Psychologia trudności arytmetycznych u dzieci

Urszula Oszwa Redakcja naukowa Psychologia trudności arytmetycznych u dzieci Doniesienia z badań

Copyright by Oficyna Wydawnicza Impuls, Kraków 2008 Recenzent: prof. dr hab. Jadwiga Hanisz Korekta: Zuzanna Bochenek Projekt okładki: Ewa Beniak-Haremska ISBN 978-83-7587-936-0 Oficyna Wydawnicza Impuls 30-619 Kraków, ul. Turniejowa 59/5 tel. (0-12) 422-41-80, fax (0-12) 422-59-47 www.impulsoficyna.com.pl, e-mail: impuls@impulsoficyna.com.pl Wydanie I, Kraków 2008

Spis treści Słowo wstępne... 7 Część I Społeczna perspektywa trudności arytmetycznych Rozdział 1. Modele diagnozy zaburzeń arytmetycznych (Urszula Oszwa)... 15 Rozdział 2. Trudności w uczeniu się matematyki u dzieci w ocenie nauczycieli (Beata Zarucka)... 35 Część II Charakterystyka objawowa trudności arytmetycznych Rozdział 3. Posługiwanie się liczbami przez dzieci z trudnościami w matematyce (Agnieszka Gołkiewicz-Kawa, Urszula Oszwa)... 61 Rozdział 4. Rozwiązywanie zadań tekstowych przez dzieci z dyskalkulią... 81 (Monika Kurant) Rozdział 5. Przejawy trudności w uczeniu się matematyki u dzieci z dysleksją (Katarzyna Miazga, Urszula Oszwa)... 111

6 Spis treści Część III Funkcjonowanie psychospołeczne osób z trudnościami arytmetycznymi Rozdział 6. Poziom lęku młodzieży z trudnościami w uczeniu się matematyki (Urszula Oszwa, Anna Borula-Gawlik)... 133 Rozdział 7. Obraz kliniczny dyskalkulii rozwojowej. Studium przypadku (Bożena Kołcun)... 155 Refleksje końcowe (Urszula Oszwa)... 191

Słowo wstępne Spałem i śniłem, że życie jest przyjemnością. Obudziłem się i zobaczyłem, że jest obowiązkiem. Kiedy zacząłem działać, dostrzegłem, że obowiązek jest przyjemnością. R. Tagore Zagadnienia specyficznych trudności w uczeniu się, a zwłaszcza dysleksja rozwojowa, są szeroko dyskutowane w literaturze psychologicznej, rozwojowej, klinicznej i neuropsychologicznej. Kilkadziesiąt lat badań nad tym zjawiskiem przyniosło wymierne wyniki, wiele hipotez poddawano kilkakrotnej weryfikacji w niezależnych zespołach badawczych. W ciągu tego okresu stworzono różnorodne modele diagnozy dysleksji, opracowano programy pomocy, które nadal ewaluują w kierunku coraz bardziej trafnych, skutecznych i ekonomicznych. Problematyka zaburzeń rozwoju umiejętności matematycznych wydaje się być zagadnieniem równie interesującym, chociaż dotychczas niezbyt dokładnie zbadanym w regularnych badaniach naukowych. Rosnące tempo życia i technicyzacji sprawia, że matematyka staje się dziedziną coraz bardziej niezbędną w wielu sytuacjach codziennych. Z drugiej strony badacze i edukatorzy w wielu krajach świata dostrzegają przerażająco niski poziom umiejętności posługiwania się liczbami i dokonywania operacji arytmetycznych zarówno wśród dorosłych, jak i dzieci. Powyższe przesłanki stanowią impuls do zabrania głosu przez badaczy-psychologów, pedagogów, neuropsychologów w sprawie nie tylko indywidualnej, ale również społecznej. Rezultatem jest rosnące zainteresowanie zagadnieniem dyskalkulii rozwojowej w badaniach prowadzonych na świecie z zakresu neuropsychologii poznawczej, psychologii klinicznej i eksperymentalnej. Niniejsza monografia wpisuje się w ten nurt zainteresowań.

