Repeated Measures ANOVA ANOVA z powtarzanymi pomiarami

Repeated Measures ANOVA ANOVA z powtarzanymi pomiarami

Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Postać modelu Założenia Droga do testu Test Sferyczność 3

Problem Badanie skuteczności pewnej terapii medycznej: n pacjentów k-krotnie zbadany poziom pewnego czynnika u każdego z nich w różnych momentach czasu Dla ustalonego pacjenta wyniki badania będą ze sobą skorelowane nie można użyć zwykłej ANOVA.

Postać modelu Wprowadzenie Postać modelu Założenia Droga do testu Test Sferyczność Y ij = µ + τ i + π j + ɛ ij, i = 1,..., k j = 1,..., n gdzie Y ij wynik i-tego pomiaru dla j-tego obiektu (osoby); µ średnia ogólna; τ i efekt i-tego pomiaru; π j efekt charakterystyczny j-tego obiektu (efekt losowy); ɛ ij błąd losowy;

Założenia Wprowadzenie Postać modelu Założenia Droga do testu Test Sferyczność π j N(0, σ 2 π) niezależne zmienne losowe; ɛ ij N(0, σ 2 ɛ) niezależne zmienne losowe; π j i ɛ ij są niezależne;

Postać modelu Założenia Droga do testu Test Sferyczność Z tego wynika, że: Var(Y ij ) = σπ 2 + σɛ, 2 Cov(Y ij, Y tj ) = σπ 2 Zatem jeśli Yj = [Y 1j, Y 2j,..., Y kj ], to Y j N( µ, Σ) gdzie µ = [µ + τ 1,..., µ + τ k ] oraz σπ 2 + σɛ 2 σπ 2 σπ 2 σπ 2 σπ 2 + σɛ 2 σπ 2 Σ =.... σπ 2 σπ 2 σπ 2 + σɛ 2 Warunek symetrii połączonej (compound symmetry) można go osłabić do warunku sferyczności.

Droga do testu Wprowadzenie Postać modelu Założenia Droga do testu Test Sferyczność Analogicznie jak w zwykłej ANOVA, można rozbić sumę kwadratów odchyleń obserwacji od średniej ogólnej na następujące składniki: k i=1 j=1 n (Y ij Ȳ )2 = + n k i=1 j=1 n (Y ij Y.j Y i. + Ȳ )2 k ( Y.j Ȳ ) 2 + k j=1 n ( Y i. Ȳ ) 2. Oznaczmy je odpowiednio: SS err (o wartości oczekiwanej σɛ), 2 SS treat (σɛ 2 + w) oraz SS sub (σɛ 2 + kσπ), 2 gdzie w = n k (τi τ)2 i=1 i=1 k 1.

Postać testu Wprowadzenie Postać modelu Założenia Droga do testu Test Sferyczność Niech MS treat = 1 k 1 SS treat oraz MS err = 1 (n 1)(k 1) SS err. Mają one rozkłady χ 2 (k 1) oraz χ2 (n 1)(k 1). Zatem do weryfikacji hipotezy zerowej H 0 : τ 1 =... = τ k można użyć testu: F = MS treat MS err, który przy prawdziwej hipotezie H 0 ma rozkład F k 1,(k 1)(n 1)

Sferyczność Wprowadzenie Postać modelu Założenia Droga do testu Test Sferyczność Słabsze, częściej stosowane założenie o macierzy Σ: wariancje różnic obserwowanej zmiennej dla dwóch dowolnych poziomów czynnika (dwóch dowolnych pomiarów) są sobie równe. Testowanie sferyczności test Mauchly a.

Postać modelu Założenia Droga do testu Test Sferyczność Co gdy warunek sferyczności niespełniony? Otrzymamy zaniżone p-value rzeczywisty rozkład statystyki testowej będzie miał mniej stopni swobody niż zakładamy. Rzeczywista liczba stopni swobody to θ(k 1) oraz θ(k 1)(n 1), gdzie: θ = (tr(σ JΣ))2 (k 1)tr(Σ JΣ) 2, J = 1 k [1, 1,..., 1]T [1, 1,..., 1].

Rada Wprowadzenie Postać modelu Założenia Droga do testu Test Sferyczność Poprawki korygujące liczbę stopni swobody: poprawka Greenhouse a-geissera; poprawka Huynha-Feldta; poprawka ograniczenia dolnego ( 1 k 1 θ 1); albo zastosowanie MANOVA (zwłaszcza przy znacznym naruszeniu warunku sferyczności).

