MATEMATYKA cz. 5 Elementy probabilistyki i statystyki matematycznej

Ja Nawrocki, Adrzej Wiicki MATEMATYKA cz. 5 Elemety probabilistyki i statystyki matematyczej Politechika Warszawska 00

Politechika Warszawska Wydział Samochodów i Maszy Roboczych Kieruek "Edukacja techiczo iformatycza" 0-54 Warszawa, ul. Narbutta 84, tel () 849 43 07, () 34 83 48 ipbmvr.simr.pw.edu.pl/spi/, e-mail: sto@simr.pw.edu.pl Opiiodawca: prof. dr hab. Krzysztof CHEŁMIŃSKI Projekt okładki: Norbert SKUMIAŁ, Stefa TOMASZEK Projekt układu graficzego tekstu: Grzegorz LINKIEWICZ Skład tekstu: Jausz BONAROWSKI, Ja NAWROCKI Publikacja bepłata, przezaczoa jest dla studetów kieruku "Edukacja techiczo iformatycza" Copyright 00 Politechika Warszawska Utwór w całości ai we fragmetach ie moŝe być powielay ai rozpowszechiay za pomocą urządzeń elektroiczych, mechaiczych, kopiujących, agrywających i iych bez pisemej zgody posiadacza praw autorskich. ISBN 83-89703-43- Druk i oprawa: Drukaria Expol P. Rybiński, J. Dąbek Spółka Jawa, 87-800 Włocławek, ul. Brzeska 4

Spis treści I. Elemety matematyki dyskretej... 5 Wariacje z powtórzeiami... 9 Wariacje bez powtórzeń... 0 Permutacje... Permutacje z powtórzeiami... Kombiacje... II. Przestrzeń probabilistycza... Defiicja prawdopodobieństwa... Prawdopodobieństwo warukowe... 4 Prawdopodobieństwo całkowite i twierdzeie Bayesa... 5 NiezaleŜość zdarzeń... 7 III. Zmiea losowa... 3 Defiicja zmieej losowej... 3 Dystrybuata zmieej losowej i jej własości... 3 Zmiee losowe typu skokowego i typu ciągłego... 33 Charakterystyki liczbowe zmieych losowych... 36 Podstawowe rozkłady typu skokowego... 40 Podstawowe rozkłady typu ciągłego... 4 IV. Wielowymiarowe zmiee losowe (wektory losowe)... 5 Kowariacja i współczyik korelacji... 55 V. Prawa wielkich liczb i twierdzeia graicze... 6 VI. Estymacja puktowa i przedziałowa... 69 Statystyki i estymatory... 7 Przedziały ufości dla wartości oczekiwaej... 75 Przedziały ufości dla wariacji i odchyleia stadardowego... 77 Przedział ufości dla wskaźika struktury... 79 Wyzaczaie miimalej liczebości próby... 80 VII. Weryfikacja hipotez statystyczych... 85 Testy dla wartości oczekiwaej... 87 Testy dla wariacji... 90 Testy dla wskaźika struktury... 9 Testy ieparametrycze... 9 VIII. Tablice statystycze... 05 Literatura...

Przedmowa Niiejsze materiały zostały opracowae w ramach realizacji Programu Rozwojowego Politechiki Warszawskiej współfiasowaego ze środków PROGRAMU OPERACYJNEGO KAPITAŁ LUDZKI. Przezaczoe są dla studetów pierwszego roku studiów iŝyierskich kieruku auczaia Edukacja techiczo-iformatycza prowadzoych a Wydziale Samochodów i Maszy Roboczych Politechiki Warszawskiej. Swoim zakresem obejmują piątą część tematyki określoej w programie studiów dla przedmiotu p. Matematyka opisaym w sylabusie opracowaym dla tego przedmiotu. Jest to przedmiot z grupy przedmiotów podstawowych. W plaie studiów przewidziao jego realizację a pierwszym i drugim roku studiów. Na pierwszym semestrze są to dwa wykłady 30-godzie i 5-godzie ćwiczeia dla kaŝdego z ich:. Matematyka cz. Algebra i geometria aalitycza,. Matematyka cz. Aaliza. Na drugim semestrze wykłady 30-godzie i 30 -godzie ćwiczeia dla kaŝdego wykładu: 3. Matematyka cz. 3 Aaliza, 4. Matematyka cz. 4 Szeregi fukcyje i rówaia róŝiczkowe zwyczaje. Na trzecim semestrze 30 - godziy wykład: 5. Matematyka cz. 5 Elemety probabilistyki i statystyki matematyczej. Niiejsze materiały przezaczoe są dla studetów trzeciegi semestru. Materiały te zawieraja podstawowe treści z zakresy rachuku prawdopodobieństwa i statystyki matematyczej potrzebe studetom wydziałów techiczych Politechiki Warszawskiej. NajwaŜiejsze defiicje i wszystkie twierdzeia zostały zapisae w ramkach, co pozwala studetom zwrócić uwagę a te waŝe w matematyce zdaia. Kometarze przy rozwiązywaiu zadań są oszczęde, staraliśmy się jedak odwoływać do twierdzeń, wiosków i uwag podaych wcześiej; uŝywam ozaczeia T a twierdzeia, W a wioski i U a uwagi podając umer po literze, przed literą dodajmy rzymski umer rozdziału, w którym zajduje się dae twierdzeie, wiosek lub uwaga. Kometarze podajemy takŝe w specjalych awiasach w ciągu wywodów, aby skrócić zapisy.

I Elemety matematyki dyskretej Stroa 5

ROZDZIAŁ I Elemety matematyki dyskretej Przy rozwiązywaiu wielu problemów formułowaych a grucie rachuku prawdopodobieństwa kluczowe zaczeie ma umiejętość wyzaczaia liczby elemetów pewych zbiorów. JeŜeli zbiory są małe, zadaie jest stosukowo proste. Natomiast w przypadku zbiorów o du- Ŝej liczbie elemetów iezbęde staje się wykorzystaie metod matematyki dyskretej, zwłaszcza kombiatoryki. Rozpocziemy zatem od wprowadzeia (przypomieia) wybraych pojęć z tej dziedziy. RozwaŜmy realizoway w praktyce proces zliczaia obiektów aleŝących do pewego zbioru p. wjeŝdŝających a parkig pojazdów. Polega o a przyporządkowaiu kolejych liczb aturalych poszczególym pojazdom. Ostatia przyporządkowaa liczba (a więc ajwiększa) określa liczebość zbioru. Z formalego puktu widzeia licząc pojazdy defiiujemy wzajemie jedozaczą fukcję (bijekcję) pomiędzy początkowym podzbiorem liczb aturalych postaci {,, 3,, } i zbiorem zliczaych elemetów. JeŜeli istieje bijekcja przekształcająca zbiór A a zbiór {,, 3,..., } dla pewego N, to zbiór A azywamy skończoym, a liczbę azywamy jego liczebością, lub mocą zbioru. Zbiór pusty jest zbiorem skończoym o zerowej liczbie elemetów. Liczebość zbioru A ozaczamy przez A, A lub carda. Jest oa wyzaczoa w sposób jedozaczy. Dwa zbiory A i B są rówolicze (ozaczeie: A ~ B), jeŝeli istieje bijekcja przekształcająca A a B. Zbiory rówolicze mają taką samą liczbę elemetów, tz. A ~ B A B Niepusty zbiór skończoy to zbiór rówoliczy ze zbiorem {,,..., } dla pewej liczby aturalej. Twierdzeie. Dla dowolych zbiorów A, B, C mamy:. A ~ A (zwrotość),. A ~ B B ~ A (symetryczość), 3. (A ~ B B ~ C) A ~ C (przechodiość). W rodziie wszystkich podzbiorów pewej przestrzei rówoliczość jest zatem relacją rówowaŝości. Zbiór ieskończoy to zbiór, który ie jest skończoy. Przykładem zbioru ieskończoego jest zbiór liczb aturalych.. Wprowadzoa defiicja rówoliczości umoŝliwia rówieŝ określaie mocy zbiorów ieskończoych. Jedak o ile w przypadku zbiorów skończoych defiicja jest ituicyjie oczywista, to dla zbiorów ieskończoych prowadzi do zaskakujących kosekwecji. Łatwo wykazać, Ŝe p. zbiór liczb aturalych jest rówoliczy ze zbiorem liczb parzystych Stroa 6

