Matematyka 2 dr inż. Rajmund Stasiewicz
Skala ocen Punkty Ocena 0 50 2,0 51 60 3,0 61 70 3,5 71 80 4,0 81 90 4,5 91-5,0 Zwolnienie z egzaminu Ocena z egzaminu liczba punktów z ćwiczeń - 5
Warunki zaliczenia 4 kolokwium ok. 18 pkt. 2 kolokwium ok. 10 pkt.? kartkówka 15-20 pkt. Razem 107-112 pkt. Dodatkowe punkty: - odpowiedzi i przygotowanie do zajęć (min 50 pkt. za kolokwia i kartkówki oraz zaliczone efekty kształcenia)
Kontakt i wyniki Wyniki i materiały: katmat.pb.bialystok.pl/~raj/elektrotechnika Login: imie.nazwisko Hasło: dowolne (podawane przy rejestracji) E-mail: r.stasiewicz@pb.edu.pl
Matematyka 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki
Literatura J.Jóźwiak, J.Podgórski; Statystyka od podstaw; PWE, Warszawa, 1992 K.Kukuła; Elementy statystyki; PWN, Warszawa, 1998 M.Sobczak; Statystyka; PWN, Warszawa, 1997 J.R.Taylor; Wstęp do analizy błędu pomiarowego; PWN, Warszawa, 1999 J.Greń; Statystyka matematyczna, Modele i zadania; PWN, Warszawa, 1974
Elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki Statystyka jest zarówno nauką, techniką, jak i sztuką nowo odkrytą logiką traktowania niepewności i podejmowania roztropnych decyzji (C.Radharkrishna Rao) kiedy możesz mierzyć to, o czym mówisz, i wyrazić to w liczbach, już coś o tym wiesz, lecz kiedy nie możesz tego wyrazić w liczbach, twoja wiedza jest niedostateczna, niewielka i niedoskonała. (Kelvin)
Statystyka Zbiór informacji liczbowych dotyczących wybranej grupy lub kategorii zjawisk. Dyscyplina naukowa, traktująca o metodach liczbowego opisu i wnioskowania o prawidłowościach występujących w procesach masowych. Nauka dostarczająca metod do podejmowania decyzji w warunkach niepewności.
Przyczyny stosowania metod statystycznych, badań częściowych W przypadku nieskończonej populacji nie jest możliwe przeprowadzenie badania pełnego. W przypadku skończonej ale bardzo licznej populacji koszt badania pełnego byłby bardzo wysoki. Badanie statystyczne może mieć charakter niszczący.
Przyczyny stosowania metod statystycznych, badań częściowych Próba reprezentatywna: musi być wybrana losowo, powinna być dostatecznie liczna.
Podstawowe parametry statystyczne Wartość średnia Zadanie: Student Kowalski uzyskał następujące oceny: 4,0; 3,0; 3,5; 5,0; 5,0. Czy student otrzyma stypendium? 1 2 n 1 n n n i1 i
Podstawowe parametry statystyczne Wartość średnia Zadanie: Studenci Wydziału Elektrycznego z egzaminu z matematyki uzyskali następujące oceny: 4,0; 3,0; 3,5; 5,0; 5,0; 3,0; 3,0; 3,5; 5,0; 4,5; 4,0; 3,0; 3,5; 3,5; 4,0; 5,0; 2,0; 2,0; 5,0;. Jaka jest średnia ocen? 1 2 n 1 n n n i1 i?
Podstawowe parametry statystyczne Odchylenie standardowe Zadanie:Pewnemu wytwórcy potrzebny jest do produkcji drut miedziany pocięty na kawałki o nominalnej długości 10 mm. Wytwórca ten ma do wyboru możliwość zakupu drutu od dwóch dostawców (po tej samej cenie). Partie drucików dostarczane przez obu dostawców są losową mieszanką drucików o długości 9,5; 9,8; 10,0; 10,2; 10,5 mm. Rozkłady dostaw są następujące. Rozkład długości drucików dostarczanych przez dostawcę A Długość drucików w mm 9,5 9,8 10,0 10,2 10,5 Prawdopodobieństwo 0,05 0,15 0,60 0,15 0,05 Rozkład długości drucików dostarczanych przez dostawcę B Długość drucików w mm 9,5 9,8 10,0 10,2 10,5 Prawdopodobieństwo 0,1 0,1 0,60 0,1 Od którego dostawcy powinien kupować wytwórca?
