Ćwiczenie 8 WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI CIECZY NA PODSTAWIE PRAWA STOKESA Cel ćwiczenia: Badanie ruchu ciał spadających w ośrodku ciekłym, wyznaczenie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa, wyznaczanie zależności współczynnika lepkości cieczy od temperatury za pomocą wiskozymetru Höpplera. Zagadnienia: Zjawisko lepkości cieczy. Laminarny i turbulentny ruch cieczy, prawo Stokesa, równanie ruchu kulki w cieczy lepkiej i jego rozwiązanie. 8.1. Wprowadzenie Lepkością lub tarciem wewnętrznym nazywamy zjawisko występowania sił stycznych przeciwstawiających się przemieszczeniu jednych części ciała względem innych jego części. Zjawisko to powstaje na skutek ruchów cieplnych cząsteczek oraz sił międzycząsteczkowych. W wyniku działania siły tarcia wewnętrznego występującego między warstwami cieczy, poruszająca się warstwa pociąga za sobą warstwy sąsiadujące z nią z prędkością tym bardziej zbliżoną do prędkości własnej, im ciecz jest bardziej lepka. Analogicznie - spoczywająca warstwa cieczy hamuje sąsiadujące z nią poruszające się warstwy. Ze względu na to, że wszystkie rzeczywiste ciecze są lepkie, zjawisko lepkości odgrywa istotną rolę podczas przepływu cieczy oraz podczas ruchu ciała stałego w ośrodku ciekłym. 1
Podstawową metodą opisu ruchu płynu w hydrodynamice jest metoda Eulera, polegająca na podaniu zależności wartości wektora v prędkości przepływu płynu w różnych punktach przestrzeni, od współrzędnych tych punktów i czasu - v = f ( r, t). Przepływ płynu nazywany ustalonym lub stacjonarnym jeżeli prędkość cieczy w każdym punkcie obszaru zajętego przez ciecz nie zmienia się w czasie, czyli v nie zależy od t. Przepływ nazywamy laminarnym lub warstwowym w przypadku, gdy strumień stanowi zespół warstw przemieszczających się jedna względem drugiej bez mieszania. Przy małych prędkościach przepływ cieczy przez rurę gładką jest przepływem laminarnym - warstwowym (prędkość w każdym punkcie jest jednoznacznie określona) - rys. 8.1. Gdy prędkość maksymalna przepływu cieczy przekroczy pewną wartość Rys. 8.1. Rozkład prędkości cieczy w rurze o przekroju kołowym; 2R - średnica rury krytyczną, charakterystyczną dla danej cieczy - ruch przestaje być laminarny. Następuje mieszanie różnych warstw cieczy w wyniku tworzących się wirów. Prędkość przestaje być określoną funkcją współrzędnych położenia. Ruch taki nazywamy turbulentnym - wirowym. Płyn, w którym nie występuje tarcie wewnętrzne między warstwami cieczy lub można je zaniedbać, nazywamy płynem doskonałym. Prawo empiryczne określające siłę oddziaływania występującą między dwiema warstwami cieczy (ruch laminarny) podał Newton. Można je wyrazić wzorem dv F t = ηs. (8.1) dx 2
Siła F t, jaką wywierają na siebie nawzajem dwie sąsiadujące ze sobą warstwy płynu, jest proporcjonalna do iloczynu ich powierzchni styku S i gradientu prędkości dv/dx (rys. 8.1). Współczynnik proporcjonalności η nazywamy współczynnikiem lepkości. Jednostka współczynnika lepkości ma w układzie SI wymiar N s η. m [ ] = 2 Współczynnik lepkości ośrodka zależy od temperatury T. Dla cieczy słuszna jest w przybliżeniu zależność b T = Ce / η, (8.2) gdzie: C, b - stałe charakteryzujące ciecz. Zjawisko lepkości, podobnie jak dyfuzja i przewodnictwo cieplne, należy do grupy zjawisk obejmowanych wspólną nazwę zjawisk transportu. W zjawiskach lepkości, dzięki ruchom cieplnym cząsteczek cieczy, mamy do czynienia z transportem pędu między warstwami poruszającymi się z różną prędkością. Ten właśnie transport