ENERGETYCZNA METODA OCENY MODELI FIZYCZNYCH SYSTEMÓW MECHANICZNYCH I BIOMECHANICZNYCH

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 48, ISSN 1896-771X ENERGETYCZNA METODA OCENY MODELI FIZYCZNYCH SYSTEMÓW MECHANICZNYCH I BIOMECHANICZNYCH Marian Witalis Dobry 1a, Tomasz Hermann 1b 1 Instytut Mechaniki Stosowanej, Politechnika Poznańska a marian.dobry@put.poznan.pl, b tomasz.hermann@put.poznan.pl Streszczenie W artykule przedstawiono energetyczną metodę oceny modeli fizycznych na przykładzie modelu systemu Człowiek Narzędzie. Jest to metoda stosowana do porównania systemów mechanicznych i biomechanicznych, która realizowana jest w dziedzinie rozdziału mocy i przepływu energii w ich strukturach dynamicznych.zastosowana metoda wykorzystuje ścisły związek między dynamiką badanych systemów i zjawiskami energetycznymi, które zachodzą w badanych systemach. Przeprowadzenie oceny energetycznej modeli fizycznychwymagało zbudowania energetycznych modeli systemów Człowiek Narzędzie i ich rozwiązania. W tym celu opracowano programy symulujące przepływ energii w systemach w środowisku MATLAB/Simulink. W ten sposób wykazano różnicę pomiędzy modelami w przepływie rodzajowym energii i globalnie w całym systemie. Słowa kluczowe:drgania miejscowe, system biomechaniczny, przepływ energii ENERGY METHOD OF AN EVALUATION OF HUMAN MECHANICAL AND BIOMECHANICAL SYSTEMS Summary The main aim of this study is a presentation of energy comparison between two human physical models in case of hand-arm vibrations which are based on the energy flow in their dynamic structure.the method which was used, takes advantage of theclose relationshipbetween the dynamicsof the systemsandenergeticphenomenathat occurin the studiedsystems.the energy evaluation of physical models of human required tobuildthe energy modelsof the Human Tool systems and their solutions. For this purpose, there are elaborated programs which realize energy flow of systems in the MATLAB/simulink software. In this way, showed the discrepancy between models in the participation of three types of energy and globally in whole system. Keywords:hand-arm vibrations, biomechanical system, energy flow 1. WSTĘP Każdego dnia człowiek ma kontakt z przyrządami i maszynami, których funkcjonowanie związane jest z przekazywaniem różnych oddziaływań. Najczęściej praca tych urządzeń jest ściśle związana z procesami drganiowymi. Elektryczna maszynka do golenia, pralka, czy też środki transportu, takie jak samochody, autobusy, samoloty są źródłem drgań, które występują w nich samych lub w ich najbliższym otoczeniu. W takim razie każdy organizm żywy jest poddany w różnym stopniu niebezpiecznemu oddziaływaniu drgań. 28

Marian Witalis Dobry, Tomasz Hermann Jednym ze sposobów ochrony człowieka w środowisku pracy jest minimalizowanie drgań do możliwie najniższych poziomów. Obecnie postęp w tej dziedzinie jest znaczący i wiele maszyn jest już projektowanych z uwzględnieniem środków mających na celu ograniczenie drgań. Tylko właściwie zaprojektowane urządzenie pozwala w pełni, tzn. w najwyższym stopniu, zamienić energię na pracę przy minimalnym oddziaływaniu na operatora. W takim przypadku niezbędna jest znajomość charakterystyki dynamicznej ciała człowieka. Zbudowanie odpowiedniego modelu obliczeniowego poprzedzone jest koniecznością przeprowadzenia wielu badań doświadczalnych, ponieważ jest to bardzo złożony i nieliniowy układ. Współcześnie do analiz stosuje się wiele modeli różniących się między sobą przede wszystkim liczbą stopni swobody, elementów składowych struktury dynamicznej oraz sposobem ich połączenia [6]. Oprócz