8 Słowo wstępne Problematyka. W literaturze anglojęzycznej zwraca uwagę duża różnorodność w zakresie pojęć stosowanych do opisu trudności w uczeniu się matematyki u dzieci. Różnice wynikają z odmienności perspektywy przyjętej w badaniach (neuropsychologicznej, psychologicznej, pedagogicznej), a także z interdyscyplinarnego charakteru problemu. Dylematy terminologiczne i potrzeba precyzyjnej prezentacji obrazu klinicznego sprawiają, iż niejednokrotnie zdarza się, że grupa badaczy używa zamiennie kilku określeń do opisu tego samego zespołu zaburzeń. Najczęściej występujące terminy w literaturze to: mathematical disorder, mathematical disabilities, arithmetic disabilities, specific arithmetic disabilities, specific arithmetical impairment, numerical disabilities, mathematical difficulties, developmental dyscalculia, profound developmental dyscalculia, ostatnio także: mathematics deficiencies, disturbances, deficits. Określenie disorder (zaburzenie) jest popularne u badaczy reprezentujących nurt psychologii powiązanej z naukami medycznymi. Zwykle ich badania oraz poziom wyjaśniania dotyczy wówczas poszukiwania przyczyn w uwarunkowaniach natury konstytucjonalnej. Termin disability (zaburzona zdolność, dysfunkcja) stosowany jest przez badaczy reprezentujących podejście poznawcze i rozwojowe. Pojęcie difficulties (trudności, niepowodzenia) występuje w naukach pedagogicznych, a także psychologii edukacyjnej, zajmującej się wyjaśnianiem mechanizmu opisywanych zmian w powiązaniu z poziomem kształcenia i metodami nauczania. W większości opracowań wymienione pojęcia stosowane są zamiennie, a autorzy definiują rozumienie używanego terminu na wstępie, dokonując jego operacjonalizacji dla potrzeb konkretnych badań. Niektórzy badacze stoją na stanowisku koniecznego różnicowania wymienionych terminów, rezerwując jedne dla trudności ujawnianych przez dzieci objęte masowym programem nauczania (mathematical difficulties), a inne dla zaburzeń występujących u dzieci z poważnymi uszkodzeniami mózgu (developmental dyscalculia). Często też dla wyeksponowania różnicy stosuje się pojęcie dyskalkulii głębokiej (profound dyscalculia). W odniesieniu do dzieci z ogniskowymi uszkodzeniami mózgu używany jest również termin dyskalkulia nabyta (aquired dyscalculia). Zgodnie z klasyczną definicją Košča oraz proponowaną aktualnie przez DSM-IV i ICD-10 przyjmuje się, że dyskalkulia rozwojowa obejmuje specyficzne zaburzenia zdolności arytmetycznych, rozpoznawane na podstawie analizy deficytów poznawczych ujawnianych przez dziecko w kontekście prawidłowego rozwoju in-