ELEMENTY MATEMATYKI DYSKRETNEJ aturalych, który jest jego podzbiorem właściwym (stosowa bijekcja jest daa wzorem f(), dla N). Dowodzi się, Ŝe jest o rówoliczy z kaŝdym swoim ieskończoym podzbiorem oraz p. zbiorem liczb całkowitych i wymierych, których z kolei sam jest podzbiorem. Rówoliczość zbioru z pewym swoim podzbiorem właściwym jest warukiem rówowaŝym jego ieskończoości. MoŜa wykazać, Ŝe kaŝdy zbiór ieskończoy zawiera podzbiór właściwy, rówoliczy ze zbiorem liczb aturalych. Ozacza to, Ŝe zbiór liczb aturalych ma moc ajmiejszą spośród wszystkich zbiorów ieskończoych. Moc dowolego zbioru określa tzw. liczba kardyala, będąca w przypadku zbioru ieskończoego aturalym uogólieiem liczby elemetów zbioru skończoego. Liczbą kardyalą określającą moc zbioru liczb aturalych jest ℵ 0 (czyt. alef zero). Jest oa ajmiejszą ieskończoą liczbą kardyalą. Zbiór przeliczaly to zbiór rówoliczy ze zbiorem liczb aturalych. Elemety zbioru przeliczalego dają się ustawić w ciąg ieskończoy. Zbiór ieprzeliczaly to zbiór ieskończoy, który ie jest przeliczaly. Moc zbioru ieprzeliczalego jest większa od mocy zbioru przeliczalego. Elemetów zbioru ieprzeliczalego ie da się ustawić w ciąg. Przykładem zbioru ieprzeliczalego jest zbiór liczb rzeczywistych R. Jego moc jest ozaczaa liczbą kardyalą c (cotiuum). Zbiorem potęgowym daego zbioru A azywamy zbiór wszystkich jego podzbiorów i ozaczay symbolem A. Twierdzeie. (Catora) Dla dowolego zbioru A zbiór A ie jest rówoliczy z A, zachodzi ierówość A A <. (moc zbioru potęgowego daego zbioru jest większa od mocy tego zbioru). Twierdzeie 3. Jeśli A ℵ, to ℵ 0 0 c. (tz. liczb rzeczywistych jest tyle, ile wszystkich podzbiorów liczb aturalych). Na zakończeie przytoczymy kilka twierdzeń dotyczących mocy zbiorów. Stroa 7

ROZDZIAŁ I Twierdzeie 4. Zbiór A jest skończoy wtedy i tylko wtedy, gdy A < N. Suma dwóch zbiorów skończoych jest zbiorem skończoym oraz A B A + B A B. Suma skończoej ilości zbiorów skończoych jest zbiorem skończoym. Iloczy kartezjański skończoej ilości zbiorów skończoych A, A,,A k, jest zbiorem skończoym oraz A A... A k A A... A k (zasada moŝeia). Zbiór potęgowy zbioru skończoego jest zbiorem skończoym. A Jeśli A, to (liczba wszystkich podzbiorów zbioru -elemetowego wyosi ). Przykład. Niech zbiór A {0, }, jego moc A. Zbiór potęgowy A {, 0,, {0, }}, A zaś 4. Twierdzeie 5.. Zbiór A jest ieskończoy wtedy i tylko wtedy, gdy A N.. Jeśli zbiór A jest ieskończoy oraz a A, to A ~ A \ {a}. Twierdzeie 6.. Podzbiór ieskończoy zbioru przeliczalego jest przeliczaly.. Zbiór wszystkich skończoych podzbiorów zbioru przeliczalego jest przeliczaly. 3. Suma dwóch zbiorów przeliczalych jest zbiorem przeliczalym. 4. Suma przeliczalej rodziy zbiorów przeliczalych jest zbiorem przeliczalym. 5. Iloczy kartezjański dwóch zbiorów przeliczalych jest zbiorem przeliczalym. Twierdzeie 7. JeŜeli zbiór A jest przeliczaly i B jest skończoym podzbiorem A, to A \ B jest przeliczaly. Twierdzeie 8. JeŜeli zbiór A jest ieprzeliczaly i A B, to B jest rówieŝ ieprzeliczaly. Twierdzeie 9. Jeśli A ma moc c i B jest przeliczalym podzbiorem A, to A \ B ma moc c. Twierdzeie 0. Dowoly przedział liczb rzeczywistych o iepustym wętrzu ma moc c (jest rówoliczy z całym zbiorem liczb rzeczywistych). Stroa 8

ELEMENTY MATEMATYKI DYSKRETNEJ Przykład. Dla wykazaia rówoliczości przedziału (-, ) i zbioru liczb rzeczywistych moŝa posłuŝyć się odwzorowaiem (bijekcją) y tg πx. Wybrae zagadieia kombiatoryki Kombiatoryka jest działem matematyki dyskretej zajmującym się zbiorami skończoymi oraz odwzorowaiami między imi. Dostarcza efektywych metod wyzaczaia liczby elemetów zbiorów skończoych. Zajduje szerokie zastosowaie w rachuku prawdopodobieństwa. Kombiatoryka posługuje się specyficzą, historyczie ukształtowaą termiologią, ie występującą w iych działach matematyki. Przy aalizie zagadień kombiatoryczych szczególie przydata jest podaa w poprzedim rozdziale zasada moŝeia. Między iymi pozwala oa w prosty sposób uzasadić wzory określające liczebości podstawowych obiektów kombiatoryczych: wariacji, permutacji i kombiacji. Zasada moŝeia (reguła moŝeia, reguła iloczyu) często jest formułowaa w ieco iej, bardziej uŝyteczej postaci. Twierdzeie. (zasada moŝeia) JeŜeli pewą czyość wykouje się w k etapach, przy czym etap pierwszy moŝa wykoać a sposobów, etap drugi a sposobów,, wreszcie etap k-ty a k sposobów, to liczba wszystkich sposobów jakimi moŝa wykoać tę czyość wyosi: k. Wariacje z powtórzeiami Niech i k będą liczbami aturalymi takimi, zaś A zbiorem -elemetowym. KaŜdy k-wyrazowy ciąg o wartościach ze zbioru A, azywamy k-wyrazową wariacją z powtórzeiami z -elemetowego zbioru A. Twierdzeie. Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeiami ze zbioru -elemetowego wyraŝa się wzorem k k W. Uzasadieie tego wzoru wyika bezpośredio z zasady moŝeia, poiewaŝ kostruując dowoly ciąg k-elemetowy (a, a.,, a k ) koleje wyrazy ciągu moŝemy wybrać a sposobów. Przykład 3. Dwuwyrazowe wariacje z powtórzeiami z trzyelemetowego zbioru A {a, b, c} mają postać: (a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (c, a), (c, b), (c, c). Ich liczba zgodie z wzorem wyosi W3 3 9. NaleŜy podkreślić, Ŝe (a, b) oraz (b, a), to róŝe wariacje, poiewaŝ kolejość wyrazów ciągu jest istota. Stroa 9

ROZDZIAŁ I Przykład 4. Ile jest róŝych czterocyfrowych kodów PIN zabezpieczających dostęp do telefou komórkowego? PoiewaŜ kaŝdy kod PIN jest ciągiem złoŝoym z czterech cyfr, które mogą się powtarzać, liczba wszystkich kodów jest rówa liczbie czterowyrazowych wariacji z powtórzeiami zbioru dziesięcioelemetowego (tyle mamy cyfr), czyli 0 4. Wariacje bez powtórzeń Niech i k będą liczbami aturalymi takimi, Ŝe k, zaś A zbiorem -elemetowym. KaŜdy k-wyrazowy, róŝowartościowy ciąg o wartościach ze zbioru A, azywamy k-wyrazową wariacją bez powtórzeń z -elemetowego zbioru A. Twierdzeie 3. Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru -elemetowego (k ) wyraŝa się wzorem:! V k ( )( )... ( k + ). ( k)! Podobie jak w poprzedim przypadku uzasadieie tego wzoru wyika z zasady moŝeia. Jedak tym razem przy kostrukcji k-elemetowego ciągu (a, a,, a k ) wyraz a moŝemy wybrać a sposobów, wyraz a juŝ tylko a - sposobów (poiewaŝ musi być spełioy waruek a a ), wyraz a 3 a - sposobów, zaś ostati k-ty wyraz a k + sposobów. Przykład 5. Dwuwyrazowe wariacje bez powtórzeń z trzyelemetowego zbioru A {a, b, c} mają postać (a, b), (a, c), (b, a), (b, c), (c, a), (c, b). Ich liczba wyosi V 3 3 6. Przykład 6. W fiale zawodów olimpijskich startuje 8 zawodików. Ile jest róŝych wariatów zdobycia medali przez tych zawodików? Do zdobycia są trzy medale (złoty, srebry i brązowy). W kaŝdej trójce medalistów kolejość jest istota i kaŝdy z ich moŝe zająć tylko jedo z trzech medalowych miejsc, zatem liczba róŝych wariatów zdobycia medali jest rówa liczbie trzyelemetowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru ośmioelemetowego tz. 8 7 6 336. Stroa 0

