Wojciechowski Jacek, Gajewski Marcin Daniel, Ajdukiewicz Cezary Witold: Procedura wyznaczania parametrów sprężysto-plastyczności ze wzmocnieniem izotropowym na podstawie badań doświadczalnych przy zastosowaniu systemu optyczno-pomiarowego ARAMIS, w: Deformacje i wytrzymałość materiałów i elementów konstrukcji / Jemioło Stanisław, Szwed Aleksander (red.), 2013, Wydział Inżynierii Lądowej Politechniki Warszawskiej, ISBN 9708378141013, ss. 93-98
VIII PROCEDURA WYZNACZENIA PARAMETRÓW SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNOŚCI ZE WZMOCNIENIEM IZOTROPOWYM NA PODSTAWIE BADAŃ DOŚWIADCZALNYCH PRZY ZASTOSOWANIU SYSTEMU OPTYCZNO- POMIAROWEGO ARAMIS Jacek WOJCIECHOWSKI, Marcin GAJEWSKI, Cezary AJDUKIEWICZ 1. Wstęp Rozwiązywanie numeryczne zadań MES przy uwzględnieniu relacji konstytutywnych sprężysto-plastyczności wymaga właściwego wybrania modelu materiału i określenie jego parametrów [1,2,10]. Niewłaściwy dobór modeli i ich parametrów może doprowadzić do błędnych wyników i interpretacji. Dlatego też wskazane jest przed wykonaniem analizy złożonego zagadnienia przeprowadzenie testów mających na celu sprawdzenie poprawności przyjęcia modelu materiału, wartości przyjętych parametrów i warunków brzegowopoczątkowych. Najbardziej skutecznym sposobem sprawdzenia tej poprawności jest jednoczesne wykonanie analizy doświadczalnej i numerycznej wybranego zagadnienia i porównanie otrzymanych wyników. Planowanie programu badań doświadczalnych, których celem jest weryfikacja rozwiązań numerycznych zagadnienia brzegowego wymaga wzajemnych interakcji badań doświadczalnych i symulacji numerycznych. Należy zwrócić szczególną uwagę na kształt próbek sposób ich obciążenia oraz przyjęte warunki brzegowe. Niejednorodność pól mechanicznych może stanowić problem w interpretacji wyników. Wyznaczenie parametru czy funkcji materiałowej, wobec oczywistego wpływu warunków brzegowych i samej geometrii próbki może też stanowić istotny problem. W rozdziale tym zaprezentowano sposób postępowania przy wyznaczaniu parametrów materiałowych modelu konstytutywnego sprężysto-plastyczności ze wzmocnieniem izotropowym. Kalibracja parametrów materiałowych w ramach przyjętego modelu przeprowadzona została na trzy sposoby za pomocą procedur programu Abaqus (z próby jednoosiowego rozciągania), z wykorzystaniem procedury nieliniowej regresji pakietu MATHEMATICA (z próby jednoosiowego rozciągania) oraz jako wyniki analizy odwrotnej (w złożonym stanie naprężenia). Analiza odwrotna polegała na porównaniu wyników badania doświadczalnego rozciągania cienkiej tarczy z otworem kołowym z wynikami uzyskanymi z
rozwiązania zadania brzegowego z relacjami konstytutywnymi sprężysto-plastyczności ze wzmocnieniem izotropowym przy zastosowaniu metody elementów skończonych (MES). W przypadku próby rozciągania cienkiej tarczy z otworem kołowym do rejestracji wyników zastosowano system optyczno-pomiarowy Aramis, który pozwolił na rejestrację całego pola przemieszczenia w wybranym podobszarze próbki. 2. Relacje konstytutywne sprężysto-plastyczności ze wzmocnieniem izotropowym Rozważamy teorię sprężysto-plastyczności małych odkształceń, w której zakłada się addytywną dekompozycję tensora odkształcenia ε na część sprężystą ε e i plastyczną ε p w postaci [10]: W założeniu tensor ε = ε ε (2.1) ε e charakteryzuje deformację odwracalną, zaś e p ε p deformacje trwałe. Tensory ε e i ε p są symetrycznymi tensorami drugiego rzędu. Sprężystą część odkształceń określamy na podstawie związku Hooke a dla materiałów izotropowych: 1 ε e (tr σ) I σ, (2.2) E E gdzie E jest modułem Younga, a bezwymiarowym współczynnikiem Poissona. Nie jest