LLMT Konkurs zadaniowy

LLMT Konkurs zadaniowy Spis treści Klasa 1 gimnazjum... 2 Klasa 2 gimnazjum... 3 Klasa 3 gimnazjum... 4 Klasa 1 liceum... 5 Klasa 2 liceum... 6 Klasa 3 liceum... 7 Rozwiązania... 8 Klasa 1 gimnazjum Rozwiązania... 8 Klasa 2 gimnazjum Rozwiązania... 9 Klasa 3 gimnazjum Rozwiązania... 10 Klasa 1 liceum Rozwiązania... 11 Klasa 2 liceum Rozwiązania... 12 Klasa 3 liceum Rozwiązania... 13 1

Klasa 1 gimnazjum Imię i nazwisko:... Klasa:... Data:... W zadaniach od 1 do 4 do każdej z czterech proponowanych odpowiedzi należy zaznaczyd czy jest ona prawdziwa czy nie wpisując w odpowiedniej komórce tabeli poniżej literę T jeśli tak oraz literę N - jeśli nie. Za poprawne zaznaczenie przyznawany jest. Za błędne zaznaczenie lub niezaznaczenie przyznawane jest 0 punktów. Zadania 5 i 6 należy rozwiązad na osobnych kartkach załączonych to zadao. Za każde zadanie od 1 do 6 można uzyskad maksymalnie 4 punkty. Zadanie 1. (4 punkty) Liczba 2012: A. jest parzysta. B. jest podzielna przez 3. C. jest podzielna przez 4. D. z dzielenia przez 5 daje resztę 2. Zadanie 2. (4 punkty) Jeśli do liczby 3 razy większej niż 3 dodamy 3 i wynik podzielimy przez 3, to otrzymamy liczbę: A. mniejszą niż 3. B. równą 3. C. większą niż 3. D. równą. Zadanie 3. (4 punkty) Wskaż liczby, których przybliżenie z dokładnością do 10 wynosi 350. A. 356 B. 354,999 C. 345,01 D. 345,6 Zadanie 4. (4 punkty) Z danych przedstawionych na rysunku wynika, że: A. B. C. D. Zadanie 5: (4 punkty) Kasia urodziła się w 48 urodziny swojej babci. W tym roku zauważyła, że jej wiek, wiek jej mamy i wiek jej babci są wszystkie kwadratami liczb parzystych. W którym roku urodziła się Kasia? Sprawdź czy to zadanie ma jedno rozwiązanie. Zadanie 6. W październiku tego roku została zakooczona budowa tunelu łączącego Azję z Europą pod dnem cieśniny Bosfor w Stambule, w Turcji. Ten podwodny tunel ma długośd 1,4 km. W jakim czasie przejedzie przez niego pociąg o długości 200 m jadący prędkością 96 km/h? 2

Klasa 2 gimnazjum Imię i nazwisko:... Klasa:... Data:... W zadaniach od 1 do 4 do każdej z czterech proponowanych odpowiedzi należy zaznaczyd czy jest ona prawdziwa czy nie wpisując w odpowiedniej komórce tabeli poniżej literę T jeśli tak oraz literę N - jeśli nie. Za poprawne zaznaczenie przyznawany jest. Za błędne zaznaczenie lub niezaznaczenie przyznawane jest 0 punktów. Zadania 5 i 6 należy rozwiązad na osobnych kartkach załączonych to zadao. Za każde zadanie od 1 do 6 można uzyskad maksymalnie 4 punkty. Zadanie 1. Wyrażenie 16 2 3 5 3 A. 43. B. 5 3 2 2 9 8 18 można przedstawid jako: 8 2 9 2 5 3. C. 47. D. Zadanie 2. Suma dwóch liczb wynosi 95 i jedna z nich jest o 10% mniejsza od drugiej. Te liczby to: A. 35 i 60. B. 45 i 50. C. 40 i 55. D. 30 i 65. Zadanie 3. Cyfrą jedności liczby: A. 12 5 jest 0. B. Zadanie 4. Z rysunku wynika, że: A. Figury i są symetryczne względem prostej. B. Figury i są symetryczne względem prostej. C. Figury i są symetryczne względem punktu. D. Figury i są symetryczne względem punktu. 100 29 jest 1. C. 11 10 5 jest 6. D. 11 20 5 jest 6. 3 16. Zadanie 5: Na placu szkolnym budynek gospodarczy zajmuje 4% powierzchni, ogród 35%, boisko 45%. Resztę placu zajmuje budynek szkolny o powierzchni zabudowy 920m 2. Jaka jest powierzchnia całego placu szkolnego wyrażona w arach? Zadanie 6. Korzystając z danych zaznaczonych na rysunku, oblicz miarę kąta. 3

