Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium BŁĘDY W POMIARACH BEZPOŚREDNICH Instrukcja do ćwiczenia nr 2 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r.
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Ćwiczenie laboratoryjne nr 2 1.CEL ĆWICZENIA BŁĘDY W POMIARACH BEZPOŚREDNICH Celem ćwiczenia jest wyznaczenie niepewności rozszerzonej pomiaru grubości ścianki przewodu. 2.WSTĘP [1,2,3] Metoda pomiarowa bezpośrednia to metoda, w której wartość wielkości mierzonej otrzymuje się bezpośrednio, bez potrzeby wykonywania dodatkowych obliczeń opartych na zależnościach funkcyjnych wielkości mierzonej [1]. Przykłady: pomiar temperatury, ciśnienia statycznego płynącego gazu w rurociągu, pomiar wilgotności powietrza atmosferycznego, pomiar ciśnienia barometrycznego, pomiar długości za pomocą suwmiarki. Wynik pomiaru bezpośredniego, dla serii pomiarów x 1,x 2 x N tej samej wielkości fizycznej, można przedstawić za pomocą ogólnego równania [1]: X = ( X s + ΣP) ± U(X) (1) gdzie: X s - średni wynik surowy, bez korekcji błędu systematycznego X s = i=1 x i ΣP- suma poprawek kompensujących wyznaczalne błędy systematyczne, U(X)- niepewność rozszerzona pomiaru wielkości X. Niepewność rozszerzoną pomiaru wielkości X wyraża równanie: U(X) = k u(x) (2) w którym: k - współczynnik rozszerzenia, który dla rozkładu normalnego przyjmuje najczęściej wartość z przedziału k < 2, 3 >, u(x) niepewność standardowa złożona wielkości X. Uwzględniając istotne źródła niepewności równanie (1) można przedstawić w postaci [1]: X = W + P w + P rw + P ws (3) gdzie: W -średnia wskazań przyrządu, P W poprawka wskazania przyrządu P rw poprawka kompensująca błąd rozdzielczości przyrządu P ws - poprawka związana z warunkami środowiskowymi Niepewność standardową złożoną wyznacza się z równania: u(x) = X W 2 u 2 (W ) + X P w 2 u 2 (P w ) + X P rw 2 u 2 (P rw ) + X P ws 2 u 2 (P ws ) (4) Po przekształceniach otrzymamy: u(x) = u 2 (W ) + u 2 (P w ) + u 2 (P rw ) + u 2 (P ws ) (5) w którym: u(w )- niepewność wskazania u(p W )- niepewność poprawki wskazania N N, 2
u(p rw )- niepewność rozdzielczości przyrządu u(p ws )- niepewność związana z warunkami środowiskowymi 3.OBLICZENIA SKŁADOWYCH NIEPEWNOŚCI RÓWNANIA (5) [1] u(w ) niepewność tą oblicza się najczęściej z rozrzutu wyników wskazania, metodą typu A, z równania: u(w ) = N i=1 (w i W ) 2 N(N 1) gdzie: w i - pojedyncze wskazanie przyrządu N- liczba pomiarów u(p w ) - korzysta się z tablic poprawek lub krzywej kalibracji; jeżeli nie dysponujemy poprawkami wskazań przyjmuje się, że poprawka wynosi P w = 0, a niepewność tej poprawki wyznacza się metodą typu B znając błąd graniczny Δ g. Zakładając, że błędy graniczne mają rozkład prostokątny jak na rysunku 1, to odchylenie standardowe takiego rozkładu, które jest niepewnością standardową typu B wynosi: f(δ) (6) 1/(2 Δ g ) -Δ g +Δ g Rys 1. Rozkład jednostajny błędów granicznych u B = g (7) 3 u(p rw )- przyjmuje się, że poprawka wynosi 0, a błędy rozdzielczości mają rozkład jak na rysunku 2. f(d) 1/d 0 d Rys.2. Rozkład jednostajny błędów rozdzielczości Odchylenie standardowe takiego rozkładu, które jest niepewnością standardową typu B wynosi: u B = d 12 (8) 3
u(p ws ) - jeżeli poprawką związaną z warunkami środowiskowymi jest poprawka temperaturowa to można ja wyznaczyć z następującego równania [1]: P ws = Wαδt (9) gdzie: W- wskazanie przyrządu α - usredniony wspólczynnik rozszerzalności cieplnej δt - różnica temperatur przyrządu i mierzonego elementu Niepewność poprawki temperatury wyznacza równanie [1]: u(p ws ) = Wαu(δt) (10) 4. ULTRADŹWIĘKOWY POMIAR GRUBOŚCI ŚCIANKI PRZEWODU Grubość ścianki przewodu g wyznaczana jest z równania (11) poprzez pomiar czasu przejścia τ echa podłużnej fali ultradźwiękowej od czujnika do tylnej ścianki przewodu i z powrotem. Do wyznaczenia grubości ścianki potrzebna jest również znajomość prędkości fali podłużnej c w danym materiale. Dla podstawowych materiałów przedstawia je tabela 1. g=c τ/2 (11) czujnik ultradźwiękowy g τ warstwa sprzęgająca c Rys.1. Sposób wyznaczenia grubości ścianki przewodu Tabela 1. Prędkość podłużnej fali ultradźwiękowej w wybranych materiałach Rodzaj materiału Prędkość podłużnej fali ultradźwiękowej polietylen szkło organiczne mosiądz miedź nikiel stal aluminium c =2000 m/s c = 2720 m/s c= 4450 m/s c= 4700 m/s c= 5630 m/s c= 5940 m/s c= 6260 m/s 4