Podstawowe parametry statystyczne Odchylenie standardowe 1 n i 2 n i 1 odchylenie standardowe populacji s 1 n 1 n i i1 2 odchylenie standardowe próby
Zmienna losowa intuicyjnie Zmienna, która w wyniku doświadczenia może przyjąć wartość z pewnego zbioru liczb rzeczywistych, i to z określonym prawdopodobieństwem. Ocena uzyskana z egzaminu z matematyki przez studentów Wydziału Elektrycznego. Liczba przedmiotów wyprodukowanych na danym stanowisku pracy w ciągu jednej zmiany. Rozkład długości drucików dostarczanych przez określonego dostawcę. Ilość energii elektrycznej zużywanej dziennie przez określony zakład pracy. Wyniki pomiarów.
Zmienna losowa - definicja Niech E będzie zbiorem zdarzeń elementarnych danego doświadczenia. Funkcję X(e) przyporządkowującą każdemu zdarzeniu elementarnemu ee jedną i tylką jedną liczbę X(e)= nazywamy zmienną losową. X : E R
Zmienna dyskretna Zadanie: W grupie studenckiej przeprowadzono egzamin. Niech X oznacza ocenę (przy czterostopniowej skali ocen) losowo wybranego studenta. Czy X jest zmienną losową?
Zmienna dyskretna Typy zmiennych losowych: zmienna losowa dyskretna (skokowa) zmienna losowa ciągła. Mówimy, że zmienna losowa X jest typu skokowego, jeżeli istnieje skończony albo przeliczalny zbiór W ={ 1, 2,, n, } jej wartości 1, 2,, n, taki, że P(X= i ) = p i > 0 p i i1 1 in, gdzie górna granica sumowania wynosi n albo stosownie do tego czy zbiór W jest skończony czy przeliczalny.
Zmienna dyskretna f-cja rozkładu p-stwa Funkcję p określoną na zbiorze W równością p( i ) = P(X= i ) p i albo, co jest równoważne dwuwierszową tablicą i 1 2 n p i p 1 p 2 p n i spełniającą warunek unormowania nazywamy funkcją rozkładu prawdopodobieństwa (krócej: funkcją prawdopodobieństwa) zmiennej losowej X.
Zmienna dyskretna Zadanie: W grupie studenckiej przeprowadzono egzamin. Niech X oznacza ocenę (przy czterostopniowej skali ocen) losowo wybranego studenta. Zakładając, że stosunek ocen b.dobrych, dobrych, dostatecznych, niedostatecznych ma się tak, jak 1 : 3 : 4 : 2. Wyznaczyć dla tak określonej zmiennej losowej X funkcję prawdopodobieństwa i jej wykres.
Zmienna losowa - dystrybuanta Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F() = P(X ) dla każdego R. Własności dystrybuanty F() zmiennej X: a) 0 F() 1 b) F() jest funkcją niemalejącą c) F() jest funkcją przynajmniej lewostronnie ciągłą d) F( ) 0 oraz F( ) 1 lim lim
Zmienna losowa - dystrybuanta Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F() = P(X ) dla każdego R. Dla zmiennej losowej skokowej dystrybuanta jest określona wzorem: F( ) p ( i 1,2,...) i i
Zmienna dyskretna - dystrybuanta Zadanie: W grupie studenckiej przeprowadzono egzamin. Niech X oznacza ocenę (przy czterostopniowej skali ocen) losowo wybranego studenta. Zakładając, że stosunek ocen b.dobrych, dobrych, dostatecznych, niedostatecznych ma się tak, jak 1 : 3 : 4 : 2. Wyznaczyć dla tak określonej zmiennej losowej X dystrybuantę i jej wykres.