już istniejących układów [7, 8], tworzone są kolejne modele, które mają zastąpić poprzednie i lepiej odzwierciedlać reakcję człowieka na działanie drgań mechanicznych. Wybór właściwego modelu jest wobec tego coraz trudniejszy. W niniejszej pracy podjęto próbę porównania nowego modelu z modelem już stosowanym z normy ISO 10068. Oceny dokonano pod względem energetycznym, a za kryterium poprawności modeli przyjęto równość zjawisk energetycznych zachodzących w ich strukturze dynamicznej oraz w całym systemie w czasie pracy. Celem zaprezentowanych badań była ocena poprawności uzyskiwanych wyników analizy energetycznejza pomocą proponowanego nowego modelu fizycznego człowieka wprzypadku drgań miejscowych, przedstawionego w pracy [5] rys. 2b. W celu sprawdzenia poprawności ocenianego modelu zbudowano odpowiedni model energetyczny człowieka z narzędziem, który był rezultatem syntezy nowego modelu fizycznego człowieka z pracy [5] i zmechanizowanego narzędzia ręcznego (rys. 2b). Wartości otrzymane za pomocą tego modelu energetycznego porównano z modelem odniesienia otrzymanym na podstawie syntezy modelu zawartego w normie ISO 10068 o trzech punktach redukcji [9] z modelem narzędzia (rys. 2a). Przeprowadzenie oceny energetycznej modeli wymagało zbudowania różniczkowych równań ruchu modelu matematycznego, które otrzymano, wykonując procedurę na podstawie równań Lagrange a II rodzaju. Do ich rozwiązania opracowano wpierw programy realizujące dynamikę badanych systemów, wykorzystując program MATLAB/Simulink. Przepływ energii w rozpatrywanych systemach biomechanicznych otrzymano, wykorzystując elementarny procesor przepływu energii i rozdziału mocy MWD [4]. 2. PRZEPŁYW ENERGII W SYSTEMIE Do wyznaczenia przepływu energii wykorzystano pierwszą zasadę przepływu energii w systemie mechanicznym. Zasada ta jest zdefiniowana w następujący sposób [1 4]: Przyrost energii wejściowej netto do systemu mechanicznego z uwzględnieniem przyrostu energii strat równa się sumie przyrostów energii odbitej (zakumulowanej lub zgromadzonej) w systemie iprzyrostowi energii wyjściowej systemu. Zasada ma następującą postać matematyczną: (1) (2) przyrost energii wejściowej (ekwiwalentny pracy sił zewnętrznych działających na system na wejściu na drodze od punktu A do B wzdłuż trajektorii), (3) przyrost energii strat (ekwiwalentny sumie przyrostów strat wewnętrznych w systemie i pracy sił oporu ruchu), (4) przyrost energii zakumulowanej lub zgromadzonej w systemie (ekwiwalentny przyrostowi energii wewnętrznej), (5) przyrost energii wyjściowej (ekwiwalentny pracy sił zewnętrznych na wyjściu z systemu) [1 4]. Interpretację graficzną pierwszej zasady przepływu energii w systemie mechanicznym zaprezentowano na rys. 1. 29

ENERGETCZNA METODA OCENY MODELI FIZYCZNYCH SYSTEMÓW E we SYSTEM MECHANICZNY, SUBSYSTEM, ELEMENT PUNKT REDUKCJI E we E str = E od + E wy E str E od E wy M. W. DOBRY, 17.02.1996 z odpowiadającymi im wynikami, które uzyskano w przypadku wyboru modelu zawartego w normie ISO 10068 o trzech punktach redukcji [9] rys. 2a. Przedstawione modele są modelami dyskretnymi, w których odpowiednie punkty redukcji są połączone ze sobą za pomocą układów sprężystych oraz tłumiących modelujących właściwości sprężyste i tłumiące ciała ludzkiego. W analizowanych modelach do jednoznacznego opisu ruchu należało przyjąć współrzędne uogólnione. Dla modelu z normy ISO 10068 o trzech punktach redukcji (rys. 2a) jako współrzędne uogólnione obrano: Rys. 1. Graficzna interpretacja pierwszej zasady przepływu energii w systemie mechanicznym [1 4] j 1q z t j 2q z t j 3q z t - przemieszczenie