HSC Research Report HSC/04/04 Periodic correlation vs. integration and cointegration (Okresowa korelacja a integracja i kointegracja) Ewa Broszkiewicz-Suwaj* Agnieszka Wyłoańska* * Institute of Matheatics, Wrocław University of Technology, Poland Hugo Steinhaus Center Wrocław University of Technology Wyb. Wyspiańskiego 7, 50-370 Wrocław, Poland http://www.i.pwr.wroc.pl/~hugo/
Ewa Broszkiewicz-Suwaj, Agnieszka Wyłoańska Instytut Mateatyki, Politechnika Wrocławska OKRESOWA KORELACJA A ITEGRACJA I KOITEGRACJA 1. Wstęp W artykule oówiono nowe podejście do pojęcia integracji i kointegracji. Pokazano, że ażdy szereg czasowy okresowo skorelowany ożna podzielić na podszeregi, które są zintegrowane, a dodatkowo istnieje duże prawdopodobieństwo ich kointegracji. Zate udowodnienie, że badany szereg jest okresowo skorelowany jednocześnie pokazuje, że podszeregi utworzone z niego są zintegrowane i nie jest konieczne badanie integracji innyi etodai. W pierwszej części pracy oówiono własności procesów okresowo skorelowanych oraz przedstawiono jedną z etod opartą na analizie spektralnej służącą do wykrywania okresu funkcji korelacji. Metodę tę wykorzystano do zbadania okresowej korelacji w danych rzeczywistych opisujących średnie dzienne spotowe ceny energii elektrycznej na Giełdzie ord Pool z okresu od 30 grudnia 1996 do 1 grudnia 1998 roku. W drugi rozdziale zajęto się zagadnienie integracji oraz zbadano ją dla podszeregów wyznaczonych z szeregu wyjściowego. Podszeregi te opisują spotowe ceny energii w poszczególnych dniach tygodnia. a zakończenie oówiono zjawisko kointegracji i przetestowano hipotezę o jej istnieniu.. Procesy okresowo skorelowane Analiza szeregów czasowych w znacznej ierze bazuje na stacjonarności danych. Jednak w większości przypadków założenie, że badany szereg jest niestacjonarny jest zbyt proste. Procesy okresowo skorelowane są klasą procesów, które generalnie są niestacjonarne, ale wykazują wiele własności procesów stacjonarnych. Spotykane są iedzy innyi w kliatologii, hydrologii i ekonoii. Definicja 1. Proces stochastyczny {(t), t є I} o skończony drugi oencie nazwany jest okresowo skorelowany (ang. periodically correlated) z okrese T, jeśli T jest najniejszą liczbą taką, że dla każdych t oraz u ze zbioru I spełnione są następujące warunki [4] 1
( i) ( ii) R ( t) = E( ( t)) = ( t, u) = E(( ( t) ( t + T ) ( t))( ( u) ( u))) = R ( t + T, u + T ). Szereg czasowy okresowo skorelowany jest stacjonarny dla T=1. Poniżej przedstawiono algoryt wykrywania okresowej korelacji dla zadanego szeregu czasowego { (1), (),..., ( )} o średniej ( n) 0. Jest to etoda oparta na analizie spektralnej [,6]. 1. Wyznaczay dyskretną transforatę Fouriera I ( ω ) = ( n) exp( iω( n 1)) ( k 1) w punktach ω k = π, k = 1,, K,.. Obliczay dwuwyiarową koherencję próbkową (ang. saple coherence) I ( ω p+ ) I ( ω q+ ) = 0 γ ( ω p, ω q, M ) = w każdy punkcie ( q) M 1 M 1 I ( ω p+ ) I ( ω q+ ) = 0 M 1 = 0 n= 1 p,. 3. Wyznaczay wartości jednowyiarowej statystyki koherentnej (ang. coherent statistic) γ ( 0, ω d, ). Statystyka ta przyjuje wartości z przedziału [,1] 0. Jeżeli na wykresie pojawią się wyraźne piki w punktach ω ω,3 ω, K, to znaczy, iż d, d d zadany szereg jest okresowo skorelowany z okrese T 1 =. ω d Istnieją również inne etody wykrywania okresowej korelacji oparte na analizie spektralnej [1,,6]. a potrzeby artykułu zbadano okresową korelację danych pochodzących ze skandynawskiej giełdy energii (średnie dzienne spotowe ceny z okresu od 30.1 1996 do 01.1.1998). Po uprzedni usunięciu średniej poprzez zróżnicowanie danych z siediodniowy opóźnienie przeprowadzono opisany test.
