POLECAMY Matematyka nowa matura - zagadnienia teoretyczne wraz z przykładami cz.i. To książka dla wszystkich maturzystów, zdających nową maturę z matematyki na poziomie podstawowym i rozszerzonym. Jasne i zwięzłe przedstawienie materiału, który jest obrazowany licznymi przykładami sprawi, że nawet najbardziej skomplikowane zadnie stanie się banalnie proste. Książka obejmuje wszystkie zagadnienia obowiązujące na egzaminie maturalnym z matematyki, zarówno na poziomie podstawowym jak i rozszerzonym, tj. podstawowe działania (procenty, średnie, wykresy i diagramy), funkcja liniowa i kwadratowa, wielomiany, równania i nierówności algebraiczne, funkcja wykładnicza, funkcja logarytmiczna, funkcje trygonometryczne, funkcje cyklometryczne, elementy logiki indukcja matematyczna, dwumian Newtona, ciągi liczbowe, funkcja i rachunek różniczkowy, planimetria, stereometria, geometria analityczna, przekształcenia geometryczne na płaszczyźnie, kombinatoryka, rachunek prawdopodobieństwa i zmienna losowa oraz elementy statystyki. Nieocenioną pomocą dla sprawdzenia swojej wiedzy jest II część Matematyka nowa matura 00 zadań z pełnymi rozwiązaniami i komentarzami. Książka zawiera 00 zadań z pełnymi rozwiązaniami i komentarzami. Jest to jedyna taka publikacja na rynku, zawierająca tak ogromną bazę zadań. Zadania zostały ułożone działami matematyki i obejmują poziom podstawowy i rozszerzony. Obydwie książki stanowią integralną całość ale zakupić je można osobno. Autorzy obu pozycji z matematyki są przekonani, że dzięki tym obu książkom maturzysta nabędzie umiejętności rozumienia i rozwiązywania zadań z tej, całkiem przyjemnej, dziedziny, jaką jest matematyka. A co najważniejsze skutecznie przygotuje się do egzaminu maturalnego. Wydawnictwo: Centrum Kształcenia Akademickiego CKA Wydanie: drugie wrzesień 005 Format: A5 Ilość stron: 46 Cena detaliczna: 35,- PLN ISBN: 83-9839-3-3
Matematyka nowa matura - 00 zadań z pełnymi rozwiązaniami i komentarzami cz.ii. Książka zawiera 00 zadań z pełnymi rozwiązaniami i komentarzami. Jest to jedyna taka publikacja na rynku, zawierająca tak ogromną bazę zadań przeznaczoną do przygotowania się do nowej matury z matematyki. Zadania zostały ułożone działami matematyki i obejmują poziom podstawowy i rozszerzony. Doskonałym uzupełnieniem drugiej części książki jest Matematyka nowa matura - zagadnienia teoretyczne wraz z przykładami cz. gdzie zawarta jest teoria niezbędna do rozwiązywania zadań. Obydwie książki stanowią integralną całość ale zakupić je można osobno. Autorzy obu pozycji z matematyki są przekonani, że dzięki tym obu książkom maturzysta nabędzie umiejętności rozumienia i rozwiązywania zadań z tej, całkiem przyjemnej, dziedziny, jaką jest matematyka. A co najważniejsze skutecznie przygotuje się do egzaminu maturalnego. Wydawnictwo: Centrum Kształcenia Akademickiego CKA Wydanie: drugie wrzesień 005 Format: A5 Wydanie: drugie wrzesień 005 Ilość stron: 60 Cena detaliczna: 49,90 PLN ISBN: 83-9839-4- Książki można zamówić na naszej stronie internetowej w korzystnych cenach!