Słowo wstępne 9 telektualnego i sprzyjających warunków edukacyjnych. Bezspornym faktem pozostaje zatem uznanie, że charakteryzowane trudności matematyczne nie są wynikiem ogólnego obniżenia możliwości intelektualnych badanych osób. W niniejszej monografii również występuje zróżnicowana terminologia. Cechą wspólną opisywanych badań jest to, że osobami badanymi były dzieci przejawiające trudności w operowaniu liczbami i posługiwaniu się nimi w celach matematycznych, czyli zaburzenia liczenia, różne od trudności geometrycznych, analitycznych, algebraicznych. W dwóch badaniach (rozdział 4 i 7) w efekcie diagnozy psychologiczno-pedagogicznej u dzieci rozpoznano dyskalkulię, rozumianą jako uporczywe i głębokie trudności w uczeniu się matematyki (wg kryteriów ICD-10). Wszystkie badane dzieci uczęszczały do szkoły masowej i były prawidłowo rozwinięte pod względem intelektualnym. Cel. Monografia sygnalizuje wybrane aspekty psychologii zaburzeń arytmetycznych u dzieci i stanowi zbiór doniesień badawczych z zakresu omawianej problematyki. Celem opracowania jest próba zwartego przedstawienia rezultatów badań nad skalą i oceną problemu przez praktyków, rozwojem umiejętności matematycznych, przejawami i uwarunkowaniami zaburzeń oraz konsekwencjami emocjonalnymi. Badania zostały przeprowadzone autorskimi metodami wzorowanymi na eksperymentach opisywanych w anglojęzycznej literaturze przedmiotu. Oryginalne metody selekcji dzieci do badań ankiety dla nauczycieli, kwestionariusze oceny umiejętności, zestawy prób arytmetycznych mogą stanowić inspirację do dalszych badań prowadzonych przez inne ośrodki naukowe w Polsce. Celem opracowania jest też możliwość konfrontacji uzyskanych wyników w szerszej dyskusji oraz poprzez replikację opisanych eksploracji. Jest to także próba przedstawienia zespołu badawczego zainteresowanego problematyką stosunkowo rzadko Polsce poddawaną empirycznej penetracji, a na świecie bardzo dynamicznie zgłębianą. Zainteresowanie innych zespołów naukowych tym zagadnieniem stwarza sposobność wymiany doświadczeń pomiędzy ośrodkami w kraju i okazję do szerszej współpracy, która jest już realizowana w aspekcie międzynarodowym w ramach sieci NUMBRA Network, Numeracy and Brain Development przez redaktora naukowego niniejszego opracowania. Adresat. Publikacja została opracowana z myślą o szerokim kręgu odbiorców. Kierujemy ją do nauczycieli, zarówno kształcenia zintegrowanego,

10 Słowo wstępne jak i matematyki, pracującymi z dziećmi mającymi trudności arytmetyczne. Proponujemy jej lekturę pedagogom szkolnym w celu pełniejszego zrozumienia istoty zaburzenia i wynikających z niego wtórnych problemów. Z tych samych powodów zachęcamy do jej przeczytania psychologów praktyków poszukujących literatury na temat coraz bardziej aktualny w progach poradni psychologiczno-pedagogicznych. Monografia powinna się spotkać również z zainteresowaniem studentów psychologii, pedagogiki i kierunków nauczycielskich, może być wykorzystana w całości lub fragmentarycznie na zajęciach z zakresu diagnostyki i terapii pedagogicznej oraz studiach podyplomowych z tej dziedziny. Będziemy radzi, gdy zainteresuje ona również rodziców dzieci mających trudności z matematyką. Struktura. Opracowanie składa się z trzech części. W pierwszej przedstawiono skalę problemu, jakim są rozwojowe zaburzenia umiejętności arytmetycznych. Zarysowano jego perspektywę światową częstość występowania dyskutowanych trudności w różnych krajach, ich stopień nasilenia oraz realizowane modele diagnozy. Na podstawie badań własnych zaprezentowano szerokie spektrum spojrzenia nauczycieli na problem trudności z matematyką. Część drugą poświęcono zaburzeniom liczenia u dzieci. Zawiera ona prezentację wyników badań nad zdolnościami posługiwania się liczbami przez dzieci z trudnościami w matematyce i przejawami ich trudności w rozwiązywaniu zadań tekstowych. W części tej zaprezentowano też umiejętności matematyczne dzieci z dysleksją rozwojową. Część trzecia dotyczy zagadnień funkcjonowania psychospołecznego dzieci z rozwojowymi zaburzeniami arytmetycznymi. Przedstawia wnikliwe studium przypadku chłopca z dotkliwymi problemami w uczeniu się matematyki oraz wyniki badań poziomu lęku szkolnego młodzieży z trudnościami w opanowaniu tego przedmiotu. Opracowanie kończy się podsumowaniem, w którym przedstawiono refleksje końcowe oraz praktyczne implikacje uzyskanych rezultatów badań. Zespół autorski. Autorzy monografii stanowią zespół złożony z przedstawicieli profesji zainteresowanych psychologią kliniczną dziecka i problematyką specyficznych trudności w uczeniu się. Znaleźli się w nim psychologowie praktycy oraz nauczyciele i pedagodzy szkolni, których połączyła wspólna pasja samorealizacji, rozwoju osobistego i potrzeba poznawcza. Potrzeba ta zawiodła ich na studia podyplomowe z zakresu diagnozy i te-

