Statystyka dla doktorantów: Estymacja przedziałowa. Przemysław Borys Wydział Chemiczny Politechniki Śląskiej
|
|
- Dominik Czajkowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Statystyka dla doktorantów: Estymacja przedziałowa Przemysław Borys Wydział Chemiczny Politechniki Śląskiej
2 Ogólna idea W estymacji punktowej z próby statystycznej uzyskujemy pewne oszacowania parametrów, charakteryzujących ogólną zbiorowość (np. średnia, wariancja). Pytanie: jaka jest niepewność wyznaczenia takich parametrów? Jaki jest przedział ufności, w którym szacowany parametr powinien się znaleźć np. na 99%?
3 Przedziały ufności dla cechy podlegającej rozkładowi Gaussa
4 Poziom ufności Poziomem ufności 1-α nazywamy prawdopodobieństwo tego, że szacowany parametr rozkładu znajduje się w odpowiadającym mu przedziale ufności. P(θ 1 (x 1,x,,x n )<θ<θ (x 1,x,,x n ))=1-α Granice tego przedziału są funkcjami próby losowej i nie zależą od szacowanego parametru.
5 Uwaga o symetrii Przedział ufności nie zawsze musi być wybierany symetrycznie względem szacowanego parametru. W przypadku rozkładu normalnego takie podejście daje jednak najkrótszą długość takiego przedziału.
6 Przedział symetryczny i asymetryczny ten sam poziom ufności
7 Uwaga: W statystyce używa się również pojęcia poziomu istotności α - maksymalnego prawdopodobieństwa ryzyka popełniania błędu I rodzaju (odrzucenia prawdziwej hipotezy w weryfikacji hipotez statystycznych). Wrócimy do tego jeszcze.
8 Przedział ufności dla średniej #1 Średnia rozkładu cechy, podlegającej N(μ,σ), może być aproksymowana za pomocą rozkładu Gaussa. Jeżeli znamy odchylenie standardowe σ rozkładu cechy (a w rezultacie i odchylenie średniej), to możemy przeskalować odchylenie o zadanym poziomie ufności z rozkładu normalnego N(0,1) do żądanego przypadku i z wykorzystaniem tablic kwantyli dystrybuanty u 1-α/, uzyskać przedział: ( x u 1 α/ σ n, x+u 1 α/ σ ) n
9 Przykład Przeprowadzono 5 oznaczeń tłuszczu w produkcie spożywczym. Obliczona średnia wynosi 31.50%. Przyjmując, że zawartość tłuszczu ma rozkład normalny N(µ,0.) (np. na podstawie dotychczasowych doświadczeń), określić możliwy przedział średniej dla 1- α= ± =31.50±0.08
10 Korzystanie z tablicy rozkładu normalnego
11 Przedział ufności dla średniej #1 Jeżeli dysponujemy przedziałem ufności, to możemy wyznaczyć jego szerokość (dla ustalonego α w zależności od n) i określić minimalną liczebność próby do uzyskania żądanej precyzji wyniku: ( x u 1 α/ σ n, x+u 1 α/ σ ) n l= d= u 1 α/ σ d u 1 α/ σ n n n u 1 α/ d σ
12 Przykład Jak liczna powinna być próba n, aby na jej podstawie można było oszacować średnią długość noworodka, jeżeli rozkład długości jest normalny z odchyleniem 1.5cm? Dopuszczalny błąd szacunku przy poziomie ufności 0.99 wynosi 0.5cm. n> =59.9
13 Przedział ufności dla średniej # Jeżeli badana cecha ma rozkład N(μ,σ), ale nie dysponujemy odchyleniem standardowym σ, to mamy problem z przeskalowaniem wartości rozkładu N(0,1). Samo podstawienie estymatora S zamiast σ nie zadziała dobrze, bo S jest obarczone własną niepewnością (rozkład χ ) i przedział będzie niedoszacowany! Poprawkę na rozkład S daje statystyka Studenta i kwantyli tego rozkładu t używamy zamiast u z N(0,1). x μ S/ n ( t 1 α/,n 1,t 1 α/,n 1 ) μ ( X t 1 α/,n 1 S/ n, X +t 1 α/, n 1 S/ n)
14 Przykład Badaniu podlegał cz as dokonywania pomiaru przez laboranta. Wybrano n=17 laborantów i u każdego dokonano pomiaru czasu wykonywania pomiaru. Średni czas wyniósł 15 minut, a obliczone odchylenie standardowe minuty. Dla współczynnika ufności 1-α=0.95 określić zakres średniego czasu wykonywania pomiaru. t 0.975,16 =.10: τ=15± τ=15±1.03 min