natomiast możliwe określenie bezpośredniej relacji na część plastyczną w przypadku teorii plastycznego płynięcia. Wówczas korzysta się z funkcji plastycznego płynięcia, która po osiągnięciu przez materiał stanu plastycznego determinuje ε. Zatem, ponieważ relacja konstytutywna plastyczności postulowana jest na prędkość odkształceń plastycznych, addytywną dekompozycję odkształceń z wzoru (2.1) podaje się również w ujęciu przyrostowym p ε = ε e ε p (2.3) Zależność na część plastyczną odkształcenia postulowana w postaci stowarzyszonego z warunkiem plastyczności f prawa płynięcia ma postać: ε p f σ T σ σ, 0, (2.4) gdzie f 0 definiuje w przestrzeni stanu naprężenia warunek plastyczności. Dla f 0 materiał znajduje się w stanie sprężystym, co odpowiada równości ε 0 (czyli mnożnik plastyczny 0 ). W momencie, gdy stan naprężenia osiągnie warunek f 0 w ciele zachodzą odkształcenia plastyczne, a zatem stan naprężenia jest określony za pomocą warunku plastyczności. Tensor prędkości odkształceń plastycznych zdefiniowany jest zgodnie z normalną do powierzchni plastyczności. p
Aby powierzchnia f jednoznacznie definiowała przejście w stan plastyczny, funkcja f musi być względem σ funkcją wypukłą. Jeżeli pomija się obciążenia krótkotrwałe i szybkozmienne, często przyjmuje się założenie o nieściśliwości części plastycznej przyrostu odkształcenia tr ε p 0. (2.5) A zatem, w materiałach spełniających ten warunek, odkształcenia trwałe są z założenia dewiatorem, co skutkuje tym, iż funkcja f ( σ ) nie jest zależna od śladu tensora naprężenia (por. warunek plastyczności Hubera-Misesa, Coulomba-Treski i inne [10]). W rozdziale tym przyjęto warunek plastyczności Hubera-Misesa ze wzmocnieniem izotropowym, w którym w wyniku wystąpienia odkształceń plastycznych powierzchnia graniczna rozszerza się jednakowo podczas ściskania i rozciągania, podczas gdy jej środek nie przemieszcza się w przestrzeni naprężeń. W rezultacie granica plastyczności materiału wzrasta/maleje wraz ze wzrostem/zmniejszeniem odkształceń plastycznych. Jak pokazano na rys. 2.1a plastyczne płynięcie zaczyna się w punkcie A, i przy zwiększaniu naprężenia (odcinek AB) materiał wzmacnia się plastycznie, aż do wartości naprężenia. a) b) B Rysunek 2.1. Graficzna interpretacja wzmocnienia izotropowego. Po odciążeniu w materiale pozostają trwałe deformacje. Przy zmianie znaku naprężenia, materiał można ściskać sprężyście, aż do wartości B. Po przekroczeniu tej wartości następuje plastyczne płynięcie przy ściskaniu. Podczas ściskania materiał także się wzmacnia (odcinek CD) i gdy siła zmienia po raz kolejny znak na dodatnią uplastycznienie następuje dla wartości znacznie większej (powyżej odcinka AB). Na rys. 2.1b zamieszczono przekrój dewiatorowy warunku plastyczności z zaznaczonym warunkiem plastyczności materiału oryginalnego (linia przerywana) oraz warunkiem plastyczności po uwzględnieniu wzmocnienia do wartości B. Równanie powierzchni granicznej Hubera-Misesa ze wzmocnieniem izotropowym ma postać Warunek plastyczności wyrażony jest zależnością pl 0 pl f F σ, ( σ ). (2.6) 2 f ( σ) s. s, (2.7) 3
