BAZA ZADAŃ KLASA 3 Ga CIĄGI LICZBOWE 1. Ile wyrazów dodatnich ma ciąg? Podaj największy z nich. 2. Które wyrazy ciągu są równe zeru? 3. Które wyrazy ciągu są mniejsze od liczby m? 4. Zbadaj, czy poniższe ciągi są arytmetyczne. Uzasadnij odpowiedź 5. Wykaż, że ciąg jest arytmetyczny. Oblicz jego pierwszy wyraz i różnicę. 6. Wyznacz ciąg arytmetyczny, jeżeli: d) e) 7. Liczby w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz x. 8. Liczby w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz x, y i z. 9. Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy. Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. 10. Oblicz sumy (stosując wzór na sumę wyrazów w ciągu): 11. Wyznacz x z równania, wiedząc że jego lewa strona jest suma wyrazów ciągu arytmetycznego: 12. Oblicz sumę piętnastu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego 13. Suma kolejnych początkowych wyrazów nieskończonego ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu. 14. Oblicz sumę stu kolejnych początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, w którym pierwszy wyraz jest równy 3, a drugi wyraz stanowi wyrazu dziesiątego. 15. Zbadaj monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym 16. Wyznacz wzór ogólny ciągu geometrycznego. 17. Wyznacz pierwszy wyraz i iloraz rosnącego ciągu geometrycznego, w którym: 18. Zbadaj, czy poniższe ciągi są geometryczne. Uzasadnij odpowiedź d) 19. Pierwszy wyraz nieskończonego ciągu geometrycznego jest równy a trzeci jest równy 1. Znajdź dziewiąty wyraz tego ciągu. 20. W ciągu geometrycznym dane są. Wyznacz sumę ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu. 21. Liczby w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Oblicz x 22. Liczby w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Oblicz a i b. 23. Wyznacz x, tak aby liczby: tworzyły malejący ciąg geometryczny. 24. Wykaż, że ciąg jest ciągiem geometrycznym.
25. Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyraża się wzorem dla. Oblicz pierwszy wyraz ciągu i jego iloraz. 26. Suma trzech początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wynosi 26, różnica wyrazów czwartego i pierwszego wynosi 52. Oblicz piąty wyraz tego ciągu. 27.Nieskończony ciąg geometryczny jest określony wzorem, dla Oblicz iloraz tego ciągu. 28. Pierwszy wyraz nieskończonego ciągu geometrycznego jest równy. Wyraz drugi, trzeci i czwarty spełniają warunek. a) oblicz iloraz ciągu b) określ, czy ciąg jest rosnący, czy malejący. TRYGONOMETRIA 1.Wiedząc, że jest kątem ostrym i oblicz 2. Wiadomo, że jest kątem ostrym i. Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta. 3. Wiadomo, że jest kątem ostrym i. Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta. 4. Przyprostokątne w trójkącie prostokątnym mają długości. Oblicz tangens większego z kątów ostrych w tym trójkącie. 5. Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kąta, jeżeli: a) sinus kąta ostrego jest dwa razy większy od jego cosinusa b) cosinus kąta ostrego jest trzy razy większy od jego sinusa 6. W trójkącie prostokątnym o kątach ostrych spełniony jest warunek. Oblicz iloczyn cosinusów tych kątów. 7. Drzewo pochyliło się pod katem 30 do poziomu. Jego wierzchołek znajduje się 4 m nad ziemią. Po pniu drzewa wspina się ślimak, podążający z prędkością 10 cm na minutę. Ile minut zajmie ślimakowi droga do wierzchołka drzewa, jeżeli znajduje się w połowie pnia? A. B. 80 C. 120 D. 8. Dłuższa przekątna rombu ma miarę 12 cm, a jego kąt rozwarty 120. Oblicz pole oraz wysokość rombu. 9. Pole trapezu równoramiennego jest równe cm 2. Ramię długości cm tworzy z dłuższą podstawą kąt o mierze 30. Oblicz obwód trapezu. 10. Kąt wzniesienia baszty, zmierzony w odległości 80 m od jej podstawy, ma miarę 48. Jaką wysokość ma wieża? 11. Kolejka prowadząca na szczyt Gubałówki pokonuje na drodze długości ok. 1340 m różnicę zniesień ok. 300 m. Zakładając, że kolejka porusza się wzdłuż linii prostej, oblicz, pod jakim kątem wznoszą się tory kolejki. 12. Sprawdź, czy poniższe równości są tożsamościami trygonometrycznymi, wiedząc że c) 13. Wiedząc, że i jest katem ostrym, oblicz wartość wyrażenia. 14. Wiedząc, że jest kątem ostrym oraz oblicz wartość wyrażenia. 15. Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego jeżeli.. 16. Oblicz wartość wyrażenia, jeżeli i jest kątem ostrym. 17. Wiedząc, że jest kątem ostrym i oblicz. 18. Kąt jest ostry oraz. Oblicz wartość wyrażenia. 19. Wiedząc, że Oblicz. 20. Kąt jest ostry i Oblicz. 21. Kąt jest ostry oraz Oblicz.