ELEMENTY MATEMATYKI DYSKRETNEJ Permutacje Permutacją bez powtórzeń (krótko: permutacją) zbioru A azywamy wariację -elemetową bez powtórzeń ze zbioru -elemetowego A. Permutacja jest więc ciągiem -elemetowym, w którym kaŝdy elemet zbioru występuje dokładie jede raz. Permutacje kokretego zbioru róŝią się między sobą jedyie kolejością wyrazów. Twierdzeie 4. Liczba wszystkich permutacji zbioru -elemetowego wyraŝa się wzorem P! Wzór powyŝszy otrzymujemy przez podstawieie do wzoru a liczbę wariacji bez powtórzeń k (0! ). Przykład 7. Permutacje trzyelemetowego zbioru A {a, b, c} mają postać (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a). Ich liczba wyosi P 3 3! 6. Przykład 8. Na ile sposobów moŝa ustawić 8 róŝych samochodów a 8 poumerowaych miejscach parkigowych. Liczba miejsc parkigowych jest idetycza z ilością pojazdów, zatem róŝice w rozmieszczeiu wyikają jedyie z kolejości zajmowaych miejsc. KaŜde rozmieszczeie moŝe być zaprezetowae za pomocą odpowiediej permutacji. Ilość ustawień jest rówa P 8 8! 40 30. Permutacje z powtórzeiami Niech i k będą liczbami aturalymi takimi, Ŝe k <, zaś A zbiorem k-elemetowym o elemetach a, a, a k,. Permutacją -wyrazową z powtórzeiami, w której elemet a powtarza się razy, elemet a powtarza się razy,, elemet a k powtarza się k razy, + + + k, azywamy kaŝdy ciąg -wyrazowy, w którym poszczególe elemety zbioru A powtarzają się wskazaą liczbę razy. Stroa

ROZDZIAŁ I Twierdzeie 5. Liczba wszystkich -wyrazowych permutacji z powtórzeiami wyraŝa się wzorem:!,...,k P!!...!. Przykład 9. Niech A {a, b, c}. Permutacje czterowyrazowe z powtórzeiami, w których a występuje dwa razy, zaś b i c występują po jedym razie mają postać (a, a, b, c), (a, a, c, b), (b, a, a, c), (b, c, a, a), (a, b, a, c), (b, a, c, a), (a, b, c, a), (a, c, b, a), (c, a, a, b), (c, b, a, a), (a, c, b, b), (c, a, b, a),,, 4! Ich liczba wyosi P 4.!!! Przykład 0. Ile róŝych aagramów ( słów uzyskaych w wyiku zamiay miejscami liter daego wyrazu) moŝa utworzyć wykorzystując litery, z których zbudowae jest słowo KOMBINATORYKA? Słowo składa się z 3 liter, zatem 3. Litery K, O i A występują po razy, pozostałe litery ie powtarzają się. Liczba róŝych aagramów zbudowaych z tych liter wyosi: 3! 6 7 00 800 778 377 600.!!! 8 k Kombiacje Niech będzie liczbą aturalą, k liczbą całkowitą taką, Ŝe 0 k, zaś A zbiorem -elemetowym. Kombiacją k-elemetową zbioru A azywamy kaŝdy k-elemetowy podzbiór zbioru A. Twierdzeie 6. Liczba wszystkich k-elemetowych kombiacji zbioru -elemetowego wyraŝa się wzorem:! C k k k!( k)! Dla uzasadieia powyŝszego wzoru zauwaŝmy, Ŝe kaŝdemu k-elemetowemu podzbiorowi odpowiada k! róŝowartościowych ciągów (a tyle sposobów moŝa ustawić elemety tego podzbioru). KaŜdy taki ciąg jest k-wyrazową wariacją bez powtórzeń. Ze wzoru a liczbę k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru -elemetowego dostajemy rówość k! k V C k! ( k)! Po obustroym podzieleiu przez k! otrzymujemy wzór a liczbę kombiacji. Stroa

ELEMENTY MATEMATYKI DYSKRETNEJ Przykład. Niech A {a, b, c}. Dwuelemetowe kombiacje zbioru A mają postać {a, b}, {a, c}, {b, c}. 3 3! Zgodie ze wzorem C 3 3.!(3 )! Przykład. Ile jest róŝych wyików losowaia w LOTTO? KaŜdy wyik losowaia jest sześcioelemetową kombiacją zbioru liczącego 49 elemetów. Stąd moŝliwych wyików losowań jest 6 49 49! C 49 3 983 86. 6 6! 43! Przykład 3. W turieju szachowym kaŝdy z zawodików rozgrywa po jedej partii z kaŝdym przeciwikiem. Ile partii szachowych zostaie rozegraych? W kaŝdej partii uczesticzy zawodików. Ich kolejość ie jest istota. Zostaie rozegraych tyle partii szachowych, ile jest -elemetowych podzbiorów zbioru jedeastoelemetowego:! C 55.! 9! W przedstawioych przykładach wyzaczaliśmy za pomocą gotowych wzorów liczbę wszystkich wariacji, permutacji, bądź kombiacji. Rozwiązując tego typu zadaia aleŝy postępować zgodie z astępującym algorytmem. Czy kolejość występowaia elemetów jest istota? NIE TAK C k Kombiacje! k k!( k)! NIE Czy elemety mogą się powtarzać? TAK Czy wszystkie elemety są wykorzystae? Wariacje z powtórzeiami NIE TAK W k k Wariacje bez powtórzeń Permutacje bez powtórzeń V k! P! ( k)! Stroa 3

ROZDZIAŁ I Podobie, przy rozwiązywaiu trudiejszych zadań kombiatoryczych przede wszystkim aleŝy ustalić, które z obiektów (wariacje, kombiacje, permutacje) moŝa wykorzystać do stworzeia modelu matematyczego. Jako geeralą zasadę (wskazówkę) moŝa przyjąć, Ŝe kombiacje stosujemy wówczas, gdy kolejość elemetów ie jest istota. W przeciwym razie wykorzystujemy wariacje bądź permutacje. Wariacje z powtórzeiami stosujemy wówczas, gdy aalizowae zjawisko moŝa ziterpretować w kategoriach schematu losowaia ze zwracaiem (elemety mogą się powtarzać), wariacje bez powtórzeń, gdy mamy do czyieia ze schematem losowaia bez zwracaia. Wyzaczając liczebości podzbiorów wybraych obiektów kombiatoryczych ajczęściej posługujemy się zasadą moŝeia. Postępowaie takie ilustrują zamieszczoe iŝej przykłady. Przykład 4. Ile jest róŝych liczb czterocyfrowych ieparzystych? KaŜda liczba czterocyfrowa moŝe być zaprezetowaa jako czterowyrazowa wariacja z powtórzeiami ze zbioru dziesięcioelemetowego (kolejość cyfr jest istota, cyfr jest dziesięć). Jedak ie wszystkie wariacje reprezetują liczby parzyste. Dla wyzaczeia ilości liczb ieparzystych wykorzystamy zasadę moŝeia. Na pierwszej od lewej, ajbardziej zaczącej pozycji moŝe stać jeda z 9 cyfr róŝych od zera (dla zera dostajemy liczbę trzycyfrową). Na pozycji setek oraz dziesiątek moŝe wystąpić dowola z 0 cyfr. Natomiast a pozycji jedości musi być jeda z cyfr ieparzystych (jest ich 5). Łączie mamy zatem 9 0 0 5 4500 liczb czterocyfrowych ieparzystych. Przykład 5. Ze zbioru {0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy 4 cyfry bez zwracaia, a astępie zapisujemy je w kolejości losowaia tworząc liczbę. Ile moŝa otrzymać w te sposób: a) róŝych liczb czterocyfrowych? b) liczb czterocyfrowych podzielych przez 5? a) W przeciwieństwie do poprzediego przykładu tworzoe liczby są reprezetowae przez czterowyrazowe wariacją bez powtórzeń. Pierwszą cyfrę moŝemy wylosować a 9 sposobów (bo ie moŝe być ią 0). PoiewaŜ jest to schemat losowaia bez zwracaia dla drugiej cyfry mamy teŝ 9 moŝliwości (moŝe ią być kaŝda cyfra oprócz wylosowaej za pierwszym razem), dla trzeciej 8 i dla czwartej 7. Razem jest więc 9 9 8 7 4536 moŝliwości. b) Liczba dzieli się przez 5, jeŝeli jej dwie ostatie cyfry to 00, 5, 50 lub 75. PoiewaŜ losujemy cyfry bez zwracaia pierwszy przypadek ie moŝe mieć miejsca. JeŜeli a końcu liczby zajduje się 50, to dwie początkowe cyfry moŝemy wybrać a 8 7 56 sposobów. JeŜeli liczba kończy się a 5 lub 75, to w obu przypadkach mamy 7 7 49 sposobów wyboru cyfr początkowych (0 ie moŝe stać a początku). W sumie daje to 56 + 49 54 liczb. Przykład 6. Z wagou metra wysiada 0 osób, w tym 3 kobiety, męŝczyz i 5 dzieci. a) Ile jest róŝych moŝliwości opuszczeia wagou przez te osoby (chodzi o kolejość wysiadaia)? b) Ile jest róŝych sposobów opuszczeia wagou, jeŝeli ajpierw wysiadają kobiety, astępie męŝczyźi i a końcu dzieci? Stroa 4

