SPIS TREŚCI EDUKACJA Paweł Mazur: Jedenaste: nie ściągaj!... 2 PrzePiS na edukację... 4 Roman Augustyniak: Głuchy telefon... 6 TEMAT NUMERU ĆWICZENIE SPRAWNOŚCI RACHUNKOWEJ Marzenna Grochowalska:Książka, która może się przydać... 7 Liczba Szeherezady... 8 Michał Szurek:Różne sposoby wykonywania mnożenia... 10 Trzy metody liczenia w pamięci... 12 Mam pomysł... 14 Irena Gęstwa: Zabawa z tabliczkąmnożenia... 15 NAUCZANIE MATEMATYKI Aneta Góra: Uczniu, oceńsięsam!... 16 Książki nadesłane... 17 Jolanta Ostrowska: Gazetka szkolna... 18 Mam pomysł... 19 Anna Grabowska: Zadanie konkursowe z deltą lub bez... 20 Dorota Szarek: Powtórka z procentów w szóstej klasie... 21 Grażyna Półtorak: Matematyka na wesoło... 22 Mam pomysł... 23 Barbara Ulfik: Świat, powiat i gmina w procentach... 24 Aleksandra Mazur: Trysekcjakąta... 26 Alicja Szostecka: Jedno czy dwa podejścia?... 28 Marzenna Grochowalska: Sofizmaty... 30 Alicja Komorowska:Czegomożesz się dowiedzieć od ekierki?... 32 Anna Kukuła: W poszukiwaniu symetrii... 34 Joanna Dziwok:Jakuczę zamiany jednostek... 36 Maria Puzio: Matematykaz przyrodą... 38 Janina Morska: Podróże kształcą... 39 Agnieszka Piecewska-Łoś: Analiza według Newtona... 42 MATERIAŁY Aneta Góra: Układanki... 44 Z OSTATNIEJ ŁAWKI Nie zarabiaćnaoświacie... 46 SPIS TREŚCI 1
Michał Szurek Różne sposoby wykonywania mnożenia W późnym średniowieczu zapisywano mnożenie nieco inaczej. Mnożną pisano u góry prostokątnej tabelki (której oczka dzielono jeszcze na połowy), mnożnik zaś po lewej stronie, lecz od dołu do góry! Mnożono kolejne cyfry danych liczb, a wyniki tych mnożeń wpisywano w odpowiednie oczka tablicy. Ostateczny wynik otrzymywano, sumując liczby w ukośnych rzędach, tak jak się zwykle liczby dodaje, a więc przenosząc naddatki do wyższych rzędów ( jeden dalej itp.). Gdy będziemy obliczać kwadrat liczby, w tablicy pojawi się ładna symetria, której nie zauważamy w zwykłym, szkolnym systemie mnożenia. Gdy czynniki mają tyle samo cyfr, tabelka jest kwadratowa i ładnie ilustruje przemienność mnożenia. Przy wykonywaniu mnożenia w przeciwnym porządku pojawi się bowiem ta sama tablica, tylko odbita symetrycznie względem przekątnej. W sposobie tym musimy jedną z liczb (mnożnik) wpisać w nienaturalnym porządku: od dołu do góry. Wydaje się nam to kłopotliwe, ale powinniśmy sobie zdawać sprawę, że z takimi nienaturalnościami mamy do czynienia na co dzień. W zwykłym sposobie mnożenia też musimy zaczynać od prawej. Gdy wprowadzamy liczbę do kalkulatora, jej cyfry są umieszczane od prawej, mimo że czytamy je potem od lewej. Co jest naturalne, a co nie zależy tylko od naszych przyzwyczajeń! Sposób ten jest istotnie (prawie dwukrotnie) szybszy od tradycyjnego, gdy chcemy podnieść dużą liczbę do kwadratu. Wtedy bowiem tabelka jest symetryczna i wystarczy wypełnić tylko jej lewą górną połowę (nad przekątną i na przekątnej). 10 TEMAT NUMERU
Ćwiczenie 3.5. Spójrz na poniższą tabelkę i dokończ obliczenie 679 2. Opisany powyżej sposób mnożenia był polecany jeszcze w połowie XX wieku w arytmetyce handlowej i zwany mnożeniem krzyżowym lub symetrycznym. (...) Z interesujących trików, które kiedyś mogły ułatwiać uczniom mnożenie, omówimy mnożenie na palcach. Prawdę mówiąc, trudno sobie wyobrazić, że kiedykolwiek było to rzeczywiste ułatwienie. Rzecz zasługuje jednak na uwagę i może służyć jako bardzo ciekawe ubarwienie lekcji. Pierwsza z reguł ma zastosowanie do liczb jednocyfrowych większych niż 5. Zakładamy, że mnożenie aż do pięć razy pięć mamy opanowane. Jeśli chcemy obliczyć, ile jest siedem razy osiem, to u każdej ręki wystawiamy tyle palców, o ile dana liczba jest większa od 5. Pozostałe palce zginamy. Następnie dodajemy palce wystawione (to będzie cyfra dziesiątek iloczynu). Puryści zaprotestują