Matematyka FAQ Jak obliczyć?

Matematyka FAQ Jak obliczyć? Tom I ANALIZA MATEMATYCZNA Napisał Adam Spandel

Spis treści Wstęp Obliczanie granic Pochodne Czym jest pochodna... 4 Jak obliczyć pochodną z definicji... 5 Jak obliczyć pochodną z definicji w punkcie... 7 Jak obliczyć pochodną ze wzoru... 0 Jak obliczyć pochodną sumy funkcji... 4 Jak obliczyć pochodną iloczynu funkcji... 5 Jak obliczyć pochodną ilorazu funkcji... 5 Jak obliczyć pochodną funkcji złożonej... 6 Przykład na koniec... 2 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Wklęsłość i wypukłość funkcji. Całki nieoznaczone Całki oznaczone Wstęp. Witam czytelniku. Mam przyjemność przedstawić Ci książkę, której intencją jest przedstawienie w zrozumiały sposób metod rozwiązywania zadań z tzw. matematyki wyższej. Przyjęcie takiego założenia sprawia, że będę 2

odbiegał od języka naukowego. Nie jest moją wola, aby w każdym względzie spełnić wymagania stawiane podręcznikom akademickim. Książka ta będzie spoczywać w rękach osoby, która chce wiedzieć w jaki sposób rozwiązać zadanie na egzaminie lub zrozumieć sposób myślenia, który pozwoli zaliczyć test, a niekoniecznie chce okiełznać całą teorię danego tematu. PROSTO, JASNO, BEZ NIEDOMÓWIEŃ W KLUCZOWYCH MOMENTACH, BEZ SZCZEGÓŁÓW GDZIE ICH NIE TRZEBA. Powyższe słowa są moim kompasem w trakcie pisania tej książki. Będą momenty w których akademicki język matematyki wypłynie na powierzchnię, ale obiecuję, że będzie to miało miejsce tylko na chwilę i po to, aby sensownie odnieść się do terminów, pojęć i definicji. Jeżeli w trakcie czytania, uznasz, że dzięki książce, potrafisz samodzielnie rozwiązać zadanie lub udało się zbudować jakieś mosty między tym co już jest w umyśle, to będzie mi niezmiernie miło i satysfakcję będą mieć obie strony.. Rozdział pierwszy. Obliczanie granic.

2. Rozdział drugi. Pochodne - Na zajęciach pojawiło się pojęcie pochodnych. Jak podejrzewam masz kilka pytań. - Tak mam pytania. Na wstępie: czym jest pochodna? - Odpowiedź jest krótka. Pochodna jest funkcją. Warto mieć na wstępie nazwę tego o czym mówimy. - Nie wiem jak to rozumieć. Czy możesz to trochę rozwinąć, abym mógł sobie to poukładać w głowie. Mi pochodna kojarzy się z obliczaniem, jakimś tajemniczym manipulowaniem, którego nie rozumiem i którego wynikiem jest pochodna. - Ułatwię Ci zadanie zadając kilka pytań. Na hasło pochodna co pojawia się prędzej, funkcja czy rysunek trójkąta? - Trójkąt nie. Pochodna bardziej kojarzy mi się z funkcją. -Świetnie. Proponuję myśleć w następujący sposób. Masz przed sobą dowolną funkcję. Możesz sobie wyobrazić jakąkolwiek jaką tylko chcesz. Masz już za sobą trochę doświadczenia, zatem możesz przywołać np. funkcję kwadratową. Wyobraźmy sobie teraz, że jesteś magikiem. Przykrywasz daną funkcje aksamitną chustą. Nie widzisz co się dzieje pod nią. Jest to na tę chwilę magiczne, tylko dlatego, ponieważ jeszcze tego nie rozumiesz, ale za chwilę się to zmieni. W wyniku paru sztuczek (mam tu na myśli pewne reguły), funkcja pod chustą zmienia się. Jak proces zmiany dobiegnie końca, pod chustą mamy nową funkcję, którą nazwiemy pochodną. - Mój obraz jest za mgłą, ale dobrze, że teraz przynajmniej wiem co z tej mgły wyjdzie. - W miarę jak będę mówił dalej, mgła będzie się rozpływać, a to co niewidoczne stanie się jasne i wyraźne. - Możesz słyszałeś polecenie, w którym przedstawione jest zadanie, które polega na obliczeniu pochodnej w jakimś punkcie. Tu jest ciekawa sytuacja, bowiem funkcja, która jest pochodną zamieni się w liczbę. Zastanówmy się nad tym. Zwykła funkcja również bez trudu zamienia się 4