gdzie 1 (tr ) pl s σ σ jest dewiatorem stanu naprężenia, oznacza równoważne 3 jest funkcją naprężenia w próbie jednoosiowego 0 pl odkształcenia plastyczne, a rozciągania. Funkcję tę przyjąć można w następującej postaci pl pl b Q e 0 0 1, (2.8) gdzie 0 jest początkową granicą plastyczności w teście jednoosiowego rozciągania przy zerowych odkształceniach plastycznych, a Q i b parametrami materiałowymi charakteryzującymi wzmocnienie materiału w wyniku deformacji plastycznej. Parametr Q (wyrażony w MPa) definiuje maksymalną zmianę w rozmiarze powierzchni granicznej, a b prędkość, z którą ta zmiana przebiega. 3. Badania doświadczalne W celu uzyskania danych doświadczalnych, niezbędnych do przeprowadzenia kalibracji parametrów materiałowych modelu konstytutywnego przedstawionego w pkt. 2 wykonano kilka badań doświadczalnych. Przeprowadzone pomiary posłużyły zarówno do wyznaczenia parametrów materiałowych, jak i późniejszego zweryfikowania relacji konstytutywnych. W badaniach wykorzystano stop aluminium EN AW-6082 (EN AW-AlSi1 (PA4)). W składzie chemicznym tego stopu dominują magnez, mangan oraz krzem. Wpływ prędkości deformacji na właściwości mechaniczne w tym materiale jest bardzo mały [13]. Materiał charakteryzuje się dużą powtarzalnością wyników jednoosiowego rozciągania. 3.1. Aparatura badawczo-pomiarowa Wszystkie badania przeprowadzono w maszynie wytrzymałościowej Instron 8802 (patrz rys. 3.1a) wyposażonej w siłownik hydrauliczny o zakresie 250kN. Siłownik hydrauliczny zamontowany jest na sztywnej ramie, jego maksymalna prędkość przemieszczenia wynosi v = 3m/min = 50mm/s. W skład maszyny wchodzą również hydrauliczny układ zasilający oraz elektroniczna jednostka kontrolująca [8]. Maszyna wyposażona jest w zaciski hydrauliczne, które pozwalają na wygodne mocowanie próbek oraz zapewniają stały docisk. Do pomiaru przemieszczeń i odkształceń zastosowano: ekstensometry mechanicznoelektrooporowe, video-ekstensometr oraz system optycznej korelacji obrazu Aramis 2M, który jest przeznaczony do bezkontaktowych, trójwymiarowych pomiarów przemieszczeń elementów płaskich i przestrzennych poddanych obciążeniu [2]. Aramis 2M to układ dwóch kamer (patrz rys. 3.1b) o ogniskowej 17 mm i szybkości wykonywania zdjęć 12 Hz oraz o rozdzielczości 1600x1200 pikseli tj. 1,92 Mpix. Jest to zestaw standardowy pozwalający na badanie stanów przemieszczeń i odkształceń płaskich lub lekko zakrzywionych powierzchni elementów przestrzennych pod obciążeniem statycznym. Dokładność odczytu położenia na rzeczywistym obiekcie zależy od zakresu pomiarowego, parametrów przeprowadzonej kalibracji oraz rozdzielczości wykonywanych zdjęć (patrz [2]).
a) b) Rysunek 3.1. Aparatura badawczo-pomiarowa: a) serwo-hydrauliczna maszyna wytrzymałościowa Instron, b) fotogrametryczny system pomiarowy Aramis 2M. Zasada pomiaru jest taka sama jak w fotogrametrii, a zatem na podstawie zdjęć wykonywanych przez dwie kamery określane są (przy zastosowaniu triangulacji) współrzędne przestrzenne wybranych punktów [11]. Pomiar przebiega następująco: wykonywane jest zdjęcie obiektu w stanie nieodkształconym, a następnie seria zdjęć odpowiadająca kolejnym etapom obciążenia obiektu. Po zakończeniu badań każde ze zdjęć jest porównywane ze zdjęciem początkowym i tworzony jest zbiór wartości przemieszczeń wybranych punktów na powierzchni obiektu. Mogą to być np. plamki, kropki lub inne zmiany zabarwienia naturalnie występujące na powierzchni. W przypadku, gdy powierzchnia jest gładka i bez żadnych zmian zabarwienia nanosi się na nią najpierw farbę białą, a następnie zabarwia najlepiej farbą czarną w sprayu tworząc nieregularny układ plamek - patrz rys. 3.2a. a) b) Rysunek 3.2. a) Próbka z naniesionym układem plamek oraz przyjętym przez program obszarem roboczym. b) Fasetki przyjęte przez oprogramowanie systemu Aramis. Na tej podstawie, program analizujący obszar tworzy siatkę punktów. Punkty te są to środki tzw. "fasetek", czyli małych podobszarów, na który został podzielony cały analizowany obszar - patrz rys. 3.2b. Za pomocą programu [2] rejestrowane są współrzędne tych punktów, a następnie wyznaczane zmiany ich położenia i dalej na tej postawie odkształcenia.
