Tensometria elektrooporowa Tensometry elektrooporowe charakteryzują się oporem elektrycznym zależnym od odkształcenia czujnika. Są najpowszechniej używanymi czujnikami do pomiaru wielkości mechanicznych. Przetwarzają siłę, ciśnienie, odkształcenia itp. na zmianę oporności, która może być mierzona. Czujniki mierzą odkształcenia, wydłużenia jak również skrócenia. Odkształcenia, spowodowane czynnikami zewnętrznymi bądź wewnętrznymi (skurcz), mogą być użyte to pomiaru wielkości przyczyn wywołujących taki skutek. Przykładowo, mierząc wydłużenie stalowego trzpienia można określić siłę działającą nań, otrzymując prosty dynamometr (czujnik pomiaru siły). Podstawowe typy czujników elektrooporowych i ich budowa Istnieją dwa zasadnicze typy czujników: wężykowy i kratowy, rys.. Czujnik kratowy jest bardziej złożony, ale prawie nieczuły na odkształcenia poprzeczne, mierząc odkształcenia na wyizolowanym kierunku. wężykowy kratowy Rys. Czujniki elektrooporowe Odkształcenie próbki jest przekazywane poprzez klej i cienką folię na drucik oporowy, rys., wykonany z chromonikieliny lub konstantanu (materiałów o oporze niemal niezmiennym przy zmianach temperatury). Rys. Budowa czujnika Opór czujnika jest proporcjonalny do oporności właściwej materiału i długości przewodu a odwrotnie proporcjonalny do przekroju: R ρl. A Rozciągany pręt wydłuża się i staje się cieńszy. Początkowa średnica, r 0, zmienia się o r. Odkształcenie w kierunku promieniowym wynosi: r lat r 0
Rys. 3 Odkształcenie przewodu Odkształcenie w kierunku prostopadłym do działającej siły nazywane jest odkształceniem poprzecznym. Takie odkształcenie jest w pewnym stosunku do odkształceń podłużnych, danym liczbą Poissona, dla większości materiałów bliską wartości 0.3. Liczba Poissona oznaczana przez ν: lat ν 0.3 ( ν 0. 7 dla stali). Zmiana oporu przewodu pod obciążeniem wyniesie: ρl R A Z prawa Hooke a dostajemy: l l + ), A A( ν a więc opór wyniesie: R R R 0 a względna zmiana jest: R R 0 R R 0 ρ A ( + ν) l0 ( + ) ( ν ) 0 long ( ) A 0 ρl 0 ( + ) ( ν ) ( ν ) + + ν ν ν + ν k R k R (jest więc proporcjonalna do odkształcenia), gdzie k stała tensometru. Stała tensometryczna, k, różni się dla różnych materiałów. Dla stopów miedziano-niklowych wynosi zazwyczaj ok.. Tak więc poprzez użycie takiego stopu na element czujnika umożliwia zamianę mechanicznego odkształcenia na odpowiadającą mu zmianę oporu elektrycznego. Niemniej jednak odkształcenie jest bardzo małą wielkością i zmiana oporu jest również bardzo mała. Obliczmy dla przykładu zmianę oporu czujnika spowodowanego odkształceniem 0 0 6. Jeśli przeciętnie opór czujnika wynosi 0 Ω, mamy: R 0 0 6 0 (Ω) R 0 0 0 6 0.004Ω Względna zmiana oporu jest więc: R/R 000.4/0 0.00 0.00% Jest więc niezwykle trudno dokładnie zmierzyć tak niewielką zmianę oporności, która nie może być wobec tego mierzona zwykłym omomierzem. Pomiar zmiany oporności wykonywany jest dedykowanym układem pomiarowym zwanym mostkiem Wheatstone a. Ponieważ metoda pomiaru mostkiem Wheatstone a jest względnie łatwa, czujniki elektrooporowe znalazły szerokie zastosowanie, umożliwiając pomiar odkształcenia w większości przypadków.
