E k o n o m e t r i a S t r o n a 1

E k o n o m e t r i a S t r o n a Liniowy model ekonometryczny Jednorównaniowy liniowy model ekonometryczny (model regresji wielorakiej) można zapisać w postaci: y = α + α x + α x +... + α x + ε, t =,,..., n. (3) t 0 t t j jt t Model ten wiąże za pomocą funkcji liniowej wartości zmiennej objaśnianej Y z wartościami zmiennych objaśniających X, X,..., X j i wartościami składnika losowego ε. Jeśli spełnione są założenia: Z. Zmienne objaśniające X, X,...,X j mają ustalone wartości x t, x t,..., x jt dla t =,, n, (to znaczy, że zmienne te nie są zmiennymi losowymi), Z. Wśród zmiennych X, X,..., X j nie ma zmiennych współliniowych, Z3. Informacje zawarte w bazie danych statystycznych y t, x t, x t,..., x jt dla t =,,..., n, są jedynymi, na podstawie, których szacujemy parametry modelu (3), to parametry α 0, α, α,..., α j modelu (3) można oszacować metodą najmniejszych kwadratów (MNK). Przyjmijmy oznaczenia: y x x. x j ε α 0 y x x. x j ε α. y =., X =..... ε =., α =......... y n x k x. x jn ε n α j Równanie regresji liniowej (3) możemy zapisać w postaci: y = X α + ε Przy powyższych oznaczeniach założenie Z przyjmuje postać: Z. Rząd macierzy X jest równy k = j+ (gdzie k = j + to liczba parametrów modelu) lub inaczej det X T X 0. Wektor aˆ 0 aˆ a ˆ =. =(X T X) - X T y. a ˆ j nazywamy MNK estymatorem wektora α parametrów modelu (3). Teoretyczny model możemy, + więc zapisać + w +... postaci: + ŷ = aˆ aˆ x aˆ x a x, t =,,..., n (4) t ˆ 0 t t j Przykład. W tabeli podano wartości kosztów produkcji z ostatnich dziesięciu lat w zakładzie MOJA BELECZKA, produkującego pręty stalowe: y t - roczna wartość kosztów produkcji (tys. zł) w roku t, x t wielkość produkcji w tys. ton w roku t, x t - liczba pracowników produkcyjnych w roku t. jt

E k o n o m e t r i a S t r o n a Wykorzystując zbudowany model ekonometryczny Y= f( X, X, ε ) wyznaczyć prognozę wielkości kosztów na kolejny rok, wiedząc, że na podstawie analiz rynku przedsiębiorstwo ustaliło na ten rok wielkość produkcji na poziomie 4 tys. ton a wielkość zatrudnienia na poziomie 33 osoby.. Ustalenie postaci modelu Y= f( X, X, ε ) Dla ustalenia postaci modelu utworzymy wykresy zależności Y od X oraz Y od X.

E k o n o m e t r i a S t r o n a 3 A następnie dobierzemy linię trendu (ustawiając kursor w jednym z punktów wykresu i klikając prawym klawiszem myszy). Wybieramy Dodaj linię trendu i otrzymujemy tabelę, z której dobieramy najlepiej dopasowaną linię trendu.

E k o n o m e t r i a S t r o n a 4 Najlepiej dopasowanym do danych w obu przypadkach jest trend liniowy. Dodatkowo obliczymy współczynniki korelacji liniowej r YX oraz r YX. W arkuszu kalkulacyjnym Excel funkcja WSP.KORELACJI znajduje się w funkcjach statystycznych.

E k o n o m e t r i a S t r o n a 5 Wybieramy WSP.KORELACJI, Akceptujemy wybór OK. Wynikiem naszego działania jest tabelka argumenty funkcji. W Tablicy zaznaczamy kolumnę z wartościami y ( naszym przykładzie B:B), w Tablicy zaznaczamy kolumnę z wartosciami x.( w naszym przykładzie C:C) Naciskamy klawisz OK. i otrzymujemy wynik działania funkcji.

E k o n o m e t r i a S t r o n a 6 W analogiczny sposób wyznaczamy wartość r YX. I otrzymujemy: Współczynniki korelacji r Y X = 0,9, r Y X = 0,93 są wysokie a więc do prognozowania kosztów produkcji zaproponujemy liniowy model ekonometryczny w postaci: y = α + α x + α x + ε, t =,,..., 0. t 0 t t t Na zadanie domowe wykonać testy istotności współczynników korelacji r Y X, r Y X.

E k o n o m e t r i a S t r o n a 7. Szacowanie parametrów modelu Parametry α 0, α, α modelu yt = α 0 + αx t + α xt + ε t, można oszacować metodą najmniejszych kwadratów jeśli wśród zmiennych objaśniających nie ma zmiennych współliniowych (założenie Z). Gdy dwie zmienne X i X są współliniowe to współczynnik korelacji r X X =. Jeśli r X X = należy z modelu wyeliminować jedną ze zmiennych X lub X. Wyznaczmy zatem r XX. Współczynnik korelacji r X X = 0,88 zatem zmienne X i X nie są współliniowe i parametry modelu liniowego możemy oszacować metodą najmniejszych kwadratów. Można do tego wykorzystać Analizę danych, która znajduje się w Dane (w wersjach EXCELA od 007) lub Narzędzia ( w wersjach wcześniejszych). A więc kolejno wchodzimy do Dane ( Narzędzia) i wybieramy Analiza danych i w Narzędziach analizy wybieramy Regresja.

E k o n o m e t r i a S t r o n a 8 Otrzymujemy wtedy okno w postaci W zakres wejściowy Y- wpisujemy adresy wartości Y (zmiennej objaśnianej) w naszym przypadku będzie to B:B. W zakres wejściowy X- wpisujemy adresy wartości X wszystkich zmiennych objaśniających w naszym przypadku będzie to C:D(wartości zmiennych X, X). Zaznaczamy Nowy arkusz, Składniki resztowe.