Matematyka 63 oryginalnych zadań maturalnych z pełnymi rozwiązaniami i komentarzami. Książka zawiera 63 oryginalnych zadań maturalnych z matematyki z lat 004 006 z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Publikowane zadania, stanowiące niezastąpioną bazę zadań, pochodzą ze wszystkich przeprowadzonych dotychczasowo egzaminów maturalnych tj.: próbne egzaminy maturalne, przeprowadzone przez Okręgowe Komisje Egzaminacyjne w Jaworznie, Warszawie, Poznaniu, Krakowie i Wrocławiu (004), próbny egzamin maturalny (grudzień 005), egzamin maturalny (styczeń 006), egzamin maturalny (maj 005), egzamin maturalny (maj 006). Dla ułatwienia korzystania z publikacji, zadania zostały ułożone według głównych działów matematyki, z wyraźnym odznaczeniem zadań na poziom podstawowy i rozszerzony: podstawowe działania na liczbach rzeczywistych, funkcje jednej zmiennej, analiza matematyczna: ciągi liczbowe, rachunek różniczkowy, metody optymalizacji, geometria, rachunek prawdopodobieństwa ze statystyką; procent składany. Niniejsza publikacja stanowi doskonały materiał do treningu dla uczniów szkół średnich, zdających matematykę na egzaminie maturalnym i pozwoli zorientować się, czego można się spodziewać na egzaminie maturalnym z matematyki. Do książki dołączono, w postaci książeczki, zestaw wybranych wzorów matematycznych opracowany i dopuszczony przez Centralną Komisję Egzaminacyjną. Stanowi on dokładne odzwierciedlenie oryginalnego zestawu, z którego maturzysta korzysta na egzaminie maturalnym z matematyki. W każdej książce znajduje się zestaw wybranych wzorów matematycznych! Autor: Artur Nowoświat Wydawnictwo: Centrum Kształcenia Akademickiego CKA Wydanie: pierwsze sierpień 006 Format: B5 Ilość stron: 34 Cena detaliczna: 9,90 PLN ISBN: 83 6006 03 Informacje i zamówienia:
PRÓBNA MATURA 006 Matematyka Arkusz II PEŁNE rozwiązania zadań. 7 listopada 006 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 80 minut ZADANIE. (5 pkt) Funkcja homograficzna f jest określona wzorem f ( x) = px 3, gdzie p R jest parametrem x p i p 3. a) Dla rzeczywistymi p = zapisz wzór funkcji w postaci ( ) m f x = k +, gdzie k oraz m są liczbami x b) Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których w przedziale ( p, + ) funkcja f jest malejąca. ZADANIE. (5 pkt) Wyznacz wszystkie wartości k R, dla których pierwiastki wielomianu ( ) ( 8 ) ( ) W x = x x+ x k są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego ZADANIE 3. (4 pkt) Na rysunku poniżej przedstawiono wykres funkcji logarytmicznej f. Rozwiąż równanie ( f ( x) ) 6 = 0. CKA 006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka rozwiązania zadań Arkusz II strona
ZADANIE 4. (7 pkt) Trójkąt prostokątny ABC, w którym 0 BCA = 90 i 0 CAB = 30, jest opisany na okręgu o promieniu 3. Oblicz odległość wierzchołka C trójkąta od punktu styczności tego okręgu z przeciwprostokątną. Wykonaj odpowiedni rysunek. ZADANIE 5. (3 pkt) Sporządź wykres funkcji f danej wzorem ( ) f x x x =, a następnie, korzystając z niego, podaj wszystkie wartości x, dla których funkcja f przyjmuje maksima lokalne i wszystkie wartości x, dla których przyjmuje minima lokalne. ZADANIE 6. (4 pkt) Podstawa AB trapezu ABCD jest zawarta w osi Ox, wierzchołek D jest punktem przecięcia paraboli o równaniu = + + 6 z osią Oy. Pozostałe wierzchołki trapezu również leżą na tej 3 y x x paraboli (patrz rysunek). Oblicz pole trapezu. ZADANIE 7. (3 pkt) Wyznacz wszystkie rozwiązania równania cos x = cos x należące do przedziału 0,π. CKA 006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka rozwiązania zadań Arkusz II strona
