METODOLOGICZNE ASPEKTY FRAKTALNEGO MODELOWANIA RZECZYWISTOŚCI

METODOLOGICZNE ASPEKTY FRAKTALNEGO MODELOWANIA RZECZYWISTOŚCI WALDEMAR RATAJCZAK Instytut Geografii Społeczno-Ekonomicznej i Gospodarki Przestrzennej, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań 1. WSTĘP Poznanie geometryczne dotyczy tego, co wieczne - stwierdził Platon ponad dwa tysiące lat temu. Świadomość tego towarzyszyła człowiekowi od zarania dziejów. Najpierw przez wieki próbowano określić geometryczny kształt Ziemi, potem kształt orbit ciał niebieskich, by w czasach nowożytnych - dzięki geniuszowi Einsteina - opisać kształt czasoprzestrzeni. Wszystkie te wielkie akty poznania mogły nastąpić w wyniku rozwoju geometrii, która wyznaczała drogi opisu świata rzeczywistego, złożonego z nieogarniętej liczby obiektów o przeróżnych kształtach i formach przestrzennych. Jednak ani klasyczna geometria Euklidesa, ani geometria eliptyczna i hiperboliczna nie wystarczały do opisu całej złożoności Natury. Przede wszystkim dlatego, iż geometrie te badały własności figur wyidealizowanych, doskonałych w swym kształcie okręgów, elips, trójkątów, kul itp., w kontekście odwzorowań izometrycznych. Dopiero nowa geometria rozwijająca się od końca ubiegłego stulecia - topologia - stworzyła podstawy do rozważań nad holistycznymi własnościami obiektów, nad homomorfizmami (tj. bijekcjami w obie strony ciągłymi). Przedmiotem jej badań jest między innymi kształt i położenie, rozpatrywane w sensie własności figur, które zachowują się nawet wówczas, gdy zdeformowane figury tracą wszelkie własności metryczne i rzutowe. Stąd topologia rozumiana jest również jako geometria jakościowa, z której wywodzi się wszelkie inne poznanie geometryczne (por. ryc. 1, Harvey 1969: 205). Poznanie geometryczne ma niepodważalne znaczenie dla badań geograficznych, albowiem rozwój geometrii wpływał i wpływa na wyniki osiągane na gruncie geografii. Według Harvey'a (1969: 191-229), geometria jest językiem form przestrzennych, przeto osiągnięcia geometrii mogą być wykorzystywane do rozwiązywania problemów geograficznych pod warunkiem, że będą one w sposób realistyczny i zadowalający wyrażone w terminach geometrii. Wniosek ten potwierdza dotychczasowe wykorzystanie formalnego języka geometrii do rozwiązywania wielu

zagadnień geograficznych, takich jak np. zdefiniowanie pojęcia przestrzeni, analiza przestrzenna, czy konstruowanie map (por. Chojnicki 1971: 301 i 1988: 11). 2. TOPOLOGIA Geometria przestrzeni topologicznych Geometria rzutów rzeczywistych Geometria afiniczna Geometria samopodobieństwa (fraktalna) Geometria podobieństwa Geometria równopowierzchniowa Geometria hiperboliczna Geometria euklidesowa Geometria eliptyczna Ryc. 1. Hierarchiczna struktura geometrii (Harvey 1969: 205, zmodyfikowane). W ostatnich latach zanotowano niezwykłe osiągnięcia w dziedzinie topologii związane z tzw. geometrią fraktalną. Fraktale - niedawno odkryte figury geometryczne - otwierają nowe, nieosiągalne dotąd możliwości w zakresie badania struktury świata rzeczywistego, a także jego dynamiki. W dziedzinie modelowania złożoności Natury pojawił się więc nowy język geometrii eksperymentalnej. To nowe podejście zostało zapoczątkowane pod koniec lat siedemdziesiątych pracami matematyka Benoit'a Mandelbrota 1, a następnie zostało podjęte przez wielu badaczy. Celem niniejszej pracy jest: 1 Benoit Mandelbrot urodził się w Warszawie (1924), wykształcił we Francji, a pracuje w Yale University oraz Laboratorium IBM, w USA