3.2. Próby rozciągania monotonicznego przy jednorodnym i jednoosiowym stanie naprężenia Sterowanie w teście realizowane było metodą przemieszczeniową (ruch głowicy maszyny wytrzymałościowej ze stałą prędkością 5mm/min, co odpowiada średniej prędkości odkształcania 2.8%/min), aż do zniszczenia próbki. Próbka została zamocowana w szczękach maszyny, w związku z czym na krawędzi próbki odebrana została możliwość przemieszczeń w obu kierunkach oraz obrotu. Odległość pomiędzy szczękami maszyny wytrzymałościowej wynosiła ok. 200mm. Dzięki małej szerokości próbki można założyć, że panuje w niej stan jednorodnego naprężenia. Wykres zależności naprężenia od odkształcenia dla reprezentatywnej próby przedstawiono na rys. 3.3. Na tym samym rysunku zaprezentowano także kształt rozciąganej próbki płaskiej o grubości 2mm. Rysunek 3.3. Wykres naprężenia w funkcji odkształcenia w badaniu monotonicznego jednoosiowego rozciągania. Dla tak przeprowadzonej próby w zakresie naprężeń 25 250 MPa wyznaczono moduł Younga uzyskując wartość E 66791MPa. W celu wyznaczenia wartości współczynnika Poissona przeprowadzono dodatkowo badania na próbkach o przekroju kołowym mierząc odkształcenia w kierunku rozciągania i w kierunku do niego prostopadłym uzyskując wynik 0.345. Niemniej jednak w literaturze [12], w przypadku próbek z tego stopu aluminium wykonanych przez walcowanie zaobserwowano anizotropię zarówno właściwości sprężystości jak i plastyczności. Wobec tego przeprowadzono badania rozciągania próbek wyciętych w kierunku walcowania, pod kątem 45 oraz prostopadle do kierunku walcowania. Na podstawie wyników tych badań w materiale nie stwierdzono anizotropii.
3.3. Rozciąganie z odciążeniem przy złożonym stanie naprężenia Do badań użyto płaskownika grubości 2mm pokazanego na rys. 3.4. Po zaciśnięciu szczęk maszyny wytrzymałościowej rozciągana jest część płaskownika o wymiarach 240x70mm Rysunek 3.4. Próbka płaska do badań w złożonym stanie naprężenia (z zaznaczonym obszarem pomiarowym systemu Aramis). W środku rozciąganego płaskownika znajduje się otwór o średnicy 20mm. Otwór został wykonany w próbce w celu wywołania złożonego stanu naprężenia przy osiowym rozciąganiu. Do pomiarów przemieszczeń w trakcie rozciągania zastosowano system optyczno-pomiarowy Aramis. Ze względu na maksymalną możliwą rozdzielczość obrazu obszar roboczy został ograniczony do środkowej (zaciemnionej na rysunku) części próbki o długości ok. 120mm, por. rys. 3.4. Program badania zakładał rozciąganie próbki ze stałą prędkością 4mm/s (co odpowiada średniej prędkości odkształcenia 1.7%/min) do wartości odkształcenia 0.8% (mierzone między szczękami maszyny wytrzymałościowej - baza ok. 240mm). Następnie próbkę odciążano do zerowej wartości obciążenia. W trakcie testu wykonywano zdjęcia w liczbie 1szt./sec. Na podstawie zdjęć, przy zastosowaniu programu Aramis wyznaczono wykresy warstwicowe przemieszczeń i odkształceń badanej próbki. Na rys. 3.5 przedstawiono wykres warstwicowy maksymalnych odkształceń głównych w ostatnim kroku badania. Rysunek 3.5. Wykres warstwicowy maksymalnych odkształceń głównych w próbce (po odciążeniu).