15 Tablica wartości krytycznych Studenta
16 Przedział ufności dla średniej # Porównanie histogramów N(0,1) i Studenta. Pik nr 50 dla x=0.
17 Przedział ufności dla średniej # Minimalna liczebność próby dla przedziału określonego tą relacją wynosi: μ ( x t 1 α/,n 1 S/ n, x+t 1 α/, n 1 d t 1 α/, n 1 S n n t 1 α /, n 1 d S S n ) t 1 α/,n0 1 d S n 0 Przy czym ponieważ przed dokonaniem pomiaru nie znamy S, musimy je oszacować w krótkiej serii n 0. Jeżeli przy tym S, n=t 1-α/,n0-1S /d +1>n 0, to musimy dobrać n-n 0 elementy do oszacowania S. Jest to metoda dwuetapowa Steina.
18 Przykład Zmierzono czasy wyładowania 8 losowo wybranych baterii. Otrzymano odpowiednio 1, 15, 07, 14, 13, 08, 10, 1 minut. Jaka jest niezbędna liczebność próby dla określenia przedziału średniego czasu wyładowania baterii na poziomie ufności 95% przy dokładności ± minut? Wyliczamy: x=11.38, S =7.98, t 0.975,7 =.365 Podstawiamy k= /4+1=1.161 > 8 Potrzeba dobrać 5 reprezentantów do próby: 09, 11, 10, 13, 07 x=10.85, S =6.81, t 0.975,11 =.01 k=9.45 (OK, <1)
19 Przedział ufności dla średniej #3 Niech badana cecha ma dowolny rozkład. Jeżeli nie dysponujemy odchyleniem standardowym σ, ale liczba obserwacji n jest duża, to z twierdzenia granicznego średnia osiąga rozkład normalny (slajd (-); tablice rozkładu Studenta kończą się często na n=30), to rozkład Studenta przechodzi w rozkład normalny i można powrócić do wzoru z kwantylami rozkładu N(0,1), przyjmując σ=s. ( x u 1 α S n, x+u 1 α S n)
20 Przykład W procesie wylewania membran utworzono n=100 próbek. Po zmierzeniu ich grubości, okazało się, że średnia grubość wynosi 106μm, a odchylenie standardowe 3μm. Dla poziomu ufności 1-α=0.99 określić przedział ufności dla średniej grubości membrany. u =.58 d =106± d =106±6 μm
21 Przedział ufności dla średniej #3 Minimalną liczebność próby można ustalić podobnie jak w przypadku #1: ( x u 1 α/ S n, x+u 1 α/ S ) n d u 1 α/ S n n u 1 α/ d S
22 Przykład Wróćmy do przykładu z wylewaniem membran gdzie utworzono n=100 próbek o średniej grubości wynosi 106μm i odchylenie standardowym 3μm. O ile trzeba wydłużyć liczbę próbek, żeby średnią wyznaczyć z niepewnością μm? Przyjąć ten sam poziom ufności 1-α=0.99. u =.58 n.58 3 =880.3
23 Przedział ufności dla wariancji Wariancja jest zmienną losową, która nie przyjmuje wartości ujemnych. Z tego względu nie podlega rozkładowi Gaussa. Rozkładem, opisującym sumę kwadratów zmiennych losowych jest rozkład chi-kwadrat. Aby korzystać z tablic rozkładów, normalizujemy ten rozkład do sumy kwadratów o wariancji pojedynczego składnika σ=1. χ = i=1 n (X i X ) σ = ns σ
24 Przedział ufności dla wariancji Tak wyliczoną zmienną chi-kwadrat o n-1 stopniach swobody (n-1, a nie n bo statystyka wykorzystuje średnią, z której można wyliczyć jedną z n zmiennych losowych) porównujemy z kwantylami χ α/,n-1 oraz χ 1-α/,n-1: ns σ ( χ α, n 1 σ ( ns, χ 1 α,n 1,χ 1 α, n 1 ) ns ) χ α, n 1
25 Przykład Ocenić zróżnicowanie średnicy drzew w całym lesie jeśli w 5-elementowej próbie prostej, złożonej z drzew wybranych losowo z lasu otrzymano x=37.3cm, s =13.5cm. Założyć normalny rozkład średnic i poziom ufności χ 0.05,4 =36.415, χ 0.95, <σ < <σ <4.37 =13.848
26 Tablica rozkładu chi kwadrat