Klasa 3 gimnazjum Imię i nazwisko:... Klasa:... Data:... W zadaniach od 1 do 4 do każdej z czterech proponowanych odpowiedzi należy zaznaczyd czy jest ona prawdziwa czy nie wpisując w odpowiedniej komórce tabeli poniżej literę T jeśli tak oraz literę N - jeśli nie. Za poprawne zaznaczenie przyznawany jest. Za błędne zaznaczenie lub niezaznaczenie przyznawane jest 0 punktów. Zadania 5 i 6 należy rozwiązad na osobnych kartkach załączonych to zadao. Za każde zadanie od 1 do 6 można uzyskad maksymalnie 4 punkty. Zadanie 1. Na pytanie nauczyciela kto rzucił kredą w tablicę Antek odpowiedział, że to Bartek; Bartek stwierdził, że zrobił to Czarek; Czarek i Darek powiedzieli, że nie wiedzą kto to zrobił. Wiadomo, że tylko jeden z tych chłopców jest winny i tylko on kłamie. Wynika stąd, że: A. Antek nie jest winny. B. Bartek jest winny. C. Czarek nie jest winny. D. Winny jest albo Czarek albo Darek. Zadanie 2. Goryl jest o 150% cięższy od małpy. Zatem: A. Jeśli małpa waży 100 kg, to goryl waży 150 kg. B. Goryl jest ponad dwa razy cięższy od małpy. C. Małpa jest o 60% lżejsza od goryla. D. Małpa jest 3 razy lżejsza od goryla. Zadanie 3. Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji. Wynika z niego, że: A. Funkcja ta ma dokładnie 2 miejsca zerowe. B. Wartośd funkcji dla argumentu jest równa 1. C. Dla argumentu 0.25 funkcja przyjmuje wartośd ujemną. D. Wartośd funkcji dla argumentu jest większa od wartości funkcji dla argumentu. Zadanie 4. Jeśli liczba wszystkich ścian graniastosłupa jest równa, gdzie jest pewną liczba naturalną, to: A. liczba wszystkich jego wierzchołków jest równa. B. może to byd graniastosłup 9-kątny. C. liczba jego krawędzi wynosi. D. liczba jego ścian bocznych jest podzielna przez 4. Zadanie 5: Ostatnia cyfra pewnej liczby jest równa 7. Jeśli skreślimy ostatnią cyfrę tej liczby to otrzymamy liczbę o 320533 mniejszą. Co to za liczba? Zadanie 6. Z Torunia do Bursy w Turcji jest 1634 km, z Torunia do Bukaresztu w Rumunii jest 1097 km, z Bukaresztu do Burgas w Bułgarii jest 236 km i z Burgas do Bursy jest 301 km. Jak daleko jest z Torunia do Burgas? 4

Klasa 1 liceum Imię i nazwisko:... Klasa:... Data:... W zadaniach od 1 do 4 do każdej z czterech proponowanych odpowiedzi należy zaznaczyd czy jest ona prawdziwa czy nie wpisując w odpowiedniej komórce tabeli poniżej literę T jeśli tak oraz literę N - jeśli nie. Za poprawne zaznaczenie przyznawany jest. Za błędne zaznaczenie lub niezaznaczenie przyznawane jest 0 punktów. Zadania 5 i 6 należy rozwiązad na osobnych kartkach załączonych to zadao. Za każde zadanie od 1 do 6 można uzyskad maksymalnie 4 punkty. Zadanie 1. Liczbą całkowitą jest liczba: A. B. C. ( ) ( ) D. Zadanie 2. Niech oraz. Iloczyn tych liczb jest równy A. B. C. ( ) D. ( ) Zadanie 3. Niech n oznacza dowolną liczbę naturalną. Wskaż poprawne wyrażenia: A. Liczba postaci jest zawsze podzielna przez 5. B. Liczbą 6 razy większą niż połowa liczby n jest liczba postaci 3n. C. Liczba postaci 2n jest liczbą parzystą. D. Wartośd liczbowa wyrażenia dla wynosi 28 Zadanie 4. Bok rombu ma długośd cm, a jedna z przekątnych 16 cm. Wówczas A. Obwód rombu wynosi cm B. Długośd drugiej przekątnej wynosi cm C. Pole rombu wynosi cm 2 D. Stosunek długości dłuższej przekątnej do krótszej wynosi. Zadanie 5. W szkole podstawowej 46% wszystkich uczniów stanowili chłopcy. Oblicz ile dziewczynek uczy się w tej szkole, jeżeli chłopców jest o 40 mniej niż dziewczynek. Zadanie 6. Obwód prostokąta wynosi 54 cm. Jeżeli jeden bok prostokąta powiększymy o 5 cm, drugi zmniejszymy o 3 cm, to pole się nie zmieni. Oblicz długości boków prostokąta. 5