masy m1, - przemieszczenie masy m2, - przemieszczenie mas m3 i mn. 3. METODYKA ROZWIĄZYWANIA PROBLEMU Dokonanie oceny zgodności otrzymywanych wyników energetycznych przez nowy model wymagało zbudowania modeli energetycznych człowieka z narzędziem. Przedstawiony nowy model fizyczny złożono z modelu człowieka, opracowanego przez J. H. Donga, R. G. Donga, S. Rakheję i J. Z. Wu [5] oraz z modelu narzędzia. Otrzymane za pomocą tego modelu rezultaty energetyczne zestawiono a) b) F(t) W przypadku syntezy badanego modelu fizycznego człowieka z modelem narzędzia (rys. 2b) jako współrzędne uogólnione obrano: j 1q z t j 2q z t j 3q z t j 4q z t z3(t) - przemieszczenie masym1, - przemieszczenie masy m2, - przemieszczenie masy m3, - przemieszczenie mas m4,m5i mn. Punkt redukcji Palce m3 c5 k5 z3(t) Punkt redukcji Narzędzie mn Punkt redukcji Dłoń m3 Punkt redukcji Narzędzie Dłoń Rękojeść z4(t) F(t) m5 mn m4 c3 k3 c3 k3 c4 k4 z2(t) Punkt redukcji Przedramię Łokieć m2 z2(t) Punkt redukcji Dłoń Nadgarstek Przedramię m2 c2 k2 c2 k2 z1(t) Punkt redukcji Ramię Bark m1 z1(t) Punkt redukcji Ramię Bark m1 c1 k1 c1 k1 Rys. 2. Model fizyczny systemu Człowiek Narzędzie: a) synteza modelu z normy ISO 10068 [9] z modelem narzędzia;b) synteza nowego modelu fizycznego człowieka wg Dong J. H., Dong R. G., Rakheja S., Wu J. Z. [5] z modelem narzędzia 30

Marian Witalis Dobry, Tomasz Hermann Modele matematyczne analizowanych struktur dynamicznych wyprowadzono, korzystając z równań Lagrange a II rodzaju o postaci: E q q Q energia kinetyczna badanego układu, współrzędne uogólnione, prędkości uogólnione, siły czynne zewnętrzne, Q siły potencjalne, Q siły dyssypacji, s liczba stopni swobody. (6) Dla systemu Człowiek Narzędzie (model z normy ISO 10068) zbudowany model matematyczny ma postać (rys. 2a): j1, j2, j3, m zc c z k k z c z k z 0; m zc c z k k z c z k z c z k z 0; m m zc z k z c z k z Ft. Wartości parametrów dynamicznych dla tego modelu fizycznego człowieka odczytano z normy ISO 10068 [9]. W tym przypadku przy wyprowadzaniu równań Lagrange a II rodzaju przyjęto jednak założenie upraszczające, gdyż do analizy dynamicznej uwzględniono tylko jeden, główny kierunek drgań, tzn. parametry dotyczące tego modelu wzdłuż osi z. Model matematyczny dla syntezy nowego modelu fizycznego człowieka z modelem narzędzia (rys. 2b) ma postać: j1, j2, j3, j4, m zc c z k k z c z k z 0; m zc c c z k k k z c z k z c z k z c z k z 0; m zc c " z k k " z c z k z c " z k " z 0; m m " m zc c " z k k " z c z k z c " z k " z Ft. Wartości parametrów dynamicznych badanego modelu odczytano z pracy [5], a badania przeprowadzono dla każdego z czterech dostępnych w tej publikacji wariantów (tab. 1). Na tej podstawie było możliwe stwierdzenie, który przypadek jest najbardziej zbliżony do modelu odniesienia. W przypadku badanego nowego modelu fizycznego człowieka dostępne były cztery zestawy wartości parametrów dynamicznych (tab. 2). Każdy wariant (7) (8) odpowiadał innej sytuacji oddziaływania siłowego człowieka na uchwyt narzędzia, a sytuacje te odpowiadały różnym kombinacjom wartości siły zacisku ręki Fz oraz nacisku dłoni na uchwyt Fn (tab. 1). Wartość siły zacisku Fz [N] nacisku Fn [N] Tabela 1. Warianty warunków kontaktu dłoni z uchwytem narzędzia [5] Wariant I Wariant II Wariant III Wariant IV 15 30 35 45 W ten sposób wyprowadzone równania różniczkowe ruchu (7) i (8) stanowiły podstawę do zapisania modeli energetycznych dla analizowanych systemów. Zastosowanie pierwszej zasady przepływu energii w systemie mechanicznym (1) pozwala na przejście z konwencjonalnej analizy dynamicznej, przeprowadzanej w dziedzinie amplitud wielkości kinematycznych do energetycznej analizy w dziedzinie przepływu energii. W tabeli 3. przedstawiono wartości parametrów dynamicznych modelu z normy ISO 10068 [9]. Do analizy dynamicznej tego modelu uwzględniono, jak już wcześniej nadmieniono, tylko jeden, główny kierunek drgań, tzn. parametry kierunku z. 31

