Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π

Transkrypt

1 Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

2 Wzajemne położenie prostej i okręgu Istnieją trzy możliwe wzajemne położenia prostej o równaniu y = ax + b względem okręgu o równaniu (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 :

3 Wzajemne położenie prostej i okręgu Istnieją trzy możliwe wzajemne położenia prostej o równaniu y = ax + b względem okręgu o równaniu (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 : prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych

4 Wzajemne położenie prostej i okręgu Istnieją trzy możliwe wzajemne położenia prostej o równaniu y = ax + b względem okręgu o równaniu (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 : prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych prosta i okrąg są styczne

5 Wzajemne położenie prostej i okręgu Istnieją trzy możliwe wzajemne położenia prostej o równaniu y = ax + b względem okręgu o równaniu (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 : prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych prosta i okrąg są styczne prosta przecina okrąg w dwóch punktach.

6 Wzajemne położenie prostej i okręgu Prosta czerwona: y = x, prosta zielona y = x + 2, prosta cyjan: y = x oraz okrąg o równaniu x 2 + y 2 = 1.

7 Prosta styczna do okręgu Niech dany będzie okrąg o równaniu (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2. Wtedy równanie prostej stycznej do niego w punkcie P(x 1, y 1 ) ma postać (x 1 x 0 )(x x 0 ) r 2 + (y 1 y 0 )(y y 0 ) r 2 = 1

8 Wzajemne położenie dwóch okręgów Istnieje kilka możliwości wzajemnego położenia dwóch okręgów.

9 Wzajemne położenie dwóch okręgów Istnieje kilka możliwości wzajemnego położenia dwóch okręgów. Okręgi przecinające się mają dwa punkty wspólne. Występuje to w przypadku gdy r 1 r 2 < d(a, B) < r 1 + r 2 gdzie r 1, r 2 to odpowiednio długości promieni poszczególnych okręgów, a d(a, B) oznacza odległość pomiędzy punktem A i B (tutaj: środków okręgu.

10 Wzajemne położenie dwóch okręgów Okręgi mogą mieć ze sobą jeden punkt wspólny. Mówimy, że są to okręgi styczne:

11 Wzajemne położenie dwóch okręgów Okręgi mogą mieć ze sobą jeden punkt wspólny. Mówimy, że są to okręgi styczne: zewnętrznie: d(a, B) = r 1 + r 2

12 Wzajemne położenie dwóch okręgów Okręgi mogą mieć ze sobą jeden punkt wspólny. Mówimy, że są to okręgi styczne: zewnętrznie: d(a, B) = r 1 + r 2 wewnętrznie: d(a, B) = r 1 r 2

13 Wzajemne położenie dwóch okręgów Okręgi mogą nie mieć ze sobą punktów wspólnych. Mówimy, że są to okręgi rozłączne:

14 Wzajemne położenie dwóch okręgów Okręgi mogą nie mieć ze sobą punktów wspólnych. Mówimy, że są to okręgi rozłączne: zewnętrznie: d(a, B) > r 1 + r 2

15 Wzajemne położenie dwóch okręgów Okręgi mogą nie mieć ze sobą punktów wspólnych. Mówimy, że są to okręgi rozłączne: zewnętrznie: d(a, B) > r 1 + r 2 wewnętrznie: d(a, B) < r 1 r 2

16 Wzajemne położenie dwóch okręgów Okręgi mogą nie mieć ze sobą punktów wspólnych. Mówimy, że są to okręgi rozłączne: zewnętrznie: d(a, B) > r 1 + r 2 wewnętrznie: d(a, B) < r 1 r 2 Szczególnym przypadkiem okręgów rozłącznych wewnętrznie są okręgi współśrodkowe, gdy d(a, B) = 0, r 1 r 2.

17 Liczba π W wielu obliczeniach pojawia się liczba π.

18 Liczba π W wielu obliczeniach pojawia się liczba π. π = S 2r gdzie S oznacza długość obwodu okręgu. π 3,

19 Krótka historia liczby π Symbol π został oficjalnie wprowadzony do matematyki przez Williama Jonesa w 1706 roku. Jest to pierwsza litera greckiego słowa περιµετ ρoν, co oznacza obwód.

20 Krótka historia liczby π Symbol π został oficjalnie wprowadzony do matematyki przez Williama Jonesa w 1706 roku. Jest to pierwsza litera greckiego słowa περιµετ ρoν, co oznacza obwód.