Rys. 1. Szereg czasowy przedstawiający dzienne zróżnicowane tygodniowo ceny z Giełdy ord Pool oraz wykres statystyki koherentnej dla tego szeregu. Źródło: opracowania własne. Piki występujące w częstotliwościach 1/7, /7,... wskazują na okres funkcji korelacji, który jest równy 7 dni (tygodniowa okresowa korelacja). 3. Integracja i kointegracja Definicja. Szereg niestacjonarny {(n), n є Z}, który ożna sprowadzić do szeregu stacjonarnego, obliczając przyrosty ( ( n) = ( n) ( n 1) ) d razy, nazyway szeregie zintegrowany stopnia d (I(d)) [3,7]. Istnieją testy, które pozwalają na zbadanie stopnia integracji, np. test Dickeya- Fullera (DF) oraz rozszerzony test Dickeya-Fullera (ADF) [3, 5]. Do prostego testowania, czy szereg jest zintegrowany pożyteczny narzędzie jest test oparty na statystyce Durbina-Watsona: IDW = ( ( n) ( n 1)) ( ( n) ( n)) Jeśli wartość statystyki IDW jest niejsza niż 0.5 istnieje podejrzenie braku integracji. atoiast, gdy jej wartość jest bliska wówczas ożna przyjąć hipotezę o zintegrowaniu szeregu [3]. Okresowa korelacja danego szeregu czasowego jest równoważna integracji I(0) jego podszeregów, powstałych w następujący sposób (1) Y ( v, n) = ( nt + v) v = 1,,... T, () gdzie (n) jest wyjściowy szeregie niestacjonarny, w który wykryto okresową korelację. Własność ta wynika z następujących zależności, które spełnione są dla dowolnych n i k ze zbioru liczb naturalnych: 3
R Y ( v) Y ( v) ( n) = ( n, k) = R ( nt + v) = ( kt + v) = ( nt + v, kt + v) = R Y ( v) ( k) = const ( v, k n T + v) = R Y ( v) (0, k n ). Fakte jednak jest, że dla rzeczywistych danych okresową korelację uzyskujey dopiero po zróżnicowaniu zadanego szeregu co oże spowodować utratę długookresowych zależności. Interesujące oże być zate zachowanie podszeregów powstałych jak we wzorze () dla niezróżnicowanego szeregu pierwotnego. Rys.. Dwa przykładowe (piątek, sobota) podszeregi powstałe z szeregu opisującego ceny energii na Giełdzie ord Pool. Źródło: opracowania własne. Poniżej przedstawiono wyniki otrzyane przy badaniu integracji dla podszeregów opisujących ceny energii z Giełdy ord Pool w poszczególnych dniach tygodnia (7 podszeregów). Do badania stopnia integracji wykorzystano szybką etodę badania hipotezy o kointegracji opartą na statystyce Durbina-Watsona oraz wykresy funkcji autokorelacji (ACF). Cena Poniedziałek Wtorek Środa Czwartek Piątek Sobota iedziela IDW 0.187 0.1819 0.470 0.606 0.034 0.1507 0.1955 Tabela 1. Wartość statystyki IDW dla szeregów obejujących ceny w poszczególnych dniach tygodnia. Żródło: opracowania własne. Wartość statystyki IDW dla danych pierwotnych (Tabela 1) jest istotnie niejsza niż 0.5 dla każdego z szeregów, zate ożey odrzucić hipotezę o integracji stopnia 0 dla każdego z nich. Wartości statystyki IDW dla przyrostów pierwszego rzędu poszczególnych szeregów (Tabela ) wskazują na fakt, że szeregi te są stacjonarne. Zate ożna wnioskować o integracji I(1) poszczególnych podszeregów. 4
Cena Poniedziałek Wtorek Środa Czwartek Piątek Sobota iedziela IDW.1190 1.978.1501.300.453 1.8699.1508 Tabela. Wartość statystyki IDW dla przyrostów szeregów obejujących ceny w poszczególnych dniach tygodnia. Żródło: opracowania własne. Rys. 3. Przykładowy wykres funkcji autokorelacji dla podszeregu w wersji niezróżnicowanej (panel lewy) i zróżnicowanej (panel prawy). Przerywana linia oznacza 95% przedziały ufności dla ruchu Browna. Źródło: opracowania własne. Dla wszystkich badanych podszeregów wykresy funkcji autokorelacji ają zbliżoną postać. Podobnie jak poprzedni test wskazują one na brak stacjonarności przed różnicowanie i jej obecność po zróżnicowaniu. Z pojęcie integracji ściśle związane jest zagadnienie kointegracji. Definicja 4. Mówiy, że szeregi czasowe Y(1,n), Y(,n),...Y(,n) są skointegrowane stopnia d, b, gdzie d b 0 i piszey Y(1,n), Y(,n),...Y(,n)~ CI (d, b), jeżeli: 1) są one zintegrowane stopnia d, ) istnieje kobinacja liniowa tych ziennych, np. a 1 Y(1,n) + a Y(,n)+...a Y(,n), która jest zintegrowana stopnia d b. Wektor [a 1, a,...a ] nazyway kointegrujący. Test kointegracji przebiega dwuetapowo. W pierwszy etapie baday stopień zintegrowania poszczególnych szeregów, co daje na wskazówki do dalszego badania kointegracji. W drugi etapie należy wyestyować wektor kointegrujący postaci [1, - a 1, -a,, -a 6 ], który pojawia się w następujący odelu regresji Y 1, n) = a Y (, n) + a Y (3, n) +... a Y (7, n) + ν ( ) ( 1 6 n (3) Można go estyować używając etody najniejszych kwadratów a następnie testować 5
