LEKCJA 1 nauka rysowania :) Poniżej znajdują się wykresy, które wypadałoby umieć narysować, jeśli zostaniecie o to poproszeni :). Celowo nie ma tutaj za dużo teorii teorię rozwiniemy później. Na razie coś, czego trzeba się po prostu wykuć. Weź kartkę i przerysuj na spokojnie każdy z rozkładów naucz się tego na blachę :) 1. Rozkład normalny i jego różne typy: Jest to najpopularniejszy typ rozkładu w statystyce. Taki, który najczęściej się pojawia w różnych zagadnieniach. Wygląda jak dzwon. Poproszeni o narysowanie rozkładu normalnego, narysujcie to (nie pisząc żadnych znaczków, ani nie podpisując osi, bo może to wzbudzić chęć do dalszych, niewygodnych pytań): Przykładowe pytania jakie może zadać p.aranowska do tego rysunku: - Jaka wartość znajdzie się na rzędnej w najwyższym punkcie? Odp. 0,399 - Gdzie znajduje się Mediana/Modalna/Średnia? Jeśli zostaniecie poproszeni o zaznaczenie, którejś z tych wartości, to w symetrycznym rozkładzie normalnym, wszystkie trzy znajdują się na środku. Jest to tzw. punkt ciężkości rozkładu - Kto wymyślił ten wykres? Abraham de Moivre (czyt. mławr) :). Nie wolno powiedzieć, że Gauss ;) - W jakim punkcie ramiona wykresu zetkną się z osią? Pamiętajcie, że wykres ten jest asymptotyczny (dobrze zapamiętać to słowo), co oznacza, że ramiona nigdy nie zetkną się z osią. Będą dążyło to i + nieskończoności. Najczęściej prośba o narysowanie rozkładu normalnego łączy się z prośbą o narysowanie dystrybuanty. Wykres dystrybuanty wygląda tak: Generalnie nie chodzi o to, aby narysować ją super dokładnie, tylko aby na wykres nanieść takiego wężyka pamiętając, że tam gdzie wykres rozkładu leci do góry, tam wężyk leci do góry, tam gdzie wykres rozkładu spada, tam wężyk zbliża się do bycia równoległym do osi X (podłogi) :). Nie piszcie skal!
1a. Rozkład normalny prawoskośny: Najłatwiej pomylić go z lewoskośnym. Wygląda jak zwykły rozkład, tylko jest niesymetryczny (z jednej strony musi być większa górka, większe nachylenie). Wygląda tak: Aby na pewno narysować go poprawnie i nie pomylić z rozkładem lewoskośnym wyobrażamy sobie, że rozkład ten obrazuje górę i na jej szczycie stawiamy narciarza: Teraz zastanawiamy się, w którą stronę narciarz zjedzie z góry (tak, aby było łagodniej, a nie aby spadł i się zabił ;) ). Jeśli w prawo, to znaczy, że rozkład jest prawoskośny, jeśli górka byłaby skierowana w lewo lewoskośny. Całą filozofia :) Pytania: - O czym mówi nam skośność rozkładu? Odp: Skośność rozkładu informuje nas o tym, że wartości rozkładają się nierównomiernie. W przypadku rozkładu lewoskośnego oznacza to przewagę wartości wysokich. Przy rozkładzie prawoskośnym, przewagę wartości niskich. - Gdzie znajduje się Mediana/Modalna/Średnia? Odp: Tutaj zaczyna się zabawa :) Pierwszą rzecz, którą zapamiętujemy jest to, że modalna wypada w najwyższym punkcie rozkładu (zawsze!). Czyli tę jedną wartość mamy już znaną. Mediana wypadnie w punkcie, w którym jeśli postawimy linię, to pole pod wykresem po jednej stronie i po drugiej będzie takie samo. Natomiast średnia powinna być w połowie osi X. Graficznie dla rozkładu prawoskośnego prezentuje się to następująco:
Modalna Mediana Średnia Dla rozkładu lewoskośnego byłoby odwrotnie (czyli najpierw średnia, potem mediana a na końcu modalna) :) 1b. Rozkład normalny dwumodalny: Pytania o to nie było, ale jest to w programie i kto wie, kto wie może pytanie o ten dziwny rozkład padnie? ;) Rozkład dwumodalny wyglądałby tak: Jego cechą charakterystyczną jest to, że występują w nim dwie modalne (mody). 1c. Rozkład normalny leptokurtyczny / platykurtyczny: Ostatnią odmianą rozkładu normalnego są rozkłady leptokurtyczny (spiczasty) i platykurtyczny (rozpłaszczony). Mówią nam one o tym jak wyniki są rozproszone wokół średniej. Im bardziej są rozproszone, tym bardziej wykres przypomina Bukę (jest bardziej rozpłaszczony). Im mniej (czyli im bliżej są średniej), tym bardziej przypomina maczugę. Czyli jest bardziej spiczasty. Zaprezentowano to na rysunku:
Zielony wykres rozkład normalny Niebieski rozpłaszczony (platykurtyczny) Czerwony spiczasty (leptokurtyczny) Różowy nas nie interesuje ;) Nauczcie się tylko rysować, nie uczcie się wartości, które są podane na górze. 2. Rozkład Studenta (Rozkład t) Jeśli padnie prośba o narysowanie rozkładu Studenta, narysujcie zwyczajny rozkład normalny i powiedzcie magiczną formułkę: Rozkład Studenta nie jest jednym rozkładem, tylko rodziną rozkładów dla każdego stopnia swobody rozkład przyjmuje inny kształt im mniej stopni swobody, tym jest bardziej platykurtyczny (rozpłaszczony), im więcej stopni swobody, tym bardziej zbliża się do rozkładu normalnego. Wg p.aranowskiej dla grupy o liczebności większej niż 300 rozkład Studenta będzie identyczny z rozkładem normalnym. Profesjonalny rysunek rozkładów Studenta:
Gdyby padła prośba np. o narysowanie wykresu dystrybuanty dla rozkładu Studenta o 29 stopniach swobody, to z niewzruszoną miną rysujemy taki sam wykres, jak dla dystrybuanty rozkładu normalnego :) 3. Rozkład Fishera (Rozkład F) Gdyby padła prośba o narysowanie rozkładu Fishera dla ILUŚ stopni swobody, trzeba zapamiętać jeden obrazek: Jeśli jesteśmy poproszeni o narysowanie rozkładu dla 1 stopnia swobody rysujemy wykres taki jak ten, który jest narysowany czarną linią. Pamiętamy, że on też jest asymptotyczny (czyli nie styka się z osiami). Dla 2 stopni swobody rysujemy wykres od połowy (także asymptotyczny) niebieska linia Dla 3 i więcej stopni swobody rysujemy normalny rozkład prawoskośny i się niczym nie przejmujemy :) Gdyby padła prośba o narysowanie rozkładu F-Fishera dla 3 stopni swobody i zaznaczenie na rysunku wykresu dystrybuanty, wtedy rysujemy rozkład prawoskośny i dystrybuantę taką samą, jak normalnie (jak w przypadku rozkładu normalnego). W tym poleceniu, chodzi tylko o to, aby pani sprawdziła, czy wiecie jak wygląda dystrybuanta (o tym, co to jest będzie później). 3. Rozkład Chi kwadrat Po pierwsze pamiętajcie, że w statystyce wymawia się hi kwadrat. Jeśli ktoś powie czi, albo ki kwadrat, to jest to najlepsza i najłatwiejsza metoda całkowitego wyprowadzenia pani Aranowskiej z równowagi. Możecie nie znać odpowiedzi na pytania, możecie jej to powiedzieć, ale jeśli powiecie czi kwadrastopni swobody). Czasami p.aranowska prosi każdego o narysowanie rozkładu dla innej ilości stopni swobody. Czasem wyrywkowo. W każdym razie lubi o to pytać i czasami traktuje to jako pytanie ratujące :). Do rzeczy:
litera k oznacza kolejne stopnie swobody dla każdego k większego od 5 rysujemy tak, jakby k było równe 5. Nie chodzi o to, czy tak jest, chodzi o to, aby zdać p.aranowskiej to wystarczy :) Nauczcie się tego wykresu bardzo dobrze. Poniżej wykres dystrybuanty dla Chi-kwadrat (jego też trzeba się nauczyć):
4. Rozkład r-pearsona To bardzo podchwytliwe pytanie ;). Narysuj zwyczajny rozkład normalny, tylko urwij ramiona (tak, aby nie dochodziły do końca) i napisz na dole po lewej -1, na środku 0, a po prawej 1. Powiedz, że rozkład ten przyjmuje wartości z zakresu -1 do 1. To zupełnie wystarczy :) -1 1 5. Zakończenie Na zakończenie zapamiętajcie poproszę ile procent jest od średniej do kolejnego odchylenia standardowego. To się może przydać (to też czasami jedno z pytań ratujących, albo można się pochwalić, że się wie :) ) Jak patrzeć na obrazek: Na środku znajduje się średnia, po prawej stronie jest 1σ (czyli jedno odchylenie standardowe), 2 (czyli dwa) itd. I teraz trzeba się nauczyć, że pomiędzy -1 a 1 odchyleniem standardowym znajduje się 68% całości, między -2 a 2 odchyleniem 95% itd. To koniec pierwszego pliku nie mu tu jeszcze wielkiej filozofii, ale są rzeczy, które po prostu trzeba umieć i bez tego się nie da. W drugiej części będą najważniejsze wzory, które analogicznie po prostu trzeba znać. Nie będzie ich za wiele, ani nie będą zbyt kosmate, więc spoko :) Do egzaminu jeszcze 2 tygodnie, więc na spokojnie się uda nauczyć wszystkiego. Grunt to się nie zestresować i nie powiedzieć czi kwadrat :). Całą resztę ogarniemy :) Pozdrawiam! Miki