27 Dlaczego tylko n-1 stopni swobody przy n zmiennych? Aby tego dowieść, stosuje się transformację: y n 1 = y 1 = 1 1 (x 1 x ) y = 1 3 ( x 1+ x x 3 )... 1 (n 1)n ( x + x x (n 1)x ) 1 n 1 n y n = 1 n (x x )= x 1 n n
28 Dlaczego tylko n-1 stopni swobody przy n zmiennych? W tej transformacji mamy zachowaną sumę kwadratów zmiennych: n i=1 x = n i i=1 y i Nie jest łatwo tego dowieść, ale można z marszu zauważyć, że wszystkie y oprócz ostatniego mają EY i =0, a wariancje są takie same jak dla x-ów. [dla y n 1/n/ (n-1){(n-1)σ +(n-1) σ }] Wobec tego E[Y ]=D Y+EY =D X+E[x ]=D X+E[x ]= D X+EX =E[X ]. Nie jest to dokładnie to samo, ale musi wystarczyć. Następnie można przekształcić wzór na wariancję: (n 1)S = i=1 (n 1)S = i=1 n n (x i x) = i=1 x i n x = i=1 n n n x i x i=1 y i y n = i 1 x i +n x n 1 y i
29 Minimalna liczebność próby? Jeżeli przedział ufności wariancji wyznaczony jest wzorem: σ ( ns, χ 1 α,n 1 ns ) χ α, n 1 To nie wyznaczymy wzoru na minimalną liczność próby ponieważ n jest uwikłane w kwantylu chi-kwadrat i nie możemy go wyłączyć przed nawias. Mamy też nieznaną losową wartość S. Dysponując jakąś estymatą S możemy jednak wartość po wartości podstawiać kwantyle kolejnych n do wzoru na przedział i sprawdzić szacunkowo kiedy staje się dostatecznie wąski.
30 Przedział ufności dla wariancji. Duże n. Kiedy liczba stopni swobody rozkładu chi-kwadrat rośnie (rośnie ilość sumowanych wyrazów), to obcięty ogon ujemnej części rozkładu przestaje znacząco wpływać na jego kształt. Statystykę: χ = S σ n Przybliża rozkład N( n-3,1) (bo rozkład chi-kwadrat ma średnią proporcjonalną do n), zatem uwalniamy się od parametryzacji tablic stopniami swobody: S n σ ( n 3 u 1 α/, n 3+u 1 α/ ) σ ( S n S n, ) n 3+u 1 α/ n 3 u 1 α/
31 Przykład W grupie 450 samochodów osobowych przeprowadzono badanie zużycia benzyny na trasie o długości 100km. Obliczone z tej próby odchylenie standardowe wyniosło 0.8l/100km. Zakładając rozkład normalny cechy wyznaczyć przedział ufności dla 1-α=0.99. u 1 α/ = <σ< <σ<0.88
32 Uproszczenie wzoru Zaniedbując czynnik -3 pod pierwiastkiem w mianowniku wzoru na przedział ufności dla wariancji, możemy poskracać pierwiastki i uzyskać (Sobczyk): S S 1+ Su 1 α/ n <σ < 1 Su 1 α/ n A rozwijając zależność od S/ n w szereg: S S u 1 α/ n <σ<s+u S 1 α / n Ten przedział jest podobny do przedziału dla x i pokazuje związek między nimi
33 Minimalna liczebność próby? σ ( S n n 3+u 1 α/, S n ) n 3 u 1 α/ Z tego przedziału (posiadając estymatę S) można orientacyjnie szacować n, ale obecność pierwiastków komplikuje obliczenia. W celu wyznaczenia n trzeba rozwiązać poniższe równanie (będzie to trójmian kwadratowy) d= σ górna σ dolna = S nu 1 α/ = k n n 3 u 1 α/ n w n min = k +4 wd + (k +4 wd ) 8w d 4 8d
34 Minimalna liczebność próby? W przypadku dużych wartości n, n dominuje mianownik (tablicowe kwantyle rozkładu normalnego zwykle są mniejsze niż 4) d = σ górna σ dolna = S nu 1 α / S n u 1 α/ n 3 u 1 α/ n d = Su 1 α/ n n= S u 1 α/ d Ten sam wzór dostaniemy z przybliżenia Sobczyka
35 Przykład Mamy próbę 10 pomiarów masy ciała uczennic na III roku studiów z wynikiem [kg]: m=[50,6,54,57,5,48,55,65,49,51]. Estymata S=5.61. Jaka powinna być szacunkowa liczebność próby, żeby uzyskać wynik z przedziałem ufności dla odchylenia standardowego d=0.5kg na poziomie ufności 1-α=0.99? Metoda uproszczona: u 1 α/ =.58 n> =40.4 Metoda zawiła: k= =0.5, w=3+.58 = n> ( ) n> 49.87