ELEMENTY MATEMATYKI DYSKRETNEJ a) Dziesięć osób moŝe opuścić wago a 0! 3 68 800 sposobów (permutacje). b) W drugim przypadku mamy trzy grupy pasaŝerów (kobiety, męŝczyźi, dzieci) opuszczające wago w ustaloej kolejości. Kobiety mogą opuścić wago a 3! sposobów, męŝczyźi a!, zaś dzieci a 5! Z zasady moŝeia liczba moŝliwych sposobów opuszczeia wagou wyosi w tym przypadku 3!! 5! 440. Przykład 7. W urie zajduje się 9 kul ozaczoych cyframi,,..., 9. Losujemy bez zwracaia 3 kule. W ilu przypadkach suma cyfr umieszczoych a wylosowaych kulach jest większa iŝ 8? PoiewaŜ operacja sumowaia jest przemiea, kolejość wylosowaych kul ie jest istota. Do aalizy problemu moŝemy wykorzystać kombiacje. W zadaiu łatwiej jest wyzaczyć liczbę kombiacji, dla których jest spełioy waruek przeciwy (suma cyfr miejsza lub rówa 8). Ma to miejsce tylko w 4 przypadkach (6 ++3, 7 ++4, 8 ++5, 8 +3+4). W pozostałych przypadkach suma cyfr jest większa od 8. Zatem liczba takich przypadków 3 jest rówa C 4 84 4 80. 9 Przykład 8. Osoby przybyłe a spotkaie przywitały się ze sobą przez podaie ręki. Ile osób przybyło a spotkaie, jeŝeli astąpiło 0 powitań? Ozaczmy przez szukaą liczbę osób. W kaŝdym przywitaiu brały udział dwie osoby, zatem liczba wszystkich powitań była rówa ilości dwuelemetowych kombiacji ze zbioru -elemetowego (kolejość witających się osób ie jest istota) -. Z waruków zadaia dostajemy rówaie! ( ) 0!( )! czyli rówaie kwadratowe 0 0, którego pierwiastki są rówe -4, 5. PoiewaŜ liczba przybyłych a spotkaie osób musi być większa od 0, w spotkaiu uczesticzyło 5 osób. Przykład 9. Ile jest róŝych skreśleń umoŝliwiających wygraie czwórki w LOTTO? Trafieie czwórki w LOTTO ma miejsce przy skreśleiu 4 spośród 6 wylosowaych liczb oraz spośród 43 pozostałych. Kolejość wśród trafioych jak i ietrafioych liczb ie jest 6 istota. Cztery spośród sześciu wylosowaych liczb moŝa wybrać a sposobów, 4 43 zaś pozostałe (ietrafioe) skreśleia moŝa wykoać a sposobów. Wykorzystując 6 43 zasadę moŝeia otrzymujemy 3 545 moŝliwości. 4 Stroa 5

ROZDZIAŁ I Przykład 0. Z talii 5 kart losujemy 5 kart. Ile istieje moŝliwych wyików losowaia, w których wylosujemy 3 asy? 4 W talii są 4 asy, więc 3 asy moŝa wylosować a sposobów (kolejość losowaych kart 3 ie jest istota). Wśród pozostałych kart ie moŝe juŝ być asa, zatem losujemy je z 48 48 pozostałych kart (5 karty - 4 asy). MoŜa to zrobić a sposobów. Aby wyzaczyć liczbę wyborów 5 kart, wśród których są 3 asy wykorzystujemy zasadę moŝeia 4 48 48! 4 45. ZauwaŜmy, Ŝe wykorzystywae w ostatich dwóch 3! (48 )! przykładach modele matematycze były iemal idetycze. Stroa 6

ELEMENTY MATEMATYKI DYSKRETNEJ Ćwiczeia. W pewym klubie jest 0 osób grających w szachy i 5 grających w brydŝa. Sześć osób spośród ich gra w obie te gry. Ile osób jest w tym klubie?. Udowodić twierdzeie 4.5 (Jeśli A, to A ). Wskazówka. Wykorzystać dwumia Newtoa. 3. Ile liczb czterocyfrowych ma wszystkie cyfry parzyste? 4. Ile umerów rejestracyjych samochodów moŝa utworzyć, jeŝeli kaŝdy umer składa się z 3 liter i 4 cyfr? Ile umerów rejestracyjych moŝa utworzyć, jeŝeli będziemy dodatkowo wymagać, aby kaŝdy umer zaczyał się od spółgłoski? 5. Ile jest czterocyfrowych liczb parzystych? 6. Ile czterocyfrowych liczb parzystych jest miejszych od 00? 7. Ile istieje moŝliwości dla 0 zakowego hasła logowaia a serwer, złoŝoego z 4 liter i 0 cyfr? 8. W urie zajduje się 6 kul poumerowaych liczbami od do 6. Losujemy kolejo cztery kule, zwracając je za kaŝdym razem po zapisaiu ich umerów. Ile róŝych liczb czterocyfrowych moŝemy w te sposób otrzymać? 9. Ile róŝych wyrazów (mających ses albo ie) moŝemy uzyskać przestawiając litery w wyrazie KATALIZATOR? 0. W turieju szachowym wystartowało 0 zawodików. KaŜdy z kaŝdym rozgrywa mecz i rewaŝ. Ile partii zostaie rozegraych w całym turieju?. Ile moŝa utworzyć liczb 3-cyfrowych miejszych od liczby 444: a) o dowolych cyfrach, b) o ie powtarzających się cyfrach, c) większych od, d) parzystych, e) ieparzystych, f) składających się wyłączie z cyfr parzystych?. W biegu fiałowym startuje 8 zawodików. Ile istieje moŝliwości przyzaia medali za trzy pierwsze miejsca, jeŝeli wykluczamy przypadek przyzawaia miejsc ex equo? 3. W szufladzie zajduje się Ŝarówek, w tym trzy wadliwe. Losujemy bez zwracaia pięć Ŝarówek. Ile istieje sposobów wylosowaia jedej Ŝarówki wadliwej? 4. KaŜda z liczb 34, 38 ma tę własość, Ŝe jeśli jej cyfry zapiszemy w odwrotej kolejości, to otrzymamy liczbę od iej większą. Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych o tej własości? Stroa 7

ROZDZIAŁ I 5. Ile jest permutacji liczb,,,, w których: a) i ie sąsiadują ze sobą, b),, 3 ie tworzą kolejych wyrazów? 6. Z ilu osób składa się grupa, jeŝeli wiadomo, Ŝe a pięciu miejscach osoby te mogą usiąść a 60 sposobów? 7. Pięciu studetów zdaje egzami. Wiadomo, Ŝe Ŝade studet ie otrzyma ocey iedostateczej. Na ile sposobów moŝa wystawić im ocey (dostatecza, dobra, bardzo dobra)? 8. Grupa 0 osób wsiada do autobusu. Najpierw wsiada kobiet, a za imi 8 męŝczyz. Ile istieje róŝych sposobów realizacji tego zdarzeia? 9. Rodzia pięcioosobowa (rodzice i trójka dzieci) ustawia się obok siebie do zdjęcia. Ile róŝych fotografii moŝa otrzymać, jeŝeli: a) kaŝdy moŝe stać obok kaŝdego, b) rodzice stoją a dwóch końcach szeregu? 0. W pojemiku zajduje się 5 kul białych ozaczoych umerami od do 5 oraz 6 kul czarych ozaczoych umerami od do 6. Na ile róŝych sposobów moŝa wyjąć z pojemika trzy kule tak, by otrzymać: a) 3 kule białe, b) kule białe, c) co ajmiej jedą kulę białą? d) kulę białą z umerem e) dwie kule z umerem jede f) kule o róŝych umerach. W partii 00 sztuk towaru jest 7 sztuk iezgodych z ormą. Losujemy 5 sztuk. Ile jest moŝliwych wyików losowaia, w których co ajmiej jeda sztuka okaŝe się wadliwa?. Z talii 5 kart losujemy trzyaście kart. Ile jest moŝliwych wyików losowaia, w których wylosujemy jedego asa, dwa króle i trzy damy? 3. Na ile sposobów moŝa rozmieścić 0 kul w 4 szufladach, jeśli a) kule są rozróŝiale, b) kule są ierozróŝiale? 4. W 0-pietrowym budyku jedzie widą 5 pasaŝerów. Na ile sposobów mogą oi opuścić widę, jeŝeli kaŝdy pasaŝer wysiada a iym piętrze? 5. Mechaizm przerzutki roweru ma trzy koła zębate z przodu i sześć z tyłu. Ile jest róŝych sposobów ustawieia przerzutki w tym rowerze? 6. Na ile sposobów pięć osób moŝe zająć miejsca w samochodzie pięcioosobowym, jeŝeli: a) wszystkie mają prawo jazdy, b) trzy mają prawo jazdy, c) tylko jeda ma prawo jazdy? Stroa 8

