Wyruszamy w kosmos (ruch jednostajny po okrêgu, si³a grawitacji)
3
Wyruszamy w kosmos (ruch jednostajny po okrêgu, si³a grawitacji) 58 * Gumkê do mazania uwi¹zan¹ na cienkiej nitce wprawiamy w ruch po okrêgu w p³aszczyÿnie poziomej, jak pokazuje rysunek a Wyjaœnij, dlaczego po zerwaniu nitki gumka zaczyna siê poruszaæ po linii prostej, stycznej do okrêgu. b Czy gumka zachowa potem tê sta³¹ prêdkoœæ? Uzasadnij odpowiedÿ, powo³uj¹c siê na odpowiednie prawo fizyczne. O 59 * W tabeli umieszczono kilka przyk³adów ruchu jednostajnego po okrêgu. W odpowiednich okienkach tabeli wpisz nazwê si³y która stanowi si³ê doœrodkow¹ oraz nazwê cia³a, od którego pochodzi ta si³a. Cia³o wykonuj¹ce ruch jednostajny po okrêgu kulka zaczepiona na nitce rodzaj si³y stanowi¹cej si³ê doœrodkow¹ Ÿród³o si³y doœrodkowej tramwaj na zakrêcie samochód na zakrêcie (pod³o e poziome) Ksiê yc na orbicie Ziemia w ruchu wokó³ S³oñca elektron w atomie wodoru 4 Rozwi¹zania na str. 18
Zadania 3 60 ** Poni ej napisano cztery zdania na temat si³y doœrodkowej. 1. Na kolarza, mijaj¹cego dany zakrêt z wiêksz¹ szybkoœci¹ musi dzia³aæ wiêksza si³a doœrodkowa.. Jeœli ten sam rowerzysta na ró nych zakrêtach jedzie z t¹ sam¹ szybkoœci¹, to na ³agodnym zakrêcie dzia³a na niego wiêksza si³a doœrodkowa. 3. Na cia³o poruszaj¹ce siê ruchem jednostajnym po okrêgu mo e dzia³aæ kilka si³; jedna z nich jest zawsze si³¹ doœrodkow¹. 4. Jeœli na cia³o poruszaj¹ce siê ruchem jednostajnym po okrêgu dzia³aj¹ dwie si³y (lub wiêcej si³), to si³a doœrodkowa jest ich wypadkow¹. a Wybierz wszystkie zdania prawdziwe. b Wyjaœnij, jakie b³êdy zosta³y pope³nione w zdaniach, które uzna³eœ za fa³szywe. 61 WyobraŸ sobie, e na poziomo ustawionej tortownicy siedzi krasnoludek. Tortownica zaczyna wirowaæ wokó³ osi pionowej, najpierw wolno, a potem szybciej. a * Czy jest mo liwe, aby przy niewielkiej szybkoœci wirowania krasnoludek pozosta³ nieruchomy wzglêdem tortownicy (a wzglêdem ciebie porusza³ siê ruchem jednostajnym po okrêgu)? b ** Co siê stanie z krasnoludkiem, gdy wzroœnie szybkoœæ wirowania tortownicy? Dlaczego? c ** Co jest Ÿród³em si³y doœrodkowej, dzia³aj¹cej na krasnoludka w przypadku a, a co wówczas, gdy dotyka on pionowej œcianki tortownicy? Rozwi¹zania na str. 18, 183 43
Wyruszamy w kosmos (ruch jednostajny po okrêgu, si³a grawitacji) 6 * Z drugiej zasady dynamiki wiesz, e jeœli wypadkowa si³a dzia³aj¹ca na cia³o jest ró na od zera (si³y nie równowa ¹ siê), to cia³o posiada przyspieszenie o takim samym kierunku i zwrocie, jak si³a wypadkowa. Wiesz tak e, e w ruchu jednostajnym po okrêgu wypadkowa wszystkich si³ dzia³aj¹cych na cia³o to si³a doœrodkowa. a Czy w ruchu jednostajnym po okrêgu wystêpuje przyspieszenie? Jeœli tak, to jaki jest jego kierunek i zwrot? W zwi¹zku z tym, jak¹ nazwê nosi to przyspieszenie? b Z czym zwi¹zane jest wystêpowanie przyspieszenia w ruchu, w którym prêdkoœæ ma sta³¹ wartoœæ? c Jeœli w ruchu po linii prostej wystêpuje przyspieszenie, to która cecha wektora prêdkoœci ulega wtedy zmianie? 