FEM Finite Element Method czyli modelowanie Metodą Elementów Skończonych (MES) Opracował: Zbigniew Rudnicki MODEL Model to uproszczona reprezentacja rzeczywistego obiektu w naszym przypadku: konstrukcji mechanicznej lub jej części. Model nie reprezentuje wszystkich cech oryginału a jedynie te, które jego twórca (inżynier) uzna za najbardziej istotne, dlatego pamiętaj: 1. Ty poniesiesz odpowiedzialność za dobór właściwego lub niewłaściwego modelu 2. Wszelkie wyniki uzyskane z modelu są przybliżone i mogą być obarczone błędem 3. Żaden model nie pozwoli uzyskać pełnej wiedzy o obiekcie 1
Modele Matematyczne Model matematyczny używa języka matematyki (stałych, zmiennych, wyrażeń, równań, nierówności) do opisu działania oryginału. Modele matematyczne mogą być m.in. klasyfikowane na: 1) ANALITYCZNE i NUMERYCZNE 2) LINIOWE (np.: odkształcenia sprężyste) i NIELINIOWE 3) DETERMINISTYCZNE i PROBABILISTYCZNE (stochastyczne) 4) STATYCZNE (brak zależności od czasu, równania algebraiczne) i DYNAMICZNE (reprezentowane przez równania rózniczkowe). 5) O parametrach SKUPIONYCH lub ROZŁOŻONYCH (zmieniających się w przestrzeni wymagają one równań różniczkowych cząstkowych) Uproszczenia w modelowaniu Jeśli jest to dopuszczalne to zamiast zaawansowanych modeli: nieliniowych (z charakterystykami krzywoliniowymi) dynamicznych (zależnych od czasu) z rozłożonymi parametrami (zmieniającymi się w przestrzeni) staramy się stosować modele prostsze: liniowe (w określonym zakresie zmienności) statyczne (w stanie równowagi lub przy założeniu b. wolnych zmian) ze stałymi parametrami To ty inżynier - decydujesz i ponosisz odpowiedzialność w kwestii: CZY TAKIE UPROSZCZENIA SĄ DOPUSZCZALNE I W JAKIM ZAKRESIE? 2
Modele analityczne i numeryczne Modele analityczne: - obliczanie od razu dokładnych wartości zmiennych przy pomocy podanych wzorów (procedura liniowa) Modele numeryczne: - wyznaczanie przybliżonych wartości zmiennych metodą kolejnych przybliżeń (procedury iteracyjne) Analiza Numeryczna - rozwiązywanie ciągłych problemów matematycznych środkami matematyki dyskretnej (np.: wyznaczanie poszczególnych punktów linii ciągłych). Metody numeryczne są bardzo przydatne ponieważ dla większości rzeczywistych problemów albo brak metod analitycznych albo są one zbyt złożone 3
Metoda Elementów Skończonych Jest jedną z metod numerycznego (a więc przybliżonego) rozwiązywania problemów opisywanych dużymi układami równań różniczkowych. Są to przeważnie problemy w których występują pola wektorowe na przykład: pola sił, naprężeń, odkształceń, przyspieszeń - w układach mechanicznych, pola elektromagnetyczne pola gradientów temperatur i przepływu ciepła, pola ciśnień i przepływów - w mechanice płynów Zarys historii FEM czyli MES MES opracowano w latach 50-tych XX wieku dla analizy konstrukcji w przemyśle lotniczym. Ważne nazwiska to: Richard Courant - niemiecki i amerykański matematyk pochodzący z rodziny żydowskiej wywodzącej się z Polski - opracował teoretyczne podstawy stosowanych już od pewnego czasu metod inżynierskich Prof. Olgierd Cecil Zienkiewicz z Uniwersytetu Walijskiego (syn Polaka) - główny popularyzator MES Metoda zaczęła być coraz powszechniej stosowana wraz z rozwojem komputerów. 4
