sygnału przy użyciu falek otrzymanych poprzez translację i dylatację falki podstawowej ( mother wavelet ). Falki są szczególnie przydatne do analiz czasowo-częstotliwościowych szeregów niestacjonarnych. 6 / 61

Transformacja falkowa Transformacja falkowa jest przekształceniem podobnym do transformacji Fouriera. Oba przekształcenia opierają się na wykorzystaniu operacji iloczynu skalarnego badanego sygnału s(t) i pozostałej części, zwanej "jądrem przekształcenia. Główna różnica między tymi przekształceniami to właśnie owe jądro. fala falka 7 / 61

Transformacja falkowa Transformacja Fouriera jako jądro wykorzystuje funkcje sinusoidalne (czyli funkcje okresowe reprezentujące jedną częstotliwość). Natomiast w przypadku transformacji falkowej jądrem jest falka specjalna funkcja ograniczona pewnymi wymogami, które musi spełniać aby można było ją wykorzystać do tak zwanej analizy wielorozdzielczej (np. musi posiadać funkcję skalującą). Takich funkcji istnieje nieskończenie wiele, zatem istnieje nieskończenie wiele transformacji falkowych. 8 / 61

Transformacja falkowa Transformacja falkowa nadaje się do analizy sygnałów niestacjonarnych, ponieważ dostarcza informacji czasowoczęstotliwościowej. Często, wymiennie wykorzystuje się ją z transformacją Fouriera. Powodem tego jest fakt, iż jako wynik transformacji falkowej otrzymamy informację o częstotliwościach poszczególnych składników widmowych sygnału tylko ze skończoną precyzją. Dzieje się tak dlatego, że jądro przekształcenia (czyli funkcja) nie reprezentuje nieskończenie wąskiego przedziału częstotliwości lecz przedział częstotliwości o szerokości odwrotnie proporcjonalnej do czasu trwania falki Transformację falkową stosuje się więc w przypadkach, gdy oprócz informacji o częstotliwościach składowych widmowych sygnału potrzebna jest informacja o ich lokalizacji w cza9 / 61 sie.

Definicja Falki to rodziny funkcji zbioru liczb rzeczywistych na zbiór liczb rzeczywistych, z których każda jest wyprowadzona z funkcji-matki za pomocą przesunięcia i skalowania: Ψs,x(t) = Ψ(2s *t + x) gdzie: s,x - liczby całkowite, Ψ - funkcja-matka, Ψs,x - falka o skali s i przesunięciu x, które dążą do zera (lub po prostu wynoszą zero poza pewnym przedziałem) dla argumentu dążącego do nieskończoności. [wikipedia] 10 / 61

Definiacja (2/3) warunek dot. funkcji matki; przynajmniej kilka oscylacji dekompozycja funkcji f za pomocą funkcji bazowej [wikipedia] 11 / 61

Definicja (3/3) Suma ważona funkcji Ψs,x umożliwia przedstawienie z dowolną dokładnością dowolnej funkcji ciągłej, podobnie jak funkcje cosinus o różnych okresach i przesunięciach umożliwiają przedstawienie z dowolną dokładnością każdej funkcji okresowej. (ważne pojęcia: przestrzeń Hilberta, transformata Fouriera, przestrzeń liniowa). 12 / 61

Warunki zerowa wartość średnia normalizacja skupiona wokół t=0 skończone pasmo przenoszenia 13 / 61

Przykłady falek 14 / 61

Rodzina falek przesunięcie u i skalowanie s falki bazowej (ang. mother wavelet) normalizacja 15 / 61

Transformata falkowa Ciągła TF (ang. Continuous (Integral) Wavelet Transform, CWT (IWT)) Jest miarą zmienności funkcji f(t) w otoczeniu u o rozmiarze proporcjonalnym do s Wynikiem ciągłej transformaty falkowej są współczynniki określające podobieństwo pomiędzy daną falką a sygnałem. 16 / 61

Transformata falkowa : przykład Wynikiem transformacji falkowej są współczynniki, których wartości są zależne od parametrów a i b oraz sygnału badanego s(t). Dla danych wartości a i b współczynnik jest miarą podobieństwa pomiędzy daną falką a wybranym fragmentem sygnału s(t). [wikipedia] 17 / 61

Transformata falkowa Odwrotna TF warunek dopuszczalności ang. admissibility condition falka nie może mieć składowej stałej falka musi być różniczkowalna w sposób ciągły Calderon, Grossmann, Morlet 18 / 61