ZADANIE 8. (4 pkt) Uczeń analizował własności funkcji f, której dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i która ma pochodną f ( x) f dla każdego x R. Wyniki tej analizy zapisał w tabeli. x (, ) (,) (,3 ) 3 ( 3, + ) ( x) ( + ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) f ( x ) Niestety, wpisując znaki pochodnej, popełnił jeden błąd. a) Przekreśl błędnie wpisany znak pochodnej i wstaw obok prawidłowy. b) Napisz, czy po poprawieniu błędu w tabeli, zawarte w niej dane pozwolą określić dokładną liczbę miejsc zerowych funkcji f. Uzasadniając swoją odpowiedź możesz naszkicować przykładowe wykresy funkcji. ZADANIE 9. (3 pkt) Niech A Ω i B Ω będą zdarzeniami losowymi. Mając dane prawdopodobieństwa zdarzeń: P( A ) = 0,5, ( ) 0,4 P B = i P( AB ) = 0,3. Zbadaj, czy A i B są zdarzeniami niezależnymi. ZADANIE 0. (5 pkt) Ciąg liczbowy ( a n ) jest określony dla każdej liczby naturalnej n wzorem ( an) ( n 3)( p ) =, gdzie p R. a) Wykaż, że dla każdej wartości p ciąg ( a n ) jest arytmetyczny. b) Dla p = oblicz sumę a0 + a + + a40. c) Wyznacz wszystkie wartości p, dla których ciąg ( ) n b określony wzorem bn = an pn jest stały. ZADANIE. (3 pkt) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej n > największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność x 3nx + n < 0 o niewiadomej x. Wyznacz wzór funkcji f. CKA 006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka rozwiązania zadań Arkusz II strona 3
ZADANIE. (4 pkt) Dwa okręgi, każdy o promieniu 8, są styczne zewnętrznie. Ze środka jednego z nich poprowadzono styczne do drugiego okręgu. Oblicz pole zacienionej figury (patrz rysunek). CKA 006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka rozwiązania zadań Arkusz II strona 4
ROZWIĄZANIA ZADAŃ ROZWIĄZANIE ZADANIA. a) Dla p = mamy: f ( x) b) I sposób x 3 x = = = + x x x Funkcja homograficzna postaci f ( x) ax+ b = cx+ d jest malejąca w przedziale ( p, + ), gdy ramiona hiperboli, będącej wykresem tej funkcji leżą w I i III ćwiartce. Zachodzi to wtedy, gdy spełniony jest warunek: ad cb < 0. W naszym przypadku zachodzić ma warunek: ( p) ( ) p 3 < 0, p + 3< 0, p 3 > 0, ( p )( p ) 3 + 3 > 0. Rozwiązaniem ostatniej nierówności jest zbiór: p (, 3 ) ( 3, + ). II sposób Funkcja jest malejąca w przedziałach w których jej pochodna przyjmuje wartości ujemne. Mamy zatem: ( x) ( ) ( ) + + ( x p) ( x p) ( x p) p x p px 3 px p px 3 p 3 f = = = Zatem spełniony ma być warunek: p + 3< 0. Warunek ten otrzymaliśmy w sposobie I i prowadzi on do rozwiązania Odp. p (, 3 ) ( 3, + ). ROZWIĄZANIE ZADANIA Wyznaczamy pierwiastki wielomianu: x x x k 8 + = 0 = 0. Rozwiązując równanie drugie otrzymujemy x Rozwiązujemy równanie pierwsze: = k. 8 4 8+ 4 = 64 48 = 6, x = =, x = = 6. CKA 006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka rozwiązania zadań Arkusz II strona 5
Pierwiastki wielomianu są trzema kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego, gdy są ustawione w kolejności:,6, k lub k,,6 lub, k,6 i spełniony jest warunek: 6 6 6 lub lub = k k 6 k = = k. Mamy stąd k = 8 lub k = lub k = 3. 3 ROZWIĄZANIE ZADANIA 3 Mamy rozwiązać równanie: ( ( )) 6 f x =, stąd f ( x) f ( x) = 4 lub = 4. Wyznaczamy postać funkcji logarytmicznej f ( x) = log a x. Ponieważ funkcja przedstawiona na wykresie jest malejąca, więc 0 < a <. Ponadto do wykresu funkcji należy punkt ( 4, ). Zatem = loga 4, stąd na podstawie definicji logarytmu mamy: a = 4 skąd Ostatecznie = 4, a = lub =. a a a = lub a = - sprzeczność. f x = log x. Mamy więc ( ) Wracamy do rozwiązywania równania: log x = 4 lub log x = 4. Na podstawie definicji logarytmu: 4 4 x = lub x =. Odp. x = 6 lub x =. 6 CKA 006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka rozwiązania zadań Arkusz II strona 6