Istota MES Kontinuum przestrzenne (np. konstrukcja) jest zastępowane zbiorem małych elementów, połączonych wzajemnie węzłami. Im większa zmienność i wymagana dokładność tym mniejsze powinny być elementy i tym ich więcej Jednak wzrost liczby elementów zwiększa bardzo liczbę równań. Liczba równań to iloczyn = liczba elementów * liczba węzłów w każdym elemencie * liczba stopni swobody w każdym węźle Przykład: 5
Kilka typów elementów skończonych jednowymiarowe dwuwymiarowe (powłokowe) trójwymiarowe (bryłowe) Rzeczywiste elementy konstrukcji i ich modele MES (FEM) belka płytka 6
Programy Zestawy programów komputerowych dla metody elementów skończonych składają się zazwyczaj z trzech części: preprocesora - do definiowania geometrii oraz własności modelu MES procesora nazywanego też solverem - wykonującego obliczenia (na macierzach), postprocesora, służącego do graficznej prezentacji i analizy uzyskanych wyników. Profesjonalne programy FEM Istnieje bardzo wiele drogich profesjonalnych pakietów FEM. Do bardziej znanych należą: ANSYS ABAQUS FEMAP + NASTRAN COSMOS i wiele innych 7
Tanie lub darmowe programy FEM Istnieją darmowe "wersje treningowe" (czasem zwane "demo") a nawet wersje pełne. Wiele z nich można pobrać z Internetu, patrz: (http://www.bookcase.com/library/software/win9x.undef. engineering.html) np.: prosty i łatwy w użyciu program shareware do obliczania ram o nazwie ANALYSIS bardzo dobry (choć trudniejszy) AMSES FRAME-2D W laboratorium WIMiR AGH: - jest FEMAP współpracujący z NE/NASTRAN Uwaga: istnieje wiele programów o nazwie Nastran (z konkursu NASA), ten jest z firmy Noran Engineering (NE) FEMAP to preprocesor i postprocesor: preprocesor - bo tworzy się w nim model MES, gotowy model trzeba przesłać go do solvera czyli procesora - na przykład NE/NASTRAN a, celem rozwiązania układu tysięcy równań, wyniki z NE/Nastran a wracają do FEMAP a - tym razem jako postprocesora, który pozwala je prezentować i analizować na różne sposoby - wyświetla wykresy, warstwice, animacje,... 8
Rozważane modele MES W ramach niniejszych zajęć uwzględniane są jedynie modele konstrukcji mechanicznych, które są: statyczne - a więc w stanach równowagi, bez uwzględniania przebiegów czasowych, liniowe - czyli w zakresie odkształceń sprężystych proporcjonalnych do naprężeń, przyjmujące założenie jednorodności materiałów, a więc niezależności stałych materiałowych od współrzędnych przestrzennych (stałe skupione). Z.Rudnicki 17 Etapy modelowania FEM (modele statyczne liniowe) 1) Zdefiniowanie własności materiałowych - MATERIAL (wartość modułu Young a i współczynnika Poisson a) 2) Zbudowanie modelu geometrycznego - GEOMETRY 3) Wybór rodzaju elementów skończonych - PROPERTY (np.: belka, płyta, kostka) 4) Podział geometrii na wybrane elementy - MESH = siatka 5) Zdefiniowanie więzów (umocowania) - CONSTRAINTS 6) Zdefiniowanie obciążeń (siły, momenty,..) - LOADS 7) Wykonanie obliczeń (rozwiązanie układu równań) - SOLVE 8) Wizualizacja i analiza wyników - POSTPROCESSING 9
