66 Mechanika 1.10 Pomiar współczynnika lepkości cieczy metodą Poiseuille a(m15) Celem ćwiczenia jest wyznaczenie współczynnika lepkości wody. Współczynnik ten wyznaczany jest z prawa Poiseuille a na podstawie pomiarów czasu stacjonarnego wypływu z naczynia o znanej objętości. Zagadnienia do przygotowania: definicje i molekularne pochodzenie współczynnika lepkości; prawo Hagena- Poisseulle a, rozkład prędkości warstw cieczy w przepływie przez rurę, rurki kapilarne; zasada działania butli Mariotte a. 1.10.1 Podstawowe pojęcia i definicje Butla Mariotte a Na rysunku 1.10.1 przedstawiony jest schemat butli Mariotte a. Górny otwór naczynia zakończony jest korkiem szczelnie przylegającym do jego brzegów. Przez korek przechodzi szklana rurka na której znajduje się kranik. Dzięki temu powietrze może wchodzić do butli wyłącznie przez tą rurkę, jeżeli kranik jest otwarty. W dolnej części naczynia znajduje się otwór odcinany kranikiem. Przy otwartym kraniku przez ten otwór może wypływać znajdująca się w butli ciecz. rurka kranik 1 p at woda p h AB A B h h C kranik 2 C Rys. 1.10.1: Schemat butli Mariotte a. Załóżmy, że początkowo poziomy cieczy w rurce oraz w butli pokrywają się, a powietrzeznajdującewnaczyniumaciśnienieatmosferyczne p at.pootwarciuobukraników, ciecz zaczyna wypływać. Poziomy cieczy w rurce oraz w naczyniu obniżają się(w rurce znacznie szybciej). Cały czas jest jednak spełniony warunek równowagi:
Pomiar współczynnika lepkości cieczy metodą Poiseuille a(m15) 67 p at = p + ρgh AB, (1.10.1) gdzie p-ciśnieniepowietrzawnaczyniu, ρ-gęstośćcieczy, p at -ciśnienieatmosferyczne, h AB -różnicawysokościpunktów AiB. Zpowyższegorównaniawynika,że p < p at,awięcwbutlinadpowierzchniącieczy panuje podciśnienie. Ponieważ na poziomie lustra cieczy w rurce(punkt B) cały czas panuje ciśnienie atmosferyczne, ciśnienie w punkcie C jest równe: p C = p at + ρgh C. (1.10.2) Ciśnienie p C początkowomalejewrazzobniżającymsiępoziomemcieczywrurce aż do momentu, kiedy dojdzie on do końca rurki. Wtedy dalszemu wypływowi cieczy towarzyszyć będzie tylko obniżanie się jej poziomu w butli. Powstanie więc sytuacja, kiedy mimo ubywania cieczy ciśnienie w punkcie C będzie miało stałą wartość równą: p C = p at + ρgh. (1.10.3) Oznacza to, że dopóki poziom wody w naczyniu nie opadnie poniżej końca rurki, ciecz będzie wypływać z naczynia pod stałym ciśnieniem(czyli ze stałą prędkością). Jeśli do butli dołączyć kapilarę, to różnica ciśnień wymuszająca ruch cieczy będzie równa ciśnieniu hydrostatycznemu cieczy między końcem rurki a końcem kapilary (rysunek 1.10.2): p = ρg (h r h k ), (1.10.4) gdzie h r -wysokośćkońcarurki, h k -wysokośćkońcakapilary. Prawo Hagena- Poisseulle a Prawo to opisuje przepływ cieczy lepkiej przez rurkę pod wpływem różnicy ciśnień. Rozważmyrurkęokołowymprzekrojupoprzecznym(rysunek1.10.3)opromieniu idługości h k.wybieramywarstwycieczywpostaci koncentrycznych cylindrów współosiowych z rurką. Różnica prędkości przepływu warstw o promieniu ri drwynosi dv.wielkość dv/drjestmiarązmiany r+ dr prędkości przepływu w kierunku poprzecznym do ruchu cieczy. Powodem zmian prędkości w miarę r oddalania się od osi rurki jest występowanie tarcia lepkościowego pomiędzy warstwami. Ciecz stykająca się z powierzchnią wewnętrzną rurki nie przesuwasię,czyli v( ) = 0.Siłalepkości F jestproporcjonalna oœ rurki do gradientu prędkości i powierzchni styku cieczy i rurki: Rys. 1.10.3: Przekrój poprzeczny przez rurkę.