63 Ka de dwie kule przyci¹gaj¹ siê wzajemnie si³ami o wartoœci F G m m 1, r gdzie Nm G jest uniwersaln¹ sta³¹ równ¹ 667, 10 11, kg m 1 masa pierwszej kuli, m masa drugiej kuli, r odleg³oœæ miêdzy œrodkami kul. a Na rysunku zaznaczono si³ê F 1, któr¹ ma³a kula przyci¹ga du ¹ kulê. Dorysuj si³ê F, któr¹ du a kula dzia³a na ma³¹ kulê. Porównaj cechy si³ F 1 i F. m 1 F 1 m r 44 Rozwi¹zania na str. 183, 184
Zadania 3 b * Jak zmieni siê wartoœæ si³, jeœli kulê o masie m zast¹pimy kul¹ o masie m? c * Jak zmieni siê wartoœæ si³, jeœli oddalimy kule na razy wiêksz¹ odleg³oœæ? d ** Jakim ruchem bêd¹ siê zbli aæ do siebie kule pod dzia³aniem si³ grawitacji? 64 * Dlaczego to samo cia³o na ró nych planetach ma ró ne ciê ary? Co o tym decyduje? Uzasadnij odpowiedÿ. 65 * Korzystaj¹c z danych zamieszczonych w poni szej tabeli odpowiedz na pytania: Planeta Masa M pl Ziemia =1 Œrednica planety R pl Ziemia = 1 M R pl pl Ziemia = 1 Merkury 0,06 0,38 0,41 Wenus 0,81 0,95 0,90 Ziemia 1 1 1 Mars 0,11 0,53 0,39 Jowisz 318,0 11,,54 Saturn 95, 9,5 1,10 Uran 14,5 4,0 0,91 Neptun 17, 3,9 1,1 Pluton 0,00 0,18 0,06 a Na której planecie twój ciê ar by³by najbardziej zbli ony do ciê aru na Ziemi? b Na której planecie móg³byœ pobiæ swój w³asny rekord w skoku wzwy, a na której planecie osi¹gn¹³byœ najgorszy rezultat? c Na któr¹ planetê przeniós³byœ siê z Wenus, by najmniej odczuæ zmianê ciê- aru? Rozwi¹zania na str. 184 45
Wyruszamy w kosmos (ruch jednostajny po okrêgu, si³a grawitacji) 66 ** Le ¹ce na powierzchni Ziemi cia³o o masie m jest przyci¹gane przez Ziemiê si³¹ grawitacji o wartoœci F G M m Z g, R gdzie: M Z to masa Ziemi, a R Z 6370 km to œredni promieñ Ziemi. a Uzupe³nij poni sz¹ tabelkê wykonuj¹c w tym celu odpowiednie obliczenia Z Odleg³oœæ cia³a od œrodka Ziemi Wartoœæ si³y grawitacji Odleg³oœæ cia³a od powierzchni Ziemi R Z F g 0 R Z 1 4 F g R Z 3 R Z 4 R Z b Sporz¹dŸ wykres zale noœci wartoœci si³y przyci¹gania ziemskiego od odleg³oœci cia³a od powierzchni Ziemi. Przyjmij skalê, jak na rysunku. c Wielu Ÿle wykszta³conych ludzi uwa a, e astronauci w satelitach dlatego znajduj¹ siê w stanie niewa koœci, bo s¹ tak daleko od Ziemi, e nie dzia³a ju na nich si³a grawitacji. Wiêkszoœæ satelitów kr¹ y wokó³ Ziemi na wysokoœci 00 km 800 km nad jej powierzchni¹. Zaznacz ten przedzia³ odleg³oœci na osi x uk³adu wspó³rzêdnych i sprawdÿ na wykresie, jakie wartoœci si³y grawitacji mu odpowiadaj¹. 46 Rozwi¹zania na str. 185