Przykład - zginanie belki (o jednym końcu zamurowanym a drugim obciążonym) Z.Rudnicki 19 Zginanie belki c.d. - Krok 1: MATERIAL - definiujemy materiał: Możemy kliknąć LOAD i wybrać materiał z biblioteki, ale jego moduł Younga jest tam podany w jednostkach PSI czyli funt na cal kwadratowy Z.Rudnicki 20 10
UWAGA!!! Użytkownik musi sam dbać o właściwe jednostki miar. FEMAP nie pomoże. Mianowicie: jeśli moduł Younga dla stali wynosi 29 000 000 to znaczy, że jest on w jednostkach PSI - Pound per Square Inch (funt na cal kwadratowy) - wtedy wymiary trzeba podawać w calach (inch) a obciążenie w funtach (pound) jeśli natomiast chcemy używać milimetrów i newtonów to moduł Younga trzeba podać w MPa czyli megapascalach (dla stali w przybliżeniu 200 000) Z.Rudnicki 21 Krok 2 GEOMETRY - definiowanie geometrii Nasz model geometryczny powinien zgadzać się z typami wybranych elementów skończonych. Dlatego powinniśmy znać podstawowe typy elementów oraz ich przeznaczenie i stany naprężeń jakie można przy ich pomocy analizować. FEMAP pozwala importować modele geometryczne utworzone w programach CAD lub budować model geometryczny od podstaw, dając narzędzia do tworzenia punktów, linii, powierzchni i brył. Komendy dotyczące tych elementów można wybierać albo z menu Geometry czy z prawego paska narzędzi albo z palety "Toolbox", którą można wywołać z menu Tools Z.Rudnicki 22 11
Krok 2 GEOMETRY - definiowanie geometrii c.d. a) Definiujemy punkty - końce belki z menu: Geometry-Points b) Auto- skaluje CTRL-A Uwaga: Zatwierdza OK., ale Femap powtarza żądania więc kończymy przez: CANCEL Z.Rudnicki 23 Krok 2 GEOMETRY - definiowanie geometrii c.d.. c) Definiujemy odcinek linii z menu: Geometry- Curve - Line - Points, na żądanie wskazania punktu początkowego (From Point) i końcowego (To Point) klikamy myszką już zdefiniowane punkty: Z.Rudnicki 24 12
Krok 3: PROPERTY - rodzaj elementów skończonych Rodzaje elementów skończonych (np.: belka, powłoka, bryła) dobieramy zależnie od kształtów badanego obiektu ale także zależnie od stanu naprężeń jakim badana konstrukcja jest poddawana - np.: czy tylko osiowe rozciągania i ściskanie, czy zginanie itp Każdy rodzaj elementów ma bowiem określony zakres zastosowań. Na przykład element typu ROD czyli pręt może być stosowany gdy nie ma zginania i ścinania a jedynie rozciąganie, ściskanie i skręcanie Z.Rudnicki 25 Krok 3: PROPERTY - rodzaj elementów skończonych c.d. a) Wybieramy rodzaj elementów skończonych z menu: Model -Property - decydujemy się na belkę - BEAM. Wpisujemy nazwę np.: Belka1 w rubryce Title, oraz wybieramy zdefiniowany już materiał w rubryce Material. Z.Rudnicki 26 13
Krok 3: PROPERTY c.d. - Definiowanie przekroju belki Wprawdzie belka to model jednowymiarowy (kreska), ale sztywność belki zależy od kształtu i wymiarów jej przekroju poprzecznego. FEMAP pozwala wybrać jeden z wielu możliwych kształtów (np..: pręt, rura, płaskownik, kątownik, ceownik, dwuteownik,...) oraz zdefiniować jego rozmiary Ważny jest kierunek osi Y, który potem skoordynujemy z pionem. Z.Rudnicki 27 Krok 3: PROPERTY c.d. - Definiowanie przekroju belki b) Dla naszej belki wybierzemy przekrój typu T, wpisując wymiary i ustawiając odpowiednio oś Y: Z.Rudnicki 28 14