E k o n o m e t r i a S t r o n a 9 W nowym arkuszu otrzymujemy kilka tabel, które po kolei poniżej zostaną opisane. et t= Współczynnik determinacji R = = 0, 9357, n ( Y Y ) t= Współczynnik korelacji wielorakiej R = R = 0,9673, Odchylenie standardowe reszt S n n et t= e = = t 300,09tys. zł n k gdzie: e t = y t -Yˆ t to reszty modelu, n to liczba obserwacji w bazie danych statystycznych (w naszym przykładzie n = 0), k to liczba szacowanych parametrów (w naszym przykładzie k = 3 gdyż mamy trzy szacowane parametry) Tabela ANALIZA WARIANCJI. statystyka t przedziały ufności dla parametrów Z tabeli tej możemy odczytać kolejno: oszacowanie parametru α0 to a 0 = 3077,44, oszacowanie parametru α to a = 309,3846, oszacowanie parametru α to a = 5,5946. W drugiej kolumnie tej tabeli znajdują się błędy oszacowań parametrów: S a0 = 859,35, S a = 5,34, S a = 7,409885. Parametr α [ 845, 466 ; 309, 4] z prawdopodobieństwem 0,95, 0 Parametr α [ 36, 6448 ; 58, 495] z prawdopodobieństwem 0,95, Parametr α [ 7, 73786 ; 4, 7805] z prawdopodobieństwem 0,95,

E k o n o m e t r i a S t r o n a 0 Model kosztów produkcji dla zakładu MOJA BELECZKA po oszacowaniu ma zatem postać: ˆ + (859,35) (5,34) (7,409885) (7) Yt = 30,77,44 + 309,3846 X t 5, 5946 X t Interpretacja oszacowania a = 309,3846 parametru α : Jeśli wartość zmiennej X zwiększona zostanie o jedną jednostkę, to znaczy wielkość produkcji zostanie zwiększona o tysiąc ton ceteris paribus (przy niezmienionej wielkości zatrudnienia X ) to wielkość kosztów wzrośnie o około 309,38 tysięcy złotych. Interpretacja oszacowania a =5,5946 parametru α : Jeśli wartość zmiennej X zwiększona zostanie o jedną jednostkę, to znaczy wielkość zatrudnienia zostanie zwiększona o jedną osobę ceteris paribus (przy niezmienionej wielkości produkcji X ) to wielkość kosztów wzrośnie o około 5,6 tysięcy złotych. Interpretacja współczynnika determinacji R = 0,94: Oszacowany model ˆ t = 3077, 44 + 309, 3846 x + t 5, 5946 w 94% wyjaśnia zmienność zmiennej objaśnianej Y. Y xt Interpretacja odchylenia standardowego reszt S e = 300,09 tys. zł.: Wartości teoretyczne Yˆ t kosztów produkcji wyznaczone z modelu Y ˆ t = 3077, 44 + 309, 3846 x + t 5, 5946 xt średnio różnią się od rzeczywistych wartości tych kosztów z bazy danych statystycznych o 300,03 tys. zł. W tabeli SKŁADNIKI RESZTOWE WYJSCIE znajdują się: - w kolumnie Przewidywane Y - wartości teoretyczne Yˆ t modelu wyznaczone ze wzoru (7). - w kolumnie Składniki resztowe - reszty modelu wyznaczone ze wzoru e t = y t -Yˆ t.

E k o n o m e t r i a S t r o n a Dla stwierdzenia czy zbudowany model może zostać użyty do prognozowania należy zbadać jego własności. 3. Weryfikacja modelu Weryfikację statystycznych własności modelu przeprowadzimy na poziomie istotności α = 0,05. Test istotności współczynnika korelacji wielorakiej R. Współczynnik korelacji wielorakiej wyznacza się ze wzoru R = R. Zapiszmy hipotezy: H o : R = 0, H : R 0. Do weryfikacji hipotezy H o służy statystyka: R n k F = R k (9) gdzie: n to liczba obserwacji w bazie danych statystycznych ( w naszym przykładzie n = 0), k to liczba szacowanych parametrów modelu (w naszym przykładzie k = 3). Wartość statystyki F znajduje się w tabeli ANALIZA WARIANCJI Zatem F = 50,9. Jeśli spełniona jest nierówność α > Istotność F to hipotezę H o odrzucamy i jako prawdziwą przyjmujemy hipotezę H. W naszym przykładzie Istotność F = 0,00006753, zatem α > Istotność F i hipotezę H o odrzucamy a jako prawdziwą przyjmujemy hipotezę H. Testy istotności parametrów strukturalnych α α,..., α Test istotności parametruα i, j Zapiszmy hipotezy: H o : α i = 0, H : α 0. i

E k o n o m e t r i a S t r o n a Do weryfikacji hipotezy H 0 używa się statystyki ai t a =. (0) i Sa i gdzie a i to oszacowanie parametru α i. ai Wartość statystyki t a = można wyznaczyć ręcznie lub odczytać z tabeli ANALIZA i Sai WARIANCJI z kolumny t Stat. Jeśli spełniona jest nierówność α> Wartość-p to hipotezę H o odrzucamy i jako prawdziwą przyjmujemy hipotezę H. Przeprowadzimy teraz test parametru α. Zapiszmy hipotezy: H o : α = 0, H : α 0. Obliczmy wartość statystyki ta =,68. Ponieważ Wartość-p =0, 03 zatem α > prawdziwą przyjmujemy hipotezę H. Przeprowadzimy teraz test parametru α. Zapiszmy hipotezy: H o : α = 0, H : α 0. Obliczmy wartość statystyki ta = 3,4. Ponieważ Wartość-p =0, 0 zatem α > Wartość-p i hipotezę H o odrzucamy a jako Wartość-p i hipotezę H o odrzucamy a jako prawdziwą przyjmujemy hipotezę H. Możemy zatem przyjąć, że oba parametry strukturalne są statystycznie istotne i obie zmienne X, X mają istotny wpływ na zmienną objaśnianą Y. Obliczymy teraz wartość współczynnika zmienności resztowej ze wzoru S e 00%. Y W tym celu wyznaczymy wartość średnią zmiennej Y. Powyższe testy mogą zostać także wykonane bez korzystania z analizy danych. Procedury zamieszczono na koniec ćwiczenia i oznaczono.

