Lech Górniewicz Roman Stanisław Ingarden ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW Wydanie piąte Toruń 2012
SPIS TREŚCI WSPOMNIENIE O PROFESORZE ROMANIE STANISŁAWIE INGARDENIE (Miłosz Michalski)... ix PRZEDMOWA DO WYDANIA PIĄTEGO... xiii Rozdział 1. LICZBY RZECZYWISTE... 1 1. Oznaczenia logiczne... 1 2. Zbiory. Odwzorowania zbiorów... 2 3. Aksjomatyczna teoria liczb rzeczywistych... 7 4. Ciągi liczbowe... 13 5. Granica ciągu liczbowego... 14 6. Warunek Cauchy ego... 21 7. Granica górna i dolna... 23 8. Szeregi liczbowe... 25 9. Szeregi bezwzględnie zbieżne... 30 10. Szeregi o wyrazach dodatnich... 34 11. Zadania... 36 Rozdział 2. PRZESTRZENIE METRYCZNE... 43 12. Definicja i przykłady przestrzeni metrycznych... 43 13. Podzbiory przestrzeni metrycznej... 47 14. Ciągi zbieżne w przestrzeni metrycznej... 54 15. Odwzorowania ciągłe... 57 16. Przykłady funkcji ciągłych... 62 17. Przestrzenie zupełne... 64 18. Przestrzenie zwarte... 69 19. Przestrzenie spójne... 73 20. Zadania... 75
658 Spis treści Rozdział 3. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE... 79 21. Dalsze wiadomości o przestrzeniach zwartych... 79 22. Przestrzeń funkcji ciągłych... 82 23. Ciągi funkcyjne... 87 24. Szeregi funkcyjne... 90 25. Zadania... 93 Rozdział 4. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ... 97 26. Pochodna... 97 27. Geometryczne podejście do pojęcia pochodnej...108 28. Interpretacje fizyczne pochodnej...111 29. Twierdzenia Lagrange a i Cauchy ego oraz ich zastosowania...113 30. Pochodne wyższych rzędów...118 31. Zastosowania fizyczne drugiej pochodnej...121 32. Twierdzenie Taylora...123 33. Zastosowania pochodnych wyższych rzędów...126 34. Szereg Taylora...128 35. Całka Riemanna...129 36. Całka jako funkcja górnej granicy całkowania...138 37. Technika wyznaczania całki nieoznaczonej...141 38. Całkowanie i różniczkowanie ciągów i szeregów funkcyjnych: szeregi trygonometryczne i szeregi Fouriera...154 39. Całka niewłaściwa; jej związek z szeregami liczbowymi...163 40. Zadania...165 Rozdział 5. ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO I CAŁKOWEGO...171 41. Krzywe płaskie...171 42. Asymptoty; badanie przebiegu zmienności krzywych...177 43. Krzywizna krzywej...178 44. Przybliżone metody wyznaczania pierwiastków równań...180 45. Długość łuku...183 46. Obliczanie pól i objętości...184 47. Przykłady zastosowań całki oznaczonej w fizyce...187 48. Zadania...190 Rozdział 6. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY W PRZESTRZENIACH BANACHA...193 49. Przestrzenie liniowe...193
Spis treści 659 50. Odwzorowania liniowe...197 51. Przestrzenie unormowane...199 52. Szeregi wektorów w przestrzeni unormowanej... 203 53. Ciągłe odwzorowania liniowe...204 54*. Twierdzenie Banacha o odwzorowaniach liniowych...211 55. Ciągłe odwzorowania wieloliniowe...216 56. Różniczkowanie w przestrzeniach Banacha...218 57. Słaba pochodna...221 58. Twierdzenie o wartości średniej...225 59. Przypadek, gdy E = R n, E = R m...228 60. Twierdzenie o lokalnym odwracaniu odwzorowań...233 61. Pochodne wyższych rzędów...240 62. Wzór Taylora. Ekstrema lokalne...247 63. Zadania...257 Rozdział 7. ELEMENTY TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH...261 64. Całkowanie odwzorowań o wartościach w przestrzeni Banacha...261 65. Pojęcie równania różniczkowego zwyczajnego rzędu pierwszego...269 66. Niektóre typy równań różniczkowych skalarnych...273 67. Istnienie i jednoznaczność rozwiązań problemu Cauchy ego...278 68. Ciągła