Na wykresie tym przy krawędzi otworu wyraźnie ukazują się dwie strefy z koncentracją odkształceń plastycznych. Ekstremalne wartości odkształceń osiągają poziom 16.3%. Dodatkowo na rys. 3.5 pokazano 10 wybranych punktów na brzegach obszaru pomiarowego, których przemieszczenia posłużą w dalszej części do określenia przemieszczeniowych warunków brzegowych w zadaniu MES w analizie odwrotnej. W dalszej części pracy w punktach 4 i 5, porównanie wyników testu doświadczalnego z niejednorodnymi polami odkształcenia oraz wyników rozwiązania zadań MES, przeprowadzono na podstawie pomiaru zmiany średnicy (w kierunku działania siły i w kierunku prostopadłym) w trakcie rozciągania próbki, por. rys. 3.6. Wybór ten podyktowano możliwością łatwego porównywania wyników oraz przedstawiania ich w formie graficznej. Wykres zmiany średnicy otworu zarejestrowany w trakcie badania rozciągania próbki zamieszczono na rys. 3.6. Rysunek 3.6. Zmiana średnicy otworu w płaskowniku przy próbie rozciągania z odciążeniem wyniki badania. 4. Sformułowanie i rozwiązanie zagadnienia brzegowego rozciągania tarczy z otworem w programie Abaqus Określając parametry modelu konstytutywnego sprężysto-plastyczności ze wzmocnieniem izotropowym w programie Abaqus należy podać wartości parametrów opisujących zachowanie sprężyste oraz dane opisujące przyrost naprężeń po osiągnięciu granicy plastyczności [1]. Na parametry sprężyste składają się moduł Younga E wyrażony w MPa oraz bezwymiarowy współczynnik Poissona. Wartości tych parametrów wyznaczono na podstawie badań doświadczalnych i wynoszą one odpowiednio E 66791MPa oraz 0.345. Fazę plastyczną pracy materiału można zdefiniować korzystając z wbudowanej procedury kalibracyjnej w programie Abaqus [1]. Procedura ta, na podstawie par liczb
naprężenie-odkształcenie z testu jednoosiowego, aproksymuje przebieg wykresu. Następnie na podstawie równania: E pl 11 11 11 (4.1) pl wyznaczane są odkształcenia plastyczne. Uzyskane odkształcenia plastyczne 11 wraz z odpowiadającymi im naprężeniami 11 służą do zdefiniowania rozwoju powierzchni granicznej. Dobór punktów, w których wyznaczane są wartości odkształceń plastycznych na krzywej wzmocnienia przedstawiono na rys. 4.1. Rysunek 4.1. Idea kalibracji parametrów wzmocnienia izotropowego w programie Abaqus. W kolejnym kroku, w celu weryfikacji modelu konstytutywnego i poprawności wyznaczenia jego parametrów w programie Abaqus rozwiązano zadanie MES na siatce składającej się z jednego elementu o liniowych funkcjach kształtu w warunkach jednorodnego stanu naprężenia jak pokazano na rys. 4.2. Rysunek 4.2. Model jednoelementowy: warunki brzegowe oraz uzyskane rezultaty.
Na rys. 4.2 przedstawiono również uzyskaną krzywą naprężenia w funkcji odkształcenia w zestawieniu z odpowiednią krzywą z badania doświadczalnego. Jak widać procedura kalibracji modelu wzmocnienia izotropowego przebiegła poprawnie. W celu sprawdzenia poprawności przyjętego modelu konstytutywnego rozwiązano dodatkowo zadanie rozciągania z odciążeniem cienkiej tarczy z otworem, jak w przeprowadzonym badaniu. Warunki brzegowe ustalono na podstawie pomiarów wykonanych systemem Aramis na krawędziach obszaru pomiarowego wyznaczono współrzędne dziesięciu punktów (patrz rys. 3.5 i 4.3a). Następnie odczytano przemieszczenia tych punktów w trakcie rozciągania płaskownika. W zadaniu numerycznym tak odczytane wartości przyjęto jako przemieszczeniowe warunki brzegowe, na brzegach AD i BC, por. rys. 4.3b. Na krawędziach AB i CD oraz na krawędzi otworu przyjęto zerowe naprężeniowe warunki brzegowe. a) b) Rysunek 4.3. Zadanie rozciągania z odciążeniem: a) punkty pomiaru przemieszczeń w programie Aramis, b) warunki brzegowe i siatka zadania MES. Przy zastosowaniu MES i programu Abaqus rozwiązano zadanie rozciągania tarczy w płaskim stanie naprężenia. Siatka elementów skończonych składała się w tym przypadku z 5267 elementów typu CPS4R (elementy płaskiego stanu naprężenia o liniowych funkcjach kształtu i zredukowanym całkowaniu). W celu zagęszczenia siatki w pobliżu występowania maksymalnych naprężeń zastosowano procedurę adaptacyjną zaimplementowaną w programie Abaqus, której efekt widoczny jest na rys. 4.3b. Obliczenia przeprowadzono w ramach teorii małych odkształceń. Porównanie wyników uzyskanych z rozwiązania MES z wynikami badań doświadczalnych przeprowadzono na podstawie wykresów względnej zmiany średnicy w kierunku rozciągania i kierunku do niego prostopadłym, co przedstawiono na rys. 4.4, por. także [14]. Pomiar zmiany średnicy otworu próbki prowadzony był w trakcie testu przez porównanie przemieszczeń czterech punktów odniesienia (punkty o numerach 10, 11, 12 i 13 na rys. 4.3). W pobliżu miejsca pomiarów zmienność wyników jest bardzo duża przy małej odległości pomiędzy punktami. Dlatego też, w celu zminimalizowania wpływu tego efektu współrzędne początkowe tych punktów są identyczne ze współrzędnymi punktów, dla których uzyskano wyniki z programu Aramis. Do pomiaru zmiany średnicy otworu w kierunku działania obciążenia przyjęto punkty 10 i 11 (zgodnie z rysunkiem 4.3), natomiast do pomiaru zmiany średnicy w kierunku prostopadłym - punkty 12 i 13. W obu przypadkach zmiana średnicy liczona była jako stosunek zmiany odległości między punktami do odległości początkowej (analogia do odkształceń nominalnych).