Mostek Wheatstone a Mostek Wheatstone a jest układem elektrycznym odpowiednim do wykrycia i pomiaru niewielkich zmian oporności. Z tego powodu znalazły zastosowanie do pomiaru zmian oporności czujników elektrooporowych. Mostek składa się z czterech oporników w układzie jak na rys. 4. R c R k G R s R r Rys. 4 Mostek Wheatstone a Te cztery opory to: R c opór czujnika czynnego, R k opór czujnika kompensacyjnego (kompensującego zmianę temperatury), R s opór stały, R r opór regulowany Warunkiem równowagi mostka jest brak prądu płynącego przez galwanometr. Z praw Kirchhoffa (zachowania ładunku): suma ładunków wpływających i wypływających z węzła jest równa zero. I c I k I c I k, I s I r I s I r Prawo Ohma: z I G 0 wynika, że w węzłach przyległych do galwanometru potencjał jest taki sam (różnica potencjału musi być równa zero w gałęzi z galwanometrem), więc: I c Rs U c U s I c Rc I s Rs, I R I R U k r k U r I k Rk I r Rr, I r Rk s c i w rezultacie: R s R r Rc Rk czyli, ostatecznie, warunek równowagi mostka zapisze się: R crr Rk Rs. (iloczyny oporów przeciwległych gałęzi są sobie równe) A więc, niezależnie od tego, jakie napięcie jest przyłożone na wejściu, na wyjściu napięcie e g jest zerowe. Taki stan mostka nazywany jest równowagą. Gdy mostek traci równowagę napięcie wyjścia odpowiada zmianie oporu. Rys. 5 Ćwierćmostek Jak pokazano na rys. 5, czujnik jest wpięty w układ w miejscu oporu R. Gdy czujnik doznaje odkształcenia i zmienia swoją oporność, R, na wyjściu mostka pojawia się odpowiednie napięcie, e. R e E, czyli, e ke 4 R 4
Ponieważ wszystkie wartości poza są znane, odkształcenie może być określone poprzez pomiar wyjściowego napięcia. Odmiany mostka Poza układem ćwierćmostka stosowane są także inne układy czujników i 4 czujników. Półmostek Rys. 6 Półmostki W półmostkach czujniki mogą być włączone do układu na dwa sposoby, pokazane na rys. 6. Napięcie wyjścia takiego układu wynosi: e ( )ke 4 lub e ( + )ke 4 Pełny mostek Jest to układ 4 czynnych czujników włączonych do układu mostka. Taki układ jest rzadko stosowany do pomiaru odkształceń ale często do przetwarzania sygnału odkształcenia. Rys. 7 Pełny mostek Napięcie na wyjściu pełnego mostka dla odkształceń,,, 3 i 4 wynosi: e ( + 3 4 )ke 4
Zastosowanie półmostków Rozważmy następujący przypadek. Jeden czujnik jest przyklejony na górze i jeden na dole wspornika, jak na rys. 8. Rys. 8 Zastosowanie półmostka Zależnie od tego, czy czujniki są podłączone do sąsiadujących czy do przeciwległych gałęzi mostka, możliwy jest pomiar odkształceń zginania albo rozciągania. Przy zginaniu czujnik jest rozciągany a czujnik ściskany. Gdy są w sąsiednich gałęziach ich sygnał elektryczny jest wzmacniany (zmiana oporu dwu przeciwległych gałęzi jest z jednej strony dodatnia a z drugiej ujemna, więc różnica iloczynów oporności przeciwległych gałęzi rośnie dwukrotnie). Gdy czujniki są w przeciwległych gałęziach, impulsy znoszą się. Dla rozciągania sytuacja jest przeciwna. Aby pomierzyć odkształcenia zginania poprzez przesunięcie odkształceń rozciągania czujnik jest podłączony do sąsiedniej gałęzi mostka. Wówczas na wyjściu mamy napięcie: ( )ke e 4 Ponieważ odkształcenia rozciągania czujników i są dodatnie i tej samej wielkości, ( ) w równaniu jest równe 0, stąd na wyjściu e jest równe zero. Z drugiej strony, odkształcenie zginania czujnika jest dodatnie a czujnika ujemne. Dodanie do powoduje, że napięcie na wyjściu jest dwukrotnie większe. W ten sposób konfiguracja mostka pozwala na pomiar jedynie odkształceń zginania. Gdy czujnik jest podłączony do przeciwległej gałęzi, wyjście e jest: e ( + )ke 4 Tak więc, przeciwnie do poprzedniego przypadku, wyjście jest zero dla zginania i podwojone dla rozciągania. Taka konfiguracja pozwala na pomiar wyłącznie odkształceń rozciągania.