ROZWIĄZANIE ZADANIA 4 C R S O 60 A P B W celu obliczenia długości CP wyznaczamy kąt COP i długość CO, a następnie wykorzystując twierdzenie cosinusów dla trójkąta COP znajdziemy szukaną długość. Dwusieczna CO dzieli kąt prosty ACB na pół, zatem 0 OCA = 45. Ponieważ dwusieczna AS dzieli kąt BAC na pół, więc 0 BAS = ABS = 30. Suma kątów w trójkącie AOC (jak w każdym innym trójkącie) jest równa 80 0, zatem: 0 0 0 AOC = 80 75 = 05. Pozostało do wyznaczenia długość CO. Stosując twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta COR, mamy: OR + CR = CO. Jak wcześniej wykazaliśmy trójkąt COR jest prostokątny równoramienny, więc: CR = OR = r = 3. Zatem: ( 3) ( 3) CO = +, CO = 6, CO = 6. Natomiast OP = r = 3. Stosując twierdzenie cosinusów dla trójkąta COP mamy 0 CP = OP + OC OP OC cos65 ( ) 0 0 CP = 3+ 6 3 6 cos 50 + 5 Wyznaczamy wartość CKA 006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka rozwiązania zadań Arkusz II strona 7
( ) 0 0 0 0 0 0 cos 50 + 5 = cos50 cos5 sin50 sin5, gdzie cos50 =, 0 3 sin50 = 0 0 0 0 0 0 0 0 3 6 sin5 = sin( 45 30 ) = sin45 cos30 cos45 sin30 = = 4 0 0 0 0 0 0 0 3 6 + cos5 = cos( 45 30 ) = cos45 cos30 + sin45 sin30 = + = 4 stąd 0 0 0 0 0 0 3 6 + 6 cos( 50 + 5 ) = cos50 cos5 sin50 sin5 = = 4 4 8 6 6 3 6 6 + + 6 = = = 8 8 8 8 Zatem 0 0 + 6 + 6 CP = 3+ 6 3 6 cos( 50 + 5 ) = 9+ 8 = 9+ 6 = 4 4 + 6 6 3 = 9+ = 9+ 3+ = + 3 3 4 4 Ostatecznie CP = + 3 3. ROZWIĄZANIE ZADANIA 5 Zauważmy, że funkcja f jest parzysta. Zatem wystarczy narysować wykres funkcji w przedziale x 0 i obić go symetrycznie względem osi Oy. Mamy zatem y x Zatem wykres funkcji f jest postaci jak na poniższym rysunku CKA 006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka rozwiązania zadań Arkusz II strona 8
y minimum lokalne dla x = 0, maksimum lokalne dla x = oraz x = x ROZWIĄZANIE ZADANIA 6 Punkty A i B są miejscami zerowymi funkcji y. Zatem: + + 6 = 0, x 3 x x 3x 8 = 0, Stąd = 9+ 7 = 8. x 3 9 3+ 9 = = 3, x = = 6. Stąd: AB = 6+ 3= 9. Wysokość trapezu odczytana z rysunku OD = 6. Pozostaje wyznaczyć pierwszą współrzędną punktu C x x x c, c + + 6 3. Zauważmy, że y( x ) = 6. Zatem rozwiązujemy równanie: 6 6 3 x + x + =, x x+ 3, stąd x = 0 lub Zatem pole trapezu: 0 3 x + =, czyli x = 3. DC + AB 3+ 9 S = OD = 6 = 36. CKA 006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka rozwiązania zadań Arkusz II strona 9
ROZWIĄZANIE ZADANIA 7. Rozwiązując równanie mamy: cos x cosx 0 stąd =, ( ) cosx = 0 cos x =. cosx cosx = 0, π π π Zatem x = + kπ x = + kπ x = + kπ. 3 3 Uwzględniając przedział 0,π otrzymujemy: Odp. π π 3 5 x,, π, π 3 3 ROZWIĄZANIE ZADANIA 8 Ponieważ zgodnie z tabelką w punktach (,), (, ), ( ) 3, funkcja osiąga ekstremum, oraz funkcja w przedziale (, ) musi być rosnąca (podane w tabeli prawidłowo), gdyż w przeciwnym razie w wyżej wymienionych punktach nie mogłaby osiągać ekstremów (pod warunkiem że tylko jeden znak jest błędnie wpisany w tabelce), więc przykładowe szkice wykresów funkcji są następujące: y 3 x y 3 x CKA 006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka rozwiązania zadań Arkusz II strona 0
