Ćwiczenie 3. Iteracja, proste metody obliczeniowe Instrukcja iteracyjna ( pętla liczona ) Pętla pozwala na wielokrotne powtarzanie bloku instrukcji. Liczba powtórzeń wynika z definicji modyfikowanej wartości licznika pętli. Postać ogólna: for licznik = wartość_pocz:krok:wartość_końcowa, instrukcja, instrukcja, Ćwiczenie Utworzyć m-plik, przetestować i wyjaśnić działanie poniższych przykładów: Przykład 1. Wypełnianie tablicy jednowymiarowej: for i= 1:1:10, a(i) = 3*i - 1; ; disp(a) Przykład2. Sumowanie elementów w tablicy jednowymiarowej: suma = 0; for i= 1:1:10, a(i) = i^2, pause, %zatrzymuje do naciśnięcia dowolnego klawisza suma=suma+a(i); disp(suma) Przykład 3. Wypełnianie tablicy dwuwymiarowej "zagnieżdżenie" iteracji: for i= 1:1:5, for j = 1:1:5, a(i, j) = i*j; pause %ograniczenie pętli wewnętrznej %ograniczenie pętli zewnętrznej disp(a) Przykład 4. Sumowanie elementów w tablicy dwuwymiarowej: suma = 0; for i= 1:1:5, for j = 1:1:5, a(i, j) = 2*i - 4* j, pause, suma=suma+a(i, j); 1
disp(suma) Ograniczenia pętli wewnętrznej mogą być zależne od licznika pętli zewnętrznej. Wykonać i wyjaśnić poniższy przykład: Przykład 5. for i= 1:1:5, for j = 1:1:i, a(i, j) = 2*i - 4* j; disp(a) Zliczanie i sumowanie warunkowe Zliczanie warunkowe (np. policz ile elementów w tablicy jest dodatnich) wymaga zastosowania pętli for, w której dla każdego kroku badamy element tablicy (wykorzystując instrukcję warunkową if). Dla elementów spełniających dany warunek należy wartość pomocniczej zmiennej powiększać o 1. Po zakończeniu pętli wyświetlić wartość zmiennej pomocniczej. Schemat działań: M=-3:0.1:2 ile=0; N=length(M) % funkcja length zwraca liczbę kolumn tablicy for i=1:n if M(i)>0 ile=ile+1; ; disp(ile) Podobny jest algorytm sumowania warunkowego (np. obliczenie sumy elementów dodatnich w tablicy) : M=-3:0.1:2 suma_d=0; N=length(M) for i=1:n if M(i)>0 suma_d=suma_d+m(i); ; disp(suma_d) Zadania 1. Napisać m-plik, w którym zdefiniowana jest dowolna tablica 5x5, (wykorzystać funkcję rand(n), która generuje losowo macierz kwadratową NxN), a następnie obliczana jest suma elementów w 3-ciej kolumnie. 2. Napisać m-plik, w którym zdefiniowana jest dowolna tablica 10x10, następnie obliczana jest suma elementów na przekątnej głównej. 3. Napisać m-plik, w którym zdefiniowana jest dowolna tablica 10x10, następnie obliczana jest suma elementów na przeciwprzekątnej. 4. Napisać m-plik, w którym zdefiniowana jest dowolna tablica 10x10, następnie obliczane jest ile elementów jest dodatnich, a ile ujemnych. 5. Napisać m-plik, w którym zdefiniowana jest dowolna tablica 5x5, następnie obliczana jest suma elementów ujemnych w całej tablicy. 2