Krok 4 - MESH - podział na elementy Model geometryczny (w naszym przypadku odcinek prostej) zostanie automatycznie podzielony na elementy skończone i łączące je węzły. Najpierw określamy domyślny rozmiar elementu (Mesh - Mesh Contol - Default Size) równy 1 cal. Z.Rudnicki 29 Krok 4 - MESH - podział na elementy c.d. Następnie wybieramy z menu: Mesh - Geometry - Curve i klikamy utworzoną już linię: Z.Rudnicki 30 15
Krok 4 - MESH - podział na elementy c.d. W następnym okienku wybieramy odpowiedni PROPERTY (rodzaj elementów) z już zdefiniowanych, i sprawdzamy czy zaznaczona jest opcja Elements and Nodes rozkazująca generować elementy i węzły. Z.Rudnicki 31 Krok 4 - MESH - podział na elementy c.d. Pojawi się okno definiowania kierunku w jakim ma być ustawiona oś Y przekroju porzecznego belki Z.Rudnicki 32 16
Krok 4 - MESH - podział na elementy c.d. Po ustaleniu i zatwierdzeniu kierunku ustawienia przekroju belki pojawi się dokonany podział na elementy i węzły. Obraz powiększono przyciskiem (+) Z.Rudnicki 33 Aby sprawdzić poprawność ustawienia belki naciskamy klawisz [F6] i wybieramy opcje: - Element Orientation/Shape oraz - Show Cross Section Oglądanie belki Z.Rudnicki 34 17
Następnie naciskamy [F8] (lub View - Rotate) i ustalamy widok Isometric. Klikamy przycisk z symbolem sześcianu i ustalamy: Rendered Solid Oglądanie belki c.d. Z.Rudnicki 35 Krok 5 - CONSTRAINTS - Więzy Wracamy do poprzedniego widoku i chcemy utwierdzić pierwszy węzeł (belka zamurowana w ścianie): a) Model - Constraint - Nodal - klikamy węzeł 1 Z.Rudnicki 36 18
Krok 5 - CONSTRAINTS - Więzy c.d. Po wybraniu węzła (lub węzłów) i zatwierdzeniu, określamy jakie stopnie swobody (DOF = Degree of Freedom) mają im być odebrane. Dla utwierdzonego końca belki (Fixed) odbierane są wszystkie stopnie swobody: Z.Rudnicki 37 Krok 6 - LOADS - Obciążenia Obciążenie węzła (drugiego końca belki): Load - Nodal - określamy jako siłę Fy=-200 funtów: Z.Rudnicki 38 19
Krok 7 - SOLVE - Obliczenia Teraz już możemy model zapisać do pliku i wysłać do obliczeń do Nastrana: File-Export-Analysis Model: Z.Rudnicki 39 Krok 8 - Postprocessing - Wyniki Po zakończeniu obliczeń (bez Fatal errors ) wyniki wracają do FEMAP a (lub trzeba je zaimportować : File-Import-Analysis Results) a następnie nacisnąć klawisz [F5] oraz przycisk Deformed and Contour Data i wybrać wyniki: Z.Rudnicki 40 20
Krok 8 - Postprocessing - Wyniki c.d. W oknie Select Postprocessing Data trzeba wybrać właściwy zbiór wyników czyli Output Set. W oknie tym możemy wybrać dwie wielkości wynikowe (Output Vectors), jedną, która będzie prezentowana w postaci deformacji (odkształceń) - Deformation (na przykład Total translation - całkowite przemieszczenie lub T2 translation - czyli w przemieszczenie kierunku Y) drugą prezentowaną przy pomocy kolorów (np. warstwic) - Contour. Oczywiście wybieramy wielkości różne od zera!! - patrz Value Wybór możemy poprzedzić wybraniem kategorii - Category: Any Output - wszystkie Displacement - przemieszczenia Velocity/Accel - prędkości/przyspieszenia Force - siły Stress - naprężenia Strain - odkształcenia Temperature - temperatury Z.Rudnicki 41 Krok 8 - Postprocessing - Wyniki c.d. W oknie prezentującym wyniki ważne są przełączniki umieszczone z prawej strony