u góry: jedynie zginanie u dołu: jedynie rozciąganie Rys. 9 Układy półmostków Kompensacja temperatury Rys. 0 Charakterystyki temperaturowe Zmiana oporności wskutek zmiany temperatury otoczenia stanowi istotny problem. Rozszerzalność cieplna mierzonych obiektów powoduje, że naklejony czujnik elektrooporowy wykazuje pozorne odkształcenia. Czujniki kompensacyjne Użycie czujników kompensacyjnych polega na zastosowaniu czujnika czynnego, A, przyklejonego do badanego obiektu i czujnika kompensacyjnego, D, przyklejonego do części obiektu albo części wykonanej z tego samego materiału co badany obiekt wolnej od obciążenia. Czujniki są podłączone do sąsiednich gałęzi mostka. Ponieważ oba czujniki mierzą w tej samej temperaturze, wpływ temperatury na zmianę równowagi mostka znosi się.
W wyniku podłączenia czujnika kompensacyjnego, na wyjściu napięcie zeruje się mimo zmian temperatury. Metoda auto-kompensacji Teoretycznie przedstawiona powyżej metoda zastosowania czujnika kompensacyjnego wydaje się być idealna, ale wymaga mocowania dodatkowego czujnika i użycia nienaprężonej części wykonanej z tego samego materiału. Dlatego stosuje się też inne rozwiązania, jak np. metodę auto-kompensacji. z użyciem pojedynczego czujnika. Zależna od temperatury oporność czujnika jest kontrolowana w stosunku do współczynnika rozszerzalności cieplnej liniowej mierzonego obiektu. W ten sposób żaden dodatkowy impuls związany ze zmianą temperatury nie pojawia się w układzie. Z wyjątkiem specjalnych modeli, wszystkie czujniki firmy KYOWA stosują auto-kompensację. Zasada auto-kompensacji Jeśli współczynnik rozszerzalności liniowej mierzonego obiektu wynosi pozorne odkształcenie/ C,, wprowadzone termicznie wyniesie: T ( β β ) β s a samego czujnika α T + s g, k gdzie α jest współczynnikiem oporu czujnika i k jest stałą czujnika. Stała tensometru k jest określona przez materiał czujnika i przez współczynniki rozszerzalności liniowej β i β, różna dla materiału czujnika i mierzonego obiektu. Kontrolując współczynnik α elementu s g czujnika wystarczy dla wyzerowania się współczynnika α k ( β β ) k( β β ) s g wyzerowanie powyższego równania. Współczynnik α czujnika może być kontrolowany w procesie produkcyjnym poprzez odpowiedni reżim temperaturowy. Należy jednak pamiętać, że takie samo-kompensujące się czujniki są dedykowane dla określonego materiału i tylko z takim materiałem powinny współpracować. Ich zastosowanie w innych przypadkach prowadzi do dużych błędów. Kompensacja oporu kabli przyłączeniowych Użycie czujników kompensacyjnych nie rozwiązuje problemu zmiany oporu kabli przyłączeniowych wskutek zmian temperatury otoczenia. Ten problem również wymaga rozwiązania. T g s β g, Rys. Kable przyłączeniowe czujnika Dla czujnika przyłączonego dwoma kablami jak na rys., opór każdego z kabli jest włączony szeregowo to czujnika i gdy kable są stosunkowo długie, (co jest bardzo częstym przypadkiem), znacznie wpływa na jakość pomiaru. Miedź w kablach ma współczynnik oporności temperaturowej 3.93 0 3 / C. Jeśli np. 0.3mm kable o oporze 0.06Ω/m każdy mają 0m długości (czyli łącznie 0m), przyrost temperatury o C wytwarza sygnał odpowiadający odkształceniu 0 0 6. Układ 3 kabli eliminuje taki efekt.