hipotezę o kointegracji przy użyciu testów Dickeya-Fullera. Inną prostą etodą testowania tej hipotezy jest użycie analogonu statystyki Durbina-Watsona. Test ten polega na wyznaczeniu statystyki Durbina-Watsona dla oszacowania odchyleń szeregu od głównej trajektorii, które przy założeniu prawdziwości hipotezy o kointegracji są stacjonarne [3] CIDW = ( ˆ( ν n) ˆ( ν n 1)) ( ˆ( ν n) ν ( n)), (4) gdzie ˆ ν ( n) są resztai wyznaczonyi etodą najniejszych kwadratów dla równania (3). Jeśli wartość statystyki CIDW jest niejsza od współczynnika deterinancji R R = vˆ ( n) 1 ( Y (1, n) Y (1, n)) postuluje się odrzucenie hipotezy o kointegracji. W przeciwny wypadku, gdy CIDW>R, kointegracja oże występować [3]. W naszych analizach baday kointegrację szeregów, które opisują cenę energii elektrycznej w poszczególnych dniach tygodnia. Jako zienną opisywaną przyjujey ceny z poniedziałku, pozostałe szeregi tworzą zienne opisujące. Dla takiego przypadku współczynnik deterinancji wynosi 0.954, natoiast wartość statystyki CIDW jest równa.153. Zate szeregi te są skointegrowane CI(1,1). Współczynniki kointegracji dla tego odelu uieszczone są w tabeli 3. a1 a a3 a4 a5 a6 1,3473-0,3781 0,046-0,0376 0.434-0,087 Tabela 3. Wartości współczynników kointegracji. Źródło: opracowania własne., 4. Podsuowanie Powyższa analiza wskazuje na fakt, że okresowa korelacja jest ściśle związana z zagadnienie integracji, a co za ty idzie z kointegracją. Szereg okresowo skorelowany ożna przetransforować na zbiór podszeregów, które wykazują własność integracji, zate nie jest konieczne badanie jej innyi etodai. Ponadto podszeregi w swej niezróżnicowanej postaci ogą być ze sobą skointegrowane. ależy podkreślić, że saa okresowość szeregu nie wystarcza do tego, by był on złożenie podszeregów zintegrowanych. Dlatego do analizy wykorzystano szereg okresowo skorelowany opisujący spotowe ceny energii elektrycznej. Przedstawiona etodologia pozwala na badanie i opisywanie procesów wykazujących okresową korelację bez utraty zależności długookresowych. Służy ona także 6
jako potwierdzenie słuszności etod wykrywania okresowej korelacji opartych na analizie spektralnej. Bibliografia: [1] Broszkiewicz-Suwaj E., 003, Wykrywanie okresowej korelacji danych z TGE SA w oparciu o analizę spektralną, Rynek Terinowy 0, 9-95. [] Broszkiewicz-Suwaj E., Makagon A., Weron R., Wyłoańska A., 004, On detecting and odeling periodic correlation in financial data, Physica A 336, 196-05. [3] Chareza W. W., Deadan D.F., 1997, owa ekonoetria, Polskie Wydawnictwo Ekonoiczne, Warszawa. [4] Gladyshev E.G., 1961, Periodically correlated rando sequences, Soviet Math., 385-388. [5] Hailton J., D., 1994, Tie Series Analysis, Princeton University Press, Princeton. [6] Hurd H., Gerr.L., 1991, Graphical ethods for deteining the presence of periodic correlation, J. Tie Ser. Anal. 1 (4), 337-350. [7] Welfe A., 1998, Ekonoetria, Polskie Wydawnictwo Ekonoiczne. 7
HSC Research Report Series 004 For a coplete list please visit http://ideas.repec.org/s/wuu/wpaper.htl 01 Finding the optial exercise tie for Aerican warrants on WIG0 futures (Wyznaczanie optyalnego oentu wykonania warrantów aerykańskich na kontrakty futures na indeks WIG0) by Bartosz Stawiarski 0 Power arkets in Poland and worldwide (Rynki energii elektrycznej w Polsce i na świecie) by Rafał Weron 03 Principal Coponents Analysis in iplied volatility odeling (Analiza składowych głównych w odelowaniu iplikowanej zienności) by Rafał Weron and Sławoir Wójcik 04 Periodic correlation vs. integration and cointegration (Okresowa korelacja a integracja i kointegracja) by Ewa Broszkiewicz-Suwaj and Agnieszka Wyłoańska