3. (1) przedstawienie niektórych aspektów teoretycznych geometrii fraktalnej oraz jej znaczenia dla badania ukrytej struktury rzeczywistości, (2) analiza zastosowań geometrii fraktalnej w badaniach geograficznych ze szczególnym uwzględnieniem aspektu metodologicznego. 2. CO TO SĄ OBIEKTY FRAKTALNE? "Chmury nie są kulami, góry stożkami, linie brzegowe kołami, kora nie jest płaska, ani też błyskawica nie porusza się po linii prostej" - napisał w The Fractal Geometry of Nature Mandelbrot (1982: 1). Wnikając głębiej w ten problem, dla uchwycenia nieregularności obiektów spotykanych w rzeczywistości, Mandelbrot odkrył nowe formy geometryczne, które od łacińskiego słowa fractus ("złamany") nazwał fraktalami. Wstępnie można stwierdzić, iż fraktale są obiektami geometrycznymi o łamanym lub nieregularnym kształcie, które wykazują samopodobną strukturę podczas zmierzającego do nieskończoności procesu redukcji ich rozmiarów. Fraktale cechują następujące własności geometryczne i algebraiczne: (1) nie posiadają unikalnej, charakterystycznej dla nich skali długości, gdyż powiększone lub pomniejszone nie zmieniają swych kształtów, (2) są samopodobne na każdym poziomie obserwacji (pomiaru) w tym sensie, że po wycięciu z nich dowolnej małej części i jej powiększeniu powstanie obiekt wiernie naśladujący całość, (3) przedstawione w sposób analityczny, opisywane są zależnościami rekurencyjnymi, a nie wzorami matematycznymi. Tradycyjne figury geometryczne takie jak koła, trójkąty czy kwadraty, nie spełniają tych własności. Wycięty fragment kwadratu nie przypomina całego kwadratu. Jednocześnie jednak niektóre z tych figur, np. koło, poddają się procedurze renormalizacji opartej na pojęciu samopodobieństwa, czyli tendencji do wielopoziomowego powtarzania identycznych struktur geometrycznych. W czystej matematyce takie obiekty zostały zdefiniowane znacznie wcześniej (oczywiście nie nazywano ich fraktalami), były one traktowane jako swego rodzaju przypadki szczególne, "monstra", które w pewnym sensie potwierdzały ograniczoną zdolność poznania klasycznej geometrii. W dzisiejszej terminologii nazywane są one fraktalami deterministycznymi. Natomiast fraktale spotykane w rzeczywistości (nie sztuczne) określa się

4. jako losowe. 2.1. Fraktale deterministyczne (matematyczne) Deterministycznym obiektem fraktalnym skonstruowanym najwcześniej, bo w 1883 r., jest zbiór Cantora 2. Zasady jego konstrukcji przedstawia ryc. 2a, są one następujące. Odcinek domknięty [0,1] dzieli się na trzy równe części, a następnie usuwa się zeń część środkową bez punktów brzegowych. Pozostają dwa odcinki z czterema punktami brzegowymi. Postępuje się z nimi jak z odcinkiem wyjściowym, tj. dzieli się na trzy równe części i usuwa część środkową. Po trzech krokach będzie 2 3 = 8 odcinków, każdy o długości 3 (-3) = 1/27. Po n krokach otrzyma się 2 n odcinków, każdy o długości 3 (-n). Dla odpowiednio dużego n otrzymuje się zbiór punktów. Jest to obiekt fraktalny - zbiór Cantora. Fraktala tego nie można dokładnie narysować, gdyż całkowita długość pozostałych odcinków wynosi (2/3) n i zmierza do zera gdy n rośnie. Jest to więc obiekt, który nie ma długości (por. Barnsley 1988a: 44). Ryc. 2. Konstrukcja zbioru Cantora i krzywej von Kocha. 2 Stewart (1994) podaje, że zbiór ten został faktycznie odkryty przez H. Smitha w 1875 r. Dopiero później Cantor wykorzystał ten pomysł.

