Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1- Filtry cyfrowe cz. Zastosowanie funkcji okien do projektowania filtrów SOI Nierównomierności charakterystyki amplitudowej filtru cyfrowego typu SOI można zredukować stosując funkcje okien wyznaczające rząd filtru, inne niż o kształcie prostokąta. Na rysunku niżej przedstawiono przypadek stosowania okna prostokątnego w[n]. Z ciągu nieskończonego odpowiedzi impulsowej filtru h [n] wybierana jest żądana liczba współczynników filtru. Operacja ta polega na mnożeniu funkcji w[n] oraz h [n]. h [] n = w[] n h [] n
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -- W dziedzinie częstotliwości odpowiada to operacji splatania transformat Fouriera funkcji w[n] oraz h [n]. H [ m] = W [ m] H [ m] Rysunek poniżej przedstawia w sposób graficzny, splot w dziedzinie częstotliwości. Jeżeli będziemy interpretować splot jako sumę iloczynów W[m] oraz H [m] dla kolejnych przesunięć W[m] względem H [m] to łatwo zauważyć przyczynę powstawania zafalowań charakterystyki amplitudowej filtru. Możemy także zauważyć, że największe wartości zafalować w paśmie przepustowym charakterystyka osiąga w punkcie, w którym kończy się pasmo przepustowe charakterystyki filtru idealnego, o charakterystyce prostokątnej.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -3- Rysunek poniżej przedstawia obszar nierównomierności oraz obszar przejściowy filtru dolnoprzepustowego, wyznaczanego dla okna prostokątnego, dla dwóch różnych rzędów Zredukowanie nieciągłości okna w[n] Projektowanie metodą okna polega na zredukowaniu nieciągłości w[n] przez zastosowanie okna o innego niż prostokątne. Zastąpimy okno prostokątne oknem, którego dyskretne wartości wyznacza zależność: πn + N 4πn N [] = 0,4 0,5cos 0,08cos dla n = 0,1,,..., N w n
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -4- Rysunek poniżej przedstawia zastosowanie okna Blackamana do projektowania filtru SOI, oraz charakterystyki filtrów 31 i 63 rzędu. Dzięki zastosowaniu okna Blackmana znacznie zmniejszono zafalowania w paśmie przepustowym. Oczywiście dla rozpatrywanego dolnoprzepustowego filtru SOI możemy użyć innej, dowolnej funkcji okna. Na tym właśnie polega istota projektowania filtrów SOI tą metodą, tj. metodą okna.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -5- Przykłady i porównanie innych okien wygładzających w[n] Rysunek poniżej przedstawia porównanie charakterystyk filtru o oknie prostokątnym i oknie Blackmana. Dzięki zastosowaniu odpowiedniego okna można zatem poprawić własności filtru, poprzez zmniejszenie poziomu listków bocznych. Należy być jednak świadomym tego, że to polepszenie uzyskuje się dzięki poszerzeniu listka głównego, i projektowanie zwykle polega na znalezieniu odpowiedniego kompromisu między szerokością listka głównego i poziomem listków bocznych
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -6- Okno Czebyszewa w [] n = cos N cos cosh m α cos π N [ N cosh ( α )] gdzie 1 γ α = cosh cosh ( 10 ) N m = 0,1,,..., N Funkcja została wyprowadzona, na podstawie analizy macierzowej anten. Parametr gamma umożliwia sterowanie szerokością listka bocznego oraz poziomem listków bocznych.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -7- Okno Kaisera gdzie [] w n = n p I 0 β 1 p I 0 ( ) β n = 0,1,,..., N p = N Równanie pochodzi z badań Kaisera nad funkcjami sferycznymi z użyciem funkcji Bessela zerowego rzędu. Parametr beta umożliwia sterowanie szerokością listka bocznego oraz poziomem listków bocznych.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -8- Projektowanie środkowoprzepustowych filtrów SOI Projektowanie filtru środkowoprzepustowego polega na przesunięciu charakterystyki filtru dolnoprzepustowego. Można tego dokonać przez pomnożenie współczynników filtru dolnoprzepustowego h lp [n] przez funkcję sinusoidalną o częstotliwości f s /4. W wyniku otrzymuje się współczynniki filtru środkowoprzepustowego h bp [n]. Sinusoidę reprezentuje na rysunku ciąg s shift [n], są to próbki sinusoidy pobierane 4 razy w okresie. h hp [] n = h [] n s [] n = h [][ n 0,1,0,,0,1,0,,0,1... ] lp shift lp Przy projektowaniu filtru pasmowego SOI o częstotliwości środkowej f s /4 musimy dokonać jedynie połowę mnożeń, ponieważ co drugi współczynnik jest zerem. Jeżeli jednak środkowa częstotliwość jest różna od f s /4 to musimy wykonać wszystkie mnożenia.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -9- Projektowanie górnoprzepustowych filtrów SOI Aby wyznaczyć współczynniki filtru górnoprzepustowego h hp [n], należy jedynie zmodyfikować ciąg przesuwający. Ciąg s shift [n] powinien reprezentować sinusoidę o częstotliwości f s /. h hp [] n = h [] n s [] n = h [][ n 1,,1,,1,,1,... ] lp shift lp