ELEMENTY MATEMATYKI DYSKRETNEJ 7. Parkig składa się z 0 miejsc tworzących jede rząd. Na ile sposobów moŝa a im postawić 5 mercedesów i 5 opli, jeŝeli: a) wszystkie samochody daej marki stoją obok siebie, b) wszystkie mercedesy stoją obok siebie? 8. Ile jest sposobów przydzieleia trzech biletów pięciu osobom a) a te sam mecz, b) a trzy róŝe mecze? 9. W pizzerii jest 8 gatuków pizzy, z których kaŝdą moŝa zamówić a cieście ciekim lub grubym, z sosem ostrym, łagodym lub bez sosu. Ile jest moŝliwych wariatów wyboru daia w tej pizzerii? 30. Numer dowodu osobistego składa się z 9 zaków. Trzy pierwsze zaki (seria dowodu) to litery wybrae spośród 5 liter, zaś pozostałe zaki to cyfry. Ile róŝych umerów dowodów osobistych moŝa przydzielić obywatelom, jeŝeli pierwsza cyfra jest tzw. cyfrą kotrola wyzaczaą a podstawie pozostałych cyfr? Stroa 9

ROZDZIAŁ I Stroa 0

II Przestrzeń probabilistycza Stroa

ROZDZIAŁ II Przestrzeń probabilistycza W rachuku prawdopodobieństwa pojęcie zdarzeia elemetarego jest pojęciem pierwotym. Pojedycze zdarzeia ozaczać będziemy: ω, ω, ω 3,, a zbiór (przestrzeń) zdarzeń elemetarych: Ω. RozwaŜmy rodzię S podzbiorów przestrzei zdarzeń elemetarych, która spełia astępujące waruki:. Ω S ;. A S Ω \ A A S ; 3. A, A,... S A S. U Rodzię S spełiającą własości 3 azywamy σ-ciałem lub σ-algebrą zbiorów. KaŜdy zbiór aleŝący do rodziy S azywamy zdarzeiem losowym. Uwaga. JeŜeli zbiór zdarzeń elemetarych jest skończoy, to w dalszym ciągu będziemy przyjmować, Ŝe S jest rodzią wszystkich podzbiorów zbioru zdarzeń elemetarych Ω. PoiewaŜ zdarzeia losowe są zbiorami, więc działaia a zdarzeiach będziemy ozaczać takimi samymi symbolami jak działaia a zbiorach. Pewe szczególe zdarzeia losowe mają swoje azwy: Ω - zdarzeie pewe, Ø (zbiór pusty) zdarzeie iemoŝliwe, A Ω \ A zdarzeie przeciwe do zdarzeia A. JeŜeli poadto dla dwóch zdarzeń A i B mamy: A B, to mówimy, Ŝe zdarzeie A pociąga za sobą zdarzeie B; A B Ø, to mówimy, ze zdarzeia A i B są rozłącze (wykluczają się). Defiicja prawdopodobieństwa W zbiorze zdarzeń losowych wprowadzimy fukcję prawdopodobieństwa w astępujący sposób (N. Kołmogorow, 933). Prawdopodobieństwem azywamy fukcję P: S R ( przyporządkowującą kaŝdemu zdarzeiu losowemu A liczbę P(A) azywaą prawdopodobieństwem zajścia zdarzeia A ) taką, Ŝe spełioe są astępujące waruki: W P(A) 0 dla kaŝdego zdarzeia A S ; W P(Ω), W 3 JeŜeli A, A, A 3, tworzą ciąg zdarzeń losowych parami rozłączych (tz. dla i j mamy: A i A j Ø), to P U A P( A ). KaŜdą fukcję spełiającą waruki W W 3 azywa się miarą probabilistyczą. Stroa

PRZESTRZEŃ PROBABILISTYCZNA Trójkę uporządkowaą (Ω, S, P), gdzie Ω jest przestrzeią zdarzeń elemetarych, S przestrzeią zdarzeń losowych, a P prawdopodobieństwem, azywamy przestrzeią probabilistyczą. Z defiicji prawdopodobieństwa wyikają astępujące własości: W. P(Ø)0; W. Dla A S: P(A) ; W3. Jeśli A S, to P(A ) P(A); W4. Jeśli A, B są zdarzeiami i A B, to P(A) P(B); W5. Jeśli A BØ, to P(A+B)P(A) + P(B); W6. Jeśli A,B S, to P(A B) P(A) + P(B) P(A B). Uwaga. W szczególym przypadku, jeśli zbiór zdarzeń elemetarych jest skończoy: Ω { ω, ω,, ω }, oraz wszystkie zdarzeia elemetare są jedakowo prawdopodobe, czyli: P({ω }) P({ω }) P({ω }), to prawdopodobieństwo zajścia dowolego zdarzeia A { ω i, ω i,, ω ik } składającego się z k zdarzeń elemetarych, dae jest wzorem: liczba zdarzeń elemetarych sprzyjajacych zdarzeiu A k P ( A). liczba wszystkich zdarzeń elemetarych PowyŜszy wzór określa tzw. defiicję klasyczą prawdopodobieństwa (defiicję Laplace a). Podamy teraz przykład podkreślając fakt, ze mając day eksperymet losowy musimy ajpierw określić przestrzeń probabilistyczą, aby obliczyć prawdopodobieństwa iteresujących as zdarzeń losowych. Przykład. Rzucamy dwiema róŝokolorowymi symetryczymi sześcieymi kostkami do gry i otujemy liczbę oczek wyrzucoych a poszczególych kostkach. Wtedy zbiór zdarzeń elemetarych moŝemy krótko zapisać astępująco: Ω {(i,j): i,j {,,3,4,5,6}} lub w pełej formie: Ω { (,), (,), (,3), (,4), (,5), (,6), (,), (,), (,3), (,4), (,5), (,6), (3,), (3,), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,), (4,), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,), (5,), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,), (6,), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }. Zbiór zdarzeń elemetarych jest skończoy i ma 36 elemetów (tyle ile jest dwuelemetowych wariacji z powtórzeiami ze zbioru 6-cio elemetowego: W 6 6 ). Jako rodzię zdarzeń losowych S przyjmujemy wszystkie podzbiory zbioru zdarzeń elemetarych. Wykorzystując defiicję klasyczą, obliczymy prawdopodobieństwa astępujących zdarzeń losowych. Stroa 3

ROZDZIAŁ II a) A zdarzeie polegające a tym, Ŝe suma wyrzucoych oczek a obydwu kostkach ie przekracza 4. Zdarzeiu A sprzyja 6 zdarzeń elemetarych: (,), (,), (,3), 6 (,), (,), (3,), więc P (A). 36 6 b) B zdarzeie polegające a tym, Ŝe iloczy wyrzucoych oczek wyosi co ajmiej 0. ZauwaŜmy, Ŝe zdarzeiu B sprzyjają astępujące zdarzeia elemetare: (4,5), 8 (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6). Tak więc P(B). 36 9 c) C zdarzeie polegające a tym, Ŝe moduł róŝicy wyrzucoych oczek wyosi. Zdarzeiu C sprzyjają zdarzeia elemetare: (,3), (3,), (,4), (4,), (3,5), (5,3), (4,6), (6,4), 8 tak więc: P(C). 36 9 Przyjmijmy teraz, Ŝe eksperymet jest tak określoy, Ŝe rzut uzaje się za iewaŝy i powtarzamy go, jeśli a jedej z kostek wypadie liczba oczek miejsza iŝ 3. Wtedy przestrzeń zdarzeń elemetarych jest astępująca: Ω { (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }. Jeśli zdarzeia A, B, C określimy słowie tak samo jak wyŝej, to z uwagi a to, Ŝe przestrzeń probabilistycza jest ia, mamy prawdopodobieństwa tych zdarzeń: a) P(A) P(Ø) 0. 8 b) P(B). 6 4 c) P(C). 6 4 Prawdopodobieństwo warukowe B S dowolym ustaloym Niech (Ω,S,P) będzie przestrzeią probabilistyczą, zaś zdarzeiem o dodatim prawdopodobieństwie. Prawdopodobieństwem warukowym zajścia zdarzeia A S pod warukiem zajścia zdarzeia B azywamy liczbę P(A/B) określoą wzorem: P( A B) P(A/B). P( B) Z defiicji tej wyika uŝyteczy wzór: P(A B) P(A/B) P(B), który moŝa uogólić a większą liczbę zdarzeń: Stroa 4