E k o n o m e t r i a S t r o n a 3 Możemy zatem stwierdzić, że średnie roczne koszty produkcji z ostatnich dziesięciu lat wynoszą 3639 tys. zł. Stąd S 300,09 e 00 % = 00 % =0,88%. Y 3639 Oznacza to, że odchylenie standardowe reszt stanowi 0,8% średnich kosztów produkcji w przedsiębiorstwie MOJA BELECZKA. Możemy więc przyjąć, że odchylenie standardowe reszt jest niewielkie. Na podstawie przeprowadzonych badań możemy podjąć decyzję o przyjęciu modelu do prognozowania lub podejmowania decyzji. Dla liniowego modelu ekonometrycznego zaleca się przeprowadzenie dodatkowych testów: - Testu losowości reszt (test serii), - Testu normalności rozkładu reszt, - Testu braku autokorelacji reszt, - Testu stałości wariancji. Test losowości reszt (składnika losowego)-test serii Hipotezy dla testu serii mają postać: H o : reszty wykazują losowość, H : reszty nie wykazują losowości. Procedura weryfikacji hipotezy H o jest następująca:. Wykreślić reszty zerowe.. Obliczyć liczbę reszt dodatnich n +. 3. Obliczyć liczbę reszt ujemnych n -. 4. Obliczyć liczbę serii s. 5. Obliczyć γ = α (gdzie α to poziom istotności testu), 6. Odczytać z tablicy wartość krytyczną s ( α ;n+ ;n ), 7. Jeśli wartość krytyczna nie istnieje, to test nie rozstrzyga.

E k o n o m e t r i a S t r o n a 4 8. Jeśli s s ( α ;n+ ;n ), to należy hipotezę H o odrzucić. α 9. Obliczyć γ = -. 0. Odczytać z tablicy wartość krytyczną s (- α ;n+ ;n ).. Jeśli s s (- α ;n+ ;n ), to należy hipotezę H o odrzucić.. Jeśli s < s < s, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H o. Aby wykonać ten test przekopiowano wartości teoretyczne Yˆ t oraz reszty et z tabeli Składniki resztkowe Wyjście (Analiza danych) odpowiednio do kolumn Q oraz R, a następnie wyznaczono serie reszt.. Brak reszt zerowych ( nic nie wykreślamy),. Liczba reszt dodatnich n + = 4, 3. Liczba reszt ujemnych n_ = 6, 4. Liczba serii s = 6, α 0,05 5. Przyjmiemy poziom istotności testu α = 0,05 stąd γ = = = 0,05. 6. Z tablicy A odczytujemy wartość krytyczną s ( α ;n+ ;n ) = s (0,05; 4; 6) =. 7. Wartość krytyczna istnieje i jest równa s (0,05; 4; 6) =. 8. Spełniona jest nierówność s > s ( α ;n+ ;n ), α 9. Wartość γ = - = 0,0975. 0. Z tablicy A3 odczytujemy wartość krytyczną s (- α ;n+ ;n ) = s (0,975; 4; 6) = 8.. Spełniona jest nierówność s < s < s, nie ma zatem podstaw do odrzucenia hipotezy H o.

E k o n o m e t r i a S t r o n a 5 Wynika stąd, że reszty wykazują losowość a zatem postać liniowa modelu została poprawnie dobrana. Test normalności rozkładu reszt (składnika losowego) Hipotezy dla testu normalności rozkładu reszt mają postać: H o : reszty wykazują rozkład normalny, H : reszty nie wykazują rozkładu normalnego. Do badania normalności rozkład reszt użyjemy testu Jarqua-Bera. Do weryfikacji hipotezy H o używana jest statystyka w postaci: n JB = ( ( G3 0) + ( G4 3) ), () 6 4 gdzie: n to liczba badanych reszt, n 3 ( et ) G 3 = (wartość estymatora wskaźnika asymetrii), 3 n S G 4 = t= ( e ) n 4 t 4 n t= S (wartość estymatora kurtozy), n S = ( e t ). n t= Statystyka JB ma rozkład chi-kwadrat z dwoma stopniami swobody. Na poziomie istotności α weryfikujemy hipotezę H 0. Z tablicy wartości krytycznych rozkładu chi-kwadrat odczytujemy wartość krytyczną χ ( α; ). Jeśli spełniona jest nierówność JB < χ ( α; ) to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 o normalności rozkładu reszt. W naszym przykładzie kolejno wyznaczymy wartości G 3, G 4. Na początek wyznaczymy wartość S za pomocą funkcji statystycznej ODCH.STANDARD.POPUL ( w naszym przykładzie w komórce R4). Mamy S = 5,04. Obliczymy teraz wartość G 3.

E k o n o m e t r i a S t r o n a 6 Obliczymy teraz wartość G 4.

E k o n o m e t r i a S t r o n a 7 Wyznaczymy teraz wartość statystyki JB na podstawie wzoru (). JB = 0,64. Przyjmijmy poziom istotności α = 0,05. Wartości krytyczną rozkładu chi-kwadrat wyznaczymy za pomocą funkcji statystycznej ROZKŁAD. CHI. ODW.

E k o n o m e t r i a S t r o n a 8 Mamy więc χ (0,05; ) = 5,99. Spełniona jest nierówność JB < χ (0,05; ), zatem nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 o normalności rozkładu reszt. Test braku autokorelacji reszt (składnika losowego) Do badania braku autokorelacji reszt rzędu pierwszego użyjemy testu istotności współczynnika autokorelacji. Stawiane są następujące hipotezy: H : r = 0 0 H : r e, e e, e t t t t 0 Sprawdzianem hipotezy H 0 jest następująca statystyka: re, 3 t e n t t = () ( r ) e, e t t Z tablic wartości krytycznych rozkładu t-studenta dla ustalonego poziomu istotności α oraz m = n 3 stopni swobody odczytywana jest wartość krytyczna t ( α; m). Jeśli t < t ( α; m), to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 ( brak autokorelacji rzędu pierwszego). Jeśli t t ( α; m), to hipotezę H 0 należy odrzucić i przyjąć alternatywną oznaczającą, że istnieje zjawisko autokorelacji reszt rzędu pierwszego. Wyznaczymy więc na początek reszty e t-.

E k o n o m e t r i a S t r o n a 9 A następnie wyliczymy wartość współczynnika korelacji r, e t e t Mamy więc r e t, e t = -0,43. Obliczymy teraz wartość statystyki t ze wzoru ().

E k o n o m e t r i a S t r o n a 0 Zatem t = -,68. Przyjmijmy poziom istotności testu α = 0,05. Z funkcji statystycznej ROZKŁAD.T.ODW. wyznaczymy wartość krytyczną t ( 0,05;0 3). Wartość krytyczna statystyki t( 0,05;7) =,3646. Mamy zatem t =,68 =, 68 < t (0,05;7). Wynika stąd, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H o, a więc reszty modelu nie wykazują autokorelacji rzędu pierwszego.

