Zadania z treścią na ekstrema funkcji Zad. 1: W trójkąt równoramienny, którego boki zawierają się w prostych: AB o równaniu y =, AC o równaniu x y + 1 = 0 i BC o równaniu x + y 6 = 0, wpisano równoległobok tak, Ŝe jeden bok równoległoboku zawiera się w odcinku AB, drugi w odcinku AC, a jeden z wierzchołków równoległoboku naleŝy do boku BC. Przy jakich długościach boków pole równoległoboku jest największe? Odp.: i,5. Zad. *: W trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie ma miarę α. Oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt do długości promienia okręgu opisanego na nim. Dla jakich wartości α stosunek ten jest największy? Odp.: RozwaŜany stosunek wynosi cos(1 cosα) i jest największy dla α =. Zad. : W trójkącie ostrokątnym ABC dane są: AB = c i ACB = γ. a) Dla c = 9 i tgγ = oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie ABC. b) Wiedząc, Ŝe wysokości trójkąta ABC przecinają się w punkcie D, wykaŝ, Ŝe promienie okręgów opisane na trójkątach ABC i ABD są równe. c) Niech BAC = x. Wyraź pole trójkąta ABC jako funkcję zmiennej x i oblicz największą wartość tego pola. c sin xsin( x + γ ) γ Odp.: a) 7,5; c) P( x) =, gdzie x (0; γ). Dla x = pole to jest sin γ największe i wynosi ( cosγ + ) c 1 sin γ. Zad. *: Oblicz odległość środka okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o kącie ostrym równym α i przeciwprostokątnej długości c od środka okręgu wpisanego w ten trójkąt. Dla jakiej miary kąta α odległość ta jest najmniejsza? Znajdź tę najmniejszą odległość. c Odp.: RozwaŜana odległość wyraŝa się wzorem d = 1 sin α cosα, gdzie α 0;. Odległość ta jest najmniejsza dla α 1 1 = i wynosi c c( 1) =. Zad. 5: Przez punkt P naleŝący do boku pewnego trójkąta poprowadzono proste równoległe do dwóch pozostałych boków tego trójkąta i otrzymano równoległobok. W jakim stosunku punkt P powinien dzielić bok trójkąta, aby pole równoległoboku było największe? Odp.: 1 : 1. Zad. 6: RozwaŜmy graniastosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 9. a) Jaką największą objętość moŝe mieć taki graniastosłup? 87
b) Przez przekątną ściany bocznej graniastosłupa o największej objętości i środek przeciwległej krawędzi bocznej poprowadzono płaszczyznę. Oblicz pole otrzymanego przekroju. Odp.: a) V = ; b) P = 6. Zad. 7*: W półkulę o promieniu R wpisano ostrosłup prawidłowy trójkątny w ten sposób, Ŝe wierzchołek ostrosłupa jest środkiem koła wielkiego ograniczającego półkulę, a wierzchołki podstawy naleŝą do sfery półkuli. Krawędź boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny ograniczającej półkulę pod kątem α. a) Oblicz objętość ostrosłupa. b) Znajdź wartość sinα, dla której objętość ostrosłupa jest największa. Odp.: a) V = R sin α cos α ; b) sinα =. Zad. 8: W kulę o średnicy d wpisujemy walce. Przedstaw pole powierzchni tych walców jako funkcję ich wysokości. Zbadaj przebieg zmienności tej funkcji i naszkicuj jej wykres. Odp.: P( x) = x d x, gdzie x (0; d) oznacza wysokość walca. Zad. 9: Kąt rozwarcia stoŝka ma miarę α, a pole przekroju osiowego wynosi Q. a) Oblicz objętość stoŝka. b) Oblicz pole powierzchni całkowitej stoŝka. c) Przyjmij Q = (Q = 9), α = 90 i znajdź największą moŝliwą objętość walca zawartego w tym stoŝku, który ma ze stoŝkiem wspólną oś obrotu. Odp.: a) V = Q tg α ; b) P = 1+ α sin α Q ; c) V = 7 (V = ). cos Zad. 10: Kwadrat o boku długości rozcięto na dwa prostokąty, które po zwinięciu tworzą powierzchnie boczne walców o wysokości. Jak naleŝy dokonać cięcia, aby suma objętości takich walców była najmniejsza? Odp.: W połowie. Zad. 11: Puszka w kształcie walca ma mieć objętość V. Jakie wymiary powinna mieć ta puszka, aby na jej wykonanie zuŝyć jak najmniej materiału? V Odp.: Promień podstawy puszki powinien być równy, a wysokość V. Zad. 1*: O punkcie P wiadomo, Ŝe ma dodatnie współrzędne i leŝy na elipsie o równaniu x + y =. Dobierz jego współrzędne tak, by figura ograniczona mniejszym z łuków elipsy o końcach A = (,0) i B = (0, 1) oraz cięciwami PA i PB miała moŝliwie najmniejsze pole. Odp.: P = ( ),. Zad. 1*: Dany jest półokrąg o środku O i promieniu 1. Promień OA jest prostopadły do średnicy MP. Z 88
punktu M poprowadzono półprostą nachyloną pod kątem α do półprostej MP i przecinającą półokrąg w punkcie K oraz półprostą OA w punkcie L. a) Wyznacz długość odcinka KL jako funkcję kąta α. Zbadaj przebieg zmienności i naszkicuj wykres tej funkcji. b) Napisz równania półstycznych do otrzymanego wykresu w punkcie (, 0) oraz znajdź miarę kąta między tymi półstycznymi. Uwaga. Półprostą o początku w punkcie A = (x 0, f(x 0 )) dla x x 0 o współczynniku kierunkowym f x f x ' f ( x ) = lim 0 0 (pochodna lewostronna) nazywamy półstyczną lewostronną do krzywej x x0 x x0 y = f(x) w punkcie A. Podobnie określamy półstyczną prawostronną. O półstycznej do krzywej mówimy wtedy i tylko wtedy, gdy w badanym punkcie krzywa nie ma stycznej (tj. funkcja ma jedną lub dwie pochodne jednostronne, ale nie ma pochodnej). 1 cosα dla Odp.: a) f( α) cosα = 1 cosα dla cosα y = x, tgγ =, γ 9. 7 ( α 0; α ( ; ) ; b) y = x + oraz Zad. 1: Fabryka produkuje puszki w kształcie walca o pojemności 1,1 dm. Jedną z podstaw puszki wykonuje się z blachy o 0% droŝszej od blachy uŝywanej do wykonania reszty puszki. Na wycięcie koła o promieniu r zuŝywa się r blachy. Jakie wymiary powinna mieć puszka, aby koszt jej produkcji był najmniejszy? Odp.: Promień podstawy puszki powinien być równy 0,5 dm, a wysokość, dm. Zad. 15*: Na ostrosłupie prawidłowym trójkątnym opisano stoŝek, a na stoŝku kulę. Kąt przy wierzchołku przekroju osiowego stoŝka ma miarę α. a) Oblicz stosunek objętości kuli do objętości ostrosłupa. b) Dla jakiej wartości α stosunek ten jest najmniejszy? Odp.: a) α ( tg + ) 1 tg α 8 = sin α cos α ; b) tgα =, α 80. Zad. 16: W półokrąg o promieniu R wpisano trapez, którego podstawa jest średnicą okręgu. a) Dla jakiego kąta przy podstawie pole trapezu jest największe? b) Oblicz stosunek objętości brył otrzymanych w wyniku obrotu półokręgu i trapezu wokół osi zawierającej dłuŝszą podstawę trapezu. Odp.: a) α = R ; b) =. R + R 8 Zad. 17: Dany jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości a. Dwa boki tego trójkąta przecina pro- 89