5. Fraktalem deterministycznym, który posiada dokładnie odwrotną własność, tj. nieskończoną długość, jest krzywa stworzona w 1904 r. przez szwedzkiego matematyka Helge von Kocha. Zasada konstrukcji tej krzywej jest podobna jak w przypadku zbioru Cantora. Odcinek domknięty [0,1] dzieli się na trzy równe części, każda o długości 1/3. Następnie usuwa się odcinek środkowy, a powstałą lukę uzupełnia się górną częścią trójkąta równobocznego (bez podstawy) o bokach równych 1/3. W ten sposób powstaje motyw składający się z czterech odcinków, każdy o długości 1/3, przeto długość całego motywu wynosi 4/3. W drugim kroku każdy odcinek stanowi podstawę do utworzenia linii łamanej, składającej się z 4 x 4 = 16 odcinków, z których każdy ma długość 1/9. Zatem długość całej linii wynosi 16/9 = 4 2 /3 2. W trzecim kroku będą 4 3 = 64 odcinki, każdy o długości 1/3 3. Utworzona w ten sposób linia będzie miała całkowitą długość 4 3 /3 3. Geometryczne aspekty opisanego postępowania przedstawia ryc. 2b. Ryc. 3. Konstrukcja śnieżynki von Kocha. Zastosowanie tej samej procedury względem trójkąta równobocznego o boku a pozwala skonstruować płatek śniegu von Kocha (por. ryc. 3). Jest to obiekt fraktalny o skończonej powierzchni 2/5_3 a 2, którą ogranicza krzywa ciągła nie posiadająca w żadnym punkcie dobrze zdefiniowanego kierunku, ma ona natomiast skończoną długość. Inne dobrze znane w matematyce (wśród wielu innych) obiekty fraktalne to trójkąt, podkładka i dywan Sierpińskiego (1915), wszystkie o polu równym zeru, oraz gąbka Mengera o objętości także równej zeru. Wymienione obiekty mają tę samą własność, co zbiór Cantora, tj.

dowolnie wycięta część jest podobna do całości. Są to zatem obiekty samopodobne. 2.2. Fraktale naturalne (losowe) 6. Mandelbrot (1982) stwierdził, że własnościami analogicznymi do fraktali deterministycznych cechują się obiekty spotykane w rzeczywistości. Znanym przykładem potwierdzającym jego tezę jest tzw. eksperyment W.F. Richardsona (1881-1953), który analizował długość wybrzeży Wielkiej Brytanii, Portugalii, Niemiec oraz Południowej Afryki. Richardson zauważył, że wyniki pomiaru długości linii wybrzeża zależą w dużym stopniu od skali mapy oraz odcinka pomiarowego. Im jednostka miary krótsza, tym linia wybrzeża dłuższa. Dla zachodniego wybrzeża Wielkiej Brytanii znalazł on następującą zależność liniową: log s = -0.22 log a + log s 1 gdzie: s jest długością linii wybrzeża otrzymaną z iloczynu N a, a jest zmiennym odcinkiem miary, zaś s 1 jest długością linii wybrzeża, gdy odcinkiem miary jest 1 km. Powyższe równanie pośrednio ujmuje bardzo ważną własność fraktali, tj. ich wymiar. Szerzej problem ten zostanie przedstawiony poniżej. Natomiast wyniki pomiarów Richardsona prezentuje ryc. 4 (por. Mandelbrot 1982: 33, Lauwerier 1987: 30). Ryc. 4. Wyniki eksperymentu Richardsona (źródło: Lauwerier 1987: 30).