Proste obliczenia kinematyczne Jedną wartość możemy obliczyć na podstawie znanego wzoru lub znanej funkcji przez podstawienie wartości liczbowych parametrów lub wartości liczbowej argumentu funkcji. Ćwiczenie Zadanie 1. Obliczyć przyspieszenie samochodu, który startuje w chwili t 0 od prędkości v 0 =0 i przyspiesza ruchem jednostajnie przyspieszonym do prędkości v 1 =20m/s (72km/h) w czasie 5 sekund. Korzystamy ze znanego wzoru na prędkość: v=v 0+a*(t-t 0) Powyższe równanie możemy rozwiązać ręcznie otrzymując wzór na przyspieszenie: a = v v 6 t t 6 Po podstawieniu do tego wzoru danych: t 0=0, v 0=0, t=5; v=20, obliczamy przyspieszenie a. Obliczenie w m-pliku Matlaba: clc, clear t0=0, v0=0, t=5, v=20 a=(v-v0)/(t-t0) Zadanie 2. Obliczyć opóźnienie (przyspieszenie ujemne) samochodu, który jedzie w chwili t 0 z prędkością v 0 =20m/s (72km/h) i zatrzymuje się przed skrzyżowaniem. Czas hamowania wynosi 4 sekundy, a prędkość samochodu maleje jednostajnie. Korzystamy ze wzoru na przyspieszenie z przykładu 1. Po podstawieniu danych : t0=0, v0=20, t=4, v=0 do wzoru 8 = 9:9 ; <:< ; i obliczamy przyspieszenie a. Obliczenia w m-pliku Matlaba: t0=0, v0=20, t=4, v=0 a=(v-v0)/(t-t0) Zadanie 3. Samochód startuje w chwili t 0 =0 od prędkości v 0 =0 i przyspiesza ruchem jednostajnie przyspieszonym do prędkości v 1 = 20m/s (72 km/h) w czasie 5 sekund. Jedzie ze stałą prędkością przez 2 minuty do chwili t 2, a następnie hamuje przez 4 sekundy i zatrzymuje się przed skrzyżowaniem w chwili t 3. a. Narysować wykres prędkości przy użyciu funkcji plot. b. Obliczyć przyspieszenia na poszczególnych odcinkach czasu i narysować wykres przyspieszenia przy użyciu funkcji plot. ad a) Przyjmujemy oznaczenia: t 0=0, v 0=0 t 1=t 0+5, v 1=20 t 2=t 1+2*60, v 2=20 t 3=t 2+4, v 3=0 Podstawiamy oznaczenia poszczególnych chwil do macierzy jednowierszowej t: t=[t 0, t 1, t 2, t 3] Podstawiamy oznaczenia poszczególnych prędkości do macierzy jednowierszowej v: v=[v 0, v 1, v 2, v 3] Stosujemy funkcję plot: 3
plot(t,v) Metoda rozwiązania w m-pliku Matlaba: %Program tworzenia wykresu prędkości t0=0, v0=0 t1=t0+5, v1=20 t2=t1+2*60, v2=20 t3=t2+4, v3=0 t=[t0, t1, t2, t3] v=[v0, v1, v2, v3] plot(t,v), grid title('wykres predkosci') ad b) Zgodnie z wynikiem zad.1 na odcinku <t0,t1> przyspieszenie ma wartość stałą a 1 =4. Na odcinku <t1,t2> przyspieszenie a 2 =0, ponieważ prędkość jest stała. Na podstawie wyniku z zad.2 przyspieszenie na odcinku <t2,t3> ma wartość a 3 =-5. Rysujemy schematyczny rysunek: - na osi t zaznaczamy poszczególne chwile t0, t1, t2, t3, - na osi a rysujemy poszczególne odcinki a1,a2,a3, - numerujemy poszczególne punkty wykresu kolejnymi liczbami 1,2,3,4,5,6,7,8 zaczynając od punktu (t0,0). Kolejne punkty mają współrzędne: 1(t 0,0), 2(t 0,a 1), 3(t 1,a 1), 4(t 1,a 2), 5(t 2,a 2), 6(t 2,a 3), 7(t 3,a 3), 8(t 3,0) Podstawiamy oznaczenia pierwszych współrzędnych kolejnych punktów do wektora t: t=[t 