Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 (1) Nazwa Równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe (2) Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot (3) Kod (4) Studia Kierunek studiów Poziom kształcenia Forma studiów Matematyka studia drugiego stopnia studia niestacjonarne (5) Rodzaj podstawowy (6) Rok i semestr studiów I rok, I semestr (7) Imię i nazwisko koordynatora dr Piotr Drygaś (8) Imię i nazwisko osoby prowadzącej dr Piotr Drygaś ( osób prowadzących) zajęcia z (9)Cele zajęć z Celem nauczania jest przyswojenie przez studentów podstawowych pojęć, faktów i metod równań różniczkowych. Wybrano te rozdziały oraz poszczególne zagadnienia, które przydatne są na kierunku nauczania Matematyka i służą ogólnej edukacji matematycznej. (10) Wymagania wstępne Analiza matematyczna, algebra (11) Efekty kształcenia Wiedza: definiuje większość klasycznych pojęć i formułuje podstawowe twierdzenia z zakresu równań różniczkowych wyższych rzędów i równań różniczkowych cząstkowych posiada wiedzę dotyczącą metod dowodowych stosowanych w równaniach różniczkowych posiada wiedzę dotyczącą technik obliczeniowych stosowanych w równaniach różniczkowych Umiejętności: potrafi w oparciu o znane twierdzenia sprawdzić, czy dane równanie ma jednoznaczne rozwiązania rozpoznaje typy równań różniczkowych cząstkowych rzędu 2 i wie jak je sprowadzić do postaci kanonicznej, umie rozwiązywać równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach, potrafi wykorzystać narzędzia komputerowe do badania rozwiązań równań różniczkowych, stosuje właściwe metody rozwiązywania klasycznych równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych, potrafi stosować je w typowych zagadnieniach praktycznych 1
Kompetencje społeczne: samodzielnie wyszukuje informacje w literaturze i właściwie je stosuje, formułuje opinie na temat podstawowych zagadnień analizy zespolonej rozumie znaczenie równań różniczkowych i ich zastosowań w życiu społecznym i gospodarczym. (12) Forma(y) zajęć, liczba realizowanych godzin Wykład - 20 godzin, Ćwiczenia audytoryjne 20 godzin A. Problematyka wykładu (13) Treści programowe 1) Równania różniczkowe wyższych rzędów. 2) 2.Twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnień początkowych dla równań różniczkowych n tego rzędu. 3) Równania różniczkowe liniowe n tego rzędu. 4) Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia początkowego dla równania różniczkowego liniowego wyższego rzędu. 5) Równania różniczkowe liniowe jednorodne n tego rzędu. Własności ich rozwiązań. 6) Wyznacznik Wrońskiego dla rozwiązań równań różniczkowych liniowych jednorodnych n tego rzędu. 7) Wzór Ostrogradskiego Liouville a. 8) Warunek konieczny i dostateczny na to aby układ n rozwiązań równania różniczkowego liniowego jednorodnego n tego rzędu był liniowo niezależnym. 9) Fundamentalny układ rozwiązań równania różniczkowego liniowego jednorodnego n tego rzędu, jego istnienie. 10) Twierdzenie o postaci rozwiązania ogólnego równań różniczkowych liniowych jednorodnych n tego rzędu. 11) Twierdzenie o postaci rozwiązania ogólnego równań różniczkowych liniowych niejednorodnych n tego rzędu. 12) Twierdzenie o addytywności rozwiązania względem prawej strony. 13) Metoda uzmienniania stałych dla równań różniczkowych liniowych niejednorodnych n tego rzędu. 14) Fundamentalne układy rozwiązań liniowych równań jednorodnych n-tego rzędu o stałych współczynnikach. 15) Twierdzenie o zasadzie przewidywania dla liniowych równań niejednorodnych n-tego rzędu o stałych współczynnikach. 16) Definicja układów równań różniczkowych rzędu pierwszego o postaci normalnej. Układy autonomiczne. Postać symetryczna oraz postać wektorowa układu. 17) Twierdzenie Picarda Lindelöfa o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnień początkowych dla układów równań różniczkowych rzędu pierwszego. 18) Twierdzenie Peano dla układów równań różniczkowych rzędu pierwszego. 19) Układy równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego. Postać wektorowo macierzowa takiego układu. 20) Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań zagadnień początkowych dla układów równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu. 21) Rozwiązanie jednorodnego zagadnienia Cauchy ego dla układu liniowego jednorodnego. 2