36 Przedział ufności dla wskaźnika struktury Wskaźnik struktury określa ułamek sukcesów k w całej próbie losowej n, p=k/n. Najłatwiej powiązać go z realizacjami zero-jedynkowej zmiennej losowej o prawdopodobieństwie P(1)=p, P(0)=q=1-p. Dla takiego rozkładu EX=p, D X=pq=p(1-p). Ścisły opis rozkładu prawdopodobieństwa k sukcesów w próbie o długości n określa rozkład Bernoulliego. Dla większych n, wskaźnik struktury, jako średnia z sumy n zmiennych X i /n zmierza do rozkładu normalnego N(p, p(1-p)/n). (wariancja wynika z wariancji średniej).
37 Przedział ufności dla wskaźnika struktury- podejście zawiłe Dla większych n (Krysicki, n>100), wskaźnik struktury, jako średnia z sumy n zmiennych X i /n zmierza do rozkładu normalnego N(p, p(1-p)/n). Rozważamy znormalizowaną statystykę: ( k n p ) / p (1 p) = k np n np (1 p) k np np(1 p) (u α/,u 1 α / ) wyznaczamy graniczne p z nierówności k np np(1 p) <u 1 α/ p ( A (B C), A(B +C)) A=n/[n+u 1 α/ C= 1 n k (n k) n ], B=K /n+[u 1 α/ + u 1 α/ 4 u 1 α/ ]/ n
38 Przedział ufności dla wskaźnika struktury - łatwiejsze Dla jeszcze większych n (Sobczyk nawet podaje tak samo: n>100), w poprzedniej statystyce możemy próbować oszacować p w mianowniku za pomocą ilorazu k/n. Wzory się upraszczają i można łatwo wyliczyć minimalną liczebność próby. k np np(1 p) p ( k n u 1 α/ k kn k n ( 1 k n ) n p n ( 1 k n ) n N (0,1) k, k n +u 1 α/ n ( 1 k n) n )
39 Przykład: procent poparcia w sondażu politycznym Wśród 1000 ankietowanych partia polityczna uzyskała 35 głosów (p=0.35). Jaki przedział wskaźnika struktury odpowiada temu wynikowi na poziomie ufności 95%? p=0.35± (1 0.35) 1000 p=0.35±0.08 p=3.5 %±.8%
40 Przykład: procent poparcia w sondażu politycznym Wśród 1000 ankietowanych partia polityczna uzyskała 35 głosów (p=0.35). Jaki przedział wskaźnika struktury odpowiada temu wynikowi na poziomie ufności 95%? Rozwiązanie trudniejszą metodą: A=1000/[ ], B=35 /1000 +[1.96 ]/000 C = (675) A=0.998, B=0.36,C=0.09 p= AB± AC=3.5 %±.9 %
41 Minimalna liczebność próby W związku ze znacznym uwikłaniem n w wyrażeniu na szerokość przedziału, aby nie rozwiązywać równań trzeciego stopnia, Sobczyk proponuje następujące oszacowanie minimalnej liczebności próby, zakładając że iloraz k/n nie zależy już od n: p ( k n u 1 α/ k n ( 1 k n ) n d u 1 α / n k u 1 α/ k, k n +u 1 α/ k ( n 1 k ) n n n ( 1 k n) d n ( 1 k n) n )
42 Przykład Jak liczna musiałaby być próba, żeby oszacować poparcie dla partii na poziomie 30% z dokładnością do 0.1%? Poziom ufności 95%. n (1 0.3) =806736
43 Dwuwymiarowy obszar ufności Możliwe jest poszukiwanie przedziału ufności ze względu na dwie cechy (np. wartość oczekiwana i wariancja): takiego, ze P(x 1 I 1, x I ) = 1 - α Jeżeli zmienne są niezależne, możemy napisać: P(x 1 I 1 )P(x I ) = 1 - α I rozbić zagadnienie na dwa: P(x 1 I 1 ) = 1 α, P(x I ) = 1 - α Przy czym 1 α 1 - α/
44 Pytania Jakiemu rozkładowi podlega znormalizowana średnia gdy znamy σ? Jakiemu rozkładowi podlega znormalizowana średnia gdy mamy tylko estymatę s wariancji? Jakiemu rozkładowi podlega znormalizowana średnia dla dużej serii pomiarowej? Jakiemu rozkładowi podlega wariancja? Jakiemu rozkładowi podlega wskaźnik struktury? Co to jest przedział ufności?
Wnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5
Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz.
LABORATORIUM 4 1. Populacja Generalna (PG) 2. Próba (P n ) 3. Kryterium 3σ 4. Błąd Średniej Arytmetycznej 5. Estymatory 6. Teoria Estymacji (cz. I) WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE (STATISTICAL INFERENCE) Populacja
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów rozkładu cechy
Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział
Bardziej szczegółowoEstymacja punktowa i przedziałowa
Temat: Estymacja punktowa i przedziałowa Kody znaków: żółte wyróżnienie nowe pojęcie czerwony uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia 1. Statystyczny opis próby. Idea estymacji punktowej pojęcie estymatora
Bardziej szczegółowo1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa
1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową X wartości mniejszej od x, tzn. F (x) = P [X < x]. 1. dla zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 7 i 8 1 / 9 EFEKTYWNOŚĆ ESTYMATORÓW, próba
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Bardziej szczegółowoWykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Bardziej szczegółowoOszacowanie i rozkład t
Oszacowanie i rozkład t Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Oszacowanie i rozkład t 1 / 31 Oszacowanie 1 Na podstawie danych z próby szacuje się wiele wartości w populacji, np.: jakie jest poparcie
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Było: Estymacja parametrów rozkładu teoretycznego punktowa przedziałowa Przykład. Cecha X masa owocu pewnej odmiany. ZałoŜenie: cecha X ma w populacji rozkład
Bardziej szczegółowoTablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych
Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW
ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI Szkic wykładu Wprowadzenie 1 Wprowadzenie 2 3 4 Przypomnienie dotychczasowych rozważań Przedziałem ufności nazywamy przedział losowy, o którym przypuszczamy
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II
WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów). PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak
Bardziej szczegółowoZad. 4 Należy określić rodzaj testu (jedno czy dwustronny) oraz wartości krytyczne z lub t dla określonych hipotez i ich poziomów istotności:
Zadania ze statystyki cz. 7. Zad.1 Z populacji wyłoniono próbę wielkości 64 jednostek. Średnia arytmetyczna wartość cechy wyniosła 110, zaś odchylenie standardowe 16. Należy wyznaczyć przedział ufności
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2
LABORATORIUM 6 ESTYMACJA cz. 2 TEORIA ESTYMACJI I 1. ODRZUCANIE WYNIKÓW WĄTPLIWYCH PRÓBA P (m) (m-elementowa) Obliczenie: ; s bez wyników wątpliwych Odrzucenie wyników z poza przedziału: 3s PRÓBA LOSOWA
Bardziej szczegółowoBłędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie
Bardziej szczegółowoLISTA 4. 7.Przy sporządzaniu skali magnetometru dokonano 10 niezależnych pomiarów
LISTA 4 1.Na pewnym obszarze dokonano 40 pomiarów grubości warstwy piasku otrzymując w m.: 54, 58, 64, 69, 61, 56, 41, 48, 56, 61, 70, 55, 46, 57, 70, 55, 47, 62, 55, 60, 54,57,65,60,53,54, 49,58,62,59,55,50,58,
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r
Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoHipotezy statystyczne
Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o którego prawdziwości lub fałszywości wnioskuje się na podstawie pobranej próbki losowej. Hipotezy
Bardziej szczegółowoWykład 3 Hipotezy statystyczne
Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD października 2009
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 26 października 2009 Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ (X µ) 2 { (x µ) 2 exp 1 ( ) } x µ 2 dx 2 σ Rozkład N(µ, σ). Estymacja σ σ 2 = 1 σ 2π + = E µ,σ
Bardziej szczegółowoStatystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.
Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i rozkład normalny cd.
# # Prawdopodobieństwo i rozkład normalny cd. Michał Daszykowski, Ivana Stanimirova Instytut Chemii Uniwersytet Śląski w Katowicach Ul. Szkolna 9 40-006 Katowice E-mail: www: mdaszyk@us.edu.pl istanimi@us.edu.pl
Bardziej szczegółowoBADANIE POWTARZALNOŚCI PRZYRZĄDU POMIAROWEGO
Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych P o l i t e c h n i k a P o z n ańska ul. Jana Pawła II 24 60-965 POZNAŃ (budynek Centrum Mechatroniki, Biomechaniki i Nanoinżynierii) www.zmisp.mt.put.poznan.pl
Bardziej szczegółowo1 Estymacja przedziałowa
1 Estymacja przedziałowa 1. PRZEDZIAŁY UFNOŚCI DLA ŚREDNIEJ (a) MODEL I Badana cecha ma rozkład normalny N(µ, σ) o nieznanym parametrze µ i znanym σ. Przedział ufności: [ ( µ x u 1 α ) ( σn ; x + u 1 α
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne
Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy
Bardziej szczegółowoAnaliza niepewności pomiarów
Teoria pomiarów Analiza niepewności pomiarów Zagadnienia statystyki matematycznej Dr hab. inż. Paweł Majda www.pmajda.zut.edu.pl Podstawy statystyki matematycznej Histogram oraz wielobok liczebności zmiennej
Bardziej szczegółowoHISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =
HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA LISTA 10 1.Dokonano 8 pomiarów pewnej odległości (w m) i otrzymano: 201, 195, 207, 203, 191, 208, 198, 210. Wiedząc,że błąd pomiaru ma rozkład normalny
Bardziej szczegółowoBADANIE POWTARZALNOŚCI PRZYRZĄDU POMIAROWEGO
Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych P o l i t e c h n i k a P o z n ańska ul Jana Pawła II 24 60-965 POZNAŃ budynek Centrum Mechatroniki, iomechaniki i Nanoinżynierii) wwwzmispmtputpoznanpl tel +48
Bardziej szczegółowoStatystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.
Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru
Bardziej szczegółowoWstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 4. Statystyki i estymacja parametrów dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh, Katedra Elektroniki, WIET AGH Wstęp do probabilistyki i statystyki. Wykład 4
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych
Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012
Bardziej szczegółowoStatystyka w przykładach
w przykładach Tomasz Mostowski Zajęcia 10.04.2008 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Plan Estymatory 1 Estymatory 2 Własności estymatorów Zazwyczaj w badaniach potrzebujemy oszacować pewne parametry na podstawie
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej
Bardziej szczegółowoStatystyka. Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez. Wykład III ( )
Statystyka Rozkład prawdopodobieństwa Testowanie hipotez Wykład III (04.01.2016) Rozkład t-studenta Rozkład T jest rozkładem pomocniczym we wnioskowaniu statystycznym; stosuje się go wyznaczenia przedziału
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa. Przedział ufności
Estymacja przedziałowa Przedział ufności Estymacja przedziałowa jest to szacowanie wartości danego parametru populacji, ρ za pomocą tak zwanego przedziału ufności. Przedziałem ufności nazywamy taki przedział
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby. Statystyka
Rozkłady statystyk z próby tatystyka Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających ten
Bardziej szczegółowoDokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby
Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,
Bardziej szczegółowo1.1 Wstęp Literatura... 1
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................
Bardziej szczegółowoVI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
VI WYKŁAD STATYSTYKA 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 6 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności, zasady
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE
STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących
Bardziej szczegółowoPobieranie prób i rozkład z próby
Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.