7. Eksperyment Richardsona potwierdził rzecz mało oczekiwaną: długość linii wybrzeża, podobnie jak krzywa von Kocha, zmierza do nieskończoności, jeśli długość odcinka miary zmierza w kierunku wartości infinitezymalnych (tj. nieskończenie małych), a prawdziwą długością wybrzeża jest nieskończoność, niezależnie od rozmiarów samego wybrzeża. Czy jednak linia wybrzeża ma strukturę samopodobną, tzn. czy powiększenie fragmentu linii wybrzeża daje podobne efekty, jak powiększenie fragmentu linii von Kocha? Okazuje się, że w przybliżeniu zarówno fraktal matematyczny jak i fraktal naturalny mają we wszystkich skalach 3 taką samą strukturę. Z ryc. 5 wynika, że powiększony kolejno na ryc. 5d, 5e i 5f fragment wybrzeża nadal wygląda jak całe wybrzeże na ryc. 5a. Z tym, że w tym przypadku "podobieństwo jest jedynie statystyczne - przy skalowaniu pozostają stałe średnie proporcje zatok i cypli, ale ich dokładne usytuowanie może ulec zmianie. Natomiast w przypadku fraktali matematycznych podobieństwo jest dokładne" (Stewart 1994: 256). Ryc. 5. Samopodobieństwo statystyczne fragmentu wybrzeża. 3 Skalę rozumie się tutaj odwrotnie niż w kartografii. Oznacza to, że skala badania jest tym większa, im większy fragment obiektu jest rozpatrywany.

8. Ryc. 6. Podkładki Sierpińskiego - fraktal deterministyczny samopodobny w każdej skali (źródło: Stauffer, Stanley 1996: 211). Fraktale naturalne różnią się od fraktali deterministycznych dwiema zasadniczymi cechami: (1) są samopodobne tylko statystycznie, (2) przy większej skali badania, tj. przy rozpatrywaniu coraz większych ich fragmentów, mogą utracić własność samopodobieństwa. Pierwsza cecha została zobrazowana ryciną 5 i opisana powyżej. Dla przedstawienia drugiej cechy wykorzystano klasyczny fraktal matematyczny, tj. podkładkę Sierpińskiego. Fraktal ten pokazany jest na ryc. 6. Widać, iż niezależnie od skali, tj. czy rozpatrywany jest jego mniejszy fragment czy też większy, zachowana jest własność samopodobieństwa. Wniosek ten potwierdza prostolinijny wykres funkcji: log ρ(l) = f(log L), (1) gdzie ρ(l) M(L)/L2 jest gęstością fraktala, L długością boku, natomiast M(L) jest jego "masą" wyrażoną liczbą

9. czarnych trójkątów położonych wewnątrz fraktala, gdy jego bok ma długość L (por. Stauffer, Stanley 1995: 167). W przypadku badania świata rzeczywistego może jednak zachodzić taka sytuacja, że fraktal naturalny jest fragmentem większej całości, która jednak nie jest fraktalem. Taki przypadek przedstawiono na rycinie 7a, gdzie występuje figura składająca się z 16 podkładek Sierpińskiego (fraktali). Figura ta, rozpatrywana jako całość w większej skali, nie jest fraktalem, gdyż w tej skali nie jest samopodobna, chociaż jej części (podkładki) są samopodobne. Ryc. 7. Utrata własności samopodobieństwa przez figurę złożoną z 16 fraktali (podkładek Sierpińskiego) (źródło: Stauffer, Stanley 1996: 234). Znalezienie punktu przejścia "fazowego", w którym pierwotny fraktal naturalny przestaje być fraktalem, gdyż traci własność samopodobieństwa, może być ważnym problemem badawczym (por. Stauffer, Stanley 1995: 187; Normant, Tricot 1993). Punkt taki pokazany jest na ryc. 7b.