w liczbę. Wystarczy wstawić w miejsce liczbę i wykonać obliczenia. Skoro pochodna również jest funkcją, to takie zachowanie nie powinno być niespodzianką. Za chwilę wszystko się wyjaśni. - Może teraz jakiś konkret, aby nie było tak mgliście. - Zacznijmy od fundamentów. Przytoczę pewien przykład i pokażę Ci jak powstaje pochodna bez sztuczek. Mam na myśli obliczanie pochodnej z definicji. Jest to fundamentalny proces i często bardzo żmudny. - To nie nastraja mnie dobrze. - Pocieszające jest to, że przykład, który rozpatrzymy będzie bardzo prosty, aby był widoczny proces myślenia. Zadania, które przyjdzie Ci w tym temacie rozwiązywać, są podobnie skonstruowane, abyś był w stanie powtórzyć metodę. Rozważmy funkcję: f () 2. Obliczę pochodną powyższej funkcji z definicji, która odwołuje się do poniższego wzoru zwanego ilorazem różnicowym: f ' ()lim h 0 f (+h) f () h Pierwszym krokiem jest zastąpienie wyrażeń f ( + h) i f () wyrażeniami, które uzyskam na podstawie zadanej funkcji f () 2. W celu wyznaczenia f (+h) w miejscu gdzie we wzorze jest wstawiam (+h). Mamy naszą funkcję f () 2 w której zamienię na (+h) : f (+h)(+h) 2 ( +h) 2 +2h+h 2 h. Tu już widzimy, że pozmieniało się kilka rzeczy. Nasza funkcja rozbudowała się i jej zapis jest szerszy. - I co dalej? Wstawiam teraz obliczone wyrażenia do wzoru. Zobacz krok po kroku co się stanie: 5

f ' ()lim h 0 f (+h) f () lim h h 0 2 +2h+h 2 h ( 2 ) [minus przed nawiasem] h lim h 0 2 +2h +h 2 h 2 + [redukujemy wyrazy podobne] h lim h 0 2h+h 2 h [wyłączamy h przed nawias]lim h h 0 h (2+h ) lim (2+ h ) h h 0 2+0 2. W pewnym kroku mogliśmy skrócić " h ". Ten moment skracania jest najważniejszy. Chcemy docelowo podstawić za h zero, a nie możemy tego zrobić, tak długo, jak długo jest ono w mianowniku. Moment, w którym możemy podstawić wspomniane zero kończy zadanie. We wszystkich ćwiczeniach tego typu, naszym celem jest takie przekształcenie ułamka, aby można było skrócić h z mianownika. Obliczenie pochodnej z definicji sprowadza się do znalezienia funkcji. Znajdujemy ją w wyniku obliczenia granicy wyrażenia zwanego ilorazem różnicowym. Oczywiście mówimy tu o obliczaniu pochodnej z definicji. Potocznie obliczanie pochodnej odbywa się na innej zasadzie. - Na jakiej? - Korzystamy z wzorów. - Czy będziesz mi mówił jak mam to wyrażenie iloraz różnicowy rozumieć? Co ono wyraża? Czy jest to dla mnie w ogóle ważne? - Nie będę wchodził w ten temat. Teraz skupię się na tym jak wykonywać same obliczenia. Powiedzmy sobie też szczerze, że w sytuacji, w której będziesz weryfikowany z tej wiedzy, nie będziesz miał przed sobą pytania, w którym ktoś będzie od Ciebie oczekiwał tego czy rozumiesz to wyrażenie i zdajesz sobie sprawę jaka myśl idzie za taką jego konstrukcją. Raczej możemy się spodziewać zadań, w których będziesz musiał się popisać umiejętnościami rachunkowymi. Podsumowując mamy: f ' ()2. Jeśli miałeś już styczność z wzorami dotyczącymi pochodnych widzisz, że otrzymany wynik jest taki sam jaki otrzymalibyśmy stosując wzór: 6