Bardziej szczegółowoWYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej
WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 3 1 / 8 ZADANIE z rachunku
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. Testowanie hipotez Estymacja parametrów
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 Testowanie hipotez Estymacja parametrów WSTĘP 1. Testowanie hipotez Błędy związane z testowaniem hipotez Etapy testowana hipotez Testowanie wielokrotne 2. Estymacja parametrów
Bardziej szczegółowoSzczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. Wysuwamy hipotezy: zerową (podstawową H ( θ = θ i alternatywną H, która ma jedną z
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski
Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW STATYSTYKA to nauka, której przedmiotem
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład V. Parametryczne testy istotności
Statystyka matematyczna. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich w dwóch populacjach 2 3 Weryfikacja hipotezy o równości wartości średnich
Bardziej szczegółowoVII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
VII WYKŁAD STATYSTYKA 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 7 (c.d) WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności,
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 8 Magdalena Alama-Bućko 7 maja 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 7 maja 2018 1 / 19 Przypomnijmy najpierw omówione na poprzednim wykładzie postaci przedziałów
Bardziej szczegółowoPrzedziały ufności. Poziom istotności = α (zwykle 0.05) Poziom ufności = 1 α Przedział ufności dla parametru μ = taki przedział [a,b], dla którego
Przedziały ufności Poziom istotności = α (zwykle 0.05) Poziom ufności = 1 α Przedział ufności dla parametru μ = taki przedział [a,b], dla którego czyli P( μ [a,b] ) = 1 α P( μ < a ) = α/2 P( μ > b ) =
Bardziej szczegółowoIdea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość
Idea Niech θ oznacza parametr modelu statystycznego. Dotychczasowe rozważania dotyczyły metod estymacji tego parametru. Teraz zamiast szacować nieznaną wartość parametru będziemy weryfikowali hipotezę
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Temat Testowanie hipotez statystycznych Kody znaków: Ŝółte wyróŝnienie nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz 1 Zagadnienia omawiane na zajęciach 1. Idea i pojęcia teorii testowania hipotez
Bardziej szczegółowo... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).
Egzamin ze Statystyki Matematycznej, WNE UW, wrzesień 016, zestaw B Odpowiedzi i szkice rozwiązań 1. Zbadano koszt 7 noclegów dla 4-osobowej rodziny (kwatery) nad morzem w sezonie letnim 014 i 015. Wylosowano
Bardziej szczegółowoRozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia.
Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia. D A R I U S Z P I W C Z Y Ń S K I 2 2 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ Polega na przyporządkowaniu
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych
Agenda Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 2 stycznia 2012 Agenda Agenda 1 Wprowadzenie Agenda 2 Hipoteza oraz błędy I i II rodzaju Hipoteza alternatywna Statystyka testowa Zbiór krytyczny Poziom
Bardziej szczegółowoWnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez. Statystyka
Wnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez Statystyka Co nazywamy hipotezą Każde stwierdzenie o parametrach rozkładu lub rozkładzie zmiennej losowej w populacji nazywać będziemy hipotezą statystyczną
Bardziej szczegółowoStatystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28
Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 2 Przedziały ufności i estymacja przedziałowa ZADANIE DOMOWE. www.etrapez.pl Strona 1
KUR TATYTYKA Lekcja Przedziały ufności i estymacja przedziałowa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl trona 1 Część 1: TET Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 We wnioskowaniu statystycznym
Bardziej szczegółowoMetody Statystyczne. Metody Statystyczne.