y 3 x a) x (, ) (,) (,3 ) 3 ( 3, + ) f ( x) ( + ) 0 ( ) 0 ( ) ( + ) 0 ( ) f ( x ) b) Nie możemy wywnioskować na podstawie tabelki ile miejsc zerowych ma funkcja. Z przedstawionych przykładowych wykresów widać, że może być 4, 3, miejsca zerowe. UWAGA Skoro podana tabelka jest wynikiem analizy funkcji przeprowadzonej przez ucznia, to zauważmy, że nie ma tam nic powiedziane o asymptotach poziomych funkcji. Zatem sugerowane jest, że asymptot brak. A skoro tak, to prawidłowym wykresem jest tylko ten pierwszy. Wnioskujemy, że można powiedzieć o czterech miejscach zerowych. A jeżeli istnieją granice skończone w ±, to znaczy, że istnieją asymptoty poziome, wówczas miejsc zerowych może być 3 lub (w zależności od tego czy w + czy w nieskończoności jest granica skończona). WNIOSEK W tabelce rozwiązań, które są dostępne na stronie CKE jest sugestia, że nie można określić liczby miejsc zerowych, autor zadania sugeruje, że skoro nic o tym nie mówi, to jasne że nie wiadomo czy są asymptoty. Otóż niejasne. Kolejne zadanie którego treść jest nie przemyślana i jest niespójna z tabelką rozwiązań. ROZWIĄZANIE ZADANIA 9. Zdarzenia są niezależne, gdy zachodzi warunek: P( A B) = P( A) P( B). Zauważmy, że prawa strona równości P = 0,5 0,4 = 0,. Prawą stronę ciężko zrozumieć, bo zapis P( A\ ) różnicy zdarzeń i wówczas P( A\ B) P( A) P( A B) ( ) ( ) ( ) P A B = P A P A\ B = 0,. P( A B) = P( A) P( B). Zdarzenia są zależne B można rozumieć jak prawdopodobieństwo = wtedy Jednak w tablicach matematycznych w podobny sposób zapisuje się prawdopodobieństwo warunkowe i wtedy CKA 006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka rozwiązania zadań Arkusz II strona
Wyznaczając ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe ( ) P AB ( B) P( B) P A = prawdopodobieństwo iloczynu, mamy: L = P( A B) = P( AB) P( B) = 0,3 0,4 = 0,. Zatem P( A B) P( A) P( B) - zdarzenia nie są zależne. UWAGA Uważamy, że zadanie może wprowadzić w błąd i powinny być uznane dwa rozwiązania ROZWIĄZANIE ZADANIA 0 a) Ciąg jest arytmetyczny, gdy różnica an an jest stała. Mamy zatem: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) an an = n 3 p n 3 p = n 3 p n 4 p = = n np 6+ 3p n + np + 8 4p = p Ponieważ wartość p jest stała w zależności od p, zatem wnioskujemy, że dany ciąg jest arytmetyczny. b) Dla Zatem p = mamy a ( n 3) n =. a 0 = ( 0 3) = 34, ( ) 0 40 Stąd a0 a a40 a 40 = 40 3 = 74. a + a 34 74 + + + = = = 34. c) Ciąg jest stały gdy b = 0. Zatem n bn ( )( ) ( )( ) ( ) bn bn = n 3 p pn n 4 p p n = = n np 6+ 3p pn n + np + 8 4p + pn p = p p+ Rozwiązujemy zatem równanie p p + = 0, stąd p + p = 0. 3 Mamy zatem = + 8 = 9, p = =, p Odp. Dla p = lub p = ciąg b n jest stały. + 3 = = CKA 006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka rozwiązania zadań Arkusz II strona
ROZWIĄZANIE ZADANIA Rozwiązujemy nierówność: x 3nx + n < 0. Stąd = 9n 8n = n, x Stąd x ( n,n ) 3n n = = n, x, gdzie n N n >. 3n+ n = = n. Największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest x = n. Zatem szukana funkcja jest postaci: ( ) n f n =. ROZWIĄZANIE ZADANIA Pole zacieniowanej figury S F równa się: 6 Q P 8 α α 8 S = S S F wycinka gdzie S = S ABD. Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa Obliczamy długość boku AP trójkąta prostokątnego ABP: AP = 6 8 = 9, zatem AP = 8 3. Pole wycinka jest równe: Swycinka α = R, gdzie α 8 α π cos = =, stąd =. 6 3 Pole czworokąta równe jest: S = 8 8 3 = 64 3. Zatem S wycinka π 64 = 8 = π. 3 3 Pole szukanej figury: S F 64 π = 64 3 π = 64 3 3 3. Centrum Kształcenia Akademickiego C.K.A., Gliwice 006. Pełne rozwiązania zadań opracował zespół Centrum Kształcenia Akademickiego CKA. Nie są to oficjalne rozwiązania prezentowane przez Centralną Komisję Egzaminacyjną. Nieautoryzowane rozpowszechnianie całości lub fragmentów rozwiązań zadań w jakiejkolwiek postaci jest zabronione bez zgody CKA. Wykonywanie kopii metodą kserograficzną, fotograficzną a także kopiowanie na nośniku filmowym, magnetycznym lub innym powoduje naruszenie praw autorskich niniejszej publikacji. CKA 006. Plik pobrany ze strony www.zadania.pl - Matematyka rozwiązania zadań Arkusz II strona 3