10. 3. POJĘCIE WYMIARU FRAKTALNEGO. DEFINICJA FRAKTALA 3.1. Wymiar fraktali matematycznych Ponieważ fraktale obrazują złożoność tak struktur matematycznych jak i świata rzeczywistego, powstaje pytanie, jak mierzyć stopień skomplikowania ich kształtu? Wiadomo, że długość linii brzegowych fraktali dąży do nieskończoności, przeto długość linii brzegowych nie jest dobrą miarą złożoności kształtu tych obiektów. Lepszą miarę zaproponował Mandelbrot w postaci pojęcia "wymiaru fraktalnego", który określa stopień meandrowania krzywej i jest w pewnym sensie miarą wypełnienia przestrzeni, w której ta krzywa jest zanurzona. W matematyce o takiej krzywej mówi się, że "czuje" przestrzeń (por. Schroeder 1991: 10). Pojęcie wymiaru fraktalnego prowadzi do zaskakujących spostrzeżeń i narusza powszechnie utrwalone w świadomości ludzkiej wyobrażenia o wymiarowaniu obiektów liniowych, powierzchniowych i objętościowych. Mimo iż wydaje się zupełnie oczywiste, że punkt ma wymiar 0, linia wymiar 1, płaszczyzna wymiar 2, a przestrzeń jest trójwymiarowa, to jednak pojęcie wymiaru w matematyce ma długą i niezupełnie jeszcze zakończoną historię. Na potrzebę głębszej analizy i bardziej precyzyjnego definiowania pojęcia wymiaru pierwszy zwrócił uwagę Poincaré w 1912 r. Stwierdził, że "prosta jest jednowymiarowa, ponieważ można rozdzielić dowolne dwa punkty na niej przecinając ją w jednym punkcie (który ma wymiar 0), natomiast płaszczyzna jest dwuwymiarowa, ponieważ dla rozdzielenia dowolnych dwóch punktów na płaszczyźnie musimy wyciąć całą krzywą zamkniętą (mającą wymiar 1). Nasuwa to myśl indukcyjnej natury wymiarowości: dana przestrzeń jest n- wymiarowa, jeżeli można rozdzielić dwa dowolne jej punkty usuwając podzbiór (n-1)- wymiarowy, i jeżeli podzbiór mniejszego wymiaru nie zawsze do tego wystarcza" (Courant, Robbins 1961: 323). Powyższe stwierdzenia wykazują, że towarzyszące człowiekowi odczucie natury wymiarowości nawiązuje właśnie do topologicznego wymiaru obiektów, tak matematycznych jak i naturalnych. Niektórzy matematycy, a wśród nich F. Hausdorff (1886-1942), L.E.J. Brouwer (1882-1966), A.S. Besicovich (1891-1970) i A.N. Kołmogorow (1903-1987), definiowali wymiar w inny sposób. Przy czym ich definicje charakteryzują tylko własności geometryczne obiektów, a naturę wymiarowości niekoniecznie opisują liczbami całkowitymi. Wymiar wyrażony liczbą

11. niecałkowitą - wydaje się to niemożliwe, ale taka właśnie sytuacja zachodzi w przypadku obiektów fraktalnych. Dla określenia wymiarowości fraktali Mandelbrot uprościł definicję wymiaru sformułowaną przez Hausdorffa w 1919 r.; u podstaw tej ostatniej leży pojęcie d-wymiarowej objętości figury. Wymiar Hausdorffa jest równy takiej wartości parametru d, przy której d-wymiarowa objętość zmienia się od nieskończoności do zera. Przy czym każda figura ma specyficzną wartość d, dla której zachodzi taka zmiana (Stewart 1994). Od strony teoretycznej definicja Hausdorffa jest skomplikowana (por. np. Peitgen i in. 1995: 291-294), wiadomo natomiast, że wersja wymiaru Hausdorffa wykorzystana przez Mandelbrota ściśle odpowiada definicji pojemnościowej wymiaru sformułowanej przez Kołmogorowa w 1958 r. Idea wymiaru Kołmogorowa jest następująca (por. Kudrewicz 1993: 46). Niech obiekt geometryczny F zawarty w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej będzie pokryty zbiorem kostek (tj. kwadratów lub sześcianów odpowiednio dla n = 2 lub n = 3) o bokach równych h. Niech N(h) oznacza minimalną liczbę kostek potrzebnych do pokrycia całego obiektu. Wiadomo, że gdy h jest dostatecznie małe, to zachodzą następujące proporcjonalności (por. ryc. 8): (1) dla odcinka gładkiej linii: N(h) ~ (1/h), (2) dla płata gładkiej powierzchni: N(h) ~ (1/h) 2, (3) dla obszaru w R 3 : N(h) ~ (1/h) 3, (4) dla pewnych obiektów geometrycznych (fraktali): N(h) ~ (1/h) D, gdzie D nie jest liczbą całkowitą. Ryc. 8. Sposoby pokrycia obiektów geometrycznych: prostej, fragmentu płaszczyzny i fragmentu przestrzeni trójwymiarowej (źródło: Kudrewicz 1993: 46).