Słowo wstępne 11 rapii dysleksji rozwojowej prowadzone od kilku lat w Instytucie Psychologii UMCS w Lublinie. Tam stawiali wiele pytań, na które systematycznie, z mozołem i uporem poszukiwali odpowiedzi. W rezultacie tych poszukiwań zespół podjął wycinkowe badania nad uwarunkowaniami, mechanizmem, obrazem klinicznym i konsekwencjami specyficznych trudności w uczeniu się matematyki u dzieci. Owocem tych naukowych eksploracji stała się niniejsza monografia. Ze świadomością ograniczeń, oddajemy ją Czytelnikowi jako próbę przedstawienia skali problemu zaburzeń rozwoju umiejętności arytmetycznych z perspektywy empirycznej. Mamy nadzieję, że nasza praca, którą traktujemy jako głos w dyskusji nad podjętą problematyką, zainteresuje praktyków i zainspiruje przedstawicieli świata nauki. Lublin, 10.08.2006 Urszula Oszwa.

Część I Społeczna perspektywa trudności arytmetycznych

Rozdział 1. Modele diagnozy zaburzeń arytmetycznych (Urszula Oszwa) Wprowadzenie Podejście do problematyki trudności w uczeniu się matematyki stanowi konsekwencję przyjętego modelu zaburzenia. W niektórych państwach realizowany jest model medyczny, w innych model społeczny (por. Sayles, 2004). Zgodnie z modelem medycznym trudności w uczeniu się matematyki ujmowane są w sposób tradycyjny, czyli jako problem dotyczący jednostki, stanowiący konsekwencję deficytów funkcji psychicznych. Sugeruje się, aby zaburzenie takie objąć interwencją zbliżoną do medycznej, tzn. polegającą na wyleczeniu lub zmniejszeniu objawów zaburzenia. W modelu społecznym sama istota zaburzenia jest traktowana podobnie jak w modelu medycznym, jednak większy nacisk jest tu położony na likwidację barier środowiskowych i dążenie do przywrócenia osobom z zaburzeniami możliwości funkcjonowania społecznego na poziomie zbliżonym do osób bez problemów w liczeniu. Inaczej mówiąc, w modelu społecznym dąży się do umożliwienia osobom z dyskalkulią pełnego uczestnictwa w kształceniu i życiu społecznym poprzez integrację nauczania i realizację własnych możliwości pomimo przejawianych trudności. W większości krajów Unii Europejskiej, a także w USA i Kanadzie, obserwuje się w ostatnich latach tendencję do wspierania społecznego modelu zaburzeń w liczeniu. W rezultacie prowadzi to do włączania uczniów o specjalnych potrzebach edukacyjnych (SPE), w tym także dotyczących opanowania podstaw posługiwania się liczbami, do głównego nurtu nauczania, jednak z zapewnieniem nauczycielom wsparcia w formie szkoleń, pomocy, sprzętu i terapeutów monitorujących zindywidualizowane kształcenie tych dzieci (por. Sayles, 2004). Jak wynika z raportów i doniesień badawczych (por. Desoete, Roeyers, de Clercq, 2004; Kraayenoord, Elkins, 2004; Woodward, 2004; Woodward,