( n ) ' n n. - Jak obliczyć pochodną z definicji w punkcie 0? Rozumiem na czym polega obliczanie pochodnej funkcji z definicji, natomiast pojawiają się zadania, w których muszę obliczyć pochodną w konkretnym punkcie. O co chodzi? Jak to się rozwiązuje? -Już odpowiadam. Dla przykładu weźmy funkcję: f () 2, a wybranym punktem niech będzie 0. W zadaniach jest tak, że podane są te dwie rzeczy: funkcja i punkt reprezentowany przez liczbę. Proces jest analogiczny do tego, który był przedstawiony wcześniej. W zapisie będę się posługiwał symbolem 0 zamiast. Rozpisuję f ( o ) i f ( o +h), ponieważ te wyrażenia będą mi potrzebne w wyrażeniu: f ' ( 0 )lim h 0 f ( 0 +h) f ( 0 ) h. W związku z powyższym: f ( o )f ( ), a zatem f ( )( ) 2 ( ) +4. Podstawiając dalej za 0 liczbę - mamy f ( o +h)f ( +h), zatem f ( +h)( +h) 2 ( +h) (h ) 2 (h ) (h 2 2h+) (h h 2 +h ) Dodawanie jest przemienne więc mogę zmienić kolejność wyrazów zachowując znaki. W kolejnym kroku wyrazy w nawiasach są dla wygody w odwróconej kolejności. h 2 6h + h +h 2 h+ h +6h 2 9h+4. Mając rozpisane wyrażenia f ( o ) i f ( o +h), wstawię je do ilorazu różnicowego f ' ( 0 )lim h 0 f ( 0 +h) f ( 0 ) h gdzie 0 otrzymując: 7

f ' ( )lim h 0 h +6h 2 9h+4 4 lim h h 0 h +6h 2 9h lim h h 0 h(h 2 +6h 9) [znów skracam h!] h lim (h 2 +6h 9)[za h podstawiam zero otrzymując] -9. Gotowe. h 0 - Jak obliczyć pochodną ze wzoru? - Obliczanie pochodnych ze wzorów, opiera się innym mechanizmie. Nie będę już korzystał z ilorazu różnicowego. Podstawą będą dla mnie wzory. Te, które są powszechnie wykorzystywane podzielę na kilka grup, aby było łatwiej skupić uwagę przy omawianiu przykładów. Zanim przejdę do samych wzorów, muszę przytoczyć jedną własność, która znacznie ułatwi nam obliczenia w przyszłości: (a f ())'a f '(). Ten wzór mówi nam, że przy liczeniu pochodnej możemy stały czynnik wyłączyć przed pochodną. Przykłady : f ' ( )(2 sin)' [2 wyciągam przed nawias]2(sin)', f ' ()( )' ( ln ln )'. Przejdę teraz do wzorów. Grupa pierwsza: funkcje stałe i potęgowe. (c)'0, c stała. Przykłady pochodnych z funkcji stałych: f () π 2, f () 5, wówczas w każdym z f ( )4, tych przypadków f ' ()0. Grupa pierwsza : funkcje potęgowe. 8

Przejdę teraz do wzorów zaczynając od najważniejszego: ( n )'n n. Najlepiej wytłumaczę jego działanie na przykładach. Będę obliczał pochodną funkcji f (). ( )' 2. Powiedz mi co się tu podziało? - Wykładnik spadł przed funkcję, a potęga zmalała o jeden. - Zgadza się. Teraz inny przykład. (4 6 )'[4 przed funkcję, bo to jest stała, którą wyciągam przed cały - nazwijmy to, problem] 4 6 5 [6 spadło na początek, a wykładnik spadł o jeden z 6 na 5 ] 24 5. - Rozumiem. - Świetnie. Teraz przykład którego się nie spodziewasz. Wyrażenie, które mam na myśli to: f (). - No dobrze. Inaczej to wygląda. Nie ma wykładnika... nie rozumiem. - Zaraz wytłumaczę, ale najpierw mała retrospekcja. Jakbyśmy wrócili myślą do klasy pierwszej liceum. Była tam mowa na temat potęg o wykładniku całkowitym, a nawet wymiernym. Pozwól, że przypomnę. Gdy 2 mamy zapis 4, to rozumiemy go w następujący sposób: To rozumienie sprawia, że zapis 5 możemy zinterpretować w 4 2. 2 następujący sposób: 5. - Faktycznie. Teraz sobie przypomniałem. A co gdy wykładnik jest ujemny? - Dobre pytanie. - Co mamy rozumieć przez na przykład taki zapis: 2? 9