PRZESTRZEŃ PROBABILISTYCZNA i ogólie dla zdarzeń losowych: P( A A A3 ) P( A ) P( A / A ) P( A3 / A A ) P ( A A... A ) P( A ) P( A / A ) P( A3 / A A )... P( A / A A... A ). Przykład. Producet zapewia, Ŝe prawdopodobieństwo awarii automatu wytwarzającego pewie detal wyosi 5% w pierwszym roku eksploatacji. Jeśli w pierwszym roku automat ie ulegie awarii, to prawdopodobieństo awarii w drugim roku uŝytkowaia wyiesie 90%. Jeśli automat będzie sprawy przez dwa lata, to z prawdopodobieństwem 80% ulegie awarii w trzecim roku uŝytkowaia. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe automat ie ulegie awarii w czasie trzech pierwszych lat uŝytkowaia? Niech A i ozacza zdarzeie, Ŝe automat ie ulegie awarii w i-tym roku uŝytkowaia, i,,3. Wtedy mamy: P(A ) 0,95, P(A /A )0,90, P(A 3 /(A A ))0,80. Wykorzystując podaą rówość otrzymamy: P(A A A 3 ) P(A ) P(A /A ) P(A 3 /(A A )) 0,95 0,90 0,80 0,684. Prawdopodobieństwo tego, Ŝe automat ie ulegie awarii w czasie trzech pierwszych lat eksploatacji wyosi 0,684. Prawdopodobieństwo całkowite i twierdzeie Bayesa Zdarzeia A, A,..., A S tworzą zupeły układ zdarzeń w przestrzei probabilistyczej (Ω, S, P), jeŝeli spełiają waruki:. A A... A Ω ;. A i A j Ø dla i j (zdarzeia są parami rozłącze); 3. P(A i ) > 0, i,,,. Twierdzeie. (wzór a prawdopodobieństwo całkowite) JeŜeli zdarzeia A, A,,A S tworzą zupeły układ zdarzeń w przestrzei probabilistyczej (Ω, S, P), to dla dowolego zdarzeia B S zachodzi rówość: P B) P( A ) P( B / A ) + P( A ) P( B / A ) +... + P( A ) P( B / A ). ( Twierdzeie. (Bayesa) JeŜeli zdarzeia A, A,,A S tworzą zupeły układ zdarzeń w przestrzei probabilistyczej (Ω, S, P), to dla kaŝdego zdarzeia B o prawdopodobieństwie dodatim zachodzi rówość: P( Ak ) P( B / Ak ) P( Ak / B), k,...,. P( A ) P( B / A ) + P( A ) P( B / A ) +... + P( A ) P( B / A ) Stroa 5

ROZDZIAŁ II Uwaga 3. Prawdopodobieństwa P(A k /B) azywamy prawdopodobieństwami a posteriori, gdyŝ określa oo szasę zajścia zdarzeia A k dopiero po zajściu zdarzeia B, atomiast P(A k ) azywamy prawdopodobieństwami a priori. Przykład 3. Przed egzamiem z matematyki podae zostały pytaia egzamiacyje dopuszczające do egzamiu pisemego: 40 pytań z algebry, 60 pytań z geometrii i 00 pytań z aalizy. Studet przed egzamiem za odpowiedź a 35 pytań z algebry, 50 pytań z geometrii i 80 pytań z aalizy. Studet jest dopuszczoy do zdawaia egzamiu, jeŝeli odpowie dobrze a jedo wylosowae pytaie. a) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, Ŝe studet zostaie dopuszczoy do egzamiu? b) Studet został dopuszczoy do egzamiu, jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe wylosował pytaie z aalizy? Przyjmijmy ozaczeia: A zdarzeie polegające a tym, Ŝe studet wylosuje pytaie z algebry, A zdarzeie polegające a tym, Ŝe studet wylosuje pytaie z geometrii, A 3 zdarzeie polegające a tym, Ŝe studet wylosuje pytaie z aalizy, B studet został dopuszczoy do egzamiu pisemego. Przy tych ozaczeiach oczywiste jest, Ŝe zdarzeia A, A, A 3 tworzą zupeły układ zdarzeń a prawdopodobieństwa a priori są rówe: 40 60 00 P ( A ) 0,, P ( A ) 0, 3, P ( A ) 0, 5. 00 00 00 Zae są takŝe prawdopodobieństwa warukowe: 35 50 80 P ( B / A ) 0,875, P ( B / A ) 0, 83, P ( B / A3 ) 0, 8. 40 60 00 0, a) Aby wyzaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe studet zostaie dopuszczoy do egzamiu aleŝy skorzystać ze wzoru a prawdopodobieństwo całkowite: P B) P( A ) P( B / A ) + P( A ) P( B / A ) + P( A ) P( B / A ) ( 3 3 35 40 50 + 0,3 + 0,5 60 8 0 33 0,85. 40 b) Aby wyzaczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe studet wylosował pytaie z aalizy, jeŝeli został dopuszczoy do egzamiu, aleŝy skorzystać ze wzoru Bayesa: P ( A 8 0,5 P( A3 ) P( B / A3 ) / B) 0 P( A ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) 33 P B A + P A P B A + P A3 P B A3 40 6 33 3 0,48. Stroa 6

PRZESTRZEŃ PROBABILISTYCZNA NiezaleŜość zdarzeń WaŜym pojęciem teorii prawdopodobieństwa jest iezaleŝość zdarzeń losowych. Ituicyjie ozacza to, Ŝe zdarzeie A ie zaleŝy od zdarzeia B, jeŝeli iformacja, Ŝe zaszło zdarzeie B ie ma wpływu a prawdopodobieństwo zajścia zdarzeia A i odwrotie. To ituicyje podejście prowadzi więc do dwóch waruków: P(A/B) P(A) i P(B/A) P(B). Z defiicji prawdopodobieństwa warukowego i z powyŝszych rówości wyika, Ŝe iezaleŝość zdarzeń moŝa określić astępująco w ustaloej przestrzei probabilistyczej. Zdarzeia A i B są iezaleŝe jeŝeli: P(A B) P(A)P(B). Uwaga 4. Wioskiem wyikającym wprost z tej defiicji jest fakt: jeśli dwa zdarzeia A i B o iezerowych prawdopodobieństwach są iezaleŝe, to zdarzeia te ie mogą być rozłącze. W przypadku większej liczby zdarzeń iezaleŝość defiiujemy astępująco: Mówimy, Ŝe w ustaloej przestrzei probabilistyczej zdarzeia A, A, A 3,, A są iezaleŝe (wzajemie iezaleŝe, zespołowo iezaleŝe) jeŝeli dla kaŝdego aturalego k oraz dla kaŝdego ciągu ideksów i < i < < i k zachodzi rówość: P( A A... A ) P( A ) P( A )... P( A ). i i ik i i ik Przykład 4. RozwaŜmy przestrzeń probabilistyczą z przykładu. związaą z rzutem dwiema symetryczymi kostkami sześcieymi do gry. RozwaŜmy zdarzeia: A a drugiej kostce wypadie szóstka, B a pierwszej kostce wypadie ieparzysta liczba oczek, C a obu kostkach wypadie liczba oczek, których suma jest parzysta. Wtedy: A {(,6), (,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6)}, B {(,), (,), (,3), (,4), (,5), (,6), (3,), (3,), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,), (5,), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}, C {(,), (,3), (,5), (,), (,4), (,6), (3.), (3,3), (3,5), (4,), (4,4), (4,6), (5.), (5,3), (5,5), (6,), (6,4), (6,6)}. Stroa 7