Rys. Kompensacja zmian temperatury kabli Jak pokazuje rys., układ 3 kabli rozdziela opór kabli na sąsiednie gałęzie mostka. Dolny kabel na rysunku włączony jest w gałąź z lewej a środkowy z prawej. Zmiany ich oporności redukują się więc. Trzeci kabel jest połączony z wyjściem i zmiana jego oporności nie ma praktycznie znaczenia, skoro dla mostka będącego w równowadze płynący przez niego prąd jest zerowy. Inne niepożądane efekty Należy do nich niekierunkowość czujnika: Rys. 3 Złe ukierunkowanie czujnika zmiana oporności czujnika naklejonego na powierzchnię zakrzywioną: Rys. 4 Czujnik na zakrzywionej powierzchni czy niepewność co do istniejącego stanu naprężenia, zwłaszcza gdy jest on całkowicie nieznany. W przypadku skręcania: Rys. 5 Pomiar przy skręcaniu czy w przypadku ścinania, przyjmujemy inny układ kierunków naklejania czujników.
Rys. 6 Pomiar ścinania Jeśli stan naprężenia jest całkowicie nieznany, powstaje problem znalezienia wartości i kierunków własnych odkształcenia Rozety tensometryczne Rys. 7 Rozety tensometryczne Są dwa rodzaje rozet tensometrycznych: prostokątna i typu delta : Rys. 8 Rozety prostokątna i typu delta Zamiast pomiaru w kierunkach głównych (gdzie mamy 3 niewiadome: wartości własne i kąt kierunków głównych) mierzymy odkształcenia w 3 kierunkach: a, b i c. Czy jest możliwe określenie niewiadomych z takiego pomiaru? Odpowiedź jest pozytywna i wynika ze wzorów transformacyjnych wielkości tensorowych.
Transformacja odkształcenia Mamy dwa układy współrzędnych: dowolne (przyjęte arbitralnie) (, y) i główne (, ). Aby obliczyć odkształcenie w pewnym kierunku na podstawie wartości własnych stosujemy wzory transformacyjne: a a, i, j y, k, l, ij ik jl kl gdzie a ij są kosinusami pomiędzy osiami starego i nowego układu współrzędnych. Dla dowolnego kierunku a, mamy: cos( a, ) cos( a, ) + cos( a, ) cos( a, y) + cos( a, y) cos( a, ) + cos( a, y) cos( a, y) aa cos ( a, ) + cos( a, ) cos( a, y) y y + cos ( a, y) yy i podobnie dla kierunków b i c. W ten sposób otrzymujemy 3 równania z 3 niewiadomymi. Takie same związki można użyć do transformacji z kierunków głównych: cos( a,) cos( a,) + cos( a,) cos( a,) + cos( a,) cos( a,) + cos( a,) cos( a,) aa cos ( a,) + cos ( a,) Więc, aby określić wartości i kierunki główne odkształceń i ich kierunki wystarczy pomiar odkształceń w 3 dowolnych (ale znanych) kierunkach. y yy Końcowe wzory dla rozet tensometrycznych Dla rozety prostokątnej mamy: y90 0 45 0 0 0 skąd: cos(0, ), cos(45, ) cos(0, y) 0, cos(45, y) y, 0 90, y 45 ( 0 + 90 ) Dla rozety typu delta, mamy: Rys. 9 Układ współrzędnych dla rozety prostokątnej, cos(90, ) 0,, cos(90, y) y 0 0 40 0 0 0 Rys. 0 Układ współrzędnych dla rozety typu delta
więc: cos(0, ), cos(0, y) 0,, 0 cos(0, ) cos(0, y), 3, Adam Paweł Zaborski cos(40, ), cos(40, ) y [ ( 60 + 0 ) 0] y [ 60 0] 3 W końcu obliczamy wartości i kierunki własne odkształceń ze znanych wzorów: + + y y tan α Przebieg ćwiczenia z tensometrii elektrooporowej z mostkiem Spider8. Włączenie komputera i mostka. Załadowanie Windows, komenda: win<enter> y + 3 3. Są dwa okienka z mostkiem: jedno w wersji niemieckiej i drugie angielskiej; wyróżnik w postaci litery na końcu D lub E np.: Spider8_ctrl. E 4. Klikamy w spider8 uruchamiając program 5. Pojawia się ekran Runtime version i klikamy OK 6. Z tablicy onlinedocument wybieramy setup device 7. W setup device w 3. kolumnie mają być w wierszach od 0 do 5 półmostki (tylko prawa strona mostka) 8. W 4. kolumnie (measure range) ustawiamy wartości na 3 albo mv (jest to dokładność odczytu, dla 3 większe drgania pomiarowe, dla pomiary bardziej stabilne ) 9. Można zamiast poprzednich punktów wczytać zbiór konfiguracyjny z dysku lub z sieci z rozszerzeniem sp8 0. Tarujemy (zerowanie) przycisk u dołu po lewej. Wychodzimy z setup device. Wybieramy single value measurement (po prawej stronie tablicy opcji) y y + + y y,.