Klasa 2 liceum Imię i nazwisko:... Klasa:... Data:... W zadaniach od 1 do 4 do każdej z czterech proponowanych odpowiedzi należy zaznaczyd czy jest ona prawdziwa czy nie wpisując w odpowiedniej komórce tabeli poniżej literę T jeśli tak oraz literę N - jeśli nie. Za poprawne zaznaczenie przyznawany jest. Za błędne zaznaczenie lub niezaznaczenie przyznawane jest 0 punktów. Zadania 5 i 6 należy rozwiązad na osobnych kartkach załączonych to zadao. Za każde zadanie od 1 do 6 można uzyskad maksymalnie 4 punkty. Zadanie 1. Liczba ( ) ( )( ) ( )( ) jest równa A. 5 B. C. D. Zadanie 2. Zbiór A jest zbiorem wszystkich liczb całkowitych z przedziału ). Zbiór A to: A. * + B. * + C. { } D. { ( ) } Zadanie 3. Wskaż poprawne wyrażenia: A. Istnieje wielokąt foremny, którego kąt wewnętrzny ma miarę 165 o. B. Siedmiokąt wypukły ma 12 przekątnych. C. Istnieje trójkąt o bokach długości 0,5 m; 17 cm i 38 mm. D. Równoległobok o bokach długości i oraz przekątnej długości jest prostokątem. Zadanie 4. Wiedząc, że α jest kątem ostrym oraz otrzymujemy A. B. C. i D. Zadanie 5. Dane są dwie liczby. Pierwsza jest o 11 mniejsza od drugiej, a ich iloczyn wynosi 102. Wyznacz te liczby. Zadanie 6. Miejscem zerowym funkcji ( ) dla których wartości funkcji f są mniejsze od wartości funkcji ( ). jest liczba. Wyznacz wzór funkcji f i podaj argumenty, 6

Klasa 3 liceum Imię i nazwisko:... Klasa:... Data:... W zadaniach od 1 do 4 do każdej z czterech proponowanych odpowiedzi należy zaznaczyd czy jest ona prawdziwa czy nie wpisując w odpowiedniej komórce tabeli poniżej literę T jeśli tak oraz literę N - jeśli nie. Za poprawne zaznaczenie przyznawany jest. Za błędne zaznaczenie lub niezaznaczenie przyznawane jest 0 punktów. Zadania 5 i 6 należy rozwiązad na osobnych kartkach załączonych to zadao. Za każde zadanie od 1 do 6 można uzyskad maksymalnie 4 punkty. Zadanie 1. Liczby rzeczywiste i spełniają nierówności: oraz. Wtedy: A. B. C. ( ) D. Zadanie 2. W czworokącie przekątnych. Wtedy: środek okręgu opisanego o promieniu, pokrywa się z punktem przecięcia A. musi byd kwadratem. B. musi mied środek symetrii. C. musi mied oś symetrii. D. Obwód musi byd większy od. Zadanie 3. Rozpatrzmy równanie kwadratowe, gdzie liczby są całkowite. Równanie to może mied: A. Dwa pierwiastki wymierne B. Jeden pierwiastek wymierny i jeden niewymierny C. Dwa pierwiastki niewymierne D. Tylko jeden pierwiastek, będący liczbą niewymierną Zadanie 4. Ciąg ( ) jest arytmetyczny oraz,. Wtedy: A. Dla pewnego liczba jest podzielna przez 5. B. Pewien wyraz tego ciągu jest kwadratem liczby całkowitej. C. Suma początkowych wyrazów ciągu jest mniejsza od. D. Nieskooczenie wiele wyrazów tego ciągu dzieli się przez 3. Zadanie 5. Punkty leżą na okręgu o środku (patrz rysunek). Wyznacz kąty czworokąta. Uzasadnij, że jest trapezem. Zadanie 6. (4 punkty) Długości boków trójkąta prostokątnego, którego obwód jest równy 24, tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz wartości sinusów kątów ostrych tego trójkąta oraz długośd wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego. 7