Funkcja skalująca przyjęcie granicznej wartości współczynnika skali s=s0, jeśli Wf(u,s) jest znane tylko dla wartości s<s0 to do odtworzenia ory- ginalnej funkcji f(t) konieczna jest informacja o Wf(u,s) dla s>s0, w tym celu wprowadza się funkcję skalującą (ang. scaling function) i tworzy rodzinę funkcji skalujących (funkcja bazowa funkcji skalującej bywa nazywana po angielsku father wavelet), funkcja skalująca jest połączeniem wszystkich falek o współczynniku skali s>s0 Każda falka posiada swoją unikalną funkcję skalującą. Najważniejszą cechą, która odróżnia funkcję skalującą od falki jest niezerowa wartość średnia. 19 / 61

Funkcja skalująca Wartość średnia różna od zera falka funkcja skalująca 20 / 61

Funkcja skalująca : przykłady 21 / 61

Dyskretna realizacja falek Jeśli ciągłe skalowanie s i przesunięcie u zastąpi się dyskretnym otrzyma się dyskretną rodzinę falek (j,k liczby całkowite) Zwykle przyjmuje się oraz, co daje diadyczne próbkowanie i obliczenia prowadzi się oktawę po oktawie zatem rodzinę falek otrzymujemy przez skalowanie j i przesunięcie k 22 / 61

Analiza falkowa Sygnał może zostać przedstawiony jako suma funkcji skalujących i falek, tworzących rodzinę funkcji ortogonalnych. 23 / 61

Piramida Mallata Mallat podał zależności między kolejnymi współczynnikami rozkładu: h współczynniki filtru dolnoprzepustowego skalującego H, g współczynniki filtru górnoprzepustowego falkowego G. na wyjściu filtru H otrzymujemy uśrednioną, wygładzoną informację o sygnale wejściowym, na wyjściu filtru G szczegóły sygnału. Rozmiar analizowanego sygnału czy funkcji musi mieć rozmiar 2n, n N Powstały metody dopasowujące rozmiar sygnału, przez dodanie informacji na jego krańcach. 24 / 61

Transformata Haara Rozwinięcie w szereg Fouriera nie daje informacji o zachowaniu się takiej funkcji, a także nie daje dobrej aproksymacji w otoczeniu punktu x=0. W 1910 r. Haar podaje nowy system ortogonalny, oparty na funkcji zdefiniowanej w przedziale [0,1]: 25 / 61

Transformata Haara 2D 26 / 61

Transformata Haara 1D wejście: 9735 1. uśrednianie parami: 8 4 2. współczynniki transformaty: 1-1, ponieważ 8+1 = 9 (pierwszy el.) 8-1 = 7 (drugi el.) 4+(-1) = 3 (trzeci el.) 4-(-1) = 5 (czwarty el.) Rozdzielczość 4 2 1 Średnia 9735 84 6 Współczynniki 1-1 2 Jednowymiarowa transformata falkowa Haara dla przedstawionego przykładu: 6 2 1-1 27 / 61

Transformata 1D : funkcja pudełkowa 28 / 61

Transformata 1D : funkcja pudełkowa 29 / 61

Transformata Haara 30 / 61

Transformata Haara 31 / 61

kompresja 32 / 61

Dekompozycja falkowa 33 / 61

Dekompozycja falkowa 34 / 61

Dekompozycja obrazu 35 / 61

Dekompozycja obrazu 36 / 61

Dekompozycja obrazu 37 / 61

Zastosowanie próby detekcji fal grawitacyjnych (CWT), badanie aktywności Słońca i plam na Słońcu (CWT), JPEG2000, cyfrowe znaki wodne, automatyczne monitorowanie ruchu statków na podstawie obrazów satelitarnych, charakterystyka obrazów (van Gogh, Picasso, Monet, Klee i in.), analiza danych sejsmicznych (CWT i DWT), rozwiązywanie równań różniczkowych i całkowych, filtracja obrazów radarowych (SAR, Synthetic Aperture Radar), 38 / 61

Kompresja Na etapie DWT, obraz dzielony jest na 64 pasma częstotliwościowe za pomocą transformaty falkowej 2D, która jest zastosowana w sposób kaskadowy (iteracyjny). Dane z DWT (float/double) są obcinane/kwantowane poprzez jednokierunkową funkcję (tutaj następuje kompresja stratna). Na ostatnim etapie otrzymane dane są kodowane za pomocą np. metody Huffmana (kodowanie entropijne) w celu zmniejszenia wielkości ilość_bitów/piksel 39 / 61

Kompresja 40 / 61

Kompresja JPEG image; file size 45853 bytes, compression ratio 12.9. WSQ image; file size 45621 bytes, compression ratio 12.9. 41 / 61