GEOMETRIA 1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu opisanego ma długość 19 cm. Oblicz pole tego trójkąta. 2. Oblicz pole wycinka koła o promieniu 8 cm wyznaczonego przez kąt 3. Pole wycinka koła wyznaczonego przez kąt jest równe. Oblicz promień tego koła. 4. Oblicz pole trójkąta równobocznego opisanego na okręgu o promieniu długości. 5. Oblicz promień koła opisanego na trójkącie o bokach długości 7 cm, 6 cm i 12cm. 6. Oblicz pole wycinka koła, jeżeli promień koła ma długość 9 cm, a kąt wycinka tego koła ma miarę120. 10 2 7. Pole wycinka koła jest równe cm, a kąt wycinka tego koła ma miarę 48. Oblicz długość łuku wycinka 3 koła. 8. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego maja długości 6 i 8. Oblicz: a) promień okręgu opisanego na tym trójkącie b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. 9. Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym wynosi 5, a jedna z przyprostokątnych jest dwa razy dłuższa od drugiej. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. 10. W trójkąt równoramienny o wysokości 4 i podstawie 6 wpisano okrąg. Oblicz średnicę tego okręgu. 11. Na okręgu o promieniu 2 opisano trójkąt równoramienny o kącie przy podstawie 30. Oblicz obwód tego trójkata. STATYSTYKA OPISOWA 1. Średnia wieku w pewnej grupie studentów jest równa 23 lata. Średnia wieku tych studentów i ich opiekuna jest równa 24 lata. Opiekun ma 39 lat. Oblicz, ilu studentów jest w tej grupie. 2. Tabela przedstawia pewne dane i ich liczebność Wartość danej -4 2 4 7 20 Liczebność 7 2 3 6 2 Oblicz średnią arytmetyczną tych danych. Podaj medianę. Oblicz odchylenie standardowe. 3. Przeprowadzono badania, dotyczące liczby osób jadących w samochodach osobowych w godzinach rannych, w kierunku centrum pewnego miasta. Wyniki badań przedstawione są na diagramie kołowym. a) Oblicz średnią liczbę osób jadących w samochodzie osobowym w godzinach rannych w kierunku centrum. b) Oblicz prawdopodobieństwo, że w losowo wybranym samochodzie osobowym, w godzinach rannych, w kierunku centrum, były więcej niż 3 osoby. c) Wiedząc, że samochodów osobowych, w których były 4 osoby, zaobserwowano o 350 więcej, niż samochodów w których było 5 osób, oblicz, ile wszystkich samochodów obserwowano w trakcie badań 4. Uczniowie napisali pracę kontrolną. 30% uczniów otrzymało piątkę, 40% otrzymało czwórkę, 8 uczniów otrzymało trójkę, a pozostali ocenę dopuszczającą. Średnia ocen wynosiła 3,9. Ilu uczniów otrzymało piątkę? 5. Średnia arytmetyczna liczb: jest równa 2. Oblicz. 6. Uczeń otrzymał pięć ocen:. Średnia arytmetyczna tych ocen jest równa 4. Oblicz i medianę tych pięciu ocen. 7. Średnia wieku 15 mieszkańców pewnego bloku wynosi 33 lata. Gdy do wolnego mieszkania wprowadził się nowy mieszkaniec, średnia zwiększyła się o 1 rok. Ile lat ma nowy mieszkaniec?
8. Oblicz medianę danych: 0, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 1. 9. Zważono 150 losowo wybranych kostek masła produkowanego przez pewien zakład mleczarski. Wyniki badań przedstawiono w tabeli. Masa kostki masła [dag] Liczba kostek masła 16 1 18 15 19 24 20 68 21 26 22 16 Na podstawie danych przedstawionych w tabeli oblicz średnią arytmetyczną oraz odchylenie standardowe masy kostki masła. 10. W pewnej szkole przeprowadzono ten sam sprawdzian z matematyki w trzech klasach 1a, 1b i 1c. Na poniższym diagramie przedstawiono wyniki tego sprawdzianu z wyszczególnieniem liczby osób, które uzyskały poszczególne oceny. a) Ilu uczniów pisało sprawdzian w poszczególnych klasach? b) Która z ocen była wystawiana najczęściej? c) W której klasie średnia ocen ze sprawdzianu była najwyższa? 11. Na diagramie poniżej przedstawiono procentowy podział miesięcznych zarobków w pewnej firmie. a) Podaj medianę tych zarobków b )Wyznacz średnią kwotę miesięcznych zarobków w tej firmie. 12. Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III. Oceny 6 5 4 3 2 1 Liczba uczniów 1 2 6 5 9 2 Oblicz średnią arytmetyczną i kwadrat odchylenia standardowego uzyskanych ocen.