- Już odpowiadam: 2 ( ) 2 czyli ten znak minus sprawił, że z trójki zrobiła nam się. - Czyli gdy będę miał na przykład ( 7) 2, to mam rozumieć, że ten zapis będzie się tłumaczył na ( 7) 2 ( 7 ) 2 co daje 49 9. - Dokładnie. Mając na uwadze to co powiedzieliśmy, możemy zapisać równość. Teraz bierzemy pod uwagę pochodną tego wyrażenia, czyli ( ) '( )'. Widzimy, że wyrażenie po prawej stronie jest zapisane w taki sposób, że możemy je potraktować wzorem ( n )'n n. To co otrzymamy wygląda następująco: ( ) '( )' 2 [teraz otrzymaną pochodną tylko przekształcimy] 2. - Zaraz. Gdzieś mam zapisany wzór: ( ) ' 2. -Zgadza się. -Czy musimy pamiętać ten wzór? Kolejny wzór? Po co, skoro mamy już ten: ( n )'n n? Po co sobie zawracać głowę kolejnym wzorem? - Zgoda. Nie trzeba się tym wzorem przejmować. -To dlaczego on jest w podręcznikach? -Ponieważ usprawnia wykonywanie obliczeń. Jest spora liczba ludzi, którzy to potwierdzą. Ja osobiście mam słabą pamięć. Łatwiej mi przychodzi 0

wymyślanie na bieżąco niż przywoływanie z pamięci. Można powiedzieć, że jest to swego rodzaju kwestia preferencji. -Może teraz jakieś przykłady? -Wedle życzenia. Przykłady: (5 )'5 2, ( 00 )'00 99, ( )'[- wyłączę przed nawias i skorzystam z możliwości innego zapisu] 2 ( 2 )'[-2 spadnie przed, a podęga zminiejszy się o jeden do wartości -] ( 2) 6 [właściwie interpretując minus w wykładniku mamy] 6. Teraz przyjrzyj się uważnie, bo kolejny przykład będzie bardzo ważny. Obliczę pochodną takiej o to funkcji: f (). - Pierwiastek w mianowniku? Tego jeszcze nie było. Wprowadzisz nowy wzór? - Zgadza się. Tego jeszcze nie było. Tak, jest wzór, który mówi jak obliczyć tą pochodną, ale nie będę go teraz przytaczał, ponieważ nie widzę powodu aby utrudniać sobie życie przez konieczność pamiętania kolejnego wzoru. - Jak to? Nie rozumiem. Dlaczego bez wzoru będzie łatwiej? - Będzie wzór, ale nie nowy, tylko ten sam, którym się cały czas posługujemy. Zanim przejdę do obliczania samej pochodnej, zobaczmy jak można zmienić zapis funkcji f. Otóż mamy : f () obliczamy pochodną. 2 ( ) 2 2. Korzystając z tego faktu pokażę jak

( ) ( '[w tym kroku tylko przekształcam] 2) ' [teraz będę obliczać pochodną] 2 5 2. W skrócie 2 wylądowało przed liczbą, a wykładnik zmalał o jeden w dół. - Nie spodziewałem się tego, że tak skomplikowany przykład przyjdzie rozwiązać tak prosto. - Takie myślenie jest bardzo mocnym narzędziem. Pomyśl tylko jak złożone w zapisie funkcje, których pochodnych szukamy, można w ten sposób obliczyć. Dla przykładu niech : 4 f (). 2 5 Ta funkcja wygląda trochę odstraszająco na pierwszy rzut oka, ale po bliższym przyjrzeniu się można zauważyć, że sporo można z nią zrobić zanim przejdziemy do obliczania pochodnej. Zapiszę to wyraźnie: 4 f () [każdy pierwiastek mogę zamienić na potęgę o wykładniku wymiernym] 2 5 4 2 5 4 2 + 5 [w kolejnym kroku, korzystam z praw działań na potęgach przy tej samej podstawie] 40 0 5 0 + 8 4 0 0. Reasumując, zastanawianie się nad obliczaniem pochodnej z funkcji 4 f ()., sprowadza się do obliczania 2 5 pochodnej z wyrażenia 4 0. Zobaczmy jak to będzie wyglądało w praktyce: f ' ( )( 4 2 5 ) 4 ' ( 0 )'[w tym miejscu obliczam pochodną] 4 0 0. -Jestem pod wrażeniem. Naprawdę, bardzo proste. 2