E k o n o m e t r i a S t r o n a Test stałości wariancji reszt (składnika losowego) Ponieważ nasza baza danych statystycznych jest w postaci szeregu czasowego, wykonamy test stałości wariancji reszt w czasie. Hipotezy dla testu stałości wariancji reszt w czasie mają postać: : r 0, gdzie e t t H 0 =, t e t H : r, t e t r, jest współczynnikiem korelacji pomiędzy wartościami bezwzględnymi reszt modelu e t a zmienną czasową t Sprawdzianem hipotezy H 0 jest statystyka: et, t 0 r n et, t T =, (3) r która ma rozkład t-studenta o n- stopniach swobody. Z tablicy wartości krytycznych rozkładu t-studenta dla przyjętego poziomu istotności α oraz n- stopni swobody odczytuje się wartość krytyczną t ( α; n ). Jeśli spełniony jest warunek: T < t ( α ; n ), wtedy nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy testowanej H 0 można przyjąć, że wariancja składnika losowego jest stała w czasie. Wyznaczymy więc na początek wartości bezwzględne reszt. Skorzystamy w tym celu z funkcji matematycznej MODUŁ.LICZBY. Następnie wyznaczymy współczynnik korelacji r, t e t

E k o n o m e t r i a S t r o n a Stąd wartość r, = 0,37. Wartość statystyki T wyznaczymy ze wzoru (3). e t t Wartość statystyki T = 0,979. Przyjmijmy poziom istotności α =0,05. Za pomocą funkcji statystycznej ROZKŁAD.T.ODW. wyznaczymy wartość krytyczną t ( 0,05;0 ).

E k o n o m e t r i a S t r o n a 3 Wartość krytyczna t ( 0,05;0 ) =,306. Spełniona jest nierówność T< t ( 0,05;0 ) =,306. Wynika stąd, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H o co oznacza, że możemy przyjąć, że reszty mają stałą w czasie wariancję. Podsumowanie. Do opisu rocznej wartości kosztów produkcji prętów stalowych w zakładzie MOJA BELECZKA zaproponowano liniowy model ekonometryczny w postaci: y = α + α x + α x + ε, t =,,..., n. t 0 t t t gdzie: y t - roczna wartość kosztów produkcji (tys. zł) w roku t, x t wielkość produkcji w tys. ton w roku t, x t - liczba pracowników produkcyjnych w roku t, n = 0 to liczba lat w których badane były koszty produkcji. Metodą najmniejszych kwadratów oszacowano α 0, α, α (trzy parametry modelu), otrzymując model teoretyczny w postaci: Y ˆ t = 3077,44 + 309,3846 x + t 5, 5946 xt gdzie Yˆ t to wartości teoretyczne kosztów produkcji prętów stalowych w zakładzie MOJA BELECZKA. Dodatkowo wyznaczono: - współczynnik determinacji - odchylenie standardowe reszt et t= R = = 0,9357, 0 ( Y Y ) t= 0 t

E k o n o m e t r i a S t r o n a 4 S 0 e t t= e = = 0 3 300,09 gdzie e t = y t -Yˆ t (t =,, 3,, 0) to reszty modelu. Interpretacja współczynnika determinacji R = 0,94: Zbudowany model teoretyczny ˆ t = 3077,44 + 309,3846 x + t 5, 5946 w 94% wyjaśnia zmienność zmiennej objaśnianej Y. Y xt Interpretacja odchylenia standardowego reszt S e = 300,09 tys. zł.: Wartości teoretyczne Yˆ t kosztów produkcji wyznaczone z modelu Y ˆ t = 3077,44 + 309,3846 x + t 5, 5946 xt średnio różnią się od rzeczywistych wartości tych kosztów z bazy danych statystycznych o 300,03 tys. zł. Interpretacja oszacowania a parametru α : Jeśli wartość zmiennej X zwiększona zostanie o jedną jednostkę, to znaczy wielkość produkcji zostanie zwiększona o tysiąc ton przy niezmienionej wielkości zatrudnienia X to wielkość kosztów wzrośnie o około 309,38 tysięcy złotych. Interpretacja oszacowania a parametru α : Jeśli wartość zmiennej X zwiększona zostanie o jedną jednostkę, to znaczy wielkość zatrudnienia zostanie zwiększona o jedną osobę przy niezmienionej wielkości produkcji X to wielkość kosztów wzrośnie o około 5,6 tysięcy złotych. Na podstawie zbudowanego modelu można przyjąć, że koszty stałe produkcji (niezależne od wielkości produkcji i wielkości zatrudnienia) wynoszą około 3077,44 tys. zł. Dodatkowo wyznaczono współczynnik zmienności resztowej S e 00 % =0,88% Y i stwierdzono, że jest on niewielki (odchylenie standardowe reszt stanowi około 0,8% średnich kosztów produkcji z dziesięciu lat w przedsiębiorstwie MOJA BELECZKA). Na poziomie istotności α =0,05 przeprowadzono statystyczną weryfikację modelu i stwierdzono: - parametry α,α są statystycznie istotne, - współczynnik korelacji wielorakiej R jest statystycznie istotny, - składnik losowy ( reszty modelu) wykazuje losowość, - składnik losowy ma rozkład normalny, - składnik losowy nie wykazuje autokorelacji rzędu pierwszego, - składnik losowy ma stałą w czasie wariancję, Na tej podstawie przyjęto, że zbudowany model może być użyty do analiz kosztów produkcji w przedsiębiorstwie MOJA BELECZKA i prognozowania tych kosztów na przyszłe lata. 4. Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego

E k o n o m e t r i a S t r o n a 5 Ponieważ w roku. przedsiębiorstwo ustaliło wielkość produkcji na poziomie 4 tys. ton a wielkość zatrudnienia na poziomie 33 osób. Zatem X ( prognoza zmiennej X na rok) X ( prognoza zmiennej X na rok) są odpowiednio równe: X = 4, X = 33. Na podstawie modelu możemy wyznaczyć prognozę Y zmiennej objaśnianej Y na rok. Y = 3077,44 + 309,3846 X + 5,5946 X, zatem Y = 3077,44 + 309,3846 4 + 5,5946 33 = 37868,33. Prognoza kosztów produkcji na rok jedenasty w zakładzie MOJA BELECZKA to 37868,33 tysiące złotych. Dla modeli liniowych, których parametry oszacowano metodą najmniejszych kwadratów można ocenić dopuszczalność wyznaczonej prognozy na okres T > n za pomocą błędu ex ante. Błąd ex ante wyznacza się ze wzoru: T T V = S ( X ) ( X X ) X + (4) T e T T XT gdzie X = T X T natomiast Xj T (i =,,,j). XiT to prognoza na okres T zmiennej objaśniającej Xi Korzystając z powyższego wzoru wyznaczymy błąd ex ante prognozy na okres T =, Y = 37868,33 i ocenimy jej dopuszczalność. Aby wyznaczyć błąd ex ante prognozy zapiszmy macierz X:

E k o n o m e t r i a S t r o n a 6 oraz macierz transponowaną X T. W tym celu kopiujemy macierz X, a następnie w okienku Wklej użyjemy polecenia TRANSPOZYCJA. Wynikiem będzie macierz X T.

E k o n o m e t r i a S t r o n a 7 Wyznaczymy teraz iloczyn macierzy X T X, korzystając z funkcji matematycznej MACIERZ.ILOCZYN. W tym celu rezerwujemy na tę macierz miejsce w arkuszu (w naszym przykładzie będzie to macierz kwadratowa 3x3 i zarezerwujemy na nią obszar J4:L6) Wybieramy funkcję MACIERZ.ILOCZYN i akceptujemy wybór OK.

E k o n o m e t r i a S t r o n a 8 Do otrzymanej tabeli wprowadzamy : w Tablicy adresy macierzy X T (w naszym przykładzie C0:L), w Tablicy adresy macierzy X ( w naszym przykładzie F:H). Następnie naciskamy jednocześnie klawisze

E k o n o m e t r i a S t r o n a 9 i naciskamy OK. Ctrl Shift Wynikiem naszego działania będzie macierz X T X. Zapiszemy teraz wektory: X = = X 4 X 33 [ X ] [ 4 33] X T. = X = Aby obliczyć macierz ( X T X ) odwrotną do X T X zaznaczymy w tym celu obszar w którym ma zostać wyliczona macierz odwrotna (w naszym przykładzie I3:K5), a następnie zastosujemy funkcję

E k o n o m e t r i a S t r o n a 30 matematyczną MACIERZ.ODW. Jako argument funkcji należy podać adres obszaru w którym znajduje się macierz X T X ( naszym przykładzie J4:l6). Naciskamy jednocześnie klawisze Ctrl Shift i OK. Wyznaczymy teraz macierz ( X T T ) ( X T X ). W tym celu należy zaznaczyć obszar w którym ma się pojawić ta macierz i zastosować funkcje matematyczną MACIERZ.ILOCZYN.

E k o n o m e t r i a S t r o n a 3 Po wpisaniu argumentów funkcji naciskamy jednocześnie klawisze Ctrl Shift i OK. Aby wyznaczyć wartość MACIERZ.ILOCZYN. T T ( X T ) ( X X ) X T korzystamy z funkcji matematycznej Błąd ex ante prognozy na. rok wynosi V =354,4 tys. złotych. Aby ocenić wielkość tego błędu 8 V wyznaczymy błąd względny ex ante W = 00. Mamy W 8 = 0,94%, co oznacza, że błąd ex ante Y

E k o n o m e t r i a S t r o n a 3 stanowi niecały jeden procent wartości prognozy Y = 37868,33. Błąd ex ante jest niewielki a więc prognozę możemy uznać za dopuszczalną. Testy istotności współczynnika korelacji wielorakiej i parametrów strukturalnych można wykonać bez stosowania Analizy danych. Procedura będzie wtedy następująca: Test istotności współczynnika korelacji wielorakiej R. R = R. Współczynnik korelacji wielorakiej wyznacza się ze wzoru H o : R = 0, H : R 0. Do weryfikacji hipotezy H o służy statystyka: R n k F = (9) R k gdzie: n to liczba obserwacji w bazie danych statystycznych ( w naszym przykładzie n = 0), k to liczba szacowanych parametrów modelu (w naszym przykładzie k = 3). Jeśli spełniona jest nierówność gdzie: F α m m F < ; ; ) ( n to liczba obserwacji w bazie danych statystycznych ( w naszym przykładzie n = 0), k to liczba szacowanych parametrów modelu (w naszym przykładzie k = 3), α to poziom istotności testu, F α ; m ; m ) to wartość krytyczna rozkładu F (Fishera-Snedecora) z m = k- ( oraz m = n- k stopniami swobody, to nie ma podstaw do odrzucenia weryfikowanej hipotezy H o. Oznacza to, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0 o braku zależności liniowej pomiędzy zmienną objaśnianą Y a zmiennymi objaśniającymi X, X. Obliczymy teraz wartość statystyki (9) R = R n k 0,94 = k (0,94) 0 3 = F 50,9. F Wartość krytyczną (0,05; ; 0 3) wyznaczymy korzystając z funkcji statystycznej ROZKŁAD.F.ODW lub tablic statystycznych (zamieszczono je na końcu i na żółto zaznaczono odczytane wartości).

E k o n o m e t r i a S t r o n a 33 Wybieramy funkcje ROZKŁAD.F.ODW i akceptujemy wybór OK. W tabelce Argumenty funkcji wpisujemy kolejno: - Prawdopodobieństwo wpisujemy poziom istotności testu (w naszym przykładzie α = 0,05), - Stopnie_swobody wpisujemy wartość m = k ( w naszym przykładzie ), - Stopnie_swobody wpisujemy wartość m = n k (w naszym przykładzie 7). Po wprowadzeniu argumentów funkcji akceptujemy OK, jako wynik otrzymujemy F (0,05; ; 7) = 4,737. Spełniona jest nierówność F > F ( α ; m; m ) Zatem hipotezę H 0 odrzucamy i jako prawdziwą przyjmujemy hipotezę H. Oznacza to, że współczynnik korelacji wielorakiej (a zatem też i współczynnik determinacji) jest statystycznie istotny., Testy istotności parametrów strukturalnych α α,..., Zapiszmy hipotezy: H o : α i = 0, α 0. H : i Do weryfikacji hipotezy H 0 używa się statystyki ai t a = i Sai. (0) gdzie a i to oszacowanie parametru α i. Jeśli spełniona jest nierówność: t a i t ( α; m) <, gdzie t ( α ; m) jest wartością krytyczną rozkładu t (Studenta) dla prawdopodobieństwa α oraz m= n k stopni swobody to ( m=0 to liczba obserwacji, k=3 to liczba szacowanych parametrów) nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H o. Przeprowadzimy teraz test parametru α. Zapiszmy hipotezy: α j

