OPTYMALIZACJA HARMONOGRAMU DOSTAW MATERIAŁÓW BUDOWLANYCH PRZY ZASTOSOWANIU METODY GRAFICZNEJ WSPOMAGANEJ TEORIĄ KOLEJEK Michał Krzemiński*, Paweł Nowak ** 1. Wprowadzenie Problem opracowania harmonogramu dostaw materiałów budowlanych jest nadal bardzo aktualnym zagadnieniem z dziedziny optymalizacji organizacji budowy. Odpowiednie zaplanowanie terminów i wielkość dostaw jest szczególnie istotne w przypadku występowania braku miejsca na składowanie materiałów. Prosty model taki jak metoda graficzna wyznaczania wielkości dostaw może okazać się bardzo pomocny. Jest to model intuicyjny i łatwy w zastosowaniu, charakteryzuje się on przy tym dużą przejrzystością wyników. W referacie zaproponowano połączenie graficznej metody harmonogramowania z wielokanałowym systemem obsługi M/M/c z ograniczoną kolejką z przykładem zastosowania. 2. Metoda graficzna sporządzania harmonogramu dostaw materiałów budowlanych Metoda jest prosta w użyciu, wyniki jakie są uzyskiwane dzięki jej zastosowaniu dość dobrze sprawdzają się w praktyce. Nie pozwala ona na wyznaczenie optymalnej wielkości zapasu materiału ze względu na koszty magazynowania i dostaw. Brak tego typu analizy kosztowej nie stanowi jednak zawsze problemu, szczególnie w przypadkach, w których z braku miejsca składowego z góry zakłada się ciągłość dostaw. Metoda pozwala na rozplanowanie dostaw dla materiału o zużyciu ciągłym, warto zauważyć, że daje dobre wyniki nawet w przypadkach w których to zużycie ma charakter skokowy. Jest to metoda deterministyczna, jednakże na skutek zastosowania wyprzedzenia początkowej dostawy, w większości przypadków zaplanowany zostaje zapas materiału. Ten wyznaczony w sposób deterministyczny zapas materiału pozwala na zmniejszanie skutków oddziaływania na budowę czynników losowych. Algorytm metody graficznej polega na kolejnym sporządzaniu *) Michał Krzemiński, Ph. D., Warsaw University of Technology, Faculty of Civil Engineering, Institute of Construction Management, Armii Ludowej Street 16, 00-637 Warsaw, Poland. Phone: (+4822) 234 65 15, Fax: (+4822) 825 74 15, E-mail: m.krzeminski@il.pw.edu.pl **) Paweł Nowak, Ph. D., Warsaw University of Technology, Faculty of Civil Engineering, Institute of Construction Management, Armii Ludowej Street 16, 00-637 Warsaw, Poland. Phone: (+4822) 234 65 15, Fax: (+4822) 825 74 15, E-mail: p.nowak@il.pw.edu.pl
wykresów: dziennego zużycia materiału, sumowanego zużycia materiału, określenie normy zapasu w dniach (wyprzedzenie dostawy), pomocniczego do wykresu sumowanej dostawy, wykres sumowanej dostawy materiału. Metoda skierowana jest do stosowania na budowach, na których z racji braku miejsca przeznaczonego na place składowe, dostawy muszą być realizowane w sposób ciągły. Jednakże jeżeli w taki sposób zostanie zaplanowane zasilanie budowy w środki produkcji mogą pojawić się problemy z technicznym przyjmowaniem dostaw. Na to czy rozładunek materiałów prowadzony będzie w sposób ciągły i nieprzerwany największy wpływ ma ilość kanałów obsługi. Nie zawsze jednak można ją powiększyć, czasami zamiast dodania liczby stanowisk rozładunku możliwe jest utworzenie kolejki pojazdów oczekujących na rozładunek (kolejka również może mieć ograniczenia co do całkowitej długości). Zarówno obsłużenie dodatkowego kanału rozładunkowego jak i utworzenie kolejki będzie pociągało za sobą określone koszty. Zadaniem modelu jest ustalenie liczby kanałów obsługi w takiej liczbie aby generowały najniższe koszty. W budownictwie najlepszym do zastosowania z teorii masowej obsługi jest wielokanałowy system obsługi M/M/c z ograniczoną kolejką. 3. Wielokanałowy system masowej obsługi M/M/c z ograniczoną kolejką W systemach "z ograniczoną kolejką" zgłoszenia nie są przyjmowane do obsługi tylko wtedy, jeżeli w kolejce będzie znajdowała się pewna, określona z góry, liczba zgłoszeń (np. środków transportowych). Wynika z tego, że model takiego systemu można przyjąć do wyznaczania długości frontu załadunkowo-wyładunkowego placów składowych, jeżeli na placu budowy lub w jego otoczeniu znajduje się miejsce dla oczekujących w kolejce samochodów. W systemie M/M/c z ograniczoną kolejką, jak wiadomo, odstępy czasu między zgłoszeniami i czasy obsługi we wszystkich kanałach obsługi charakteryzują się rozkładem wykładniczym gęstości prawdopodobieństwa. Długość kolejki jest ograniczona do oczekujących w niej jednostek (samochodów) jest limitowana bardzo często dostępnością miejsca. Jeżeli zgłaszający się środek transportowy nie znajdzie miejsca, to musi opuścić system, np. bez rozładowania środka transportowego. W sytuacji decyzyjnej dotyczącej rozpatrywanego systemu masowej obsługi również należy ustalić właściwą liczbę stanowisk (kanałów obsługi) wzdłuż jednego z boków placu składowego. Można posłużyć się w tym celu zależnością określającą prawdopodobieństwo odmowy obsługi, wyprowadzoną dla przyjętego systemu. Prawdopodobieństwo to wyraża się wzorem: gdzie: (1) gdzie: - czas rozładunku środka transportowego, odstęp czasu pomiędzy przybyciami kolejnych środków transportowych. Występującą w zależności (1) wielkość, tzn. prawdopodobieństwo tego, że wszystkie kanały obsługi są wolne, można obliczyć ze wzoru: (2) (3)