ENERGETCZNA METODA OCENY MODELI FIZYCZNYCH SYSTEMÓW Tabela 2. Wartości parametrów dynamicznych badanego modelu fizycznego człowieka przy różnych wariantach oddziaływania siłowego człowieka na narzędzie [5] Parmetr Jednostka Wariant I Wariant II Wariant III Wariant IV m1 kg 5,854 6,099 6,5 5,863 m2 kg 1,324 0,8 0,977 1,248 m3 kg 0,083 0,084 0,080 0,083 m4 kg 0,025 0,029 0,031 0,029 m5 kg 0,013 0,011 0,012 0,013 k1 N/m 13740 17270 18830 16900 k2 N/m 2460 2420 1020 1700 k3 N/m 6790 34 4030 4040 k4 N/m 26190 38680 48930 52490 k5 N/m 157120 561 96310 143920 c1 N s/m 107,07 152,87 163,76 169,7 c2 N s/m 97,80 159,20 158,94 140,53 c3 N s/m 39,03 25,26 28,97 35,47 c4 N s/m 81,79 86,53 101,31 114,83 c5 N s/m 127,98 74,73 99,87 124,59 Parametr Tabela 3. Wartości parametrów dynamicznych modelu fizycznego człowieka z normy ISO 10068 [9] 10068 [10] Kierunek drgań Jednostka x y z m1 kg 3,0952 3,2462 2,9023 m2 kg 0,486 0,3565 0,6623 m3 kg 0,0267 0,0086 0,0299 k1 N/m 1565 6415 2495 k2 N/m 132 300 299400 k3 N/m 4368 27090 5335 c1 N s/m 9,10 30,78 30,30 c2 N s/m 18,93 51,75 380,6 c3 N s/m 207,5 68 227,5 Wykorzystując zależności (2) (5), zapisano równania przepływu energii dla modelu systemu Człowiek Narzędzie, zbudowanego przy wykorzystaniu modelu z normy ISO 10068 równania (7). W tym przypadku model energetyczny jest następującej postaci: (9) 32

Marian Witalis Dobry, Tomasz Hermann Z kolei dla nowego modelu fizycznego systemu Człowiek Narzędzie równania (8) otrzymano: j1, j2, (10) j3, j4 W ten sposób wyprowadzone modele energetyczne systemów Człowiek Narzędzie wprowadzono do programu MATLAB/Simulink. Tak otrzymane wyniki umożliwiły dokonanie oceny pod względem energetycznym oraz pozwoliły na wykazanie różnic pomiędzy badanym modelem człowieka i modelem z normy ISO 10068. 4. PORÓWNANIE ENERGETYCZNE SYSTEMÓW CZŁOWIEK NARZĘDZIE ponieważ pozwalał on na osiągnięcie przyjętego błędu uśredniania wartości (poniżej 3%) wobec każdego z modeli. Do badań energetycznych przyjęto masę narzędzia mn wynoszącą 6 kg, a do rozwiązania wybrano procedurę ode113 (Adams). Ponadto w symulacjach przejęto krok całkowania wynoszący: maksymalnie 0,001, minimalnie 0,0001 sekundy i tolerancję 0,001. Na rys. 3 przedstawiono wpływ częstotliwości pobudzeń f na wzrost procentowy rodzajowych dawek energii odniesiony do modelu ISO 10068, który wyznaczono zgodnie ze wzorem: Ocenę energetyczną modeli wykonano dla sinusoidalnie zmiennej siły pobudzającej F(t) o amplitudzie N. Badania przeprowadzono przy częstotliwości pobudzeń: 16 Hz, 30 Hz, 60 Hz i 90 Hz. Czas symulacji t wszystkich przypadków ustalono na 300 sekund, We wzorze (11) przyjęto: (11) wartość dawki energii bezwładności, strat lub sprężystości w całym systemie, jako suma dawek ze wszystkich punktów redukcji (obliczona z modułu mocy chwilowych) uzyskana przy wyborze badanego modelu przy określonej częstotliwości pobudzeń f i wyrażona w [J], dawka energii bezwładności wyrażona w [J]: (12) dawka energii strat wyrażona w [J]: (13) dawka energii sprężystości wyrażona w [J]: 33