-Przejdziemy teraz do kolejnej grupy wzorów. Grupa druga: funkcje wykładnicze i logarytmiczne. (a )'a ln a, tutaj warto przytoczyć szczególny przypadek (e )'e, Przykłady dla lepszego zrozumienia: (4 ) '4 ln 4, (( 2 ) ) ' ( 2 ) ln 2. (log a )' log e a ' tu rówmnież przytoczę szczególny przypadek (ln )'. Przykłady: (log 2 )' log 2 e, (log )' log e, ( log 2 7 log ) 2 ' 7 e. Grupa trzecia: funkcje trygonometryczne. Tu przykładów nie będzie, ponieważ wzory są wystarczająco dosłowne. (sin )'cos, (cos )' sin, (tg )' cos 2, (ctg )' sin 2. Grupa czwarta: funkcje cyklometryczne. Jak wyżej, tu również nie będzie przykładów. (arcsin )' 2, (arccos )' 2. - Jak obliczyć pochodną sumy funkcji? - To będzie proste, ponieważ postępujemy zgodnie z naszą intuicją. Oczywiście jest wzór, który to opisuje, ale posłużę się też przykładem, który będzie lepiej obrazował problem.

Wzór jest następujący: ( f +g )' f ' +g '. Przykłady są takie: ( 2 +sin )' [rozbijam przy '+' na dwie pochodne]( 2 )' +(sin )' [teraz pochdne] 2+cos. (7 4 +6 2 2 4+5)' [rozpiszę to na pochodne pojedynczych funkcji] (7 4 ) ' +(6 )' (2 2 ) ' ( 4 ) ' +(5)' [pozostaje obliczyć pochodne] 7 4 +6 2 2 2 4 0 +0[ 0 jest równe ] 28 +8 2 4 4. - Czy tak samo to działa, gdy między funkcjami będzie minus? - Tak samo. - Jak obliczyć pochodną iloczynu funkcji? -Opieramy się na ogólnym wzorze: (f g)'f ' g+f g' Przykład: Mamy tu iloczyn dwóch funkcji, 2 gra rolę f, a sin gra rolę funkcji g ze wzoru Po zastosowaniu wzoru (f g)'f ' g + f g ' Tu już mamy pochodną obliczoną (2 2 sin )'2( 2 sin )'2[( 2 )' sin + 2 (sin )']2[2 sin + 2 cos ]4 sin+2 2 cos Stała 2, którą mogę wyłączyć przed nawias Pochodna ( 2 )'2 Pochodna (sin)' cos Najprostsza postać wyrażenia 4

- Jak obliczyć pochodną ilorazu funkcji, czyli co gdy mamy pochodną i kreskę ułamkową? -Opieramy się na kolejnym ogólnym wzorze: ( f f ' g f g' )' g g 2 Przykład: Stosujemy wzór w tym miejscu. Pierwiastek gra rolę funkcji f, a funkcja sin gra rolę funkcji g Pochodna pierwiastka Pochodna sinusa Skracam sin w liczniku i kwadrat sinusa w mianowniku ( sin )'( )' sin (sin )' sin 2 sin cos 2 2 sin sin 2 sin 2 cos sin 2 2 sin cos sin 2 2sin cos. sin 2 Na tym etapie już nie ma tematu pochodnej. W kolejnych krokach doprowadzam do najprostszej postaci. Najprostsza postać - Jak obliczyć pochodną funkcji złożonej? - To jest bardzo dobre pytanie. Odpowiedź na nie jest dłuższa, ponieważ będziemy mieć kilka etapów. Przedstawię dla porządku wzór, a następnie przejdę do przykładów. Wspomniany wzór wygląda następująco: ( f (g ( )))' f ' ( g ( )) g ' ( ). Mając wzór za sobą przejdę do przykładów w przekonaniu, że wniosą dużo więcej światła. 5