Rozwiązania Klasa 1 gimnazjum Rozwiązania Odpowiedzi do zadao od 1 do 4: A B C D Zadanie 1 T N T T Zadanie 2 N N T N Zadanie 3 N T T T Zadanie 4 N N T T Rozwiązanie zadania 5: Niech K oznacza ile lat Kasia, M ile lat ma mama oraz B - ile lat ma babcia w tym roku. B = 48 + K Najmniejszą liczbą naturalną parzystą będącą kwadratem liczby całkowitej jest 64. Wtedy K = 16 i jest to kwadrat liczby parzystej. Ponieważ K < M < B, tzn. 16 < M < 64. Dla M można dobrad wartośd, będącą kwadratem liczby parzystej: M = 36. Następną liczbą naturalną parzystą będącą kwadratem liczby całkowitej jest 100, ale wtedy K = 52 i 52 nie jest kwadratem liczby całkowitej. Można też rozważyd mało prawdopodobny przypadek dla B = 144, ale tu K = 96 nie jest kwadratem liczby parzystej. Kasia ma zatem 16 lat, a więc urodziła się w roku 1996. Odpowiedź: Kasia urodziła się w roku 1996. Odkrycie wieku Kasi, mamy i babci. Notatki wskazujące na sprawdzenie innej możliwości. Podanie roku urodzenia Kasi. Rozwiązanie zadania 6: 2 punkty Droga jaką musi pokonad pociąg od wjazdu do tunelu do jego całkowitego opuszczenia jest równa 1,6 km. Pociąg pokonuje drogę 96 km w ciągu 1 godziny, zatem trasę 60 razy krótszą tzn. 1,6 km pokona w czasie 60 razy krótszym czyli w ciągu jednej minuty. Odpowiedź: Pociąg przejedzie przez tunel w ciągu 1minuty. Odkrycie jaką drogę ma do przejechania pociąg. Poprawna metoda obliczenia czasu potrzebnego na przejazd pociągu przez tunel. Poprawnośd obliczeo. 2 punkty 8

Klasa 2 gimnazjum Rozwiązania Odpowiedzi do zadao od 1 do 4: A B C D Zadanie 1 T T N T Zadanie 2 N T N N Zadanie 3 N T T N Zadanie 4 T N N T Rozwiązanie zadania 5: Budynek szkolny zajmuje 100%-(4%+35%+45%)=16% powierzchni placu szkolnego. Niech x powierzchnia całego placu szkolnego, to 0,16x=920. Stąd x=5750m 2 =57,5a. Odpowiedź: Powierzchnia placu szkolnego wynosi 57,5 ara. Określenie jakim ułamkiem całego placu szkolnego jest powierzchnia budynku szkolnego. Obliczenie powierzchni placu szkolnego. Podanie pola powierzchni placu szkolnego w arach. 2 punkty Rozwiązanie zadania 6: 0 0 0 DAB 110, ABD 30, ABC 100, EBC 70, BEC 80, DEC 100 Odpowiedź: Kąt x ma miarę 100. 0 0 0 Określenie wartości kątów w trójkącie. 2 punkty Określenie wartości kątów w trójkącie. Określenie wartości kąta. 9

Klasa 3 gimnazjum Rozwiązania Odpowiedzi do zadao od 1 do 4: A B C D Zadanie 1 T T T N Zadanie 2 N T T N Zadanie 3 N T T T Zadanie 4 T N T N Rozwiązanie zadania 5: Niech oznacza szukaną liczbę. Po skreśleniu cyfry jedności 7 otrzymamy liczbę, która jest o 320533mniejsza niż. Stąd: Odpowiedź: Szukana liczba to 356147. Ułożenia równania Poprawne rozwiązanie równania. Właściwa interpretacja wyniku. 2 punkty Rozwiązanie zadania 6: Niech x oznacza odległośd z Torunia do Burgas. Z nierówności trójkąta (Toruo-Bursa-Burgas) mamy: więc Z nierówności trójkąta (Toruo-Bukareszt-Burgas) mamy także: Ostatecznie: skąd Odpowiedź: Z Torunia do Burgas jest 1333 km. Wykonanie rysunku. Zastosowanie nierówności trójkąta. Odkrycie, że wymienione miasta leżą wzdłuż jednej linii prostej. Podanie poprawnej odpowiedzi. y 2 punkt 10