12. Kołmogorow zdefiniował wymiar pojemnościowy jako: D = lim logn(h) h 0 log ( 1 / h ) (2) Formuła o tej samej postaci została przyjęta przez Mandelbrota i nazwana wymiarem fraktalnym. Stwierdzono, że dla prostych fraktali wymiary: Hausdorffa oraz pojemnościowy są identyczne. Mimo więc, że ogólnie zachodzi nierówność D(F) d(f), gdzie D(F) jest wymiarem pojemnościowym, a d(f) oznacza wymiar Hausdorffa, dla określenia najważniejszej charakterystyki fraktala - jego wymiaru - wykorzystywana jest formuła (2) (Kudrewicz 1993). Definicja (2) może być przedstawiona w jeszcze innej postaci, tj.: lim h 0 D N(h) h = c 0 < c < (3) gdzie c jest stałą. Z równania można wywnioskować, że wymiar fraktalny jest wykładnikiem, który powoduje, że iloczyn N(h) h D jest skończony i niezerowy, gdy czynnik skalujący h 0. Iloczyn ten zmierza do zera lub, gdy D zmienia się o pewną infinitezymalną wartość (Schroeder 1991: 201, Ciesielski, Pogoda 1995: 183). Jeżeli c = 1, wówczas: N(h) h D = 1 logn(h) + D logh = 0 D = - logn(h) logh i ostatecznie w granicy: D = lim h 0 logn(h). log(1/ h) Na ryc. 9 pokazano, w jaki sposób wyznacza się wymiar fraktalny dla zbioru Cantora (9a)

13. oraz krzywej von Kocha (9b) przy wykorzystaniu formuły (2). W obu przypadkach długość wyjściowego odcinka wynosi 1, a redukcja długości w kolejnych krokach wynosi 1/3, zgodnie z opisem podanym wcześniej. Natomiast redukcja w innych skalach, tj. mniejszych lub większych od 0,33, może prowadzić do całkowicie odmiennych obiektów. Łatwo zauważyć, że długość zbioru Cantora zmierza do zera, a długość krzywej von Kocha zmierza do nieskończoności. Przy tym wymiar krzywej von Kocha jest dokładnie dwukrotnie większy aniżeli wymiar zbioru Cantora. W obu przypadkach wymiar jest liczbą niecałkowitą (i niewymierną). Z drugiej strony można spodziewać się, że wymiar zdefiniowany formułą (2), odniesiony do klasycznych figur geometrycznych, będzie wyrażony liczbą całkowitą i zgodny z ich wymiarem topologicznym. Ryc. 10 potwierdza to oczekiwanie. Dla wszystkich rozważanych przypadków, tj. odcinka linii o długości 1, kwadratu o boku 1 oraz sześcianu o boku 1, wymiar obliczony wg (2) pokrywa się z wymiarem topologicznym tych figur. Ryc. 9. Wymiar fraktalny zbioru Cantora i krzywej von Kocha.