Dzięki zastosowaniu modelu wielokanałowej obsługi M/M/c z ograniczoną kolejką możliwe jest wyznaczanie liczby kanałów obsługi i wielkości kolejki na takim poziomie aby nie zostało przekroczone zakładane prawdopodobieństwo odmowy. 4. Metoda graficzna wyznaczania harmonogramu dostaw z wykorzystaniem teorii kolejek Metoda graficzna pozwala na określenie niezbędnej liczby środków transportowych wykorzystywanych w kolejnych jednostkach czasowych. W opracowywanym modelu przyjęto że współczynnik gęstości czasu rozładunku do czasu pomiędzy przybiciami kolejnych środków transportowych dla maksymalnej zaplanowanej liczby środków transportowych z badanego okresu wynosi. Mając więc dany zbiór rozwiązań otrzymany metodą graficzną można wyznaczyć współczynnik dla wszystkich planowanych wielkości dostaw. Jest on niezbędny dla wyznaczenia wielkości prawdopodobieństwa odmowy a co za tym idzie do wyznaczenia liczby kanałów obsługi i długości planowanej kolejki. Wyznaczenie współczynników dla wszystkich wielkości dostaw należy przeprowadzić w sposób przedstawiony poniżej. Zbiór jest zbiorem liczb naturalnych określających liczby zestawów transportowych przez jakie będą realizowane dostawy według opracowanego metodą graficzną harmonogramu. Zbiór przedstawia zależność (4) poniżej. gdzie: (4) ilość dni przez jaką realizowane będą dostawy, ilość zestawów transportowych jaka realizuje jaka realizuje dostawy w -tym dniu. Pierwszym krokiem jaki należy wykonać w celu wyznaczenia wielkości dla wszystkich dni jest znalezienie maksymalnej wielkości w zbiorze. Wielkości maksymalnej odpowiadać będzie wielkość. Założeniem modelu jest że przyjęta w sposób deterministyczny wielkość stanowiska obsługi będzie w stanie obsłużyć rozładunek materiałów dostarczanych przez maksymalną zaplanowaną ilość środków transportowych. Pozostałe wartości można obliczyć według zależności (5) podanej poniżej. Mając wyznaczone wielkości dla wszystkich dni w których realizowane będą dostawy można przystąpić do wyznaczenia wartości prawdopodobieństwa odmowy dla tych dni, które należy wyznaczać na podstawie zależności (1). Wyznaczone w sposób deterministyczny stanowisko obsługi należy przyjąć jako jeden kanał obsługi z brakiem wyznaczonej kolejki. W calu osiągnięcia zakładanego poziomu pewności obliczeń można wykonać dwa działania oddzielnie lub osobno. Pierwszym działaniem jest powiększenie liczby kanałów obsługi. Będzie to zazwyczaj zabieg dość trudny o ile w ogóle możliwy, może bowiem zdarzyć się sytuacja w której nie istnieje możliwość dodania kolejnego stanowiska rozładunku. Drugim sposobem spełnienia warunku prawdopodobieństwa odmowy jest zapewnienie miejsca dla pojazdów oczekujących w kolejce na rozładunek. W skrajnych przypadkach oraz w miarę możliwości można stosować obydwa te rozwiązania równolegle. Należy jednak pamiętać że zastosowanie (5)
któregokolwiek z rozwiązań łączyć się będzie z poniesieniem konkretnych kosztów. W opracowanym modelu przyjęto, że koszt każdego kolejnego kanału obsługi oznaczany będzie jako, natomiast koszt każdego dodatkowego miejsca postojowego oznaczony będzie jako. Zadanie optymalizacyjne przyjmie więc postać przedstawioną przez zależność (6). Wyznaczając koszt minimalny równocześnie zostaje wyznaczona ilość kanałów rozładunkowych i ilość miejsc w kolejce. Obliczeniowy sposób rozwiązania zadania przedstawionego zależnością (6) jest następujący. Należy w pierwszej kolejności wyznaczyć niezbędną długość kolejki w kolejnych dniach dla jednego kanału obsługi. Wyznaczona wielkość kolejki w kolejnych dniach pozwoli na wyznaczenie kosztu, następnie należy wykonać obliczenia dla dwóch i trzech kanałów obsługi. Wyznaczone koszty,, pozwolą na wybór optymalnej liczby kanałów obsługi i długości kolejki. Liczba kanałów obsługi odpowiada najmniejszej wartości. 