E k o n o m e t r i a S t r o n a 34 H o : α = 0, H : α 0. 309,3846 Obliczmy wartość statystyki ta = =,68. 5,34 Wartość krytyczną t (0,05; 7) wyznaczymy za pomocą funkcji statystycznej ROZKŁAD.T.ODW lub odczytujemy z tablic statystycznych, które zamieszczono na końcu (na żółto oznaczono odczytane wartości). Po wybraniu funkcji ROZKŁAD.T.ODW akceptujemy wybór OK i otrzymujemy okienko argumentów funkcji w postaci: W polach: - Prawdopodobieństwo wpisujemy poziom istotności testu (w naszym przykładzie α = 0,05), - Stopnie_swobody wpisujemy wartość m= n k (w naszym przykładzie 7).

E k o n o m e t r i a S t r o n a 35 Wynik formuły to t (0,05; 7) =,365. Ponieważ spełniona jest nierówność t a > t (0,05; 7) odrzucamy hipotezę H o i jako prawdziwą przyjmujemy H. Oznacza to, że parametr α jest statystycznie istotny, a więc zmienna X ma istotny wpływ na zmienną Y. Przeprowadzimy test istotności parametru α. Zapiszmy hipotezy: H o : α = 0, H : α 0. a 5,5946 Obliczmy wartość statystyki ta = = = 3,409, stąd Sa 7,409885 Ponieważ spełniona jest nierówność t a =3,409. t a > t (0,05; 7) Odrzucamy więc hipotezę H 0 i jako prawdziwą przyjmujemy hipotezę H. Oznacza to, że parametr α jest statystycznie istotny, a więc zmienna X ma istotny wpływ na zmienną Y. Zadania do samodzielnego wykonania.. W przedsiębiorstwie SERTOP produkującym sery topione w kolejnych tygodniach badano wartość sprzedaży nowego wyrobu Anielski smak oraz ponoszone wydatki na reklamę tego sera. Wyniki zapisano w tabeli: t - nr tygodnia Y- wartość sprzedaży (tys. zł) X- koszty reklamy (tys. zł.) 0,8,8 3 4 3 5 3, 6 3,5 7 4, 8 4,5,3 9 5,35 0 7,5 Zbudować model zależności wartości sprzedaży od wydatków firmy na reklamę sera Anielski smak. Podać prognozę wielkości sprzedaży, jeśli firma w następnym tygodniu ma zamiar przeznaczyć na reklamę sera,8 tys. zł. Ocenić za pomocą błędu ex ante dopuszczalność wyznaczonej prognozy.

E k o n o m e t r i a S t r o n a 36. W agencji sprzedaży nieruchomości Gniazko w ciągu ostatniego roku zbadano ceny sprzedanych 3 mieszkań. Na podstawie tych badań zbudowano model ekonometryczny, którego parametry oszacowano metodą najmniejszych kwadratów ˆ = +, (9,3) (,34) (0,4) (,3) Yt 3, 4 + 8, 3 X t +, 9 X t, 5X 3t R = 0,87 gdzie: Y cena mieszkania w tys zł., X liczba pokoi, X metraż mieszkania, X 3 zmienna, która przyjmuje wartość gdy mieszkanie znajdowało się w centrum miasta, 0 w przeciwnym wypadku. Na podstawie modelu wyznaczono reszty: kolejny numer sprzedanego mieszkania reszty modelu e t 3,56 38,4 3-56, 4 -,48 5 -,3 6 5,8 7 5,3 8-0,36 9 3,56 0,35-3,9,3 3-6,7 Czy powyższy model może być użyty do wyznaczania cen mieszkań? 3 Jeśli tak to wyznaczyć przybliżoną cenę mieszkania w centrum o powierzchni 60 m i trzech pokojach. 3 Baza danych jest w tym zadaniu baza przekrojową, a więc do badania stałości wariancji należy użyć testu Goldfelda Quandta, a do badania braku autokorelacji testu Durbina-Watsona.

E k o n o m e t r i a S t r o n a 37 Tablica A.. Wartości krytyczne warunkowej liczby serii s( γ;n + ;n - ) dla γ = 0,05; n +,- =, 3,, 0 n + 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 n - 3 3 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 6 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 7 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 8 3 3 3 4 4 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 9 3 3 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 8 8 9 0 3 3 4 5 5 5 6 6 7 7 7 7 8 8 8 8 9 3 4 4 5 5 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 9 3 4 4 5 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 0 0 3 3 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 9 0 0 0 0 4 3 4 5 5 6 7 7 8 8 9 9 9 0 0 0 5 3 3 4 5 6 6 7 7 8 8 9 9 0 0 6 3 4 4 5 6 6 7 8 8 9 9 0 0 7 3 4 4 5 6 7 7 8 9 9 0 0 3 8 3 4 5 5 6 7 8 8 9 9 0 0 3 3 9 3 4 5 6 6 7 8 8 9 0 0 3 3 3 0 3 4 5 6 6 7 9 9 9 0 0 3 3 3 4 Źródło: Opracowanie własne na podstawie Swed, Eisenhardt (943) Tablica A.3. Wartości krytyczne warunkowej liczby serii s( γ;n + ;n - ) dla γ = 0,975; n +,- =, 3,, 0 n + 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 n - 3 5 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 4 5 7 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 5 5 7 8 9 9 0 0 6 5 7 8 9 0 3 3 3 3 3 3 3 3 7 5 7 9 0 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 8 5 7 9 0 3 3 4 4 5 5 5 6 6 6 6 6 6 9 5 7 9 3 3 4 5 5 5 6 6 7 7 7 7 7 7 0 5 7 9 3 4 5 5 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 5 7 9 3 4 5 6 6 7 8 8 8 9 9 9 0 0 5 7 9 3 5 5 6 7 8 8 9 9 0 0 0 3 5 7 9 3 4 5 6 7 8 8 9 9 0 0 4 5 7 9 3 4 5 6 7 8 9 9 0 3 5 5 7 9 3 4 5 7 7 8 9 0 3 3 4 6 5 7 9 3 5 6 7 8 9 0 0 3 4 4 4 7 5 7 9 3 5 6 7 8 9 0 3 4 4 5 5 8 5 7 9 3 5 6 7 8 9 0 3 4 4 5 5 6 9 5 7 9 3 5 6 7 9 0 3 4 5 5 6 6 0 5 7 9 3 5 6 7 9 0 3 4 4 5 6 6 7 Źródło: Opracowanie własne na podstawie Swed, Eisenhardt (943)