3. Pomiar dokonuje się poprzez kliknięcie measure/add one value. Pomiar wykonujemy dwukrotnie: bez obciążenia i pod obciążeniem 4. Dla pręta zakrzywionego wartość odkształcenia w ostatnim czujniku powinna być ok. 330. Dla mimośrodowego rozciągania wydłużenie wskazane siłomierzem powinno wynosić mm co odpowiada sile ok.,5 kn 5. Wychodzimy z ekranu pomiarowego poprzez eit 6. Wybieramy data eport 7. Wybieramy ścieżkę i nazwę zbioru, typ pliku ASCII, jako separator TAB, markujemy kanały do zrzucenia i klikamy start eport 8. Wychodzimy z programu, odszukujemy zapisany zbiór z wynikami pomiarów Pomiar modułu Younga belki czujnikami elektrooporowymi Pomiar jest analogiczny do pomiaru tensometrem Huggenbergera. Czujniki umieszczone są na belce w tzw. układzie PP - oba czujniki (górny i dolny) są czynne i jednocześnie spełniają rolę czujników kompensacyjnych. Ponieważ ich wskazania się sumują (jeden czujnik ściskany, drugi rozciągany), wskazania mostka należy dzielić przez. P a M tens.elektroop. l P a b h Rys. Belka zginana Sprawozdanie z ćwiczenia powinno zawierać opracowanie statystyczne wyników pomiarów i wynik końcowy. Pręt silnie zakrzywiony N N 3 4 5 6 e64 Rys. Pręt silnie zakrzywiony Rozkład naprężeń normalnych (obwodowych) jest hiperboliczny: σ N M Mρ η e eρ η + + N F Fρ * ρ + η F Fρ * J J ρ + η
gdzie sprowadzony moment bezwładności dla przekroju prostokątnego wyraża się wzorem: h ρ + * 3 h J bρ ln. h ρ ρ Dane do obliczeń: F b h 9.6 75 mm, mimośród siły e 64 mm, ρ 7.5 mm, η -34.5, -.5, -7.5, 7.5, 0.5, 34.5 mm., M -N e. Opracowanie wyników: - przyjmujemy moduł Younga E 0 GPa - siłę N określamy metodą aproksymacji Gaussa minimum kwadratów: żądamy, aby funkcja celu δ δ δ i i, 0, skąd po wykonaniu elementarnych rachunków N osiągała minimum: [ E Nf ( η )] dostajemy: i N E i i i f ( ηi ). f ) W rezultacie otrzymujemy wartość siły N najlepiej aproksymującą otrzymane wyniki. Umieszczenie wykresu przedstawiającego obie krzywe kończy sprawozdanie. σ [Mpa] ( ηi 50 krzywa analityczna 50 50 krzywa doświadczalna -0,0345-0,045-50 0,0055 0,055 η [m] -50 Rys. 3 Krzywa pomiaru i analityczna Zagadnienie Kirscha - rozciąganie tarczy z otworem σ ma 3σ nom rys. 4 Zagadnienie Kirscha
W wyniku koncentracji naprężeń, maksymalne naprężenia normalne są ok. 3-krotnie większe aniżeli naprężenia nominalne. Siłę przyłożoną do tarczy określamy ze wzoru cechowania czujnika tensometrycznego, umieszczonego z dala od otworu (w obszarze jednorodnego i jednoosiowego stanu naprężenia): F 5 * (odczyt tensometru) * 0 6 + 375 [N] Moduł Younga dla pleiglasu: E 4.45 Gpa, liczba Poissona ν 0.333. Wymiary: tarcza b h 9 cm, średnica otworu d 5 cm, położenie czujników (mierzone od otworu): 6.7, 5.5, 4.,.9,.6, 0.4 cm. Stała tensometrów: k.8. Sprawozdanie: rozkład naprężeń rzeczywistych (pomierzonych) i nominalnych.