ROZDZIAŁ II Prawdopodobieństwa tych zdarzeń wyoszą: 6 8 8 P ( A), P ( B), P ( A). 36 6 36 36 Wyzaczamy teraz iloczyy zdarzeń i ich prawdopodobieństwa: 3 A B {(,6), (3,6), (6,6)}, P ( A B), 36 3 A C {(,6), (4,6), (6,6)}, P ( A C), 36 9 B C {(,), (,3), (,5), (3.), (3,3), (3,5), (5.), (5,3), (5,5)}. P ( B C), 36 4 A B C, P ( A B C) 0. Mamy więc astępujące rówości: P( A B) P( A) P( B), 6 P( A C) P( A) P( C), 6 P( B C) P( B) P( C), 4 4 z których wyika, Ŝe zdarzeia dae są parami iezaleŝe. Nie są oe jedak iezaleŝe (zespołowo iezaleŝe), bo: P( A B C) 0 P( A) P( B) P( C). 6 Stroa 8

PRZESTRZEŃ PROBABILISTYCZNA Ćwiczeia. Wykazać astępujące własości fukcji prawdopodobieństwa: a) P(A B) P(A) + P(B). b) P(A /B) P(A/B). c) P(A B C) P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + + P(A B C).. Czterech chłpców i cztery studetki siadło obok siebie: a) a ławce, b) przy okrągłym stole. Wyzaczyć prawdopodobieństwo, Ŝe chłopcy ie siedzą obok siebie. 3. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe przy grze w brydŝa jede gracz otrzyma: a) cztery asy, b) same figury, c) same blotki. 4. Po sesji egzamiacyjej stwierdzoo, Ŝe 75% studetów zdało matematykę, atomiast 40% studetów zdało matematykę i fizykę. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, ze studet, który zdał egzami z matematyki zdał takŝe egzami z fizyki. 5. Fabryka sprowadza pewe detale od trzech producetów. Wadliwość produkcji pierwszego dostawcy wyosi 5%, drugiego 4% a trzeciego %. Dostawcy ci pokrywają zapotrzebowaie fabryki odpowiedio w 5%, 30% i 45%. a) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe losowo wybray detal jest wadliwy. b) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, Ŝe losowo wybray detal, który okazał się wadliwy, został wyprodukoway przez trzeciego dostawcę. 6. 70% męŝczyz i 5% kobiet ogląda mecze piłki oŝej w telewizji. Z grupy 00 kobiet i 300 męŝczyz wybrao losowo jedą osobę. a) Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe wybraa osoba ogląda mecze piłki oŝej w telewizji? b) Wylosowao osobę i okazało się, Ŝe ogląda oa mecze w telewizji. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe jest to kobieta? 7. Na przeośik taśmowy trafiają detale produkowae przez trzy automaty. Pierwszy automat wytwarza 6% braków, drugi 5% a trzeci 4% braków. Wielkość produkcji tych automatów ma się tak, jak :4:5. Wybrao losowo z przeośika detal, który okazał się brakiem. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, Ŝe wyprodukował go pierwszy automat? 8. Prawdopodobieństwo trafieia do celu jedym strzałem wyosi 0.8. Obliczyć prawdopodobieństwo trafieia co ajmiej raz w 0 strzałach. 9. Bezpieczeństwo widy zapewiają działające iezaleŝie od siebie dwie liy o iezawodościach 99% i 98%. Jakie jest prawdopodobieństwo bezpieczego przejazdu tą widą? 0. Wykazać, Ŝe jeŝeli zdarzeia A i B są iezaleŝe, to iezaleŝe są takŝe zdarzeia przeciwe A i B. Stroa 9

ROZDZIAŁ II Stroa 30

III Zmiea losowa Stroa 3

ROZDZIAŁ III Zmiea losowa Defiicja zmieej losowej W wielu zagadieiach mamy do czyieia z wielkościami, których wartość liczbowa zaleŝy od przypadku związaego z doświadczeiem losowym, a więc zaleŝy od zdarzeia elemetarego. Na przykład rzucając dwiema sześcieymi kostkami do gry moŝemy zdarzeiu elemetaremu reprezetowaemu przez parę uporządkowaą (i,j) przyporządkować liczbę rzeczywistą: i+j, albo liczbę i +j+3, itd. Takie przyporządkowaie moŝe spełiać dodatkowe waruki i wtedy będziemy je azywać zmieą losową (przyjęło się ozaczać zmiee losowe duŝymi literami, p. X, Y). Niech (Ω,S,P) będzie przestrzeią probabilistyczą. Fukcję X o wartościach rzeczywistych określoą a przestrzei zdarzeń elemetarych Ω, czyli: X : Ω R spełiającą waruek: x R : { ω Ω : X( ω ) < x} S, azywamy zmieą losową. Waruek występujący w defiicji (wyodrębiający fukcje o tej własości, Ŝe przeciwobraz półprostej (, x) jest zdarzeiem losowym) azywa się w matematyce mierzalością fukcji X względem σ-algebry S. Dystrybuata zmieej losowej i jej własości Z defiicji zmieej losowej wyika, Ŝe zbiór { Ω : X( ω ) < x} ω jest zdarzeiem losowym dla kaŝdej liczby rzeczywistej x, moŝa zatem obliczyć prawdopodobieństwo takiego zdarzeia. Otrzymamy w te sposób fukcję rzeczywistą o wartościach z przedziału [0, ], która pozwala wyzaczać prawdopodobieństwa w łatwiejszy sposób. Fukcja ta osi azwę dystrybuaty zmieej losowej. Dystrybuatą zmieej losowej X azywamy fukcję F: R [0,] określoą wzorem: ({ ω Ω : X( ) x} ). F ( x ) P ω < Własości dystrybuaty ( przyjmujemy krótki zapis: F(x)P(X<x) ). W. x R : 0 F(x). W. F jest fukcją iemalejącą. W3. F jest fukcją co ajmiej lewostroie ciągłą. W4. lim F(x) 0 oraz lim F(x). + W5. P(a X <b) F(b) F(a), dla a < b. + W6. P(X a) F(a ) F(a). Stroa 3

ZMIENNA LOSOWA Pewe własości są kluczowe dla określeia dystrybuaty, bo mamy twierdzeie. Twierdzeie. JeŜeli fukcja F ma własości W, W3, W4, to F jest dystrybuatą pewej zmieej losowej. Przykład. Zmiea losowa X ma dystrybuatę określoą wzorem F (x) 0, 0,5(x ), A,, gdy x <, gdy x <, gdy x 3, gdy x > 3. a) Jaką wartość moŝe przyjąć stała A? b) Obliczyć: P(X), P(X3). a) Dystrybuata F jest stała w przedziale [, 3) a poiewaŝ jest fukcją iemalejącą (własość W), więc A lim F(x) i A lim F( x), czyli A moŝe być dowolą + x x 3 liczbą z przedziału [0,5, ]. Z własości W3 (F jest co ajmiej lewostroie ciągła) mamy: F() A lim F(x). Tak więc A 0,5. x b) Z własości W6 mamy: P(X) F( + ) F() 0,5 0,5 0; P(X3) F(3 + ) F(3) 0,5 0,5. W dalszym ciągu ograiczymy się do studiowaia dwóch typów zmieych losowych. Zmiee losowe typu skokowego i typu ciągłego W dalszych badaiach ograiczymy się do dwóch waŝych typów zmieych losowych: zmieych losowych typu skokowego i zmieych losowych typu ciągłego. Zmiea losowa X jest typu skokowego (dyskretego), jeŝeli przyjmuje co ajwyŝej przeliczalą liczbę wartości: x, x, x 3,, przy czym: oraz P(Xx i )p i >0, i,, 3, p i. i Stroa 33

ROZDZIAŁ III Zbiór par (x i, p i ), i,, 3, azywa się rozkładem prawdopodobieństwa zmieej losowej, który wygodie jest przedstawić za pomocą dwuwierszowej tablicy: x i x X x 3... x... p i p P p 3... p... Dystrybuata zmieej losowej typu skokowego wyraŝa się wzorem: F(x) p. Przykład. i x i < x Rzucamy sześcieą kostką dopóty, dopóki ie wypadie liczba oczek 3 lub 6. Niech X będzie zmieą losową, której wartości są rówe liczbie wykoaych rzutów. Wyzaczyć rozkład tej zmieej losowej. Zmiea losowa X przyjmuje wartości:,, 3,. P (X ) jest to prawdopodobieństwo tego, Ŝe w jedym rzucie wypadie 3 6 3 lub 6 oczek. P (X ) jest to prawdopodobieństwo tego, Ŝe w pierwszym rzucie wypadie,, 4 lub 5 oczek, a w drugim rzucie wypadie 3 lub 6 oczek; poiewaŝ zdarzeia 3 3 9 są iezaleŝe, więc prawdopodobieństwo to jest iloczyem prawdopodobieństw. Podobie mamy: 4 P (X 3) jest to prawdopodobieństwo tego, Ŝe w pierwszym i drugim rzucie 3 3 3 7 wypadie,, 4 lub 5 oczek, a w trzecim rzucie wypadie 3 lub 6 oczek. Ogólie: P(X )... 443 3 3 3 3 3 razy,,, 3,. 3 Zmiea ta przyjmuje przeliczalą liczbę wartości. Sprawdzimy, czy suma prawdopodobieństw jest rówa? p 3 i wykorzystaliśmy wzór a sumę szeregu geometryczego. 3 3 i 3 Zmiea losowa X jest typu ciągłego, jeŝeli istieje ieujema fukcja f (azywaa gęstością prawdopodobieństwa)taka, Ŝe dystrybuatę tej zmieej moŝa przedstawić w postaci: F ( x ) x f ( t )dt, dla x R. Stroa 34