Rysunek 1. Przedstawia zdjęcie grubościomierza ultradźwiękowego. Dane Grubościomierza ultradźwiękowego Sono M610 Zakres pomiarowy: I od 1 do 199,9 mm II od 2 do 199,9 mm Błąd graniczny dla I i II zakresu : Δ g =±1% wskazania ± 0,1 mm Zakres prędkości fali ultradźwiękowej w badanym materiale: c = 1000-20000 m/s Zakres pracy głowic: Od -10 C do +40 C Czujnik ultradźwiękowy Rys.1. Grubościomierz ultradźwiękowy 5. SPOSÓB REALIZACJI ĆWICZENIA 1. Wprowadzić do pamięci grubościomierza rodzaj materiału z jakiego wykonano przewód 2. Zmierzyć 11 krotnie grubość ścianki przewodu g 1 g 11 3. Sprawdzić analitycznie czy któryś z otrzymanych wyników nie jest błędem nadmiernym (omyłką) 4. Na podstawie rozrzutu wyników wyznaczyć z równania (6) metodą typu A niepewność wskazania, przyjmując: W = g, w i =g i, u(w )=u(g ) 5. Wyznaczyć z równania (7) metodą typu B niepewność poprawki wskazania u(p w ), korzystając z danych grubościomierza zamieszczonych na rysunku 1. 6. Wyznaczyć metodą typu B z równania (8) niepewność rozdzielczości u(p rw ) przyjmując rozdzielczość przyrządu d=0,1 mm 7. Obliczyć niepewność standardową złożoną z równania (5) 8. Dobrać współczynnik rozszerzenia k 9. Zapisać poprawnie wynik pomiaru 6.PROCEDURA SPRAWDZENIA OMYŁKI [2] Z serii otrzymanych wyników g 1,g 2, g 11, wątpliwy może być wynik o najmniejszej lub największej wartości. Odrzucamy ten wynik- liczebność próby wynosi wtedy N=10. 1. Liczymy wartość średnią dla N=10 g = i=1 g i N 2. Obliczamy odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru z równania: σ = 1 N(g N 1 1 i g ) 2 N 5
3. Wyznaczamy przedział ufności P g t qm σ < g < g + t qm σ = α, przyjąć α=0,95 4. Dla niedużej ilości pomiarów wartość współczynnika t qm wyznaczyć z rozkładu Studenta (z tabeli 2) dla parametrów: q= 1- α oraz m= N-1 5. Sprawdzić czy podejrzany wynik mieści się w przedziale ufności: jeżeli tak to nie jest on omyłką, jeżeli nie to jest omyłką i należy odrzucić go w dalszej analizie niepewności. 6. Tabela Rozkładu Studenta wg [2] m/q Tabela 2. Rozkład studenta [2] m 7.POPRAWKA u(p ws )- ZWIĄZANA Z WARUNKAMI ŚRODOWISKOWYMI Poprawkę tą należałoby uwzględnić, w przypadku gdy pomiar odbywa się w temperaturze innej niż ta dla której przyrząd wzorcowano-20 C±1 C. Zmienia się wtedy prędkość fali ultradźwiękowej i mogą wystąpić błędy związane z pomiarem czasu przejścia echa. Jednak zmiany temperatury w granicach ± kilka stopni od temperatury wzorcowania nie wpływają znacząco na wartość prędkości fali ultradźwiękowej w danym materiale i można przyjąć iż wynosi ona P ws =0 oraz jej niepewność u(p ws )=0. 6
8. DOBÓR WSPÓŁCZYNNIKA ROZSZERZENIA k Przyjmujemy, że dla więcej niż 3 zmiennych wchodzących w skład równania (5) wypadkowy ich rozkład dąży do rozkładu normalnego (wg Centralnego Twierdzenia Granicznego). Zatem dla α=0,95 k=2. W przypadku gdy niepewność wynikająca z rozrzutu wyników pomiarów u(w ), a liczona z równania (6), jest większa od niepewności związanej z rozdzielczością u(p rw ) to tą ostatnią można pominąć, ponieważ zawiera się ona w niepewności wynikającej z rozrzutu wyników. Równanie (5) przybiera wtedy postać: u(x) = u 2 (W ) + u 2 (P w ) (12) Zawiera ono dwie składowe o rozkładach normalnym i jednostajnym. Współczynnik rozszerzenia oblicza się wtedy [1] badając relacje miedzy odchyleniami standardowymi dla pojedynczego pomiaru: dla rozkładu normalnego σ N = N u(w ) dla rozkładu jednostajnego σ J = u B. Jeżeli σ N >σ J to współczynnik rozszerzenia przyjmuje się jak dla rozkładu normalnego tj. k= 2 dla α= 0,95 lub k=3 dla α=0,99. W przeciwnym razie k = 3 α. i 1 2 10 Przykład tabeli pomocniczej do obliczeń niepewności grubość ścianki g i g i -g (g i g ) 2 mm mm mm 2 Σ - 9. PRZYKŁADOWE PYTANIA KONTROLNE 1. Definicja metody bezpośredniej 2. Równanie na wynik pomiaru z wyjaśnieniem wielkości wchodzących w jego skład 3. Równanie na niepewność standardową z wyjaśnieniem wielkości wchodzących w jego skład 4. Sposób wyznaczenia niepewności wskazania 5. Sposób wyznaczenia poprawek wchodzących w skład równania na niepewność standardową 6. Procedura sprawdzania omyłki 7. Zasada działania grubościomierza ultradźwiękowego 7. LITERATURA 1. Jerzy Arendarski: Niepewność pomiarów, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej 2006 2. Danuta Turzeniecka: Ocena niepewności wyniku pomiaru, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej 1977 3. John.R. Taylor: Wstęp do analizy błędu pomiarowego, PWN, Warszawa 1999 Data wykonania instrukcji: 18.10.2010 7