14. Ryc. 10. Wymiar fraktalny klasycznych figur geometrycznych. Należy jednak zaznaczyć, że wymiar topologiczny nie zawsze pokrywa się z wymiarem Hausdorffa, gdyż np. zbiór Cantora ma wymiar topologiczny równy zeru, a wymiar topologiczny śnieżynki von Kocha wynosi 1 (ponieważ jej brzeg jest homeomorficzny z okręgiem). Istnieją również obiekty fraktalne, których wymiar fraktalny jest liczbą całkowitą, jak np. krzywa Hilberta (1862-1943). Jej konstrukcję pokazano na ryc. 11. Krzywa ta posiada wymiar 2, a przecież nie jest płatem gładkiej powierzchni. Jest ona nazywana krzywą wypełniającą

15. przestrzeń. Innymi obiektami o podobnych własnościach są: krzywa Peano (1858-1932) o wymiarze 2,0 oraz samoafiniczne "diabelskie schody" o wymiarze 1,0 4. Ryc. 11. Konstrukcja krzywej Hilberta. Wreszcie znane są takie obiekty fraktalne, których wymiar nie został dotąd określony, jak np. niektóre zbiory G. Julii (1893-1978). Natomiast wymiar Hausdorffa brzegu najsłynniejszego fraktala - zbioru Mandelbrota, którego fantazyjne kształty uchodzą za jedne z najbardziej skomplikowanych jakie wymyślono w matematyce (por. Peitgen, Richter 1986) - został określony dopiero w 1991 r. przez Shishikurę (1991) i wynosi 2,0. Urzekające piękno długo ukrywało tajemnicę swego wymiaru. 4 Samoafiniczność zachodzi wówczas, gdy współczynniki skalowania nie są - jak w przypadku samopodobieństwa - identyczne we wszystkich kierunkach.

16. Ryc. 12. Fragmenty zbioru Mandelbrota. Ryc. 12 przedstawia dobrze znaną dekompozycję zbioru Mandelbrota. Przy kolejnych powiększeniach jego fragmentów pojawiają się coraz to nowe kompozycje kształtów. Uderzające jest również to, iż wewnątrz ukryte są identyczne struktury - coraz mniejsze zbiory Mandelbrota. Jego odkrywca - Mandelbrot - w pracy Peitgen i in. (1995: 471) wypowiedział się o tym zbiorze następująco: "Pod postacią zbioru Mandelbrota przyroda (a może matematyka?) daje nam wizualny odpowiednik tego, co w muzyce można by nazwać "tematem przewodnim i

17. jego wariacjami": wszędzie powtarzają się te same kształty, ale za każdym razem powtórzenie jest trochę inne. [...] zbiór ten stale oferuje nam nowości, nie jest on tak naprawdę fraktalem w myśl większości definicji: moglibyśmy nazwać go fraktalem brzegowym, granicznym fraktalem zawierającym wiele fraktali. W porównaniu z prawdziwymi fraktalami jego struktury są znacznie liczniejsze, jego harmonie bogatsze, a jego nieoczekiwaność jest bardziej nieoczekiwana" (Paitgen i in. 1995: 471). Na ogół jednak nie ma problemów z określeniem wymiarów fraktali matematycznych. Natomiast rozróżnienie pomiędzy ich wymiarem topologicznym oraz wymiarem fraktalnym posłużyło do sformułowania następującej definicji fraktala: fraktal to figura, której wymiar fraktalny jest różny od topologicznego (por. Ciesielski, Pogoda 1995: 184). Powyższa definicja wraz z podanymi wcześniej własnościami fraktali pozwala na ścisły opis tych obiektów. 3.2. Wymiar fraktali naturalnych (losowych) Geometryczną strukturę występujących w przyrodzie fraktali naturalnych 5 - podobnie jak fraktali matematycznych - najlepiej charakteryzuje ich wymiar. Richardson dowiódł, że w odniesieniu do długości linii wybrzeża (fraktala liniowego) spełniona jest ogólna zależność: L(a) = f(a), która ujawnia się w postaci prawa potęgowego: L(a) ~ a ε gdy a 0 (4) gdzie: L(a) jest długością linii wybrzeża przy ustalonym odcinku a, a - jest odcinkiem miary, np. odkładanym przy pomocy cyrkla 6, ε - jest wykładnikiem potęgowym o ujemnym znaku, jeśli L wzrasta gdy a maleje. 5 Za naturalne uważa się w tej pracy również obiekty fraktalne stworzone przez człowieka, jak np. miasta, systemy komunikacyjne, itp. występujące w krajobrazie geograficznym. 6 Odcinek miary oznacza się tutaj jako a (zamiast h) jedynie dla odróżnienia pomiarów przeprowadzanych względem fraktali naturalnych (nie matematycznych).