ZMIENNA LOSOWA Uwaga. Z własości dystrybuaty W4 mamy rówość: + f ( t) dt, z której wyika, Ŝe pole ograiczoe osią OX i wykresem gęstości prawdopodobieństwa dowolej zmieej losowej typu ciągłego jest rówe. Uwaga. Dla a < b z własości całki mamy: b f (t)dt f (t)dt + f (t)dt F(a) + F (b) f (t)dt, a stąd a mocy własości dystrybuaty W5, prawdopodobieństwo moŝa wyzaczyć za pomocą gęstości prawdopodobieństwa zmieej losowej: P ( a X < b) F(b) F(a) f (t)dt. Z własości całki wyika, Ŝe przedział lewostroie domkięty moŝa zastąpić kaŝdym iym przedziałem otwartym lub domkiętym. ZauwaŜmy, Ŝe dla zmieej losowej typu ciągłego, zdarzeie moŝliwe ma prawdopodobieństwo rówe zeru: ( X a) 0 b a b P, dla kaŝdego a rzeczywistego. Z twierdzeie główego rachuku całkowego wyika takŝe, Ŝe w kaŝdym pukcie x ciągłości gęstości prawdopodobieństwa f istieje pochoda dystrybuaty F i zachodzi rówość: F ( x ) f ( x ). a b a Przykład 3. Zmiea losowa ma rozkład o gęstości: f (x) 0, cx, 0,5, 0, gdy x < 0, gdy 0 x, gdy < x 4, gdy x > 4. a) Wyzaczyć stałą c. b) Wyzaczyć dystrybuatę tej zmieej losowej. c) Obliczyć prawdopodobieństwa: P(X > ), P(,5 < X < 3), P( < X < 5). a) Z uwagi. mamy: + 0 4 + x 4 f (x)dx 0dx + cx dx + 0,5dx + 0dx c + 0,5(x) c + 0,5. 0 0 4 Rówość c + 0,5 określa stałą: c 0,5. Stroa 35

ROZDZIAŁ III b) PoiewaŜ gęstość zmieej losowej zmieia się w kaŝdym z czterech przedziałów, więc aturalym jest wyzaczaie dystrybuaty dla kaŝdego przedziału oddzielie. JeŜeli x (, 0], to F(x) x f (t)dt x JeŜeli x (0, ], to: 0dt 0. x 0 x F(x) f (t)dt 0dt + JeŜeli x (, 4], to: x x 0 4 tdt F(0) + 8 F(x) f (t)dt 0dx + 0,5dt F() + 4 JeŜeli x (4,+ ), to: F(x) x 4 x f (t)dt 0dt + 0dt F(4). 4 x x ( t ). 0 x 8 x 4 x 4 ( t) +. Ostateczie mamy dystrybuatę: 0, x, 8 F(x) x, 4, gdy x < 0, gdy 0 x, gdy < x 4, gdy x > 4. c) Prawdopodobieństwa będziemy liczyć wykorzystując własość W5 dystrybuaty biorąc pod uwagę fakt, Ŝe dla zmieej losowej typu ciągłego wzór jest prawdziwy takŝe dla przedziałów domkiętych i otwartych. P(X > ) P( < X < + ) F(+ ) F() 0,5 0,875. P(,5 < X < 3) F(3) F(,5) 0,75 (,5) /8 0,875. P( < X < 5). F(5) F() (,5) /4 0,46875. Charakterystyki liczbowe zmieych losowych Zmiea losowa jest w pełi opisaa przez jej rozkład prawdopodobieństwa lub przez jej dystrybuatę, ale jest to opis szczegółowy i moŝe być mało czytely, bądź w ogóle iemoŝliwy do ustaleia, dlatego w praktyce posługujemy się pewymi charakterystykami liczbowymi zmieych losowych, co pozwala a pewą charakterystykę badaego rozkładu zmieej losowej lub a szybkie porówywaie róŝych rozkładów. Charakterystyki liczbowe mogą dotyczyć połoŝeia wartości zmieej losowej, rozproszeia (zróŝicowaia, rozrzutu) tych wartości i ich kształtu (asymetria, spłaszczeie). Stroa 36

ZMIENNA LOSOWA Ograiczymy się tutaj do kilku wybraych miar połoŝeia i miar rozrzutu. Wartością oczekiwaą (przeciętą, średią) zmieej losowej typu skokowego o rozkładzie: P( X x ) p, i,,,... azywamy liczbę EX określoą wzorem: i i 3 EX i x p, pod warukiem, Ŝe w przypadku, gdy zmiea losowa przyjmuje przeliczalą liczbę wartości, szereg jest bezwzględie zbieŝy (tz. x < ). i i p i Uwaga 3. JeŜeli zmiea losowa Yg(X), gdzie g jest fukcją, to i i EY g( x ). Wartością oczekiwaą zmieej losowej typu ciągłego o gęstości f azywamy liczbę EX określoą wzorem: + EX xf ( x ) dx, pod warukiem, ze całka jest bezwzględie zbieŝa (tz. Uwaga 4. JeŜeli zmiea losowa Yg(X), gdzie g jest fukcją, to + i i p i x f ( x )dx < ). + EY g(x)f (x) dx. Wartość oczekiwaa jest szczególym przypadkiem tzw. mometu zwykłego rzędu k. Mometem zwykłym rzędu k zmieej losowej X azywamy liczbę m k określoą wzorem: m k EX k ( x ) k i i + k x p, f ( x )dx, i gdy X gdy X jest zmieą losową typu skokowego, jest zmieą losową typu ciaglego, pod warukiem bezwzględej zbieŝości. Przykład 4. Wyzaczyć wartość oczekiwaą oraz momety rzędu. i 3. zmieej losowej X o rozkładzie: x i - 0 3 p i 0,4 0, 0,3 0, m EX ( ) 0,4 + 0 0, + 0,3 + 3 0, 0,5. m EX ( ) 0,4 + 0 0, + 0,3 + 3 0,,5. 3 3 3 3 3 m EX ( ) 0,4 + 0 0, + 0,3 + 3 0,,9. 3 Stroa 37

ROZDZIAŁ III Przykład 5. Wyzaczyć wartość oczekiwaą oraz momety rzędu drugiego i trzeciego zmieej losowej 0, gdy x, X o gęstości prawdopodobieństwa: f (x), gdy x. 3 x + + T T m EX xf (x)dx x 0dx + x dx lim + dx lim 3 + x T x T x lim. T + T m m EX lim T + 3 + + T T x f (x)dx x 0dx + x dx lim + dx lim 3 x T x T + ( l T l) + EX lim T + 3 czyli drugi momet ie istieje. ( l x) + + T 3 3 3 T x f (x)dx x 0dx + x dx lim + dx lim 3 x T T + ( T ) + czyli trzeci momet ie istieje. ( x) Zdefiiujemy teraz ie miary połoŝeia kwatyle. Defiicję podamy dla zmieej losowej typu ciągłego, bo tylko takie kwatyle będziemy stosować w statystyce. Kwatylem rzędu α (0 < α < ) zmieej losowej X typu ciągłego o dystrybuacie F i gęstości f azywamy kaŝdą liczbę q α spełiającą jede z rówowaŝych waruków: F(q ) α; P α ( X q ) α; q α < α f (x)dx α. Przykład 6. Wyzaczyć kwatyl rzędu 0.5 zmieej losowej X z przykładu 5. Wykorzystamy trzeci waruek biorąc pod uwagę fakt, Ŝe q 0.5 musi być większe od. q 0. 5 q0. 5 q0. 5 f ( x )dx 0. 5 0dx + dx 0. 5 0. 5 3 x x 0. 5 0. 75 q0. 5. ( q ) ( q ) 0. 5 0. 5 3 Dla rozkładów wykorzystywaych w statystyce matematyczej, kwatyle odczytujemy z tablic statystyczych. Stroa 38