gkrol@wz.uw.edu.pl #4 1 Sprawdzian! 5 listopada (ok. 45-60 minut): - Skale pomiarowe - Zmienne ciągłe i dyskretne - Rozkład teoretyczny i empiryczny - Miary tendencji centralnej i rozproszenia - Standaryzacja
Bardziej szczegółowoTeoria Estymacji. Do Powyżej
Teoria Estymacji Zad.1. W pewnym przedsiębiorstwie wylosowano niezależnie próbę 25 pracowników. Staż pracy (w latach) tych pracowników w 1996 roku był następujący: 37; 34; 0*; 5; 17; 17; 0*; 2; 24; 33;
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE
STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE 1 W trakcie badania obliczono wartości średniej (15,4), mediany (13,6) oraz dominanty (10,0). Określ typ asymetrii rozkładu. 2 Wymień 3 cechy rozkładu Gauss
Bardziej szczegółowoSzczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki, cz.6
Zadania ze statystyki, cz.6 Zad.1 Proszę wskazać, jaką część pola pod krzywą normalną wyznaczają wartości Z rozkładu dystrybuanty rozkładu normalnego: - Z > 1,25 - Z > 2,23 - Z < -1,23 - Z > -1,16 - Z
Bardziej szczegółowoEstymacja parametro w 1
Estymacja parametro w 1 1 Estymacja punktowa: średniej, odchylenia standardowego i frakcji µ - średnia populacji h średnia z próby jest estymatorem średniej populacji = - standardowy błąd estymacji średniej
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych
Bardziej szczegółowoRozkład normalny. Marcin Zajenkowski. Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26
Rozkład normalny Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Rozkład normalny 1 / 26 Rozkład normalny Krzywa normalna, krzywa Gaussa, rozkład normalny Rozkłady liczebności wielu pomiarów fizycznych, biologicznych
Bardziej szczegółowoZwiększenie wartości zmiennej losowej o wartość stałą: Y=X+a EY=EX+a D 2 Y=D 2 X
Własności EX, D 2 X i DX przy przekształceniach liniowych Zwiększenie wartości zmiennej losowej o wartość stałą: Y=X+a EY=EX+a D 2 Y=D 2 X Przemnożenie wartości zmiennej losowej przez wartość stałą: Y=a*X
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 4 Wrocław, 17 października 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących wartości oczekiwanej w dwóch populacjach o rozkładach normalnych. Model 3. Porównanie średnich
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 6 Wrocław, 7 listopada 2011 Temat. Weryfikacja hipotez statystycznych dotyczących proporcji. Test dla proporcji. Niech X 1,..., X n będzie próbą statystyczną z 0-1. Oznaczmy odpowiednio
Bardziej szczegółowoRÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH
RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych
Bardziej szczegółowoUwaga. Decyzje brzmią różnie! Testy parametryczne dotyczące nieznanej wartości
TESTOWANIE HIPOTEZ Przez hipotezę statystyczną rozumiemy, najogólniej mówiąc, pewną wypowiedź na temat rozkładu, z którego pochodzi próbka. Hipotezy dzielimy na parametryczne i nieparametryczne. Parametrycznymi
Bardziej szczegółowoCentralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Bardziej szczegółowoTemat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1
Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, że 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski Metody analizy danych ćwiczenia Estymacja przedziałowa Program ćwiczeń obejmuje następująca zadania: 1. Dom handlowy prowadzący
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
29 marca 2011 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.
Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde
Bardziej szczegółowo), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0
Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
31 marca 2014 Przestrzeń statystyczna - podstawowe zadania statystyki Zdarzeniom losowym określonym na pewnej przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω można zazwyczaj na wiele różnych sposobów przypisać jakieś
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 13. Elementy statystki matematycznej I Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 17.01.2019 1 / 30 Zagadnienia statystki Przeprowadzamy
Bardziej szczegółowoZaliczenie. Ćwiczenia (zaliczenie = min. 15 punktów)
Zaliczenie Ćwiczenia (zaliczenie = min. 15 punktów) Kolokwium (8/10 czerwca) = maks. 30 punktów Dwa zadania z listy pod linkiem = maks. 1 punkt http://www.fuw.edu.pl/~prozanski/ws/upload/20150415-zadania.php
Bardziej szczegółowoWydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03
Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy
Bardziej szczegółowoWERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH I. TESTY PARAMETRYCZNE II. III. WERYFIKACJA HIPOTEZ O WARTOŚCIACH ŚREDNICH DWÓCH POPULACJI TESTY ZGODNOŚCI Rozwiązania zadań wykonywanych w Statistice przedstaw w pliku
Bardziej szczegółowoSMOP - wykład. Rozkład normalny zasady przenoszenia błędów. Ewa Pawelec
SMOP - wykład Rozkład normalny zasady przenoszenia błędów Ewa Pawelec 1 iepewność dla rozkładu norm. Zamiast dodawania całych zakresów uwzględniamy prawdopodobieństwo trafienia dwóch wartości: P x 1, x
Bardziej szczegółowo