E k o n o m e t r i a S t r o n a 38 Tablica A.4. Wartości krytyczne warunkowej liczby serii s( γ;n + ;n - ) dla γ = 0,05; n +,- =, 3,, 0 n + 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 n - 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 6 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 7 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6 6 6 7 7 7 7 8 3 3 4 4 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 8 9 3 4 4 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 8 8 9 0 3 3 4 5 5 6 6 6 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 3 3 4 5 5 6 6 7 7 8 8 8 9 9 9 0 0 0 3 4 4 5 6 6 7 7 8 8 9 9 9 0 0 0 0 3 3 4 4 5 6 6 7 8 8 9 9 9 0 0 0 4 3 4 5 5 6 7 7 8 8 9 9 0 0 5 3 4 5 6 6 7 8 8 9 9 0 0 6 3 4 5 6 6 7 8 8 9 0 0 3 3 7 3 4 5 6 7 7 8 9 9 0 0 3 3 3 8 3 4 5 6 7 8 8 9 0 0 3 3 4 4 9 3 4 5 6 7 8 8 9 0 0 3 3 4 4 4 0 3 4 5 6 7 8 9 9 0 3 3 4 4 5 Źródło: Opracowanie własne na podstawie Swed, Eisenhardt (943) Tablica A.5. Wartości krytyczne warunkowej liczby serii s( γ;n + ;n - ) dla γ = 0,95; n +,- =, 3,, 0 n + 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 n - 3 5 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 4 5 6 7 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 5 5 7 8 8 9 9 0 0 0 6 5 7 8 9 0 0 3 3 3 3 3 3 7 5 7 8 9 0 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 8 5 7 9 0 3 3 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 9 5 7 9 0 3 3 4 4 5 5 6 6 6 6 7 7 7 0 5 7 9 0 3 4 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 5 7 9 3 4 4 5 6 6 7 7 8 8 8 9 9 9 5 7 9 3 4 5 6 6 7 7 8 8 9 9 0 0 0 3 5 7 9 3 4 5 6 7 7 8 9 9 0 0 0 4 5 7 9 3 5 6 6 7 8 9 9 0 0 5 5 7 9 3 4 5 6 7 8 8 9 0 0 3 6 5 7 9 3 4 5 6 7 8 9 0 0 3 3 4 7 5 7 9 3 4 5 6 7 8 9 0 3 3 4 4 8 5 7 9 3 4 5 7 8 9 0 0 3 3 4 4 5 9 5 7 9 3 4 5 7 8 9 0 3 4 4 5 6 0 5 7 9 3 4 6 7 8 9 0 3 4 4 5 6 6 Źródło: Opracowanie własne na podstawie Swed, Eisenhardt (943)

E k o n o m e t r i a S t r o n a 39 Wartości krytyczne F α; m ; m ) rozkładu F-Snedecora dla α = 0,05 ( m m 3 4 5 6 7 8 9 0 0 30 40 50 00 6,5 99,5 5,7 4,6 30, 33,9 36,6 38,9 40,5 4,9 48, 50, 5, 5,7 53 8,5 9,00 9,6 9,5 9,30 9,33 9,35 9,37 9,38 9,40 9,45 9,46 9,47 9,48 9,49 3 0,3 9,55 9,8 9, 9,0 8,94 8,89 8,85 8,8 8,79 8,66 8,6 8,59 8,58 8,55 4 7,7 6,94 6,59 6,39 6,6 6,6 6,09 6,04 6,00 5,96 5,80 5,75 5,7 5,70 5,66 5 6,6 5,79 5,4 5,9 5,05 4,95 4,88 4,8 4,77 4,74 4,56 4,50 4,46 4,44 4,4 6 5,99 5,4 4,76 4,53 4,39 4,8 4, 4,5 4,0 4,06 3,87 3,8 3,77 3,75 3,7 7 5,59 4,74 4,35 4, 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,44 3,38 3,34 3,3 3,7 8 5,3 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,5 3,08 3,04 3,0,97 9 5, 4,6 3,86 3,63 3,48 3,37 3,9 3,3 3,8 3,4,94,86,83,80,76 0 4,96 4,0 3,7 3,48 3,33 3, 3,4 3,07 3,0,98,77,70,66,64,59 4,84 3,98 3,59 3,36 3,0 3,09 3,0,95,90,85,65,57,53,5,46 4,75 3,89 3,49 3,6 3, 3,00,9,85,80,75,54,47,43,40,35 3 4,67 3,8 3,4 3,8 3,03,9,83,77,7,67,46,38,34,3,6 4 4,60 3,74 3,34 3,,96,85,76,70,65,60,39,3,7,4,9 5 4,54 3,68 3,9 3,06,90,79,7,64,59,54,33,5,0,8, 6 4,49 3,63 3,4 3,0,85,74,66,59,54,49,8,9,5,,07 7 4,45 3,59 3,0,96,8,70,6,55,49,45,3,5,0,08,0 8 4,4 3,55 3,6,93,77,66,58,5,46,4,9,,06,04,98 9 4,38 3,5 3,3,90,74,63,54,48,4,38,6,07,03,00,94 0 4,35 3,49 3,0,87,7,60,5,45,39,35,,04,99,97,9 4,3 3,47 3,07,84,68,57,49,4,37,3,0,0,96,94,88 4,30 3,44 3,05,8,66,55,46,40,34,30,07,98,94,9,85 3 4,8 3,4 3,03,80,64,53,44,37,3,7,05,96,9,88,8 4 4,6 3,40 3,0,78,6,5,4,36,30,5,03,94,89,86,80 5 4,4 3,39,99,76,60,49,40,34,8,4,0,9,87,84,78 6 4,3 3,37,98,74,59,47,39,3,7,,99,90,85,8,76 7 4, 3,35,96,73,57,46,37,3,5,0,97,88,84,8,74 8 4,0 3,34,95,7,56,45,36,9,4,9,96,87,8,79,73 9 4,8 3,33,93,70,55,43,35,8,,8,94,85,8,77,7 30 4,7 3,3,9,69,53,4,33,7,,6,93,84,79,76,70 3 4,6 3,30,9,68,5,4,3,5,0,5,9,83,78,75,68 3 4,5 3,9,90,67,5,40,3,4,9,4,9,8,77,74,67 33 4,4 3,8,89,66,50,39,30,3,8,3,90,8,76,7,66 34 4,3 3,8,88,65,49,38,9,3,7,,89,80,75,7,65 35 4, 3,7,87,64,49,37,9,,6,,88,79,74,70,63 36 4, 3,6,87,63,48,36,8,,5,,87,78,73,69,6 37 4, 3,5,86,63,47,36,7,0,4,0,86,77,7,68,6 38 4,0 3,4,85,6,46,35,6,9,4,09,85,76,7,68,6 39 4,09 3,4,85,6,46,34,6,9,3,08,85,75,70,67,60 40 4,08 3,3,84,6,45,34,5,8,,08,84,74,69,66,59 4 4,08 3,3,83,60,44,33,4,7,,07,83,74,69,65,58 4 4,07 3,,83,59,44,3,4,7,,06,83,73,68,65,57 44 4,06 3,,8,58,43,3,3,6,0,05,8,7,67,63,56 46 4,05 3,0,8,57,4,30,,5,09,04,80,7,65,6,55 48 4,04 3,9,80,57,4,9,,4,08,03,79,70,64,6,54 50 4,03 3,8,79,56,40,9,0,3,07,03,78,69,63,60,5 5 4,03 3,8,78,55,39,8,9,,07,0,78,68,6,59,5 54 4,0 3,7,78,54,39,7,8,,06,0,77,67,6,58,5 56 4,0 3,6,77,54,38,7,8,,05,00,76,66,6,57,50 58 4,0 3,6,76,53,37,6,7,0,05,00,75,66,60,57,49 60 4,00 3,5,76,53,37,5,7,0,04,99,75,65,59,56,48 70 3,98 3,3,74,50,35,3,4,07,0,97,7,6,57,53,45 80 3,96 3,,7,49,33,,3,06,00,95,70,60,54,5,43 90 3,95 3,0,7,47,3,0,,04,99,94,69,59,53,49,4 00 3,94 3,09,70,46,3,9,0,03,97,93,68,57,5,48,39