Zadania 3 F F g 1 F g 1 4 F g 0 R Z R Z 3R Z x 67 ** Si³¹ doœrodkow¹, która utrzymuje satelitê na orbicie oko³oziemskiej jest si³a grawitacji. Jej wartoœæ wyra a siê wzorem G M m Z Fg si³a doœrodkowa, r gdzie G jest sta³¹ grawitacji, M Z jest mas¹ Ziemi, m mas¹ satelity, r promieniem orbity. Odpowiedz na nastêpuj¹ce pytania: a Jeœli po dwóch orbitach o promieniach r 1 i r r poruszaj¹ siê dwa satelity o takich samych masach, to na którego z nich dzia³a wiêksza si³a doœrodko- 1 wa i ile razy? b Jeœli po tej samej orbicie poruszaj¹ siê dwa satelity o masach m 1 i m m, 1 to na którego z nich dzia³a wiêksza si³a doœrodkowa i ile razy? c Jeœli po dwóch orbitach o promieniach r 1 i r 3r poruszaj¹ siê dwa satelity, to jaki musi byæ zwi¹zek pomiêdzy ich masami, aby dzia³aj¹ce na nie si³y 1 doœrodkowe mia³y jednakowe wartoœci? Rozwi¹zania na str. 185, 186 47
Wyruszamy w kosmos (ruch jednostajny po okrêgu, si³a grawitacji) 68 ** Wartoœæ si³y grawitacji dzia³aj¹cej miêdzy planet¹ o masie M i promieniu R i dowolnym cia³em znajduj¹cym siê na jej powierzchni lub niezbyt wysoko nad ni¹ wyra a siê wzorem G M m Fg, R gdzie m jest mas¹ tego cia³a, a sta³a G sta³¹ grawitacji. Wartoœæ si³y doœrodkowej dzia³aj¹cej na cia³o o masie m, wykonuj¹ce ruch jednostajny po okrêgu o promieniu r wyra a siê wzorem m F r, r gdzie jest szybkoœci¹ tego cia³a. a Korzystaj¹c z tych dwóch informacji wyprowadÿ wzór na wartoœæ tzw. pierwszej prêdkoœci kosmicznej ( I ), tzn. prêdkoœci, któr¹ posiada cia³o (satelita) okr¹- aj¹ce planetê po orbicie o promieniu bardzo zbli onym do promienia planety ( R r). GMm b Wzór F g mo na tak e zastosowaæ do obliczenia wartoœci ciê aru cia³a R o masie m, któr¹ zwykliœmy obliczaæ na podstawie II zasady dynamiki, mno ¹c m przez wartoœæ przyspieszenia ziemskiego g: GMm mg. R Oblicz z tego wzoru iloczyn GM i podstaw obliczony wynik do otrzymanego w punkcie a wzoru na I. Otrzymasz w ten sposób prostszy wzór na wartoœæ pierwszej prêdkoœci kosmicznej, z którego ³atwo bêdzie wyci¹gaæ wnioski. c Gdybyœmy otrzymany w b prosty wzór na I chcieli zastosowaæ do obliczenia wartoœci pierwszej prêdkoœci kosmicznej na Marsie, to co oznacza³oby wówczas R, a co oznacza³oby g? d Zastosuj otrzymany wzór na v I do obliczenia wartoœci pierwszej prêdkoœci kosmicznej na Ksiê ycu ( IK ). F g m M Z r 1 48 Rozwi¹zania na str. 186, 187
Zadania 3 Potrzebne do tego informacje: Przyspieszenie swobodnego spadania na Ksiê- ycu jest 6 razy mniejsze ni na Ziemi, promieñ Ksiê yca stanowi 0,7 promienia Ziemi. Wyjaœnij dok³adnie co oznacza otrzymany wynik. e Znaj¹c wartoœæ IK, oblicz okres obiegu tego satelity wokó³ Ksiê yca. Promieñ Ksiê yca wynosi oko³o 1733 km. Rozwi¹zania na str. 186, 187 49