0, t 0,t 1,t 1,t 2,t 2,t 3,t 3] Podstawiamy oznaczenia drugich współrzędnych kolejnych punktów do wektora v: v=[0,a 1,a 1,a 2,a 2,a 3,a 3,0] Wywołujemy instrukcję plot i instrukcję grid: plot(t,v), grid Metoda rozwiązania w Matlab-ie: % Program tworzenia wykresu przyspieszenia t0=0, t1=t0+5, t2=t1+2*60, t3=t2+4 a1=4, a2=0, a3=-5 t=[t0,t0,t1,t1,t2,t2,t3,t3] a=[0,a1,a1,a2,a2,a3,a3,0] plot(t,a), grid title('wykres przyspieszenia') Indeksy elementów wektora W matematyce często argumenty zmiennej x i wartości zmiennej y numerujemy od 0;np.: x 0, x 1,x 2,,x i,,x n-1,x n lub w zapisie skróconym {x i };i=0:n 4
y 0,y 1,y 2,,y i,,y n-1,y n lub w zapisie skróconym {y i }; i=0:n J E 6 + E F +E G + + E I + + E J:F + E J lub krócej: IM6 E I W fizyce zmienną czasową t, prędkość v i drogę s również często numerujemy od 0, np.: t 0, t 1, t 2, t i,,t n v 0, v 1, v 2, v i,,v n s 0, s 1, s 2, s i,,s n W języku Matlab indeksy (wskaźniki) numerujemy od 1. Dlatego, też musimy we wzorach zmieniać indeksy x 1, x 2,x 3,,x i, x n,x n+1 lub w zapisie skróconym {x i };i=1:n+1 y 1,y 2,y 3,,y i,,y n-1,y n+1 lub w zapisie skróconym {y i }; i=1:n+1 E F +E G + E N + + E I + + E JOF JOF PQR S T8UVWVX WYZó[\]^_ ` E I t 1, t 2, t 3, t i,,t n+1 v 1, v 2, v 3, v i,,v n+1 s 1, s 2, s 3, s i,,s n+1 Do elementu wektora odwołujemy się poprzez nazwę wektora i indeks w nawiasie okrągłym; np.: do trzeciego elementu wektora x 3 odwołujemy się x(3). Metody obliczeń wielu wartości funkcji Wartości funkcji można obliczać na wiele sposobów. Ćwiczenie Zadanie 4. Obliczyć wartości drogi dla podanego wzoru na drogę: s= a<b dla a=4 w przedziale dla t=[0, 5] G Sposób 1. Obliczanie wielu wartości dla podanego wzoru, np.. Chcemy obliczyć wartości drogi s co jedną sekundę. Generujemy listę argumentów w wektorze t od 0 do 5. t=[0:0.1:5] lub prościej: t=0:0.1:5 Tworzymy wyrażenie, które oblicza wartości s dla każdego elementu wektora t według wzoru s= a<b G : s=a*t.^2/2 Metoda obliczeń w Matlab-ie: a=4; t=0:0.1:5; s=a*t.^2/2; %elementowe potęgowanie wektora!.^ plot(t,s) Sposób 2. Obliczanie wielu wartości przez podział przedziału t=[t 0, t k ] na n podprzedziałów i zastosowanie iteracji for: Otrzymamy wtedy n+1 wartości t (czyli n-1 wartości w punktach podziału oraz dwa punkty końcowe t 0 i t k ). Metoda obliczeń: Obliczamy długość podprzedziału h: h=(t k-t 0)/n Obliczamy wartości argumentu w punktach podziału: t i=t 0+(i-1)*h dla i=1,2,3,n+1 Obliczamy wartości s i wg wzoru: s i = a*t i^2/2 Metoda obliczeń w m-pliku Matlaba: a=4;t0=0; tk=5; n=50; h=( tk-t0)/n; for i=1:n+1 t(i)=t0+(i-1)*h; s(i)=a*t(i)^2/2; % kolejne operacje na elementach wektora! plot(t,s) IMF 5
Zadanie domowe Bazując na temacie zadania 3 wykonać wykres drogi przebytej przez pojazd s(t) dla wszystkich trzech przedziałów przejazdu. 6