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -10- Charakterystyka fazowa filtrów SOI Jedną z podstawowych właściwości filtrów SOI jest liniowość charakterystyki fazowej. Przykład wyznaczania charakterystyki przedstawia rysunek niżej.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -11- Zauważymy, że charakterystyka fazowa jest liniowa w paśmie przepustowym. Oznacza to jednakowe opóźnienie wszystkich składników częstotliwościowych, a to oznacza że sygnał wejściowy nie jest zniekształcany. Ta cecha dotyczy wszystkich filtrów SOI o symetrycznych współczynnikach.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1- Filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej NOI Filtry tego typu zawsze wymagają sprzężenia zwrotnego. Inaczej, każda próbka sygnału wyjściowego zależy od poprzednich próbek sygnału wejściowego i wyjściowego. Filtry NOI w porównaniu z filtrami SOI, są bardziej skomplikowane w projektowaniu i analizie i nie mają liniowej charakterystyki fazowej, są jednak bardziej efektywne. NOI wymagają znacznie mniejszej liczby mnożeń do obliczenia próbki sygnału wyjściowego niż SOI przy zapewnieniu odpowiedniej charakterystyki filtru. Na rysunku porównano charakterystyki amplitudowe dolnoprzepustowego filtru NOI 4 rzędu oraz filtru SOI 19 rzędu. SOI 19 rzędu wymaga 19 operacji mnożenia NOI 4 rzędu wymaga 9 operacji mnożenia Filtr NOI ma mniejsze nierówności w paśmie przepustowym, mniejsze pasmo przejściowe i jest bardziej efektywny ze względu na liczbę operacji matematycznych.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -13- Struktura filtru SOI Na rysunku przedstawiono schemat blokowy przedstawiający strukturę filtru SOI opisanego równaniem różnicowym w dziedzinie czasu: y [] n = h[][] 0 x n + h[][ 1 x n ] + h[][ x n ] + h[][ 3 x n 3]
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -14- Struktura filtru NOI Na rysunku przedstawiono schemat blokowy przedstawiający strukturę filtru NOI opisanego równaniem różnicowym w dziedzinie czasu: [] [][] [][ ] [][ ] [][ ] [][ ] [][ ] [][ ] 3 3 1 1 3 3 1 1 0 + + + + + + + = n y a n y a n y a n x b n x b n x b n x b n y Ciąg d[n] w strukturze filtru NOI jest równy ciągowi y[n] w strukturze filtru SOI
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -15- Przykład dolnoprzepustowego filtru NOI drugiego rzędu y [] n = 0,0605x[] n + 0,11x[ n ] + 0,0605x[ n ] + 1,194y[ n ] 0,436y[ n ] Transformata ZET + Y Transmitancja ( z) = 0,0605X ( z) + 0,11X ( z) z + 0,0605X ( z) + 1,194Y ( z) z 0,436Y ( z) z z + H Charakterystyka częstotliwościowa 0,0605 + 0,11z + 0,0605z 1,194z + 0,436z ( z) = H 0,0605e + 0,11e + 0,0605e 1,194e + 0,436e j0ω j1ω ω 1 ( j ) = j ω j ω jω
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -16- Rysunek przedstawia charakterystykę amplitudową i fazową obliczonego filtru: Dla porównania wykreślono charakterystyki filtru SOI 5 rzędu Charakterystyka fazowa filtru NOI jest nieliniowa. Przy tym samym nakładzie obliczeń filtrów charakterystyka amplitudowa filtru NOI ma mniejsze nierówności i jest bardziej stroma w paśmie przejściowym niż SOI.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -17- Projektowanie filtrów NOI metodą niezmienniczości odpowiedzi impulsowej Metoda polega na projektowaniu filtru cyfrowego, którego odpowiedź impulsowa jest spróbkowaną wersją odpowiedzi filtru analogowego. Jeżeli prototypowy filtr analogowy ma żądaną charakterystykę częstotliwościową, to projektowany filtr cyfrowy NOI będzie aproksymował tę charakterystykę Na podstawie tego co wiemy o zjawisku powielania widma na skutek próbkowania sygnału, możemy stwierdzić, widmo ciągłej odpowiedzi impulsowej ulegnie powieleniu o otrzymamy widmo okresowe. Podczas projektowani filtrów NOI efekt nakładania widma (aliasingu) należy uwzględniać podczas projektowani. Z tego powodu w praktyce wybiera się duże częstotliwości próbkowania.
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -18-
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -19- Przykład projektowania filtru NOI Zaprojektujemy filtr NOI, którego nierówność charakterystyki w paśmie przepustowym wynosi 1dB. Częstotliwość próbkowania 100Hz. (t s =0.01). Częstotliwość graniczna przy spadku o 1dB wynosi 0Hz. Analogowy filtr Czebyszewa odpowiadający wymaganiom ma transmitancję: H c () s = s 17410,145 + 137,94536s + 17410,145 Obliczymy odwrotną transformatę Laplace a wykorzystując zależność: Aω ( s + α ) + ω L Ae α t sin ( ωt) 68,97680t () t = 154,7774e sin( 11, t) hc 485173
Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -0- Obliczymy transformatę ZET wykorzystując zależność Ce αnts sin ( ω nt ) s Z 1 Ce αt s sin( ωts ) ( ωt ) z αts αts [ e cos ] + e z s z H ( z) = 1 154,7774e 68,97680ts sin( 11,485173t s ) ( 11,485173t ) z + e 68,97680ts 68,97680ts [ e cos ] z s z H 70,059517z 1 0,4378805z + 0,5171605z ( z) = Stąd można wyznaczyć równanie różnicowe realizujące filtr NOI X ( z) 70,059517z = Y ( z)[ 1 0,4378805z + 0,5171605z ] Y ( z) = X ( z) 70,059517z + Y ( z) 0,4378805z Y ( z) 0,5171605z Ostatecznie: y [ n] = 70,059517x[ n ] + 0,4378805y[ n ] 0,5171605y[ n ] KONIEC