Rysunek 4.4. Względna zmiana średnicy porównanie wyników zadania numerycznego z zadaniem doświadczalnym. Tabelaryczne zestawienie ekstremalnych wartości zmian średnicy przedstawiono w Tab. 4.1. Tablica 4.1. Ekstremalne wartości zmiany średnicy w zadaniu numerycznym i doświadczalnym. Względna zmiana średnicy w kierunku rozciągania w kierunku prostopadłym do rozciągania Badanie Badanie Zadanie numeryczne Zadanie numeryczne doświadczalne doświadczalne 5.15% 5.18% -1.40% -1.19% Na podstawie przedstawionych wyników analiz stwierdzono, że oszacowanie zmiany średnicy w kierunku rozciągania dokonane zostało z dużą dokładnością, natomiast większą niepewnością obarczone jest oszacowanie w kierunku prostopadłym. Niewątpliwą zaletą wynikającą z zastosowania systemu do pomiarów optycznych Aramis jest możliwość zaprezentowania map przemieszczeń i odkształceń dla obszarów badanej próbki. Pozwala to na określenie miejsc, gdzie koncentrują się maksymalne odkształcenia i kształtu, jaki przybiera strefa zniszczenia. Pozwala to również na dokonanie porównania jakościowego względem wyników uzyskanych poprzez rozwiązanie zadań MES. Wykresy warstwicowe maksymalnych odkształceń głównych w badaniu doświadczalnym (uzyskane za pomocą programu Aramis) oraz w zadaniu numerycznym po całkowitym odciążeniu próbki zaprezentowano na rys. 4.5. Porównując zaprezentowane wykresy warstwicowe odkształceń należy zauważyć dobrą zgodność wyników obliczeń MES i badań doświadczalnych zarówno pod względem jakościowym jak i ilościowym.
Rysunek 4.5. Porównanie maksymalnych odkształceń głównych po całkowitym odciążeniu próbki w przypadku zadania MES i wyników badania doświadczalnego. W celu uzyskania lepszej zgodności pomiędzy wynikami badań doświadczalnych i obliczeń MES przy określaniu względnej zmiany średnicy otworu w kierunku prostopadłym do kierunku rozciągania wyznaczono parametry do modelu (funkcji (2.8)) przy zastosowaniu pakietu Nonlinear Regression systemu MATHEMATICA [6]. Dla przyjętej początkowej granicy plastyczności na poziomie 285MPa uzyskano następujące wartości parametrów wzmocnienia: Q 90.0MPa, b 29.5MPa. Niestety weryfikacja modelu konstytutywnego z tak wyznaczonymi parametrami w teście z niejednorodnymi polami przemieszczenia i odkształcenia nie wykazała istotnej poprawy przewidywania funkcji zmiany średnicy prostopadłej do kierunku rozciągania. 5. Zastosowanie metody analizy odwrotnej Idea zastosowania metody analizy odwrotnej do wyznaczania parametrów materiałowych polega na rozwiązaniu zbioru zadań MES przy różnych wartościach wybranych parametrów materiałowych (np. wzmocnienia plastycznego), a następnie poprzez porównanie uzyskanych wyników z wynikami badania doświadczalnego, wskazanie parametrów optymalnych. Przykłady zastosowania tej metody w zagadnieniach wyznaczania parametrów materiałowych odnaleźć można np. w pracach [3-5, 7, 9].