Zmienna dyskretna - dystrybuanta Zadanie: W grupie studenckiej przeprowadzono egzamin. Niech X oznacza ocenę (przy czterostopniowej skali ocen) losowo wybranego studenta. Zakładając, że stosunek ocen b.dobrych, dobrych, dostatecznych, niedostatecznych ma się tak, jak 1 : 3 : 4 : 2. Wyznaczyć dla tak określonej zmiennej losowej prawdopodobieństwo P(X<3,5) oraz P(3 X<4,5) korzystając z funkcji p-stwa oraz dystrybuanty.
Podstawowe parametry statystyczne Zmienna ciągła - wartość średnia Zadanie: Student Wydziału Elektrycznego zmierzył natężenie prądu i uzyskał następujące wyniki: 4,1; 3,3; 3,5; 5,2; 5,1; 3,7; 3,3; 3,6; 4,9; 4,5; 4,4; 3,49; 3,50; 3,51; 4,7; 2,8; 2,0; 5,001;. Jakie jest średnie natężenie prądu?
Podstawowe parametry statystyczne Zmienna ciągła - wart śr, odchylenie standard Wartość średnia: k i p i1 i Odchylenie standardowe: n i1 2 i pi
Zmienna ciągła - intuicja Zadanie: Student Wydziału Elektrycznego zmierzył natężenie prądu i uzyskał następujące wyniki: 4,1; 3,3; 3,5; 5,2; 5,1; 3,7; 3,3; 3,6; 4,9; 4,5; 4,4; 3,49; 3,50; 3,51; 4,7; 2,8; 2,0; 5,001;. Narysuj funkcję rozkładu prawdopodobieństwa. Natężenie prądu 2,0-2,5 2,5-3,0 3,0-3,5 4,5-5,0 5,0-5,5 P-stwo 0,05 0,20 0,30 0,15 0,10
Zmienna ciągła - definicja Funkcją gęstości zmiennej losowej X typu ciągłego nazywamy funkcję f() określoną następująco: f ( ) lim 0 P( X )
Zmienna ciągła - definicja Funkcją gęstości zmiennej losowej typu ciągłego nazywamy funkcję f(), określoną na zbiorze liczb rzeczywistych o następujących własnościach: b a f ( ) 0 f ( ) P( a X b) dla dowolnych a < b f ( ) d P( X ) 1
Zmienna ciągła rozkład jednostajny Zadanie: Autobus pewnej linii kursuje regularnie co 5 min. Pasażer przychodzi na przystanek w przypadkowym momencie nie kierując się rozkładem jazdy. Niech zmienną losową X będzie czas oczekiwania (w minutach) pasażera na autobus. Określić postać funkcji gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X oraz obliczyć prawdopodobieństwo tego, że czas oczekiwania na autobus będzie liczbą z przedziału (1, 3].
Zmienna ciągła rozkład jednostajny Definicja: Zmienna losowa X przyjmująca wartości z przedziału [a,b] ma rozkład jednostajny, jeśli jej funkcja gęstości jest określona wzorem: f ( ) 0 1 b-a 0 dla dla dla a a b b
Zmienna losowa - dystrybuanta Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F() = P(X ) dla każdego R. Dla zmiennej losowej ciągłej dystrybuanta jest określona wzorem: F ( ) f ( t) dt
Zmienna ciągła rozkład jednostajny Zadanie: Autobus pewnej linii kursuje regularnie co 5 min. Pasażer przychodzi na przystanek w przypadkowym momencie nie kierując się rozkładem jazdy. Niech zmienną losową X będzie czas oczekiwania (w minutach) pasażera na autobus. Określić postać dystrybuanty.