22) Własności rozwiązań jednorodnych liniowych układów równań różniczkowych pierwszego rzędu. 23) Liniowa niezależność/zależność funkcji wektorowych. 24) Wyznacznik Wrońskiego dla układów funkcji wektorowych. Wzór Ostrogradskiego Liouville a dla układów równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego. 25) Warunki konieczne i dostateczne na to, aby układ n rozwiązań układu liniowego jednorodnego pierwszego rzędu był liniowo niezależnym. 26) Układ fundamentalny rozwiązań dla układu równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego, jego istnienie. 27) Twierdzenie o postaci rozwiązania ogólnego układu liniowego jednorodnego. 28) Twierdzenie o postaci rozwiązania ogólnego układu liniowego niejednorodnego. 29) Metoda uzmienniania stałych dla układu liniowego niejednorodnego. 30) Definicja stabilności w sensie Lapunowa rozwiązań układów równań różniczkowych. 31) Funkcja Lapunowa. Przykład. 32) Kryteria stabilności rozwiązań układów równań różniczkowych. 33) Definicja równania różniczkowego cząstkowego, przykłady. 34) Rząd równania różniczkowego cząstkowego, przykłady. 35) Liniowe, półliniowe, quasiliniowe, nieliniowe równania różniczkowe cząstkowe, przykłady. 36) Definicja rozwiązania równania różniczkowego cząstkowego, przykłady. 37) Wyróżnik. Klasyfikacja równań różniczkowych cząstkowych rzędu drugiego: typ hiperboliczny, typ paraboliczny, typ eliptyczny. 38) Równanie poprzecznych drgań struny nieograniczonej. 39) Drgania swobodne struny nieograniczonej. Wzór d Alamberta. 40) Drgania swobodne struny zamocowanej na końcach. Metoda Fouriera. 41) Równanie przewodnictwa cieplnego. 42) Zagadnienie mieszane z warunkami brzegowymi jednorodnymi dla równania przewodnictwa cieplnego. Metoda Fouriera. 43) Równania Laplace a. B. Problematyka ćwiczeń audytoryjnych i laboratoryjnych 1) Badanie istnienia i jednoznaczności rozwiązań zagadnień początkowych dla przykładowych równań różniczkowych n tego rzędu, 2) Zastosowania wyznacznika Wońskiego 3) Zastosowania wzoru Ostrogradskiego Liouville a. 4) Fundamentalny układ rozwiązań równania różniczkowego liniowego jednorodnego n tego rzędu, 5) Metoda uzmienniania stałych dla równań różniczkowych liniowych niejednorodnych n tego rzędu, 6) Fundamentalne układy rozwiązań liniowych równań jednorodnych n-tego rzędu o stałych współczynnikach, 7) Zasada przewidywania dla liniowych równań niejednorodnych n-tego rzędu o stałych współczynnikach, 8) Układy równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego. Postać wektorowo macierzowa takiego układu, 9) Wyznacznik Wrońskiego dla układów funkcji wektorowych. Wzór Ostrogradskiego Liouville a dla układów równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego, 10) Układ fundamentalny rozwiązań dla układu równań różniczkowych liniowych rzędu 3
pierwszego, jego istnienie, 11) Metoda uzmienniania stałych dla układu liniowego niejednorodnego, 12) Badanie stabilności rozwiązań układów równań różniczkowych, 13) Klasyfikacja równań różniczkowych cząstkowych rzędu drugiego, 14) Równanie poprzecznych drgań struny nieograniczonej, 15) Drgania swobodne struny nieograniczonej. Wzór d Alamberta, 16) Drgania swobodne struny zamocowanej na końcach. Metoda Fouriera, 17) Równanie przewodnictwa cieplnego, 18) Zagadnienie mieszane z warunkami brzegowymi jednorodnymi dla równania przewodnictwa cieplnego. Metoda Fouriera, 19) Równania Laplace a. (14) Metody dydaktyczne Wykład, wykład z prezentacją multimedialną, rozwiązywanie zadań, praca przy komputerze (15) Sposób(y) i forma(y) zaliczenia Ćwiczenia - zaliczenie na ocenę 2 sprawdziany pisemne, oceny cząstkowe za aktywność Wykład egzamin Egzamin pisemny dwuczęściowy : teoretyczny i zadaniowy (16) Metody i kryteria oceny (17) Całkowity nakład pracy studenta potrzebny do osiągnięcia założonych efektów w godzinach oraz punktach ECTS (18) Język wykładowy polski Aktywność Nakład pracy studenta w godz. wykład 20 Ćwiczenia audytoryjne 20 udział w konsultacjach 7 przygotowanie do kolokwiów 15 Przygotowanie do wykładów 15 przygotowanie do ćwiczeń 60 przygotowanie do egzaminu 25 udział w egzaminie 3 SUMA GODZIN 165 LICZBA PUNKTÓW ECTS 6 (19) Praktyki zawodowe w ramach nie dotyczy (20) Literatura Literatura podstawowa: 1. A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne, WNT, Warszawa 1999, 2004 2. H. Marcinkowska, Wstęp do teorii równań różniczkowych cząstkowych, PWN, Warszawa 1972. 3. I. Dziubiński, L. Siewierski, Matematyka dla wyższych szkół technicznych, tom II,III, WST, Warszawa 1981. 4.awrence C. Evans, Równania różniczkowe cząstkowe, PWN, Warszawa 2002 5. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz. II, PWN, Warszawa 1978. 6. J. Niedoba, W. Niedoba, Równania różniczkowe zwyczajne i cząstkowe, Kraków, AGH, Uczelniane Wydaw. Naukowo- Dydaktyczne, 2001. 4
Podpis koordynatora Literatura uzupełniająca: 1. M. Abell, J. Braselton, Differential equations with Mathematica, Academic Press, New York, 1993 2. Pinchover Ye., Rubinstein Ja. An introduction to partial differential equations Cambridge, 2005 3. Jeffrey A. Applied partial differential equations. An introduction, Academic Press, 2003 Podpis kierownika jednostki 5