ENERGETCZNA METODA OCENY MODELI FIZYCZNYCH SYSTEMÓW (14) wartość dawki energii bezwładności, strat lub sprężystości w całym systemie jako suma dawek ze wszystkich punktów redukcji (obliczona z modułu mocy chwilowych) uzyskana przy wyborze modelu z normy ISO 10068 przy określonej częstotliwości pobudzeń f i wyrażona w [J], dawka energii bezwładności wyrażona w [J]: (15) dawka energii strat wyrażona w [J]: (16) dawka energii sprężystości wyrażona w [J]: (17) a) b) Wariant I (Fz = N, Fn = 0 N) Wariant II (Fz = 15 N, Fn = 35 N) Wzrost dawek energii [%] 1 600 800 400 100 110 116 172 120 191 619 103 165 1 427 100 149 1 030 16 16 30 60 90 90 Wzrost dawek energii [%] 800 322 699 113 112 99 114 170 105 139 101 114 482 16 16 30 60 90 90 c) Wariant III (Fz = 30 N, Fn = 45 N) d) Wariant IV (Fz = N, Fn = N) Wzrost dawek energii [%] 800 104 119 134 112 207 473 107 175 1 105 102 143 770 16 16 30 60 90 90 Wzrost dawek energii [%] 800 101 124 166 112 232 607 108 201 1 515 102 168 1 058 16 16 30 60 60 90 90 Rodzajowa dawka energii: bezwładności, strat, sprężystości. 100% pełna zgodność pomiędzy analizowanymi modelami, powyżej 100% zawyżenie wartości przez nowy model względem modelu odniesienia, poniżej 100% zaniżenie wartości przez nowy model względem modelu odniesienia. Rys. 3. Wpływ częstotliwości pobudzeń f na wzrost udziału procentowego rodzajowych dawek energii dla nowego modelu względem modelu z normy ISO 10068: a) wariant I; b) wariant II; c) wariant III; d) wariant IV 34

Marian Witalis Dobry, Tomasz Hermann Z rezultatów przedstawionych na rys. 3 wynika, że udział dawki energii bezwładności w nowym modelu człowieka jest zbliżony do udziału otrzymanego w przypadku zastosowania modelu z normy ISO 10068. Maksymalna różnica pod tym względem, w zależności od modelu, wynosi mniej niż 20%, ale w przypadku udziału pozostałych rodzajowych dawek energii, występująca niezgodność pomiędzy modelami jest już większa. Porównanie to wykazało, że dla energii strat wzrost wynosi od 12% do 107%, a jest jeszcze większy, w przypadku energii sprężystości i wynosi od 1% do 1415%. Decydując się na błąd względny pomiędzy modelami wynoszący maksymalnie 25%, można przyjąć, że rezultaty otrzymane dla wariantu II są zbliżone do wartości otrzymywanych dla modelu z ww. standardu, ale tylko dla częstotliwości f = 16 Hz. Zmniejszając dopuszczalną różnicę między modelami do 10% do badań nie można wykorzystać już żadnego wariantu badanego modelu w analizowanych częstotliwościach pracy systemu Człowiek Narzędzie. Na rys. 4 pokazano wpływ częstotliwości pobudzeń f na wzrost udziału globalnej dawki energii, będącej sumą trzech rodzajowych dawek energii, wyrażonej w procentach dla badanego modelu względem wartości otrzymywanych przy wyborze modelu z normy 10068. Powyższą zależność wyraża wzór: (18) Wzrost globalnej dawki energii [%] 275 2 225 175 1 125 100 75 147 105 125 144 221 162 196 225 145 124 141 156 120 109 117 16 16 30 60 90 90 125 100% pełna zgodność pomiędzy analizowanymi modelami, Wariant: wariant I (Fz= N, Fn = 0N), wariant II (Fz = 15N, Fn = 35N), wariant III (Fz = 30N, Fn = 45N), wariant IV (Fz = N, Fn = N). powyżej 100% zawyżenie wartości przez nowy model względem modelu odniesienia, poniżej 100% zaniżenie wartości przez nowy model względem modelu odniesienia. Rys. 4. Wpływ częstotliwości pobudzeń f na wzrost udziału procentowego globalnej dawki energii dla nowego modelu względem modelu z normy ISO 10068 Największe różnice w globalnej dawce energii występują między tymi modelami w przypadku wyboru wariantu I oraz IV, w których, w zależności od częstotliwości pobudzeń, wzrost wynosi od 20% do nawet 125%. Dla wariantu III wzrost jest mniejszy i wynosi od 17% do 96%, a najmniejszy wzrost występuje w przypadku wyboru wariantu II, dla którego wzrost globalnej dawki energii wynosi od 5% do 