E k o n o m e t r i a S t r o n a 40 Wartości krytyczne t( α ; m) rozkładu t Studenta m α 0,5 0,5 0, 0,5 0, 0,05 0,05 0,0 0,005,0000,44 3,0777 4,653 6,337,706 5,459 3,80 7,3 0,865,6036,8856,89,900 4,307 6,054 6,9645 4,089 3 0,7649,46,6377,943,3534 3,84 4,765 4,5407 7,453 4 0,7407,3444,533,778,38,7765 3,4954 3,7469 5,5975 5 0,767,3009,4759,6994,050,5706 3,634 3,3649 4,7733 6 0,776,733,4398,650,943,4469,9687 3,47 4,368 7 0,7,543,449,666,8946,3646,84,9979 4,094 8 0,7064,403,3968,59,8595,3060,755,8965 3,835 9 0,707,97,3830,5737,833,6,6850,84 3,6896 0 0,6998,3,37,559,85,8,6338,7638 3,584 0,6974,45,3634,5476,7959,00,593,78 3,4966 0,6955,089,356,5380,783,788,5600,680 3,484 3 0,6938,04,350,599,7709,604,536,6503 3,375 4 0,694,00,3450,53,763,448,5096,645 3,357 5 0,69,967,3406,57,753,35,4899,605 3,860 6 0,690,937,3368,5,7459,99,479,5835 3,50 7 0,689,90,3334,5077,7396,098,458,5669 3,4 8 0,6884,887,3304,5037,734,009,4450,554 3,966 9 0,6876,866,377,500,79,0930,4334,5395 3,737 0 0,6870,848,353,4970,747,0860,43,580 3,534 0,6864,83,33,494,707,0796,438,576 3,35 0,6858,85,3,496,77,0739,4055,5083 3,88 3 0,6853,80,395,4893,739,0687,3979,4999 3,040 4 0,6848,789,378,487,709,0639,390,49 3,0905 5 0,6844,777,363,485,708,0595,3846,485 3,078 6 0,6840,766,350,4834,7056,0555,3788,4786 3,0669 7 0,6837,756,337,487,7033,058,3734,477 3,0565 8 0,6834,747,35,480,70,0484,3685,467 3,0470 9 0,6830,739,34,4787,699,045,3638,460 3,0380 30 0,688,73,304,4774,6973,043,3596,4573 3,098 3 0,68,76,3086,4749,6939,0369,358,4487 3,049 34 0,688,703,3070,478,6909,03,345,44 3,000 36 0,684,69,3055,4709,6883,08,339,4345,9905 38 0,680,68,304,469,6860,044,3337,486,9803 40 0,6807,673,303,4677,6839,0,389,433,97 4 0,6804,665,300,4664,680,08,346,485,9630 44 0,680,657,30,465,680,054,307,44,9555 46 0,6799,65,300,4640,6787,09,37,40,9488 48 0,6796,644,994,469,677,006,339,4066,946 50 0,6794,639,987,460,6759,0086,309,4033,9370 55 0,6790,66,97,4599,6730,0040,3044,396,947 60 0,6786,66,958,458,6706,0003,990,390,946 65 0,6783,607,947,4567,6686,997,945,385,9060 70 0,6780,600,938,4555,6669,9944,906,3808,8987 80 0,6776,588,9,4535,664,990,844,3739,8870 90 0,677,578,90,459,660,9867,795,3685,8779 00 0,6770,57,90,4507,660,9840,757,364,8707 00 0,6757,537,858,445,655,979,584,345,8385 300 0,6753,56,844,443,6499,9679,57,3388,879

E k o n o m e t r i a S t r o n a 4 Literatura. Ekonometria. Metody, przykłady, zadania. Pod red. J. Dziechciarza, Wydawnictwo AE im. Oskara Langego we Wrocławiu, Wrocław 00.. Wybór testów do weryfikacji liniowych modeli ekonometrycznych. Pod red. K. Jakowskiej- Suwalskiej, Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 0.