W celu wyznaczenia parametrów wzmocnienia Q i b w funkcji (2.8) w programie Abaqus rozwiązano 100 zadań MES z wartościami poszukiwanych parametrów w przedziałach Q [0, 200MPa] oraz b [0,200MPa]. Przedziały te ustalone zostały na podstawie wcześniejszych kalibracji, mogą również być wyznaczone na podstawie innych przeprowadzonych badań lub wyników zaprezentowanych w literaturze. Serię stu zadań uruchamiano w sposób automatyczny z wykorzystaniem skryptu napisanego w języku Python. Obliczenia przeprowadzono dla zadania obciążania z odciążeniem cienkiej tarczy z otworem w jej centralnej części. Wynikiem zadania, który stanowił podstawę porównań z wynikami badania doświadczalnego była wartość względnej zmiany średnicy w kierunku rozciągania. Dla każdego zadania przyporządkowywano liczbę będącą wariancją dopasowania takiej krzywej względem krzywej doświadczalnej, którą wyliczano zgodnie z zależnością n i 1 y y 2 i i Q, b, (5.1) n gdzie y i oznacza wynik z zadania MES, y i oznacza wynik z badania doświadczalnego, natomiast n liczbę punktów, w których wyniki były porównywane. W tym zadaniu porównanie przeprowadzono w sześciu etapach zadania dla wartości parametru sterującego (czas) wynoszących 20, 40, 60, 80, 100 i 117sec. Podstawową ideę obliczania wariancji oszacowania krzywej przedstawiono na rys. 5.1. Rysunek 5.1. Podstawowa idea obliczania wariancji oszacowania krzywej. Wyznaczone w ten sposób wartości wariancji dla krzywych opisujących względną zmianę średnicy w kierunku rozciągania przedstawiono na wykresie 3D oraz odpowiadającym mu wykresie warstwicowym rys. 5.2. Na wykresach przedstawiono
funkcję Qb,. Minimum tej funkcji wskazuje na wartości parametrów, przy których błąd określenia średnicy w kierunku rozciągania względem wyników badania był najmniejszy. a) b) Rysunek 5.2. Wyznaczenie optymalnej wartości parametrów wzmocnienia izotropowego: a) wykres warstwicowy, b) wykres 3D. Na rysunku warstwicowym przedstawiono dodatkowo wartości parametrów wzmocnienia uzyskane za pomocą procedury nieliniowej regresji w programie MATHE- MATICA. Tabelaryczne zestawienie tych wartości przedstawiono poniżej, w tab. 5.1. Jak widać wartości te nie są zbliżone, niemniej jednak obie pary wyników znajdują się w strefie najmniejszej niepewności oszacowania, co widać na rys. 5.2a. Tablica 5.1. Zestawienie uzyskanych parametrów wzmocnienia izotropowego. Parametr materiałowy nieliniowa regresja Metoda uzyskania wyniku zadanie analizy odwrotnej Q [MPa] 90.0 70.0 b 29.5 70.0 W celu ostatecznego sprawdzenia uzyskanych wyników na rys. 5.3 zamieszczono wykresy względnej zmiany średnicy otworu w kierunku prostopadłym do kierunku rozciągania dla parametrów, które zostały uzyskane przy zastosowaniu metod analizy odwrotnej. Oszacowanie to w przypadku parametrów wzmocnienia wyznaczonych w programie Abaqus oraz z zastosowaniem pakietu Nonlinear Regression było obarczone większą niepewnością, niż w przypadku zmiany średnicy w kierunku rozciągania.