Zmienna ciągła rozkład jednostajny Dystrybuanta F()=P(X ) zmiennej losowej X o rozkładzie jednostajnym wyraża się wzorem: b b a a b a a F dla 1 dla dla 0 ) (
Podstawowe parametry statystyczne Zmienna ciągła Wartość oczekiwana: E ( X ) f ( ) d Wariancja: 2 D ( X ) f ( ) d E( X ) 2
Podstawowe parametry statystyczne Rozkład jednostajny Wartość oczekiwana: a b E( X ) 2 Wariancja: 2 ( b a) D ( X ) 12 2
Zmienna ciągła rozkład normalny Większość zjawisk świata fizycznego podlega prawu rozkładu normalnego. Rozkład normalny lub bardzo zbliżony do normalnego ma: waga lub wzrost osobników jednorodnych populacji ludzkich lub zwierzęcych, plon na jednakowych poletkach doświadczalnych, losowe błędy pomiarów, itd.
Zmienna ciągła rozkład normalny Do rozkładu normalnego prowadzi taki proces kształtowania zjawiska, w ramach którego na dane zjawisko oddziałuje duża liczba niezależnych czynników, których wpływ, traktowany odrębnie, jest mało znaczący.
Rozkład normalny - definicja Zmienna losowa X ma rozkład normalny o parametrach m oraz σ, co w skrócie zapisuje się jako X : N(m,σ), jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem: f m 1 2 2 e 2 2 przy czym σ > 0.
Rozkład normalny - dystrybuanta Dystrybuanta rozkłady normalnego ma postać F tm 1 e 2 2 2 2 dt
Podstawowe parametry statystyczne Rozkład normalny Wartość oczekiwana: Wariancja: m d e X E m 2 2 2 2 1 ) ( 2 2 2 2 2 2 ) ( 2 1 ) ( d e m X D m
Podstawowe parametry statystyczne Rozkład normalny Krzywa gęstości rozkładu normalnego ma następujące własności: jest symetryczna względem prostej =m, osiąga maksimum równe 1 2 dla =m, jej ramiona mają punkty przegięcia dla =m-σ oraz =m+σ.
Rozkład normalny Zadanie: Waga mężczyzn (w kg) w pewnej populacji ma rozkład N(70; 6). - Sporządzić wykresy funkcji gęstości i dystrybuanty wagi mężczyzn w populacji. - Zilustrować na tych wykresach prawdopodobieństwo tego, że wybrany przypadkowo mężczyzna będzie miał wagę z przedziału (70; 75). - Obliczyć to prawdopodobieństwo.
Rozkład normalny - standaryzacja Rozkład normalny ze średnią m=0 oraz odchyleniem standardowym σ=1 nazywamy standardowym rozkładem normalnym (rozkładem normalnym ustandaryzowanym) i oznaczamy N(0; 1). U X m
Rozkład normalny podstawowe zależności b a a F b F d f b X a P b X a P a a F d f a X P a a F d f a X P 1
Rozkład normalny Zadanie: a) Obliczyć jaka część obserwacji mieści się w granicach jednego odchylenia standardowego (wokół średniej) tj. w przedziale (m-σ, m+σ). b) Obliczyć jaka część obserwacji mieści się w granicach jednego odchylenia standardowego (wokół średniej) tj. w przedziale (m-2σ, m+2σ). c) Obliczyć jaka część obserwacji mieści się w granicach jednego odchylenia standardowego (wokół średniej) tj. w przedziale (m-3σ, m+3σ).
Rozkład normalny reguła trzech sigm Typowy obszar zmienności: m-s < typ < m+s. W obszarze tym mieści się ok. 2/3 wszystkich jednostek badanej zbiorowości Reguła trzech sigm mówi, że wystąpienie obserwacji o wartości cechy poza przedziałem (m-3σ, m+3σ) jest bardzo mało prawdopodobne. W przypadku rozkładu normalnego w przedziale (m-σ, m+σ) mieści się 68% obserwacji, w przedziale (m-2σ, m+2σ) mieści się 95% obserwacji, a w przedziale (m-3σ, m+3σ) mieści się 99,7% obserwacji
Elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki KONIEC