Klasa 1 liceum Rozwiązania Odpowiedzi do zadao od 1 do 4: A B C D Zadanie 1 T N N T Zadanie 2 N T T T Zadanie 3 N T T N Zadanie 4 N N T T Rozwiązanie zadania 5: Oznaczmy: liczba uczniów; liczba chłopców; liczba dziewczynek Mamy stąd a więc Stąd,. A zatem liczba dziewcząt jest równa 0,54 500 = 270. Odpowiedź: W szkole uczy się 270 dziewczynek. Wprowadzenie oznaczeo i analiza zadania Ułożenie równania 0,54x 0,46x = 40 Rozwiązanie równania x=500 Obliczenie ilości dziewczynek, uczących się w szkole Rozwiązanie zadania 6: Oznaczmy długości boków prostokąta Otrzymujemy układ równao { ( )( ) Rozwiązaniem układu jest para Odpowiedź: Długości boków wynoszą 12cm i 15 cm. { Ułożenie równania Ułożenie równania ( )( ) Doprowadzenie układu do postaci { Rozwiązanie układu równao i podanie odpowiedzi 11

Klasa 2 liceum Rozwiązania Odpowiedzi do zadao od 1 do 4: A B C D Zadanie 1 N T T N Zadanie 2 T N T T Zadanie 3 T N N T Zadanie 4 N N T T Rozwiązanie zadania 5: Oznaczmy: większą z liczb. Wówczas ( ), stąd i lub. Odpowiedź: Szukane liczby to -6 i -17 lub 6 i 17. Wprowadzenie oznaczeo i ułożenie równania ( ) Przekształcenie równania do postaci Rozwiązanie równania lub Podanie odpowiedzi szukane liczby to -6 i -17 lub 6 i 17 Rozwiązanie zadania 6: Jeśli liczba jest miejscem zerowym funkcji, to ( ) tzn., skąd. Należy rozwiązad nierównośd ( ) ( ), tj.. Odpowiedź: Funkcja ma wzór ( ). Nierównośd ( ) ( ) zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy. Ułożenie równania Rozwiązanie równania Ułożenie nierówności Rozwiązanie nierówności i podanie odpowiedzi: 12

Klasa 3 liceum Rozwiązania Odpowiedzi do zadao od 1 do 4: A B C D Zadanie 1 T N T N Zadanie 2 N T T T Zadanie 3 T N T N Zadanie 4 N N T T Rozwiązanie zadania 5: Zauważmy, że trójkąty i są równoboczne. (z zależności miedzy kątem wpisanym i środkowym). Analogicznie. Ponieważ czworokąt ABCD jest wpisany, więc. Jak łatwo zauważyd,, więc i czworokąt ten jest trapezem. Zauważenie, że trójkąty i są równoboczne Wyznaczenie kątów i Wyznaczenie pozostałych kątów czworokąta Uzasadnienie, że jest trapezem Rozwiązanie zadania 6: Oznaczmy:,. Oczywiście jest długością przeciwprostokątnej. Dalej mamy:, więc. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy: ( ) ( ), co po zastosowaniu równości daje nam równanie ( ), którego rozwiązaniem jest. Stąd i boki trójkąta mają długości 6, 8, 10. Jak nietrudno zauważyd, sinusy kątów ostrych są równe i. Aby wyznaczyd długośd wysokości dwukrotnie obliczamy pole trójkąta: raz jako połowę iloczynu przyprostokątnych, a raz jako połowę iloczynu przeciwprostokątnej i wysokości. Stąd otrzymujemy równanie:, więc długośd wysokości wynosi 4,8. Odpowiedź: Boki trójkąta mają długości 6, 8, 10. Sinusy katów ostrych są równe i. Wysokośd poprowadzona z wierzchołka kata prostego wynosi 4,8. Ułożenie równania kwadratowego prowadzącego do obliczenia boku trójkąta Obliczenie długości boków trójkąta. Wyznaczenie sinusów kątów ostrych Wyznaczenie długości wysokości trójkąta. 13