Przykład pierwszy : (sin 2 )' [mamy tu do czynienia z dwoma funkcjami, gdzie jedna jest potocznie mówiąc w drugiej. Jedna z nich to funkcja sinus, a druga to potęga druga.] [Obliczam pochodną ] cos 2 2[po uproszczeniu mamy] 2 cos. Przykład drugi: (sin 2 )' [komentarz jak wyżej, ale pochodna będzie inna] 2 sin cos. - Dlaczego tak jest? Jak mam rozróżnić jedną sytuację od drugiej? - To jest kluczowe pytanie. Dla wyjaśnienia, omówię z innej perspektywy przykład pierwszy. Mamy funkcję sin 2, która działa w pewnej kolejności. - Jakiej kolejności? - Już tłumaczę. Odpowiedzią jest kolejność wykonywania działań. Zauważ, że mamy tu obliczanie funkcji sinus z czegoś, co w przykładzie widnieje jako 2. Aby obliczyć sinus muszę najpierw obliczyć 2. Takie myślenie naprowadza nas na prawidłową kolejność obliczania pochodnej. Najpierw obliczam pochodną sinusa, a w drugiej kolejności obliczam pochodną funkcji, z której sinus jest liczony, czyli w tym przykładzie 2. Stąd mamy, że pochodną sin 2 jest cos 2, który mnożymy przez pochodną funkcji 2 czyli 2, co w efekcie daje 2 cos 2. Przeanalizuję teraz analogicznie drugi przykład. Mamy wyrażenie sin 2, które można zapisać inaczej : (sin ) 2. Taki zapis sugeruje inny porządek, ponieważ w myśl reguły mówiącej o kolejności wykonywania działań, najpierw musimy wykonać działanie w nawiasie (w tym przypadku jest to sin ), a następnie obliczamy kwadrat otrzymanej wartości. Pochodna z funkcji kwadratowej wygląda 6

następująco: ( 2 ) '2. W naszym przykładzie rolę odgrywa cała funkcja sin. Ten fakt sprawia, że obliczając pochodną mamy wyrażenie 2 sin. Nie możemy oczywiście zapomnieć o funkcji sin, której pochodną jest cos. Mając obie pochodne, mnożymy je przez siebie, otrzymując wynik w postaci : 2 sin cos. - Dobrze. Zakładam, że jest w tym sens, ale nie mogę powiedzieć, że rozumiem. - Spróbujemy inaczej. Weźmiemy funkcję: sin 2 i obliczymy jej pochodną. -Od czego zacząć? -Najpierw ustalimy zależności między funkcjami. Odpowiemy sobie na pytanie, która funkcja jest wewnętrzna, a która zewnętrzna. -Jak to zrobić? -Będziemy się kierować kolejnością wykonywania działań. Wyobraźmy sobie, że chcemy wykonać wszystkie działania. Od jakiego zaczniemy? -Od 2. -Czyli od kwadratu? -Tak. -Świetnie. Mamy -Potem mamy funkcję sinus, a na końcu pierwiastek. -Tak. Myśląc w ten sposób, możemy namalować planetę zależności : -Czyli w pierwszej kolejności obliczam pochodną funkcji pierwiastek. 7

Oznacza to, że mam napisać 2 bo to jest pochodna? -Tak, z tą uwagą, że zamiast piszemy funkcje, które są o jedno piętro głębiej. W tym przykładzie będzie to sin 2. -Czyli jak dobrze rozumiem mam napisać 2 sin 2? -Tak. Na tym nie koniec. Teraz zajmiemy się kolejnym poziomem. -Czyli mam teraz rozważyć pochodną sinusa? -Tak. -Otrzymamy cos, ale znów musimy zastąpić funkcją z kolejnego, głębszego poziomu? -Tak. -Zatem otrzymam cos 2. Gdzie teraz jesteśmy? - Teraz jesteśmy tu: -Co zatem zostało? -Obliczenie pochodnej kwadratu. Pochodna kwadratu to 2. Co ma grać teraz rolę? -Nie mamy już żadnej funkcji głębiej, zatem zostajemy przy. 8