62%. Należy zauważyć, że maksymalne wzrosty dawek energiiwobec każdego z wariantów występują zawsze przy częstotliwości pobudzeń f = 30 Hz. Związane jest to z częstotliwością f siły wymuszającej, która była zbliżona do częstotliwości własnych podukładów biomechanicznych. Wprzypadkupozostałychczęstotliwości f sytuacjaprzedstawiasiędużo lepiej, a wzrost pomiędzy modelami zmniejsza się w miarę oddalania się częstotliwości f od rezonansu. Ponadto, przyjmując błąd względny wynoszący 25%, do badań można zastosować każdy wariant nowego modelu, ale otrzymane rezultaty będą porównywalne z wynikami z normy tylko dla f = 90 Hz. Co więcej, również wyniki dla wariantu II są zbliżone do wartości ze standardu, lecz nie dla wszystkich analizowanych częstotliwości pracy systemu Człowiek Narzędzie. 5. PODSUMOWANIE Dokonana ocena energetyczna modeli pozwoliła wykazać różnice pomiędzy nimi w wielkościach kryterialnych podobieństwa modeli, którymi są wszystkie rodzaje energii. Co więcej, uzyskane wyniki wykazały występowanie największej zgodności w przypadku dawki energii bezwładności, następnie strat i na końcu sprężystości. Ponadto przedstawione porównanie 35

ENERGETCZNA METODA OCENY MODELI FIZYCZNYCH SYSTEMÓW energetyczne wykazało występowanie pomiędzy modelami większej zgodności w udziale globalnym dawki energii niż przy rozbiciu na poszczególne składowe, tzn. na trzy rodzajowe dawki energii. Dodatkowo, otrzymane wyniki pozwoliły uszeregować cztery warianty nowego modelu człowieka pod względem zgodności z układem odniesienia rys. 4. Hierarchia ta dla badanego modelu jest następująca: wariant II najlepszy, wariant III, wariant I oraz IV. Ostatecznie stwierdzono, że nowy model znacznie różni się od modelu przyjętego jako standard w normie ISO 10068. W celu potwierdzenia poprawności modeli systemu biomechanicznego Człowiek Narzędzie należy zweryfikować analizowane modele poprzez dokonanie pomiarów energetycznych w laboratorium. Takie możliwości posiada Laboratorium Dynamiki i Ergonomii Metasystemu: Człowiek Obiekt Techniczny Środowisko w Politechnice Poznańskiej. Badania w tym kierunku będą kontynuowane. Literatura 1. Dobry M. W.: Optymalizacja przepływu energii w systemie Człowiek - Narzędzie - Podłoże (CNP). Rozprawa habilitacyjna. Seria Rozprawy" nr 330. Poznań: Wyd. Pol. Poznańskiej, 1998. 2. Dobry M. W.: Energy diagnostics and assessment of dynamics of mechanical and biomechatronics systems. Machine Dynamics Problems 1, Vol. 25, No.3/4, p. 35-54. 3. Dobry M. W.: Diagnostyka energetyczna systemów technicznych. Inżynieria Diagnostyki Maszyn. Polskie Towarzystwo Diagnostyki Technicznej, Instytut Technologii Eksploatacji, Warszawa, Bydgoszcz, Radom, 4, s. 314-339. 4. Dobry M. W.: Podstawy diagnostyki energetycznej systemów mechanicznych i biomechanicznych. Radom: Wyd. Nauk. Instytutu Technologii Eksploatacji PIB, 2012. 5. Dong J. H., Dong R. G., Rakheja S., Wu J.: Predictions of the distributed biodynamic responses in the handarm system. In: 11th International Conference on Hand-Arm Vibration. Bologna (Italy), June 7. 6. Griffin M. J.: Handbook of human vibration.london: Academic Press, 1990. 7. Książek A. M.: Analiza istniejących modeli biodynamicznych układu ręka ramię pod kątem wibroizolacji człowieka operatora od drgań emitowanych przez narzędzia ręczne. Czasopismo Techniczne 2M/1996, s. 87-114. 8. Meltzer G.: A vibration model for the human hand-arm-system. Studies in Environmental Science, Vol. 13, 1981, p. 210-221. 9. ISO 10068:1998: Mechanical vibration and shock - free, mechanical impedance of the human hand-arm system at the driving point. 36