sta równoległa do boku AB, przy czym odległości punktów przecięcia od wierzchołka C wynoszą x. Dla jakiej wartości x objętość bryły otrzymanej w wyniku obrotu trójkąta wokół tej prostej jest najmniejsza? Znajdź tę objętość. Odp.: x = a, V = a. 9 Zad. 18: W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku A ma miarę 150, a suma długości boków AB i AC wynosi 1. Przedstaw pole tego trójkąta jako funkcję długości boku AB i sporządź jej wykres. Jakie jest moŝliwie największe pole tego trójkąta? Odp.: P( x) = 1 x( 1 x), gdzie x (0;1) oznacza długość boku AB. Pole to jest największe dla x = 6 i wynosi 9. Zad. 19: W zbiorze graniastosłupów prawidłowych czworokątnych, dla których suma długości krawędzi wynosi 6, graniastosłup G 1 ma największe pole powierzchni całkowitej, a graniastosłup G ma to pole dwa razy mniejsze. Oblicz długości krawędzi graniastosłupów G 1 i G. Odp.: Krawędź podstawy graniastosłupa G 1 jest równa wysokości i wynosi 1. Krawędź podstawy graniastosłupa G ma długość, a wysokość 1 + Zad. 0: Podaj wymiary tego spośród walców o obwodzie przekroju osiowego 100 cm, który ma największą powierzchnię boczną. Odp.: Promień podstawy walca ma długość 1,5 cm, a wysokość 5 cm. Zad. 1: RozwaŜmy prostokąty, których dwa wierzchołki leŝą na osi x, a pozostałe dwa mają dodatnie rzędne i leŝą na paraboli y = x + 6x. Oblicz obwód prostokąta o moŝliwie największym polu. Odp.: Obwód prostokąta wynosi 1 +. Zad. : a) Napisz równanie prostej, która przechodzi przez punkt P = (1, ) i przecina krzywą y x = 1 w punktach A i B symetrycznych względem punktu P. *b) Na krzywej y x = 1 między punktami A i B znajdź taki punkt M, aby pole trójkąta ABM było moŝliwie największe. Odp.: a) x y + 1 = 0 A = ( 1 ) B = ( 1 + + ),,, ; b) M = (1,1). Zad. : Zadrukowana część stronicy ksiąŝki ma mieć pole 8 cm. Marginesy boczne mają mieć szerokość 1 cm, a górny i dolny po 1,5 cm. Dobierz wymiary stronicy tak, aby na produkcję ksiąŝki zuŝyć jak najmniej papieru. Odp.: 18 cm, 7 cm.. Zad. : W trójkąt równoramienny o podstawie a i ramieniu x wpisano okrąg. Punkty styczności okręgu do ramion trójkąta połączono odcinkiem, który podzielił trójkąt na trapez o polu S 1 i 90
trójkąt o polu S. a) Wyraź stosunek S 1 : S jako funkcję zmiennej x i zbadaj przebieg zmienności tej funkcji. b) Dla jakich wartości x funkcja ta przyjmuje wartość 10? S1 Odp.: a) f x S x ax a = = dla x (a; + ); b) x = 1,1a. ( x a) Zad. 5: Opakowania wybielacza do tkanin mają kształt prostopadłościanu. Na podstawie opinii uŝytkowników ustalono, Ŝe opakowania będą wygodniejsze, jeśli jedna z krawędzi prostopadłościanu będzie razy dłuŝsza od drugiej. Firma produkująca wybielacz ustaliła cenę 1 cm wyrobu na 0 groszy. Koszt 1 cm opakowania wynosi grosze. a) Ustalono, Ŝe wybielacz będzie sprzedawany w opakowaniach o pojemności 6 cm. Dobierz wymiary opakowania tak, aby łączna cena wybielacza i opakowania była moŝliwie najniŝsza. b) Z badań rynku wynika, Ŝe produkt byłby chętniej kupowany, gdyby opakowanie zawierało przynajmniej o połowę mniej wybielacza. Ustalono, Ŝe najkrótsza krawędź nowego opakowania będzie miała długość 1,5 cm. Jaka będzie najniŝsza cena nowej jednostki wyrobu (tzn. wybielacza i opakowania łącznie)? Odp.: a) cm, cm, 6 cm; b),655 zł. Zad. 6: a) RozwaŜmy ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma długości wszystkich krawędzi podstawy i wysokości ostrosłupa jest równa 18. Znajdź wysokość takiego ostrosłupa, przy której jego objętość będzie moŝliwie największa. Oblicz tę objętość. *b) WykaŜ, Ŝe w czworościanie foremnym punkt przecięcia wysokości dzieli kaŝdą z nich w stosunku 1 :. Odp.: a) h = 6, V = 8. Zad. 7: W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym odległość środka podstawy ostrosłupa od krawędzi bocznej jest równa 1. Wyraź objętość V ostrosłupa jako funkcję długości x jego wysokości. Zbadaj przebieg zmienności funkcji V i naszkicuj jej wykres. x Odp.: V( x) = dla x (1, + ). x 1 Zad. 8: Ołówek ma kształt walca o promieniu podstawy 0,5 cm i wysokości 0 cm. a) Ołówki są pakowane po trzy do pudełek w kształcie graniastosłupów prawidłowych trójkątnych. Jakie jest moŝliwie najmniejsze pole powierzchni całkowitej takiego pudełka? b) Jaką najmniejszą wysokość powinno mieć pudełko, którego podstawą jest prostokąt o wymiarach 0 cm i 5 cm, aby pomieściło 50 ołówków poukładanych jak na rysunku? c) Ile kosztuje drewno zawarte w tysiącu ołówków, jeśli grafit uŝyty w ołówku ma średnicę mm, a metr sześcienny drewna kosztuje 800 zł? 91
Odp.: a) P = ( 6 + 6 ) cm ; b) ( 1+ 5 ) cm ; c),6 10,55 zł. Zad. 9: Ze stoŝka o promieniu podstawy r i wysokości h tokarz moŝe wykonać walec. W jakiej odległości od wierzchołka stoŝka powinna znajdować się górna podstawa walca, aby ilość zeszlifowanego ze stoŝka materiału była moŝliwie najmniejsza? Odp.: h. Zad. 0: Pole powierzchni bocznej stoŝka jest równe 65, a promień jego podstawy ma długość 5. Oblicz największą moŝliwą objętość walca wpisanego w ten stoŝek. Odp.: V = 00 9. Zad. 1: W kulę o promieniu R wpisano walec o moŝliwie największej objętości. Oblicz promień podstawy i wysokość tego walca. Jaki procent objętości kuli stanowi objętość walca? Odp.: r = 6 R, h = R ; objętość walca stanowi około 57,7% objętości kuli. Zad. : W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma długość k, a krawędź podstawy ma długość a. RozwaŜ przekrój tego ostrosłupa płaszczyzną wyznaczoną przez środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i wierzchołek ostrosłupa. Dla jakiej wartości k pole tego przekroju jest moŝliwie największe? Odp.: Nie ma takiej wartości parametru k. Zad. : W ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy 1 wpisano kulę. Wyraź objętość V tego ostrosłupa jako funkcję promienia kuli. Zbadaj przebieg zmienności tej funkcji i naszkicuj jej wykres. r Odp.: V( r) = dla r ( 0; 1 ) 1 r. Zad. : Opakowanie proszku do prania ma kształt prostopadłościanu, w którym stosunek długości krawędzi wynosi 1 : : 6. Proszek jest sprzedawany w dwóch rodzajach opakowań. Koszt proszku i opakowania w opakowaniu większym wynosi 6 zł 16 gr, a w mniejszym 16 zł gr. Objętość mniejszego opakowania wynosi 68 cm, a pole powierzchni większego wynosi 1088 cm. Oblicz wymiary obydwu opakowań. Jakie wymiary powinno mieć opakowanie, aby jego koszt nie przekraczał 0% kosztu opakowania i proszku łącznie? Odp.: Większe opakowanie ma wymiary cm 16 cm cm, a mniejsze cm 1 cm 18 cm. Minimalne wymiary, przy których koszt opakowania nie przekracza 0% kosztu opakowania i proszku łącznie, wynoszą 17 6 cm cm 17 cm. Zad. 5: Jaką moŝliwie największą objętość moŝe mieć ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym suma długości wysokości i krawędzi bocznej jest równa? 9
Odp.: V =. Zad. 6: Trójkąt równoramienny o obwodzie 18 cm obraca się wokół podstawy. Jakie powinny być długości boków tego trójkąta, aby objętość otrzymanej bryły była moŝliwie największa? Odp.: Podstawa powinna mieć długość,5 cm, a ramię 6,75 cm. 9