sprzyja wyrównywaniu się prędkości w całym strumieniu przepływającej cieczy. Prawo Stokesa Ciało stałe, poruszające się w ośrodku ciekłym, napotyka na opór. Mechanizm tego zjawiska jest następujący: warstwa cieczy przylegająca do powierzchni poruszającego się ciała, wprawia w ruch pozostałe warstwy cieczy. Tak więc istotną rolę odgrywa tu lepkość cieczy. Wypadkowa siła oporu działa przeciwnie do kierunku ruchu ciała. Doświadczalnie stwierdzono, że dla małych prędkości siła oporu F jest wprost proporcjonalna do prędkości v, zależy od charakterystycznego wymiaru liniowego ciała l oraz od współczynnika lepkości cieczy η. Równanie określające siłę oporu ma postać t 3
gdzie: F t = αlηv, (8.3) α - stała zależna od kształtu ciała. Dla kuli o promieniu r (l przechodzi w tzw. prawo Stokesa = r ) współczynnik α = 6 π i równanie (8.3) F t = 6πrηv. (8.4) Rozpatrzmy ruch małej kulki o promieniu r, spadającej swobodnie w cieczy lepkiej. Na kulkę działają siły: - ciężar kulki P = mg = ρvg, - siła wyporu Archimedesa W = ρ Vg, - siła oporu wynikająca z ruchu = 6πrηv, F t 4 3 przy czym: V = πr - 3 objętość kulki, ρ - gęstość materiału kulki, ρ - gęstość cieczy. Siła wypadkowa F, działająca na ciało wynosi F = P + W + (8.5) F t i jest ona siłą malejącą. Przyczyną takiego stanu jest zwiększanie się prędkości kulki i w konsekwencji wzrost wartości siły. Przyspieszenie ciała maleje zatem w czasie, a prędkość dąży do wartości granicznej, odpowiadającej stanowi F = 0. Równanie ruchu kulki ma postać dυ m = ρvg ρ Vg 6 πrηυ. (8.6) dt Rozwiązaniem tego równania różniczkowego (przy założeniu, że w chwili t 0 = 0 v( t 0 ) = 0 ) jest funkcja gdzie: A Bt υ = ( 1 e ), B Vg( ρ ρ ) A =, m πrη B = 6. (8.7) m F t 4
Prędkość graniczna (prędkość stała) A υ g = lim υ( t) = (8.8) t B ściśle zatem kulka osiąga prędkość graniczną po czasie nieskończenie długim. W rzeczywistości jednak już po niedługim czasie ruch można z dobrym przybliżeniem uważać za jednostajny. Ażeby pokazać rząd tego przybliżenia, obliczmy po jakim czasie ruchu t 1 prędkość cząstki v będzie się różniła od prędkości granicznej vg nie więcej niż o ε v g. Błąd względny wyznaczania v g υ g υ Bt ε = = e 1.. υ Stąd g 2 1 2r ρ ln 1 1 t 1 = ln = ε.. B ε 9η Widzimy więc, że czas konieczny do zbliżenia się do stanu określonego przez ε może być zmniejszony przez użycie małej (małe r) i lekkiej (małe ρ ) kulki. Podstawiając we wzorze (8.8) określającym ruch jednostajny stałe A i B, otrzymujemy ( ρ ρ ). r g η =, (8.9) 9υ 2 2 g Korzystając z tego wzoru wyznaczamy współczynnik lepkości cieczy. Zauważmy jeszcze, że wzór (8.9) jest ściśle słuszny tylko dla obszaru nieograniczonego cieczy. Jeżeli badana ciecz znajduje się w naczyniu, to należy uwzględnić działania ścianek na ruch kulki. Dla warstwy cieczy o wysokości H, znajdującej się w naczyniu cylindrycznym o promieniu R, jeśli kulka porusza się wzdłuż osi cylindra, otrzymujemy wzór 5
( ρ ρ ) 2 2 r g η =. 9 1 2,4. (8.10) r r υ g + 1 + 3,1 R H Poprawki uwzględniające oddziaływanie ścianek bocznych i dna naczynia, można pominąć dla względnie dużych naczyń (r/r, r / H = 0). Uwzględniając wzory (8.9, 8.10) możemy w przypadku kulki spadającej w cieczy przedstawić współczynnik lepkości w postaci ( ρ ρ ) t. η = k. (8.11) Stałą k określają warunki doświadczenia, a t jest czasem przebycia zadanej drogi w ruchu jednostajnym. 