linii u dołu ekranu - rys.8.3. - a mianowicie: Prop: - Property - wybór typu el. skończonych (jesli zdefiniowano więcj niz jeden), Ld: - Loads - wybór konkretnego zbioru obciążeń ( - '' - ), Con: - Constraints - wybór zbioru więzów kinemat. ( - '' - ), Grp: - Group - wybór grupy (jesli jakieś zdefiniowano), Out: - Output set - wybór zbioru wyników (gdy jest wiecej niż jeden), Off - możliwość włączenia opcji: Interactively Query Nodes lub Interactively Query Elements, która pozwoli wyświetlać wybrane już (j.w.) wyniki dla węzłów (lub elementów) wskazywanych myszką tak jak to pokazano na kolejnych rysunkach Z.Rudnicki 42 21
Postprocessing c.d. - Wyświetlanie wyników dla wskazanych węzłów lub elementów Opcje Interactively Query Nodes lub Interactively Query Elements, pozwolą wyświetlać wybrane już (j.w.) wyniki dla węzłów (lub elementów) wskazywanych myszką. Z.Rudnicki 43 Postprocessing c.d. - Wykres momentów gnących Aby oglądać wykres momentów gnących trzeba wybrać: Contour Style: Beam Diagram oraz wektor BEAM MOMENT A-Z PLANE 1 Z.Rudnicki 44 22
Postprocessing c.d. - Wykres naprężeń Wykres naprężeń - też jako Beam Diagram - można uzyskać np.: dla BEAM SA-MAX: Z.Rudnicki 45 Postprocessing c.d. - Deformacje, naprężenia, wyniki liczbowe Dla płytki możemy na przykład oglądać deformację oraz warstwice (contour map) naprężeń głównych w płaszczyźnie XY, które pokażą gdzie jest najsilniejsze rozciąganie oraz ściskanie. Wyniki liczbowe można uzyskiwać komendami z menu LIST. Z.Rudnicki 46 23
Przykłady Z.Rudnicki 47 Kratownica Musimy zdecydować czy węzły są przegubowe (TRUSS - kratownica z prętów) czy połączone sztywno (FRAME - rama z belek spawanych). Na szkicu ponumeruj węzły i sporządz tabelę ich współrzędnych. Dla ramy - po zdefiniowaniu geometrii trzeba zdefiniować typy belek. Po wygenerowaniu siatki wybierz z menu Tools - Check - Coincident Nodes a następnie zaznacz pole Merge coincident nodes Z.Rudnicki 48 24
Wizualizacja ugięcia kraty K3 Z.Rudnicki 49 Rys.18. Postać odkształcenia kraty po zerwaniu krzyżulca Z.Rudnicki 50 25
Rys.12. Rys.13 Przykładowe wykresy momentów gnących i sił osiowych dla kratownicy K3 Z.Rudnicki 51 Momenty gnące Siły osiowe Rys.20. Redystrybucja sił wewnętrznych po zerwaniu krzyżulca przypodporowego Siły poprzeczne Z.Rudnicki 52 26
Przykład: model skrzydła samolotu (elementy, węzły, więzy, obciążenia) Skrzydło samolotu - wyniki analizy: - deformacje (powiększone) i naprężenia Von Mises a 27
Stany naprężeń Modele MES - tak jak i inne modele - dają wyniki przybliżone i na tyle prawdziwe na ile słuszne są założenia - w szczególności dotyczące sposobu zamocowania i obciążenia. Skoro tak to w wielu przypadkach nie opłaca się stosować elementów bryłowych lecz przyjmuje się prostsze elementy - zależnie od kształtu i stanu naprężeń. W szczególności wyróżnia się analizę: jednoosiowego stanu naprężeń (tylko rozciągania lub ściskania), zginania belek o różnych profilach (szyn, rur, płaskowników,...), kratownic i ram płaskich, kratownic i ram przestrzennych, płaskiego stanu naprężeń i odkształceń, zginania elementów płaskich (płytek), powłok przestrzennych (np. zbiorników), brył trójwymiarowych. 28