4. Przykład zastosowania nowo opracowanego modelu Na budowie zaplanowano zużycie danego materiału na okres 19 dni. W ciągu tych dni zaplanowano dwie przerwy po dwa dni. Założono również że wyprzedzenie pierwszej dostawy wynosić będzie 3 dni. Na rysunku 1 przedstawiono harmonogram zużycia, dostaw i zapasu materiałów budowlanych wykonany metodą graficzną. (6) Rys. 1 Harmonogram zużycia, dostaw i zapasu materiałów budowlanych Fig. 1 Schedule consumption, supply and inventory of construction materials Dla rozwiązanego w ten sposób zadania wykonano analizy polegające na wyliczeniu prawdopodobieństw odmowy przy założeniu że na budowie rozładunek prowadzony będzie przy użyciu jednego stanowiska rozładunkowego i dwóch stanowisk. Przyjęto że prawdopodobieństwo odmowy nie może przekraczać 10%. W tabeli 1 została przedstawiona analiza pozwalająca wyznaczyć niezbędną długość kolejki przy założeniu, że rozładunek materiału wykonywany będzie tylko na jednym stanowisku. Przyjęto także założenia że koszt każdego kolejnego kanału obsługi, natomiast koszt każdego kolejnego miejsca w kolejce równa się.
Tab. 1 Analiza długości kolejki przy założeniu rozładunku na jednym stanowisku Tab. 1 The analysis of queue lengths under the assumption of single unloading Tab. 2 Analiza długości kolejki przy założeniu rozładunku na dwóch stanowiskach Tab. 2 The analysis of queue lengths under the assumption of double unloading 6. Wnioski Analizując tabelę 1 łatwo można stwierdzić że po półtora krotnym zwiększeniu kosztów rozładunku materiałów uzyskano zadowalający wynik pod względem dotrzymania warunku odmowy obsługi poniżej 10%. Jeżeli natomiast nie chcielibyśmy podnosić kosztów obsługi prawie o 50% a równocześnie nie istnieje możliwość utworzenia wystarczająco długiej kolejki, jedynym wyjściem jest pogodzenia się ze zwiększonym ryzykiem wystąpienia odmowy, na przykład na poziomie 20% przy zakładanej długości kolejki.analizując tabelę 1 można zauważyć, że w większości dni kolejka jaka zapewniłaby obniżenie
prawdopodobieństwa odmowy miałaby długość do 3 miejsc. Takie rozwiązanie byłoby optymalnym, gdyby nie fakt, że w dniu trzynastym w celu zmniejszenia prawdopodobieństwa odmowy, należy utworzyć kolejkę długości 8 pojazdów. Taka kolejka prowadzi do znacznego podniesienia kosztów, istnieje również możliwość że nie da się spełnić tego warunku. Należy więc przeprowadzić analizę pokazującą jaką należy zapewnić długość kolejki przy założeniu że rozładunek prowadzony będzie w dwóch kanałach obsługi. Taką analizę pokazuje tabela 2. Analizując tabelę 2 można zauważyć że przy tak założonych kosztach utworzenia dodatkowego kanału obsługi i przy tak założonych kosztach utworzenia dodatkowego miejsca w kolejce łatwo można zauważyć że koszt całkowity uległ obniżeniu o około 20% jak również niezbędna długość kolejki na całym horyzoncie zapotrzebowania na materiał nie przekracza. Zarówno ze względów ekonomicznych jak i ze względów organizacyjnych za lepszy wariant należy uznać wariant drugi. Literatura [1] Jaworski K. M.: Metodologia projektowania realizacji budowy. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009, [2] Jaworski K. M.: Podstawy organizacji budowy. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2004 [3] Obretenow A.,Dimitrow B.: Teoria masowej obsługi. Poradnik. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1989, [4] Paszula M.: Koszty w układzie rodzajowym zużycie materiałów i energii. Delfin, Warszawa 2007. BUILDING MATERIALS SUPPLIES SCHEDULE OPTIMIZATION WITH USE OF GRAPHICAL METHOD SUPPORTED BY QUEUEING THEORY Scheduling problem of building materials supply is one of the important issues in optimization of construction works on site. Proper planning of materials supply (size of supply and date of supply) is especially important where there is no place for storage on building site. In this paper the combination of graphical method for planning the supplies with multichannel system of mass service M/M/c with limited queue was presented. Paper presents simple and user friendly graphical method for scheduling of building materials supplies on site (daily use, summed use, storage of materials, auxiliary graph for supply, summary graph of supplies). This method does not allow for calculation of costs of storage of optimized continuous supplies. Method is foreseen mainly for those sites, where there is no place for storage, materials has to be delivered on time which can cause difficulties with unloading. Introduction of queuing theory rules can help with establishment of proper number of unloading stations. Number of stations should be calculated with taking costs under consideration.