8.2. Zasada pomiaru i układ pomiarowy Rys. 8.2. Urządzenie do pomiaru współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa: 1 - ciecz, 2 - cylinder szklany, 3 - spadająca kulka, 4 - pierścienie, h - odległość między pierścieniami 1. W pierwszej części ćwiczenia współczynnik lepkości wyznaczamy metodą Stokesa, posługując się szerokim szklanym naczyniem cylindrycznym wypełnionym badaną cieczą. Na zewnątrz powierzchni bocznej naczynia znajdują się dwa przesuwne pierścienie (rys. 8.2). Za ich pomocą ustalamy drogę, którą kulka ma przebyć w cieczy ruchem jednostajnym. Wybraną kulkę puszczamy swobodnie tuż nad powierzchnią cieczy w ten sposób, aby jej tor w przybliżeniu pokrywał się z osią naczynia. Przy kilku położeniach górnego pierścienia mierzymy średnią prędkość kulki na drodze między pierścieniami. Równe prędkości średnie świadczą o jednostajnym ruchu 6
kulki między pierścieniami. W przypadku niejednakowych wartości prędkości należy odpowiednio obniżyć górny pierścień. 2. W drugiej części ćwiczenia wyznaczamy współczynnik lepkości cieczy wykorzystując metodę Stokesa w wiskozymetrze Höpplera (rys. 8.3). Rys. 8.3. Wiskozymetr Höpplera: 1 - rurka, 2 - kulka, 3 - kreski, między którymi mierzy się czas spadania kulki, 4 - osłona termostatyczna, 5 - termometr Stosunkowo duża kulka ( r R ) porusza się w cieczy zamkniętej w szklanej rurze. Całość znajduje się w osłonie termostatycznej. Temperatura cieczy stanowiącej osłonę może być regulowana. Dzięki temu za pomocą wiskozymetru Höpplera możemy wyznaczyć zależność lepkości cieczy od temperatury. Rurka może się obracać wokół osi a a, prostopadłej do ramienia statywu. Urządzenie aretujące pozwala ustawić stabilnie rurkę. Droga pomiarowa jest określona przez kreski znaczące na rurce. Stała k przyrządu jest zatem ściśle określona. Gęstość cieczy jest podana. Mierząc czas ruchu kulki na odcinku między kreskami, wyznaczamy lepkość cieczy w oparciu o wzór (8.11). 8.3. Zadania do wykonania A) Pomiary: a) w szerokim naczyniu cylindrycznym 1. Ustalić właściwe drogi pomiarowe (odpowiednie położenie pierścienia górnego). 2. Za pomocą linijki z podziałką milimetrową zmierzyć odległość między pierścieniami. 7
3. Wybrać kilka kulek i zmierzyć ich średnice śrubą mikrometryczną. Pomiaru średnicy każdej kulki dokonać kilka razy w różnych kierunkach. 4. Wyznaczyć areometrem gęstość badanej cieczy. 5. Zmierzyć stoperem czasy ruchu kulek na drodze między pierścieniami (górnym i dolnym). Dla każdej kulki dokonać kilka razy pomiaru czasu. 6. Zmierzyć wysokość słupa cieczy w naczyniu oraz promień cylindra. b) w wiskozymetrze Höpplera 1. Ustalić temperaturę cieczy w osłonie. 2. Dla danej kulki zamkniętej w rurce z badaną cieczą zmierzyć kilkakrotnie stoperem czas opadania kulki na drodze między kreskami znaczącymi. Kulkę wprawiamy w ruch przez odaretowanie rurki wraz z osłoną termostatyczną i jej obrót wokół osi a a o kąt 180. 3. Analogiczne pomiary wykonać przy innych temperaturach cieczy. B) Opracowanie wyników: a) dla szerokiego naczynia cylindrycznego 1. Obliczyć wartości średnie promieni kulek. 2. Obliczyć wartości średnie czasów opadania kulek między pierścieniami. 3. Ze wzoru (8.10) obliczyć współczynnik lepkości cieczy. Wyznaczyć wartość średnią ze wszystkich pomiarów. 4. Obliczyc bezwzględny i względny błąd pomiaru współczynnika lepkości. b) dla wiskozymetru Höpplera 1. Obliczyć średni czas opadania kulki. 2. Obliczyć współczynnik lepkości badanej cieczy, dla danej temperatury pomiaru, korzystając ze wzoru (8.11) oraz z załączonej karty uwierzytelniającej przyrządu. 3. Oszacować dokładność pomiaru (błąd maksymalny). ln η = f 1/ T. 4. Sporządzić wykres ( ) 8