21 Krótka historia liczby π Symbol π został oficjalnie wprowadzony do matematyki przez Williama Jonesa w 1706 roku. Jest to pierwsza litera greckiego słowa περιµετ ρoν, co oznacza obwód. W starożytnej Babilonii stosowano przybliżenie π 3. Potem wyznaczono dokładniejszą wartość: π

22 Archimedes Matematykiem, który jako pierwszy opisał metodę przybliżania wartości liczby π był Archimedes. Skonstruował on ciąg wielokątów foremnych wpisanych i opisanych na okręgu. Niech S n będzie obwodem n-kąta opisanego na okręgu o średnicy jednostkowej, zaś s n obwodem n-kąta wpisanego w ten okrąg. Jeśli ilość boków n to wtedy obie wartości dążą do tej samej liczby:

23 Archimedes Matematykiem, który jako pierwszy opisał metodę przybliżania wartości liczby π był Archimedes. Skonstruował on ciąg wielokątów foremnych wpisanych i opisanych na okręgu. Niech S n będzie obwodem n-kąta opisanego na okręgu o średnicy jednostkowej, zaś s n obwodem n-kąta wpisanego w ten okrąg. Jeśli ilość boków n to wtedy obie wartości dążą do tej samej liczby: lim S n = lim s n = π. n n

24 Archimedes Matematykiem, który jako pierwszy opisał metodę przybliżania wartości liczby π był Archimedes. Skonstruował on ciąg wielokątów foremnych wpisanych i opisanych na okręgu. Niech S n będzie obwodem n-kąta opisanego na okręgu o średnicy jednostkowej, zaś s n obwodem n-kąta wpisanego w ten okrąg. Jeśli ilość boków n to wtedy obie wartości dążą do tej samej liczby: lim S n = lim s n = π. n n

25 Archimedes Archimedes wyznaczył przybliżenie dla n = 96

26 Archimedes Archimedes wyznaczył przybliżenie dla n = 96 Żyjący w III w n.e. chiński matematyk Liu Hui wyznaczył przybliżenie dla n = Dostał on wartość , która do dziś jest często używana przy obliczeniach ręcznych.

27 Archimedes Archimedes wyznaczył przybliżenie dla n = 96 Żyjący w III w n.e. chiński matematyk Liu Hui wyznaczył przybliżenie dla n = Dostał on wartość , która do dziś jest często używana przy obliczeniach ręcznych.

28 Wzory na obliczanie liczby π lub jej wielokrotności Gottfried Wilhelm Leibnitz: π 4 = ( 1) n 2n + 1 n=0

29 Wzory na obliczanie liczby π lub jej wielokrotności Gottfried Wilhelm Leibnitz: π 4 = ( 1) n 2n + 1 n=0 William Brouncker: 4 π =

30 Wzory na obliczanie liczby π lub jej wielokrotności Gottfried Wilhelm Leibnitz: π 4 = ( 1) n 2n + 1 n=0 William Brouncker: 4 π =

31 Liczba π w literaturze Liczba π jest liczbą niewimierną. Stąd też od zawsze pojawiały się próby wyznaczenia i zapamiętania jak najdłuższego jej rozwinięcia dziesiętnego. W 2014 roku udało się wyznaczyć jej przybliżenie z dokładnością do około 13 bilionów miejsc po przecinku.

32 Liczba π w literaturze Liczba π jest liczbą niewimierną. Stąd też od zawsze pojawiały się próby wyznaczenia i zapamiętania jak najdłuższego jej rozwinięcia dziesiętnego. W 2014 roku udało się wyznaczyć jej przybliżenie z dokładnością do około 13 bilionów miejsc po przecinku. Najbardziej znanym wierszem w języku polskim jest napisany przez Wisławę Szymborską wiersz pt. Liczba Pi.

33 Liczba π w literaturze Liczba π jest liczbą niewimierną. Stąd też od zawsze pojawiały się próby wyznaczenia i zapamiętania jak najdłuższego jej rozwinięcia dziesiętnego. W 2014 roku udało się wyznaczyć jej przybliżenie z dokładnością do około 13 bilionów miejsc po przecinku. Najbardziej znanym wierszem w języku polskim jest napisany przez Wisławę Szymborską wiersz pt. Liczba Pi. Występują też różne rymowanki i wierszyki w każdym z języków, w których długość kolejnych słów to kolejna cyfra rozwinięcia dziesiętnego liczby π.

34 Liczba π w literaturze Kuć i orać w dzień zawzięcie, Bo plonów niema bez trudu! Złocisty szczęścia okręcie, Kołyszesz... Kuć! My nie czekajmy cudu. Robota to potęga ludu! (K. Cwojdzyński, 1930)

35 Liczba π w literaturze How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics! (James Jeans)

36 Liczba π w literaturze How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics! (James Jeans) Nie, o Gott, o guter, verliehst Du meinem Hirne die Kraft mächtige Zahlreihn dauernd verkettet bis in die spaetere Zeit getreu zu merken. Drum hab ich Ludolph mir zu Lettern umgeprägt. (Nigdy, o dobry Boże, nie użyczysz mi mocy spamiętania po wsze czasy potężnego, ze sobą trwale sprzężonego szeregu cyfr. Dlatego przyswoiłem sobie ludolfinę w słowach. (C. Brenanto))

37 Π - the movie Amerykański thriller psychologiczny z 1998 roku. Główny bohater Maximillian Cohe) jest matematykiem badającym liczbę π i doszukującym się w niej klucza do zrozumienia natury świata. Jego odkryciami interesują się maklerzy giełdowi, a także kabaliści.

38 Podziękowania Dziękuję za uwagę