-I co teraz? -Mnożymy wszystkie funkcje przez siebie. -I to wszystko? -Tak. Mamy gotową pochodną, a wygląda ona tak: 2 2 cos 2. Co wypada jeszcze zrobić? -Pewnie uprościć. Czyli po uproszczeniu mamy coś takiego: cos sin 2. -Gratulacje! Obliczyłeś pochodną. Teraz jesteś gotowy do obliczenia bardziej złożonego przykładu. Wyrażenie, którym się zajmiemy, to : tg 4 log cos2. Od czego zaczynamy? -Od planety funkcji wewnętrznych i zewnętrznych. Sugerując się kolejnością wykonywania działań mamy: Patrząc na rysunek zapiszę wszystkie funkcje i ich pochodne. Funkcja tg cos 2 () Pochodna w () będzie Funkcja z poziomu głębszego/niższego 4 () 4 () 4 w () będzie Funkcja z poziomu głębszego/niższego 9

log () log e () w () będzie Funkcja z poziomu głębszego/niższego cos() sin w () będzie Funkcja z poziomu głębszego/niższego 2 2 ln 2 Do dzieła. (tg 4 log cos2 )' [obliczamy pochodną pierwszej funkcji idąc do wewnątrz planety] cos 2 ( 4 log cos2 ) ( 4 log cos2 )' [kolejny poziom przed nami. Pochodna z pierwiastka] cos 2 ( log 4 cos2 ) 4 (log 4 cos2 ) (log cos2 )' [przed nami pochodna log ()] cos 2 ( log 4 cos2 ) log e 4 (log 4 cos2 ) (cos 2 ) (cos2 )' [przed nami cos()] cos 2 ( log 4 cos2 ) log e 4 (log 4 cos2 ) (cos 2 ) ( sin 2 ) (2 )' [ostatni etap to 2 ] cos 2 ( log 4 cos2 ) log e 4 (log 4 cos2 ) (cos 2 ) ( sin 2 ) 2 ln 2. Z tą wiedzą jesteś w stanie obliczyć pochodną każdej funkcji. Na zakończenie przedstawię przykład, w którym połączę powyższe zagadnienia. Oto on: ( arcsin(22 ln ) '[pochodna ilorazu] e tg ) (arcsin(22 ln ))' e tg arcsin(2 2 ln ) (e tg )' (e tg ) 2 20

Dla przejrzystości rozumowania i zapisu, wprowadzimy pewne uproszczenie. W liczniku są dwa nawiasy oznaczone symbolem pochodnej: (arcsin(2 2 ln ))' oraz (e tg )'. Pierwszy z nich będzie nosił nazwę A, a drugi nazwę B. Od tej pory będę się skupiał osobno na obliczeniu pochodnej z A i B. Na sam koniec zbiorę wszystko razem. A (arcsin(2 2 ln ))'[pochodna funkcji złożonej] ln )'[przed nami pochodna iloczynu funkcji] (2 2 ln ) 2 (22 )' ln +2 2 (ln )' )[są dwie pochodne do policzenia] (2 2 ln ) 2 ((22 (2 2 ln ) 2 (2 2 ln +2 2 )[upraszczam wyrażenia w nawiasie i zapisuje w liczniku] 4 ln +2 (2 2 ln ) 2. B (e tg )'[mamy pochodna iloczynu funkcji] (e )' tg +e (tg )'[pierwsza z pochodnych dotyczy funkcji złożonej, a drugą obliczę ze wzoru] e 2 tg +e + 2. Mając wyznaczone A i B, mogę je podstawić do wyrażenia od którego zaczęliśmy, otrzymując kompletną pochodną postaci: * 4 ln +2 tg (2 2 ln ) 2 e arcsin(2 2 ln ) ( e 2 tg +e + ) 2. (e tg ) 2 -To tyle? -Teraz pozostaje ćwiczyć przedstawione tu metody na przykładach. Powodzenia. 2

. Rozdział trzeci. Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Wklęsłość i wypukłość funkcji. 4. Rozdział czwarty. Obliczanie całek nieoznaczonych. 5. Rozdział piąty. 22

Obliczanie całek oznaczonych czyli pola. Całki niewłaściwe. 2