13. Mediana trzech liczb jest równa 4, a ich średnia arytmetyczna jest równa 5. Oblicz sumę największej i najmniejszej z tych liczb. 14. Marek waha się, który obóz letni wybrać. Aby podjąć najlepszą decyzję sporządził tabelkę i obliczył średnie ważone. Który obóz powinien wybrać? Koszt (waga 0,4) Termin (waga 0,1) Towarzystwo (waga 0,3) Obóz wędkarski 8 2 8 4 Obóz żeglarski 4 4 6 7 Obóz rowerowy 7 6 5 5 Atrakcyjność (waga 0,2) Średnia RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Rzucono dwiema sześciennymi kostkami do gry i określono zdarzenia: na każdej kostce wypadła nieparzysta liczba oczek, suma wyrzuconych oczek jest nie mniejsza niż 8. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia. 2. Rzucamy trzy razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek równego 12. 3. Rzucamy dwa razy symetryczną, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na tym, że: a) suma liczb oczek jest liczbą nieparzystą, b) iloczyn oczek jest mniejszy od 10 c) za drugim razem wypadnie liczba parzysta d) różnica oczek w obu rzutach będzie mniejsza niż 3 4. Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami. a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że różnica między liczbami oczek wyrzuconych na kostkach (od większej odejmujemy mniejszą) będzie równa 2? b) Jaka jest najbardziej prawdopodobna różnica między wynikami na kostkach (od większego odejmujemy mniejszy)? 5.Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo każdego z następujących zdarzeń: a) w każdym rzucie wypadnie nieparzysta liczba oczek. b) suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą większą od 9. c) suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą nieparzystą i większą od 9. 6. Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na pierwszej kostce wypadło dwa razy mniej oczek niż na drugiej? 7. Rzucamy 6 razy symetryczną 6-ścienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo: a) otrzymania co najmniej raz szóstki; b) otrzymania co najwyżej raz szóstki. 8. Z pudełka, w którym jest 6 kul czarnych i 4 żółte, wyjęto dwa razy po jednej kuli ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo, że wyjęto kule jednakowych kolorów. 9. W urnie znajduję się 5 kul białych i 3 czarne. Wyjmujemy losowo 4 kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wyjętych są przynajmniej 2 kule czarne. 10. W pudełku znajduje się 5 kul białych, 3 kule czerwone i 1 zielona. Losujemy 1 kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej. 11. Mamy dwa pudełka z kulami. W pudełku A znajdują się 3 kule zielone i 6 niebieskich, a w pudełku B 5 kul zielonych i 8 niebieskich. Rzucamy kostką sześcienną do gry. Jeżeli na kostce wypadną co najmniej 3 oczka, to losujemy kulę z pudełka A, w przeciwnym wypadku losujemy kulę z pudełka B. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę niebieską. 12. W wazonie stoi 12 czerwonych i 8 żółtych róż. Pani Krystyna wyjęła losowo dwie róże z wazonu. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wybranych kwiatów jest przynajmniej jedna róża żółta.
13. Paulina ma w szafie 20 bluzek w kilku kolorach. W tabelce przedstawiono, jaki procent bluzek stanowią bluzki w danym kolorach Kolor bluzki % czerwony 15 niebieski 70 czarny 5 biały 10 Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrana losowo bluzka jest niebieska. 14. Piotrek ma 100 płyt CD z muzyką poważną. Codziennie słucha jednej płyty i odstawia ją na miejsce. Płyty wybiera w sposób losowy. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu pięciu kolejnych dni będzie słuchał codziennie tej samej płyty. 15. Przy okrągłym stole zasiada losowo 8 osób, a wśród nich rodzice z dwojgiem dzieci. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dzieci usiądą bezpośrednio między rodzicami? 16. Ze zbioru losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6. 17. Każdej karcie bankomatowej jest przypisany numer identyfikacyjny zwany kodem PIN. Kod ten składa się z czterech cyfr (cyfry mogą się powtarzać, ale kodem PIN nie może być 0000). Oblicz prawdopodobieństwo, że w losowo utworzonym kodzie PIN żadna cyfra się nie powtórzy. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego. 18. Ze zbioru liczb losujemy dwie liczby (mogą się powtarzać). Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb jest parzysta. 19. Zamek szyfrowy składa się z 5 tarcz. Na każdej z tarcz znajduje się 6 cyfr. Zamek otwiera kombinacja cyfr podana w odpowiedniej kolejności. (istotne są cyfry na tarczach oraz kolejność ustawiania tarcz). Jakie jest prawdopodobieństwo otworzenia zamka przy losowym ustawieniu tarcz? 20. W koszu znajdują się owoce: 12 jabłek i 8 pomarańczy. Wyjmujemy kolejno trzy owoce, nie odkładając ich do kosza. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy dokładnie dwie pomarańcze?. Część zadań pochodzi ze strony internetowej http://www.zadania.info. Można tam znaleźć rozwiązania.