Dane Badanie dotyczące zdolności zapamiętywania słów w zależności od ich zabarwienia emocjonalnego. 5 badanych osób (zmienna Subject) 3 poziomy zmiennej określającej zabarwienie słów: negatywne, neutralne, pozytywne (zmienna Valence) zmienną zależną jest liczba zapamiętanych słów (zmienna Recall) Każda z osób miała zapamiętać każdy rodzaj słów, zatem mamy do czynienia z eksperymentem z powtarzanymi pomiarami.

data.ex3 Observation Subject Valence Recall 1 1 Jim Neg 32 2 2 Jim Neu 15 3 3 Jim Pos 45 4 4 Victor Neg 30 5 5 Victor Neu 13 6 6 Victor Pos 40 7 7 Faye Neg 26 8 8 Faye Neu 12 9 9 Faye Pos 42 10 10 Ron Neg 22 11 11 Ron Neu 10 12 12 Ron Pos 38 13 13 Jason Neg 29 14 14 Jason Neu 8 15 15 Jason Pos 35

Użycie procedury aov Wprowadzenie aov.ex3=aov(recall Valence + Error(Subject/Valence),data.ex3) summary(aov.ex3) Error: Subject Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(> F ) Residuals 4 105.067 26.267 Error: Subject:Valence Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(> F ) Valence 2 2029.73 1014.87 189.11 1.841e-07 *** Residuals 8 42.93 5.37 Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1

Wyniki zwykłej ANOVA aov.ex3.no.rm=aov(recall Valence,data.ex3) summary(aov.ex3.no.rm) Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(> F ) Valence 2 2029.73 1014.87 82.287 9.852e-08 *** Residuals 12 148.00 12.33 Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Wartość testu F jest dużo niższa.

Użycie procedury lme Wprowadzenie library(nlme) lme.ex3 = lme(recall Valence, random = 1 Subject/Valence, data=data.ex3) summary(lme.ex3)... Fixed effects: Recall Valence Value Std.Error DF t-value p-value (Intercept) 27.8 1.570561 8 17.700683 0 ValenceNeu -16.2 1.465152 8-11.056873 0 ValencePos 12.2 1.465152 8 8.326781 0 (Intr) ValncN Correlation: ValenceNeu -0.466 ValencePos -0.466 0.500 anova(lme.ex3) numdf dendf F-value p-value (Intercept) 1 8 400.0243 <.0001 Valence 2 8 189.1052 <.0001

Użycie metody wielowymiarowej Przeformatowanie danych: data.ex3.m=with(data.ex3,cbind(recall[valence== Neg ], Recall[Valence== Neu ],Recall[Valence== Pos ])) data.ex3.m [,1] [,2] [,3] [1, ] 32 15 45 [2, ] 30 13 40 [3, ] 26 12 42 [4, ] 22 10 38 [5, ] 29 8 35 rfactor=factor(c( Neg, Neu, Pos )) mlm.ex3=lm(data.ex3.m 1) library(car) mlm.aov.ex3=anova(mlm.ex3, idata = data.frame(rfactor),idesign = rfactor, type= III )

summary(mlm.aov.ex3, multivariate=false) Univariate Type III Repeated-Measures ANOVA Assuming Sphericity SS num Df Error SS den Df F Pr(> F ) (Intercept) 10507.3 1 105.1 4 400.02 3.688e-05 *** rfactor 2029.7 2 42.9 8 189.11 1.841e-07 *** Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 Mauchly Tests for Sphericity Test statistic p-value rfactor 0.26041 0.13289 Greenhouse-Geisser and Huynh-Feldt Corrections for Departure from Sphericity GG eps Pr(> F [GG]) rfactor 0.57485 5.813e-05 *** Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1 HF eps Pr(> F [HF ]) rfactor 0.65756 1.883e-05 *** Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1

Badanie różnic między parami średnich contrastneg.neu=data.ex3.m[,1]-data.ex3.m[,2] t.test(contrastneg.neu) contrastneg.pos=data.ex3.m[,1]-data.ex3.m[,3] t.test(contrastneg.pos) contrastneu.pos=data.ex3.m[,2]-data.ex3.m[,3] t.test(contrastneu.pos) One Sample t-test data: contrastneu.pos t = -41.8735, df = 4, p-value = 1.944e-06 alternative hypothesis: true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval: -30.28308-26.51692 sample estimates: mean of x -28.4

Boxplot Recall 10 20 30 40 Neg Neu Pos Valence

Dziękuję za uwagę :)