zależność rozwiązań problemu Cauchy ego od warunków początkowych oraz od parametru...283 69. Rozwiązania przybliżone problemu Cauchy ego...287 70. Twierdzenie Peano...291 71. Charakteryzacja zbioru rozwiązań problemu Cauchy ego...294 72. Równanie liniowe...299 73. Układy równań różniczkowych; równania wyższych rzędów...309 74*. Układy dynamiczne...313 75*. Dowody twierdzeń Lasoty Yorke a oraz Schaudera o punkcie stałym...320 76. Zadania...324 Rozdział 8. TEORIA MIARY I CAŁKI LEBESGUE A...329 77. Miara abstrakcyjna...329 78. Generator miary...334 79. Funkcje mierzalne...339 80. Miara Lebesgue a...345 81. Całka względem miary...352 82. Całka Lebesgue a; porównanie z całką Riemanna...366 83. Twierdzenie Fubiniego...371
660 Spis treści 84. Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce Lebesgue a...383 85*. Całka Lebesgue a Stieltjesa...389 86*. Przestrzenie funkcji całkowalnych...392 87. Zadania...394 Rozdział 9. FORMY RÓŻNICZKOWE...399 88. Przestrzeń tensorów...399 89. Iloczyn zewnętrzny...406 90. Pola wektorowe...409 91. Formy różniczkowe...412 92. Lemat Poincaré...418 93. Całkowanie from różniczkowych po łańcuchach...421 94. Rozmaitości zanurzone w R n...429 95. Pola wektorowe na rozmaitościach (wzmianka o równaniach różniczkowych zwyczajnych na rozmaitościach)...439 96. Formy różniczkowe na rozmaitościach...443 97. Całkowanie form różniczkowych na rozmaitościach...448 98. Element objętości na rozmaitości; konsekwencje twierdzenia Stokesa...454 99. Ekstrema funkcji określonych na rozmaitościach...460 100*. Ogólne pojęcie rozmaitości...462 101*. Twierdzenie Frobeniusa...473 102. Zadania...475 Rozdział 10. FUNKCJE HOLOMORFICZNE...479 103. Wiadomości wstępne...479 104. Różniczkowalność w sensie zespolonym...485 105. Przykłady funkcji holomorficznych...490 106. Całka funkcji zmiennej zespolonej...493 107. Wzór całkowy Cauchy ego...503 108. Szeregi Laurenta; osobliwe punkty izolowane...512 109. Residua...522 110. Przekształcenie Laplace a i jego zastosowanie do równań różniczkowych...531 111*. Informacje o równaniach różniczkowych w dziedzinie zespolonej. 544 112. Zadania...549 Rozdział 11. WSTĘPNE POJĘCIA TEORII DYSTRYBUCJI...553 113. Przestrzenie liniowo-topologiczne...553 114. Podstawowe klasy funkcji...557
Spis treści 661 115. Dystrybucje i ich pochodne...561 116. Dystrybucje temperowane...569 117. Przekształcenie Fouriera na S i S...572 118. Zadania...574 Rozdział 12. ELEMENTY TEORII PRZESTRZENI HILBERTA...577 119. Pojęcie przestrzeni Hilberta...577 120. Twierdzenie o rzucie prostopadłym...582 121. Funkcjonały liniowe w przestrzeniach Hilberta...587 122. Odwzorowania liniowe przestrzeni Hilberta...590 123. Analiza widmowa operatorów samosprzężonych... 596 124. Zadania...602 Dodatek 1. ELEMENTY TOPOLOGII OGÓLNEJ... 603 A. Przestrzenie topologiczne...603 B. Odwzorowania ciągłe przestrzeni topologicznych...608 C. Aksjomaty oddzielania...609 D. Przestrzenie zwarte i lokalnie zwarte...612 E. Przestrzenie parazwarte...615 F. Twierdzenia o zanurzaniu przestrzeni metrycznych oraz o przedłużaniu odwzorowań ciągłych...617 Dodatek 2. ALGEBRY BANACHA...621 A. Podstawowe pojęcia i przykłady...621 B. Widmo elementu w algebrze...623 C. Charaktery algebr Banacha...626 Dodatek 3. CAŁKOWANIE W PRZESTRZENIACH HILBERTA...629 A. Miara spektralna; twierdzenie spektralne dla operatorów samosprzężonych...629 B. Konstrukcja miary w przestrzeniach Hilberta za pomocą funkcjonału charakterystycznego...634 LITERATURA...639 SKOROWIDZ NAZW...643