przeciwko dodawaniu palców i każą być może mówić, że dodajemy liczby palców wystawionych. Nie zwracając na nich uwagi, mnożymy palce zgięte (i jest to cyfra jedności iloczynu). Na przykład, dla obliczenia, ile jest siedem razy osiem, wystawiamy w lewej ręce trzy palce (dwa zostają zagięte), w prawej dwa (trzy zgięte). Odczytujemy cyfrę dziesiątek: dwa plus trzy i cyfrę jedności: dwa razy trzy. Wynik mnożenia: 56. Reguła ta wynika z prostej tożsamości ab =10 ( (a 5)+(b 5) ) +(10 a)(10 b). Inna reguła obowiązuje, gdy mnożymy liczby z przedziału od 11 do 15. Omówimy ją na przykładzie mnożenia 13 razy 14. U każdej ręki wystawiamy nadwyżkę ponad 10, a zatem w naszym przykładzie jest to 3 i 4. Następnie dodajemy wystawione palce (3 + 4 = 7) i to jest liczba dziesiątek wyniku. Mnożymy te same liczby: 3 razy 4 = 12 i to są jedności wyniku. 12 jedności to 10 i 2. Dopisujemy stały składnik 100. Wynikiem jest 100 + 70 + 12 = 182. Dla liczb z przedziału od 15 do 19 postępujemy nieco podobnie jak dla liczb jednocyfrowych. Chcąc pomnożyć 17 przez 19, u każdej ręki wystawiamy tyle palców, o ile czynnik dany jest większy od 15: dwa u lewej ręki, cztery u prawej. Dodajemy wystawione palce i mnożymy je zawsze przez 20: (2 + 4) 20 = 120. Dodajemy iloczyn zagiętych palców (3 razy 1) i stały składnik 200, otrzymując wynik 323. Tekst pochodzi z książki Michała Szurka O nauczaniu matematyki, która będzie wydana w kilku częściach przez Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe. Pierwsza część książki ukaże się w styczniu 2006 r. TEMAT NUMERU 11
Anna Grabowska Zadanie konkursowe z deltą lub bez Chciałabym podzielić się z Państwem moimi uwagami na temat pewnego zadania: Po dwukrotnej obniżce ceny towaru, za każdym razem o ten sam procent, jego cena końcowa stanowi 64% ceny pierwotnej. Oblicz, o ile procent dokonywano każdorazowo obniżki ceny towaru. To banalne z pozoru zadanie pojawiło się na etapie szkolnym konkursu matematycznego. Bystry i zdolny uczeń III klasy gimnazjum, który ma wprawę w obliczeniach procentowych, od razu podaje poprawną odpowiedź o 20%. Zazwyczaj jednak oczekuje się zapisania obliczeń i uczeń o tym wie. Analizuje zadanie, wprowadza typowe oznaczenia: c pierwotna cena towaru, p procent obniżki wyrażony w ułamku dziesiętnym i zapisuje równanie: c pc (c pc)p =0,64c Wprawne oko matematyka już widzi, że otrzymamy równanie kwadratowe, ale przecież to żaden problem trzy wzory i koniec. Ale uczeń gimnazjum doprowadza równanie do postaci: p 2 2cp 0,36c =0 i tutaj staje przed problemem, którego nie może rozwiązać. Autorzy zadania spodziewali się zapewne, że równanie zostanie rozwiązane poprzez wyłączanie wspólnych czynników: (1 p)c (1 p)cp =0,64c, zatem: (1 p) (1 p)p =0,64 (1 p)(1 p) =0,64 (1 p) 2 =0,64 Stąd już bardzo blisko do poprawnej odpowiedzi. Kiedy opadły konkursowe emocje, zaczęłam się zastanawiać, dlaczego takie zadanie znalazło się w zestawie, co ono sprawdza, jaki jest sens poszukiwania bardziej skomplikowanych metod do rozwikłania prostego problemu? Przecież autorzy musieli zdawać sobie sprawę, że uczestnicy konkursu, w większości gimnazjaliści, nie znają wzoru na wyróżnik trójmianu, nie mają też nawyku rozkładania na czynniki. Nic w treści zadania nie wskazuje, że należy ułożyć i rozwiązać równanie, więc jeśli uczeń stosując prawidłowe rozumowanie, otrzymuje poprawny wynik, to chyba należałoby przyznać maksymalną liczbę punktów za zadanie. Uczę matematyki 17 lat i zawsze cieszą mnie ciekawe pomysły na rozwiązanie zadania, a jeśli uczeń stosuje inną metodę, niż się spodziewam, nawet nietypową, to doceniam jego wysiłek. Być może o takie błyskotliwe zgadnięcie rozwiązania chodziło autorom tego zadania, ale coś jednak nie wyszło. Przygotowując uczniów do konkursu, nie widziałam potrzeby wprowadzania wzoru na deltę i pierwiastki równania kwadratowego. Teraz trochę żałuję, bo gdybym poświęciła na to choć jedną lekcję, to kilkoro moich dobrych uczniów osiągnęłoby lepszy rezultat w konkursie. Ale z drugiej strony trudno przecież zawsze przewidzieć, jakie wiadomości wykraczające poza program gimnazjum musi znać uczestnik konkursu. Może lepiej jednak unikać tego typu zadań konkursowych. 20 KÓŁKO
