PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE Dane będę rysował na czarno. Różne etapy konstrukcji kolorami: (w kolejności) niebieskim, zielonym, czerwonym i ewentualnie pomarańczowym i jasnozielonym. 1. Prosta prostopadła. Konstrukcja prostej prostopadłej do danej przez dany punkt. Z danego punktu zakreślamy łuk tak, by przeciął daną prostą w dwóch punktach. Z tych punktów rysujemy łuki o jednakowych promieniach. Przecięcia tych łuków wyznaczają dwa punkty. Te dwa punkty wyznaczają szukaną prostą prostopadłą. P prosta prostopadła a. Symetralna odcinka. Z końców danego odcinka zakreślamy dwa łuki o takich samych promieniach tak, by się przecięły w dwóch punktach. Te dwa punkty wyznaczają symetralną odcinka. symetralna A B
3. Proste równoległe. Konstrukcja prostej równoległej do danej i przechodzącej przez dany punkt. Możliwych jest parę sposobów. Na przykład: Konstruujemy prostą prostopadłą do danej w dowolnym miejscu tak jak opisałem to w 1. Do niej prowadzimy prostą prostopadłą przez dany punkt. Ostatnia prosta powinna być równoległa do danej. 4. Dwusieczna kąta. 1. Z wierzchołka danego kąta zakreślamy łuk tak, by przeciął ramiona kąta.. Z punktów przecięcia łuku z ramionami zakreślamy dwa łuki o jednakowych promieniach tak, by się przecięły w jednym punkcie. 3. Prowadzimy prostą przez uzyskany przed chwilą punkt i wierzchołek kąta. Ta prosta to dwusieczna. dwusieczna 5. Kąt przystający do danego kąta. Rysujemy dolne ramię przyszłego kąta. Z wierzchołka danego kąta rysujemy łuk tak, by przeciął oba ramiona. Taki sam łuk rysujemy z punktu, który będzie wierzchołkiem przystającego kąta. Odmierzamy cyrklem odległość między punktami przecięcia łuku z ramionami danego kąta. Odległość tę przenosimy na łuk poprowadzony w (przyszłym) kącie przystającym tak, by widać było punkt przecięcia. Przez wierzchołek i przed chwilą wyznaczony punkt prowadzimy prostą to drugie ramię kąta.
6. Wielokąt przystający do danego wielokąta. Na początek zajmijmy się najprostszym wielokątem trójkątem. Mamy dany trójkąt. Należy narysować trójkąt do niego przystający. Rysujemy prostą, która będzie podstawą trójkąta i odmierzamy na niej podstawę. Z jednego końca podstawy zakreślamy łuk o promieniu równym długości odpowiedniego boku trójkąta. Podobnie czynimy z drugim bokiem Łuki te przecinają się. Jest to wierzchołek trójkąta. Łączymy końce podstawy z wierzchołkiem otrzymujemy trójkąt przystający do danego. C C A B A B Każdy wielokąt można podzielić na trójkąty, więc konstrukcja wielokąta przystającego do danego sprowadza się do konstrukcji odpowiedniej ilości trójkątów rysowanych stopniowo w odpowiednich miejscach. 7. Styczna do okręgu. Konstrukcja stycznej do okręgu w danym jego punkcie jest prosta (sprowadza się do konstrukcji prostej prostopadłej) więc ją sobie darujemy. Zajmijmy się narysowaniem prostej stycznej przechodzącej przez punkt nie należący do okręgu.
Odległość dany punkt środek danego okręgu dzielimy na pół (konstrukcja symetralnej.). Chodzi o znalezienie środka tego odcinka. Rysujemy łuk o tym środku i takim promieniu, by przechodził on przez środek danego okręgu (i co za tym idzie, również przez dany punkt). Punkty przecięcia się tego łuku z okręgiem wyznaczają punkty styczności. Przez dany punkt i te punkty prowadzimy proste styczne (są dwa rozwiązania). Zastanówcie się dlaczego tak jest dobrze. B O P A 8. Okrąg styczny zewnętrznie lub wewnętrznie do danego okręgu. Konstrukcja okręgu o danym promieniu stycznego do danego okręgu w danym punkcie. Prowadzimy prostą łączącą środek danego okręgu z punktem styczności. Od punktu styczności odkładamy (na zewnątrz lub do wewnątrz, zależnie czy styczność ma być zewnętrzna czy wewnętrzna) odcinek o długości promienia szukanego okręgu. Drugi koniec tego odcinka wyznacza środek szukanego okręgu. Można go już narysować. R R 9. Styczną do dwóch okręgów. Gdy okręgi leżą na zewnątrz siebie, możliwe są cztery styczne.
3 1 Jeśli okręgi się przecinają mamy tylko styczne 1 i. Jeśli są styczne zewnętrznie, są trzy wspólne styczne. 4 3 1 Jeśli okręgi są styczne wewnętrznie, pozostaje tylko styczna 3 z powyższego rysunku. Nie ma wspólnych stycznych jeśli jeden okrąg jest położony wewnątrz drugiego. Zajmijmy się pierwszym przypadkiem. Konstrukcja stycznych 1,. Przypominam kolejność kolorów. Dane: czarny, kolejne etapy konstrukcji: niebieski, zielony, czerwony, pomarańczowy, jasnozielony. Konstruujemy odcinek o długości r r1. r promień większego okręgu, r 1 - promień mniejszego. Wewnątrz większego okręgu rysujemy okrąg o promieniu r r1 tak, by były współśrodkowe. Rysujemy styczne do okręgu o promieniu r r1 ze środka mniejszego. Konstrukcja stycznej do okręgu 8. Rysujemy proste prostopadłe (1.) do tych stycznych przez środek większego okręgu. Otrzymujemy punkty przecięcia tych prostych z większym okręgiem. Rysujemy proste prostopadłe (1.) do ostatnich prostych przez ich punkty przecięcia z okręgiem. To są szukane styczne. r 1 r r r 1 1
Konstrukcja stycznych 3, 4. Konstruujemy odcinek o długości r + r1. Rysujemy okrąg o promieniu r + r1 tak, by był współśrodkowy z okręgiem o promieniu r. Rysujemy styczne do okręgu o promieniu r + r1 ze środka mniejszego. Konstrukcja stycznej do okręgu 8. Rysujemy proste prostopadłe (1.) do tych stycznych przez środek większego okręgu. Otrzymujemy punkty przecięcia tych prostych z większym okręgiem. Rysujemy proste prostopadłe (1.) do ostatnich prostych przez ich punkty przecięcia z okręgiem. To są szukane styczne. r + r 1 r 1 r 1 r 10. Okrąg wpisany w wielokąt wypukły. Jak wiemy, środek okręgu wpisanego leży na przecięciu dwusiecznych, a konstrukcja dwusiecznej 4. 11. Okrąg opisany na wielokącie wypukłym. Środek okręgu opisanego leży na przecięciu symetralnych boków. Konstrukcja symetralnej.