Rysunek 5.3. Zmiana średnicy dla modelu numerycznego kalibrowanego w wyniku zadania analizy odwrotnej. Jak widać oszacowanie zmiany średnicy w kierunku prostopadłym jest bardzo dobre krzywa uzyskana w zadaniu numerycznym o parametrach wyznaczonych metodą analizy odwrotnej lepiej odzwierciedla krzywą doświadczalną, niż w przypadku wcześniejszego wyznaczania parametrów na podstawie wyników badania rozciągania monotonicznego przy jednorodnym stanie naprężenia. 6. Podsumowanie i uwagi końcowe W tym rozdziale zaprezentowano pełną procedurę mającą na celu wyznaczenie parametrów modelu konstytutywnego sprężysto-plastyczności ze wzmocnieniem izotropowym oraz weryfikację samego modelu konstytutywnego. Przeprowadzono serię badań doświadczalnych zarówno o charakterze podstawowym, jak i badań niestandardowych. Ustalono moduł Younga oraz współczynnik Poissona, sprawdzono również, że materiał nie przejawia cech anizotropii zarówno w zakresie sprężystym jak i plastycznym. Wykonano badania rozciągania płaskownika z otworem kołowym, a wyniki dotyczące całego pola przemieszczenia (w wybranym obszarze) zarejestrowano za pomocą systemu optycznej korelacji obrazu ARAMIS. Na podstawie wyników testów standardowych wyznaczono parametry modelu konstytutywnego sprężysto-plastyczności, przy zastosowaniu procedury programu ABAQUS oraz procedury nieliniowej regresji programu MATHEMATICA. Dla tak wyznaczonych parametrów przeprowadzono weryfikację porównując rozwiązanie MES zadania rozciągania płaskownika z otworem z wynikami badania. Okazało się, że przewidywania modelu na zmianę średnicy prostopadłej do kierunku rozciągania nie są tak dokładne jak w przypadku średnicy w kierunku rozciągania. Wobec tego w celu wyznaczenia parametrów modelu zastosowano metodę analizy odwrotnej, tj. rozwiązano serię 100 zadań MES z parametrami materiałowymi wzmocnienia z przedziałów Q [0, 200MPa] oraz [0, 200MPa] Qb,. Argumenty b. Dla otrzymanego zbioru określono funkcję wariancji odpowiadające minimum tej funkcji są tymi, które zapewniają najlepsze dopasowanie modelu
do badań doświadczalnych. Proces rozwiązania zbioru zadań oraz określenia wartości funkcji wariancji został zautomatyzowany w wyniku działania skryptu napisanego w języku Python. Uzyskane parametry wzmocnienia izotropowego zapewniły bardzo dobrą zgodność przewidywania modelu i badań doświadczalnych zarówno w przypadku zmian średnicy otworu w kierunku rozciągania jak i w kierunku prostopadłym. Bibliografia [1] Abaqus Theory Manual, ver.6.11, Dassault Systèmes, 2011. [2] Aramis v6 User Manual, GOM Gmbh, 2008. [3] Broggiato G.B., Cortese L.: White-light speckle image correlation applied to large-strain material characterization, European Journal of Computational Mechanics, 18:3-4, 2009 pp. 377-392. [4] Crouzeix L., Périé J.-N., Collombet F., Douchin B.: Identification of a macroscopic anisotropic damage model using digital image correlation and the equilibrium gap method, European Journal of Computational Mechanics, 19:1-3, 2010, pp. 229-240. [5] Garbowski T., Maier G., Novati G.: On calibration of orthotropic elastic-plastic constitutive models for paper foils by biaxial tests and inverse analyses, Structural and Multidisciplinary Optimization, Journal of the International Society for Structural and Multidisciplinary Optimization, Volume 46, Issue 1, pp. 111-128, Springer, 2011. [6] Gliński H., Grzymkowski R., Kapusta A., Słota D.: Mathematica 8.0, Pracownia Komputerowa Jacka Skalmierskiego, 2012. [7] Hild F., Roux S.: Digital image correlation: from displacement measurement to identification of elastic properties - a review, Strain, Vol. 42, Issue 2, 2006, pp. 69 80. [8] Instron Console Software Version 8.1 Onwards. M22-15283-EN, Revision B, 2007. [9] Lecompte D., Cooreman S., Coppieters S., Vantomme J., Sol H. & Debruyne D.: Parameter identification for anisotropic plasticity model using digital image correlation, European Journal of Computational Mechanics, 18:3-4, 2009, pp. 393-418. [10] Lubliner J.: Plasticity theory, Macmillan Publishing Company, New York, 1990. [11] Sutton M.A, Orteu J.J., Schreier H.W.: Image correlation for shape, motion and deformation measurements - basic concepts, theory and applications., Springer 2009. [12] Wang T., Hopperstad O.S., Lademo O.-G., Larsen P.L.: Finite element analysis of welded beam-to-column joints in aluminium alloy EN AW 6082 T6, Finite Elements in Analysis and Design 44 (2007) 1-16, 2006. [13] Winzer R.: On the plastic-flow behaviour of selected aluminium alloys in quasi-static and dynamic strain rate regimes, Rozprawa doktorska PW, 2010. [14] Wojciechowski J.: Zastosowanie systemu optycznej korelacji obrazu do wyznaczenia parametrów materiałowych w modelach konstytutywnych sprężysto-plastyczności metali, Praca magisterska, 2013.