68 Mechanika rurka kranik 1 woda kranik 2 h r kapilara h k Rys. 1.10.2: Schemat butli Mariotte a z dołączoną kapilarą. F = 2πηh k r dv dr, (1.10.5) gdzie współczynnik proporcjonalności η opisuje lepkość cieczy. Jednostajny i laminarny przepływ cieczy wywołany jest przez różnicę ciśnienia p między końcami rurki, która musi równoważyć siłę oporu pochodzącą od lepkości πr 2 p = 2πηh k r dv dr, (1.10.6) Aby otrzymać zależność prędkości poszczególnych warstw od ich promienia v(r), musimyrównanie(1.10.6)przekształcićiwycałkowaćpopromieniuwgranicachod dodanego rorazpoprędkościwgranicachod v( ) = 0do v(r). v (r) = v(r) 0 dv = p 2ηh k r rdr = p 4ηh k ( r 2 0 r 2). (1.10.7) Zależność prędkości od promienia pokazana jest na rysunku 1.10.4. W celu obliczenia objętości V płynu przepływającego w czasie t należy prędkość v(r) pomnożyć przez elementarny wycinek wewnętrznej powierzchni przekroju poprzecznego rurki i scałkować po całym przekroju rurki:
Pomiar współczynnika lepkości cieczy metodą Poiseuille a(m15) 69 r+ dr r oœ rurki Rys. 1.10.4: Zależność prędkości cieczy w rurce od odległości od osi rurki. V t = 0 v (r)2πrdr = πr4 0 8ηh k p. (1.10.8) Równanie(1.10.8) nazywane jest prawem Hagena- Poiseulle a. 1.10.2 Przebiegpomiarów Układ doświadczalny Przyrządy: butla Mariotte a, kapilara, zlewka, waga laboratoryjna, odważniki, mikroskop, termometr, katemometr, stoper. Przebieg doświadczenia Zmierzyćdługośćkapilary h k orazwysokośćkońcarurki h r przypomocykatemometru. Zważyć naczyńko pomiarowe. Podstawić naczyńko pomiarowe pod wylot rurki, zbierającwypływającąwodę(20-40 cm 3 )mierzącjednocześniestoperemczaswypływu. Zważyć naczyńko pomiarowe z wodą i wyznaczyć masę wody m, która wypłynęła. Zmierzyć temperaturę wody a następnie osuszyć naczyńko pomiarowe. Powtórzyć kilkakrotnie pomiary zbierając różną ilość wody. 1.10.3 Opracowaniewyników W opracowaniu wyników należy obliczyć współczynnik lepkości wody z prawa Hagena- Poiseulle a, czyli z wzoru(1.10.8). We wzorze tym za objętość należy podstawić V = m/ρ oraz wyrażenie na p- wzór(1.10.4). Otrzymuje się wtedy zależność:
70 Mechanika η = πr4 0 ρ2 g (h r h k )t 8mh k. (1.10.9) Wyniki przedstawić w tabeli wraz z odpowiednio obliczonymi niepewnościami pojedynczego pomiaru. Wyznaczyć średnią wartość współczynnika lepkości wraz z jego niepewnością pomiarową. Drugą metodą opracowania wyników jest zastosowanie regresji liniowej. Po przekształceniu równania(1.10.9) otrzymuje się: m = πr4 0 ρ2 g (h r h k ) t. (1.10.10) 8h k η Ze współczynnika kierunkowego otrzymanego z regresji liniowej można prosto obliczyć współczynnik lepkości oraz jego niepewność pomiarową.