Studenckie Koło Naukowe Matematyków Wydział Matematyczno-Fizyczny Politechnika Śląska 200.03.4
Motywacja wprowadzenia π Kluczowym momentem w historii liczby π było zauważenie przez starożytnych Babilończyków następującego faktu: Twierdzenie Stosunek długości obwodu koła do jego średnicy jest stały i niezależny od promienia. Z czasem liczba wyrażająca wyżej wymieniony stosunek została gruntownie zbadana i oznaczona przez grecką literę π.
Definicja π Czym jest liczba π?
Pierwsze próby obliczenia liczby π Tabelka przedstawia, w jaki sposób liczba π wydłużała się w historii: lp. Kiedy Kto Wartość przybliżenia. 900-680 p.n.e. Babilończycy 3, 2. III wiek p.n.e. Archimedes 3,4 3. 50 r. p.n.e. Ptolemeusz 3,4 4. III wiek Liu Hui 3,459 5. V wiek Zu Chongzhi 3,45926 i tak dalej, i tak dalej...
π parę wieków później W efekcie liczba π została oszacowana z dużą dokładnością. Oto pierwsze 50 cyfr po przecinku z rozwinięcia dziesiętnego liczby π: π = 3, 459265358979323846264338327950288497693993750... Nie ma tu żadnej sensownej prawidłowości!!
Niewymierność Czym jest liczba π? Przypomnijmy, że liczby naturalne to:, 2, 3,... liczba wymierna Liczbę nazywamy wymierną (dodatnią), jeżeli da się ją przedstawić w postaci ilorazu p q liczb naturalnych. Liczby wymierne mają rozwinięcie ułamkowe skończone lub okresowe (na przykład: 0, 244 lub 0, 23232323232323...).
Niewymierność Czym jest liczba π? liczba niewymierna Liczbę, która nie jest wymierna, nazywamy liczbą niewymierną. Chaos w rozwinięciu liczby π pociągnął za sobą hipotezę: liczba π jest liczbą niewymierną. W roku 76 Johann Heinrich Lambert udowodnił prawdziwości tej tezy. niewymierność Rozwinięcie liczby π jest nieskończone i nieokresowe.
Geometryczne konstrukcje liczb Niektóre liczby wymierne można skonstruować geometrycznie (na przykład dowolną liczbę wymierną, 2, 5 i tak dalej). Okazuje się, że istnieją także liczby niekonstruowalne.
Przestępność Czym jest liczba π? Rozważmy liczbę a = 5 +. Postarajmy się ją wyzerować, używając tylko potęgowania, sztucznego dodawania, odejmowania oraz mnożenia liczb naturalnych. Mamy: a 2 = ( 5 + ) 2 = 5 + 2 5 + / 6 a 2 6 = 2 5 / 2 a 4 2a 2 + 36 = 4 5 = 20 Stąd liczba 5 + spełnia równanie wielomianowe o całkowitych współczynnikach x 4 2x 2 + 6 = 0, więc nazywamy ją liczbą algebraiczną. liczba przestępna Liczbę a nazywamy przestępną, jeżeli nie istnieje równanie wielomianowe o wsp. całkowitych, które byłoby spełnione przez a.
Liczba π jest przestępna Dowód przestępności liczby π został podany w 882 roku przez Ferdinanda Lindemanna. Wynika stąd, że liczby π nie można skonstruować geometrycznie. Dzięki przestępności liczby π ostatecznie został rozwiązany antyczny problem kwadratury koła: używając cyrkla i linijki bez podziałki zbudować kwadrat o polu równemu polu danego koła. Ponieważ pole koła wyraża się wzorem P = πr 2 i π jest przestępna, więc mamy: kwadratura koła Kwadratura koła nie jest możliwa.
Nieskończoność - sposób na liczbę π Nieskończoność to potężne narzędzie, które pozwala nam obliczać przybliżoną wartość liczby π z dowolną dokładnością. 4 4 3 + 4 5 4 7 + 4 9 4 +... = π (Leibniz) 2 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7... = π 2 (Wallis) + 3 + 4 + 2 3 3 5 4 + 5 7 4 +... = π 2 (Euler)
Wzorki potworki Czym jest liczba π? Oraz bardziej wyrafinowane: π = 2 2 980 k=0 (4k)!(03+26390k) (k!) 4 396 4k (Ramanujan) 426880 0005 π = k=0 (6k)!(359409+5454034k) (3k)!(k!) 3 ( 640320) 3k (bracia Chudnovsky)
π w postaci ułamka łańcuchowego π = 3+ + 7+ 5+ + 292+ + + + 2+ + 3+ + 4+ 2+ + + 2+ 2+ 2+ 2+... Powyższe to tak zwany ułamek łańcuchowy.
π w dobie komputerów Poprzednie wzory nieskończone służą obecnie do obliczania kolejnych przybliżeń liczby π. W roku 2009 znanych było już ponad 3 biliony (3,000,000,000,000) cyfr w rozwinięciu dziesiętnym liczby π. Kolejne przybliżenia wciąż są obliczane. Obliczanie kolejnych przybliżeń π to dobry sposób na sprawdzanie rozwoju technologicznego komputerów. Obecnie przeciętny komputer potrafi w niecałą minutę obliczyć π z dokładnością do miliona miejsc po przecinku.
Sposoby zapamiętywania liczby π Istnieje wiele wierszy, pozwalających zapamiętać rozwinięcie liczby π, w których długość każdego kolejnego słowa jest równa kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym liczby π. Oto jeden z nich: Daj, o pani, o boska Mnemozyno, pi liczbę, którą też zowią ponętnie Ludolfiną, pamięci przekazać tak, by jej dowolnie oraz szybko do pomocy użyć; gdy się problemu nie da inaczej rozwiązać, pauza - to zastąpić liczbami. (myślnik oznacza 0) Nazwa ta pochodzi od imienia niemieckiego matematyka Ludolpha van Ceulena żyjącego na przełomie XVI i XVII wieku, który podał wartość liczby π z dokładnością do 35 miejsc po przecinku
Najpiękniejszy wzór matematyki Liczba π wchodzi w skład tak zwanego najpiękniejszego wzoru matematyki - szczególnego przypadku wzoru Eulera: Najpiękniejszy wzór matematyki gdzie: e iπ + = 0 e - stała Eulera (liczba niewymierna, przestępna), e 2, 782882845904523536... 0 - element neutralny dodawania - element neutralny mnożenia i - jednostka urojona (i 2 = )
Dziękuję za uwagę. Dziękuję za uwagę!