Dorota Szarek Powtórka z procentów w szóstej klasie Obliczenia procentowe, nawet najprostsze, sprawiają uczniom wiele problemów. Warto poświęcić tym zagadnieniom dużo czasu. Lekcje powtórzeniowe zaplanowałam w pracowni komputerowej. Przed zajęciami przygotowałam prezentację wykonaną w programie PowerPoint. Mogą ją Państwo znaleźć na stronie www.gwo.pl/gazeta. Uczniowie rozwiązywali poszczególne zadania. Odpowiedzi mieli wpisywać do plików programu WORD, które były połączone ze slajdami za pomocą hiperłączy. Po próbie otwarcia takiego pliku pokazywało się okienko z żądaniem hasła. Co zrobić, jeśli jeden z zespołów szybciej zakończy pracę? Można przygotować dodatkowe, trudniejsze zadanie, schowane w innym katalogu, albo zaproponować uczniom przygotowanie własnych dwóch lub trzech slajdów z jakimś zadaniem. Hasłem była prawidłowa odpowiedź do zadania. Nieprawidłowy wynik uniemożliwiał więc otwarcie pliku. W każdym z plików programu WORD umieszczony był tekst oraz liczba punktów możliwych do uzyskania za dobrze rozwiązane zadanie. W przypadku niepowodzenia uczniowie ponownie podejmowali próbę rozwiązania zadania lub przechodzili do następnego. Prezentacja składała się z 13 zadań 1.Po rozwiązaniu ostatniego zadania uczniowie podliczali zdobyte punkty. Ja sprawdzałam rozwiązania i liczbę uzyskanych punktów. Moim szóstoklasistom podobała się powtórka z komputerem. Po lekcji zadawali dużo pytań, głównie dotyczących technicznego wykonania prezentacji z hiperłączami. I tak powstał pomysł twórczej pracy długoterminowej: uczniowie postanowili przygotować własne projekty powtórek z PowerPointem. Po wielu trudach powstały ciekawe prezentacje. Niestety przygotowanie prezentacji wymagało sporo czasu, a złotego medalu nie było 2, ale myślę, że i tak trud przygotowania takiej lekcji się opłacił. 1 Zadanie 7. pochodzi z Kalendarza szóstoklasisty autorstwa Marcina Brauna, GWO, Gdańsk 2001. 2 Patrz artykuł Domek z technologią, Matematyka w Szkole nr 22, ss. 46 47. MATEMATYKA I KOMPUTER 21
Konkurs Prawidłowe odpowiedzi na zagadki Matematołka z numeru 30. to Ognisko paraboli i Stożek. Nagrodę kalkulator naukowy CASIO fx-350es otrzymuje pani Danuta Staśkowska ze Szczecina. Serdecznie gratulujemy i zachęcamy wszystkich Czytelników do brania udziału w następnych konkursach. W tym numerze zagadki Matematołka znajdują się na stronie 41. Odpowiedzi można przysyłać zwykłą pocztą lub pocztą internetową. Matematyka w Szkole Czasopismo dla nauczycieli szkół podstawowych i gimnazjów Adres redakcji: 80-309 Gdańsk al. Grunwaldzka 413, tel. (58) 340-63-80 fax (58) 340-63-01 Dział sprzedaży: tel. (58) 340-63-60 Adres do korespondencji: Matematyka w Szkole Czasopismo dla nauczycieli szkół podstawowych i gimnazjów skr. poczt. 59 80-876 Gdańsk 52 e-mail: gazetamws@gwo.pl http://www.gwo.pl/gazeta Wydawca: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Sp. z o.o. 80-309 Gdańsk, al. Grunwaldzka 413 KRS 0000125773 przy Sądzie Rejonowym w Gdańsku Redaktor naczelny: Marcin Karpiński Redaguje kolegium: Marcin Braun Agnieszka Ciesielska Aleksandra Golecka-Mazur Marcin Karpiński Joanna Kniter Jacek Lech Małgorzata Pałys Michał Stukow Agnieszka Szulc Projekt graficzny, okładka, ilustracje: Sławomir Kilian Skład: Maria Chojnicka Łukasz Sitko Zdjęcie na okładce: Leszek Jakubowski Druk i oprawa: Normex Nakład: 5500 egz. 48