LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2

LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2

TEORIA ESTYMACJI I 1. ODRZUCANIE WYNIKÓW WĄTPLIWYCH PRÓBA P (m) (m-elementowa) Obliczenie: ; s bez wyników wątpliwych Odrzucenie wyników z poza przedziału: 3s PRÓBA LOSOWA P (n) (n-elementowa) 2. ESTYMACJA PUNKTOWA DLA s( ) s n Jeśli nie odrzucono wszystkich wątpliwych z próby P (m) to należy dla P (n) wyznaczyć (ponownie) ; s Zapis z błędem bezwzględnym s( ) *100% s n *100% Zapis z błędem względnym

TEORIA ESTYMACJI I ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA dla μ: μ= ±Δμ Dane: próba losowa: P (n), poziom ufności: 1-α 3. ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA : PRÓBA LOSOWA P (n) (n-elementowa) Można skorzystać z funkcji: EXCEL statystyczne UFNOŚĆ Gdy: σ znane (jest to słuszne też dla małej próby) Gdy: σ nieznane TYLKO dla dużej próby Mała (n <30) z α z N(0,1) : ROZKLAD.N.S.ODWR t α z rozkładu t-studenta ROZKŁAD.T.ODWR (prawdopodobieństwo: α, stopnie swobody: k=n-1

PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WSKAŹNIKA STRUKTURY (PROCENTU) Populacja generalna ma rozkład dwupunktowy tj. elementy populacji mają jedną z dwu cech ( np. dobry, zły ). Frakcja elementów wyróżnionych (np. dobrych) wynosi p, przy czym p>0,05. Z populacji wylosowano niezależnie n elementów, przy czym n> 100. Wtedy przedział ufności dla wskaźnika struktury p populacji:

PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WSKAŹNIKA STRUKTURY (PROCENTU) Przykład: Aby oszacować procent pracowników w Krakowie, którzy jadają obiady w stołówkach pracowniczych wylosowano n=900 osób i znaleziono, m=300 osób, które jedzą w stołówkach. Przyjmując współczynnik ufności 1-α=0,95 zbudować przedział ufności dla procentu pracowników Krakowa korzystających z obiadów w stołówkach. m/n= 300/900=1/3; {1/3(1-1/3)/900} 1/2 =0,016 Z rozkładu normalnego Z EXCELA, ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODWR dla z α =2,96 (α/2=0,025), stąd: 0,333-1,96*0,016 < p < 0,333+ 1,96*0,016 Czyli: 0,302< p < 0,364 Lub: 30,2 % < p < 36,4 %

WYZNACZANIE NIEZBĘDNEJ LICZBY POMIARÓW DO PRÓBY PROBLEM: Szacujemy w oparciu o próbę n-elementową parametr populacji generalnej: µ-wartość oczekiwaną lub wskaźnik struktury p. Żądamy, aby przy zadanym poziomie ufności 1-α, błąd szacunku (tj. połowa przedziału ufności) nie przekroczył danej z góry wartości d. Jak wielka ma być próba? ( ile ma wynieść n?). Przypadek 1. Populacja generalna ma rozkład normalny N(µ,σ ) lub zbliżony do normalnego. Wariancja populacji: σ 2 jest znana, wówczas: Gdzie z α wyznacza się z dwuśladowego N(0,1). Przypadek 2. Populacja generalna ma rozkład normalny N(µ,σ ). Wariancja populacji: σ 2 jest nieznana, ale znamy s 2 z małej (wstępnej próby) o liczebności n o : Gdzie t α jest parametrem z dwuśladowego rozkładu t-studenta o k= n o -1 stopniach swobody. Jeśli n>n o to należy dolosować n-n o elementów do próby, w przeciwnym przypadku O.K.

WYZNACZANIE NIEZBĘDNEJ LICZBY POMIARÓW DO PRÓBY (c.d) Próba d (połowa szerokości przedziału ufności) n 1 d 1 n 2 d 2

PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WARIANCJI Populacja generalna ma rozkład normalny N(µ,σ) o nieznanych parametrach µ i σ. Z populacji tej wylosowano n-elementową próbę. Z próby tej wyliczono s 2. Przedział ufności dla wariancji σ 2 : Gdzie c 1 i c 2 patrz Rys. F(c 1 )= F(χ 2 1)= α/2 F(c 2 )= F(χ 2 2)= 1- α/2 k=n-1 Rozkład χ 2

ZADANIA 1. Przeprowadzono 10 pomiarów grubości spieku ceramicznego i uzyskano wyniki w mm: 7,0; 7,5; 8,5; 8,0; 6,0; 7,5; 6,5; 5,5; 7,5; 6,0. Wyznaczyć przedział ufności w przypadkach: A) gdy =1 mm oraz: a) 1- =0,99; b) 1- =0,98; c) 1- =0,96 B) wykonać analog. obliczenia gdy nieznane. 2. Ile należy dodatkowo wykonać pomiarów aby przedział ufności w zadaniu 2B był krótszy 3-krotnie? 3. Ile należy dodatkowo wykonać pomiarów aby przedział ufności w zadaniu 2B był krótszy 3-krotnie? 4. Wyznaczyć przedział ufności dla wariancji A) dla próby 4-elementowej : 7,0; 7,5; 8,5; 5,5; z zadania 1 przyjmując poziom ufności 1- : a) 0,99; b) 0.98; c) 0,95. B) Jak się zmieni ten przedział, gdy liczebność tej próby podwoi się? 5. Wyznaczyć przedział ufności dla wariancji w zadaniu 2 przyjmując poziom ufności 1- : a) 0,99; b) 0.98; c) 0,95. 6. Spośród tranzystorów wyprodukowanych przez pewien zakład wylosowano niezależnie n=100 sztuk i sprawdzono ich jakość. 16 tranzystorów nie spełniało norm produkcji. Przyjmując współczynnik (poziom) ufności 1-α=0.95 oszacować procent braków w wyprodukowanej partii tranzystorów 7. Ile tranzystorów należałoby wylosować do próby, by oszacować poziom braków z błędem nieprzekraczającym 3 % przy poziomie ufności 1-α=0.95, jeśli a) przypuszcza się, ze poziom braków wynosi ok. 15 %; b) nie jest znany orientacyjny poziom braków.