18. Można pokazać, że pomiędzy wykładnikiem potęgowym ε oraz wymiarem fraktalnym D obiektów liniowych zachodzi prosta zależność. Zgodnie z definicją wymiaru fraktalnego Mandelbrota, D = lim logn(a) a 0log( 1 / a ) Ponieważ N(a) = L(a)/a, to pomiędzy wymiarem fraktalnym a wykładnikiem ε zachodzi następujący związek: Dlog 1 a = logna ( ) 1 a D = Na ( ) 1 a D ( ) = La a -D a a = L( a) 1-D a = La ( ) = a ε Ponieważ 1-D a = a ε, stąd D = 1 - ε (5) W zastosowaniach praktycznych, wygodna jest formuła wymiaru fraktalnego wynikająca z następującego przekształcenia: ( ) -D a = La a

19. -D = logl(a) - loga loga D = lim a 0 1 + logl(a) loga (6) Należy zauważyć, że gdy zamiast (4) rozpatruje się zależność 1 La ( ) = f a a w szczególności ( ) La = 1 a ε znaczy to, że jeżeli L(a) rośnie, gdy f(1/a) rośnie (czyli a maleje), to funkcja potęgowa ma nachylenie dodatnie i zachodzi związek (por. Peitgen i in. 1995: 263): d = 1 + ε (7) Zależności (5) i (7) są spełnione przy empirycznym wyznaczaniu wymiaru fraktalnego obiektów liniowych Przy określaniu metodą statystyczną wymiarów fraktalnych obiektów powierzchniowych lub objętościowych, wygodnie jest wykorzystać następujący związek: D = Dt + ε gdzie D t oznacza wymiar topologiczny badanej figury (tj. 2 lub 3). W tym jednak przypadku ε jest wykładnikiem potęgowym wiążącym obwód figury z jej gęstością (por. Stauffer, Stanley 1995: 166). Wykorzystując wcześniej zapisane równanie Richardsona (4) i formułę (5), można obecnie pokazać, jaki jest wymiar fraktalny zachodniego wybrzeża Wielkiej Brytanii.

20. log L(a) = -0,22 log a + log s L(a) = s a-0,22 czyli D = 1 + 0,22 = 1,22. Uzyskana przez Richardsona wartość wymiaru fraktalnego oznacza, iż linia wybrzeża meandruje i odbiega od linii gładkiej, jednak nie w takim stopniu, jak czyni to krzywa Hilberta (por. ryc. 11), dla której D = 2,0. Natomiast linia wybrzeża W. Brytanii w swym przebiegu jest zbliżona do krzywej von Kocha, której wymiar fraktalny wynosi 1,2618. Przeto jej wersja losowa może być uważana za model wybrzeża W. Brytanii 7. Stosując takie samo podejście, określono wymiar fraktalny wybrzeża polskiego (wg aktulanego stanu granic). Odcinek miary zmieniał się w tym przypadku od a = 243 km do a = 1 km, natomiast czynnik wzrostu skali wynosił 3. Oszacowano równanie o następującej postaci (r 2 = 89%): czyli log L(a) = -0,071a + 2,70 L(a) = 501,7 a-0,071 Stąd wymiar fraktalny wybrzeża polskiego wynosi odpowiednio: D = 1 + 0,071 = 1,071. Nieznacznie przewyższa on jedność, co odpowiada rzeczywistości, gdyż wybrzeże polskie jest mało rozczłonkowane, a linia brzegowa meandruje w niewielkim stopniu. 7 Dokładniejsze pomiary wykazały, że wymiar fraktalny zachodniego wybrzeża Wielkiej Brytanii waha się pomiędzy 1,25 a 1,27 (por. Shelberg i in. 1983).