16 Część I. Społeczna perspektywa trudności arytmetycznych Ono, 2004), w różnych krajach przyjmuje się podobne, ale też nieco odmienne kryteria identyfikacji dzieci przejawiających zakłócenia w rozwoju zdolności niezbędnych do prawidłowego posługiwania się liczbami w zakresie wykonywania operacji arytmetycznych i różnych form rozumowania matematycznego. W Polsce znany jest termin specyficzne trudności w uczeniu się matematyki wprowadzony w latach osiemdziesiątych przez E. Gruszczyk-Kolczyńską. Jednak w założeniu autorki nie służy on do opisu dzieci, u których występują problemy edukacyjne w matematyce mimo prawidłowego rozwoju intelektualnego i osiągania zadowalających wyników w zakresie innych przedmiotów szkolnych. W rozumieniu E. Gruszczyk-Kolczyńskiej (1994) trudności specyficzne są rezultatem niewłaściwego sposobu nauczania i mogą być skutecznie eliminowane, gdy metoda edukacji zostanie zmieniona. Takie podejście jest z jednej strony optymistyczne, ale z drugiej pociąga szereg konsekwencji negatywnych, do których można zaliczyć: obwinianie nauczyciela za niepowodzenia dziecka, lekceważenie licznych doniesień badawczych na temat mózgowych uwarunkowań procesów operowania liczbami (por. Łuria, 1976) i niedostrzegania ich wpływu na przebieg rozwoju zdolności arytmetycznych. Kolejną konsekwencją takiego podejścia jest preferowanie badań pedagogicznych jako wystarczających w diagnozie niepowodzeń w uczeniu się matematyki u dzieci, z pomijaniem badań neuropsychologicznych i psychologicznej oceny funkcji psychicznych. Inni autorzy (por. Oszwa, 2005) odwołują się do kryteriów przyjętych w klasyfikacjach międzynarodowych, takich jak europejskiej ICD-10 (2000) czy amerykańskiej DSM-IV (1994). Niestety, z powodu braku standaryzowanych testów do oceny umiejętności matematycznych, kryteria zawarte w tych systematyzacjach pozostają aktualne w aspekcie teoretycznym. W większości krajów Europy w diagnozie zaburzeń liczenia przyjmuje się kryteria DSM-IV bądź ICD-10, zarówno w teorii, jak i praktyce klinicznej. W Wielkiej Brytanii za sprawą zespołu B. Butterwortha (1999; por. też Landerl, Bevan, Butterworth, 2004) stosowane jest pojęcie dyskalkulii rozwojowej, przy czym przyjmuje się, że najniższe 10% wyników w standaryzowanych testach można traktować jako przejaw tego zaburzenia. W Belgii (por. Desoete, Roeyers, Buysse, 2001) stosowane są dwa określenia, różnicujące głębokość przejawianych trudności arytmetycznych: MLD i MLP. MLD (mathematical learning disabilities) są rozpoznawane

Modele diagnozy zaburzeń arytmetycznych (U. Oszwa) 17 przy wynikach testów niższych o dwa odchylenia standardowe od oczekiwanych dla wieku, poziomu edukacji i rozwoju intelektualnego. Natomiast MLP (mathematical learning problems) rozpoznaje się, gdy wyniki uzyskane w teście są niższe od oczekiwanych o jedno odchylenie standardowe. Dodatkowym kryterium jest opinia nauczyciela, który sygnalizuje poważne trudności matematyczne dziecka na tle innych uczniów w klasie (por. Desoete, Roeyers, de Clercq, 2004). W Hiszpanii (por. Casas, Castellar, 2004) zaburzenia matematyczne rozpoznawane są na podstawie badania psychologicznego dziecka oraz wywiadu z nauczycielem i rodzicami dziecka. We Włoszech (por. Cornoldi, Lucangeli, 2004) używa się określenia arytmetycznyczne zaburzenia w uczeniu się (ALD arithmetic learning disabilities), które są diagnozowane na podstawie niskich wyników w dwóch matematycznych testach standaryzowanych: Teście Podstawowych Umiejętności Arytmetycznych (BA Basic Arithmetics) i Teście Rozwiązywania Zadań Tekstowych (APS Arithmetic Problem Solving). Ten pierwszy obejmuje ocenę zdolności dokonywania operacji arytmetycznych, ten drugi ich realizacji w procesie rozwiązywania zadań z treścią. W Izraelu powszechnie stosuje się termin dyskalkulia rozwojowa i jest ona rozpoznawana u dzieci za pomocą badania standaryzowanym Testem Zdolności Arytmetycznych (por. Shalev i wsp., 1993). W Japonii (por. Woodward, Ono, 2004) zaburzenia matematyczne rozpoznawane są rzadko i niechętnie, a publikacje podają niewielki odsetek trudności tego typu wśród uczniów. Istnieje opisowe określenie students with learning difficulites (uczniowie z trudnościami w uczeniu się matematyki), które jest stosowane na podstawie obserwacji nauczyciela i porównania osiągnięć danego dziecka z innymi z tej samej klasy. Z kolei w Australii skrót MLD (mathematics learning difficulties) jest używany w odniesieniu do dzieci, które zostaną uznane przez ich nauczyciela za wymagające dodatkowej pomocy w edukacji matematycznej (por. Kraayenoord, Elkins, 2004). W USA (por. Geary, 2004; Woodward, 2004) terminologia jest zróżnicowana językowo, ale traktowana jako synonimiczna. Za podstawę rozpoznawania zaburzeń o charakterze dyskalkulii rozwojowej przyjmuje się w teorii i w praktyce klinicznej trzy kryteria zawarte w klasyfikacji DSM-IV (1994) pod numerem 315.1:

18 Część I. Społeczna perspektywa trudności arytmetycznych występują specyficzne odchylenia w osiągnięciach matematycznych przy normie intelektualnej i braku zaniedbań środowiskowych (dwa odchylenia standardowe); trudności w czynnościach związanych z liczeniem i posługiwaniem się liczbami są dotkliwe w rozmaitych sytuacjach życiowych dnia codziennego, nie ograniczają się tylko do edukacji szkolnej; dyskutowane trudności nie są bezpośrednią konsekwencją wad narządów zmysłu (wzroku czy słuchu). Określenia używane do opisu trudności w uczeniu się matematyki u dzieci o przeciętnym rozwoju intelektualnym są związane także z dyscypliną naukową, jaką reprezentują badacze. W naukach pedagogicznych częściej spotkać można termin trudności czy niepowodzenia (difficulties) (Kraayenoord, Elkins, 2004; por. też Gruszczyk-Kolczyńska, 1994), w naukach psychologicznych bardziej rozpowszechnione jest pojęcie zaburzeń (disabilities), natomiast w neuropsychologii i naukach medycznych dyskalkulii (developmental dyscalculia) (Shalev i wsp., 2001; por. też Butterworth, 1999). Podobnie jest z kryteriami uwzględnianymi do wyodrębniania tych dzieci z grupy wszystkich uczniów. Na szczególną uwagę zasługuje wprowadzony w Belgii (por. Desoete, Roeyers, de Clercq, 2004) przejrzysty sposób różnicowania dwóch poziomów trudności, tj. 1) dzieci ze specyficznymi zaburzeniami liczenia (ponad dwa odchylenia standardowe względem normy) oraz 2) dzieci z ł agodniejszymi problemami w tym zakresie (wyniki w testach liczenia gorsze od rówieśników o mniej niż jedno odchylenie standardowe). Rozmiar zaburzeń liczenia w skali danego kraju W wielu krajach prowadzone są regularne badania nad częstością występowania specyficznych trudności w uczeniu się matematyki u dzieci. Ich wyniki są zróżnicowane. Może to stanowić konsekwencję wielu czynników, takich jak: a) odmienne kryteria uwzględniane w analizie wyników, b) różnice w operacyjnej definicji ocenianych zaburzeń, c) zróżnicowane metody diagnozy dyskalkulii. Jednymi z najczęściej cytowanych są wyniki słowackich badań L. Košča (1974), które ujawniły, że częstość występowania dyskalkulii rozwojowej wyniosła 6,4% badanej populacji dziecięcej. Badaniami neuropsychologicz-

Modele diagnozy zaburzeń arytmetycznych (U. Oszwa) 19 nymi objęto wówczas 375 dzieci, wśród których 24 wykazywało objawy głębokiej dyskalkulii rozwojowej. W latach osiemdziesiątych i dziewięćdziesiątych w wielu krajach świata podejmowano badania epidemiologiczne, które wskazują na środowiskowe i kulturowe wahania w częstości występowania zaburzeń arytmetycznych u dzieci. W USA na podstawie badań prowadzonych przez E. Badian (1983) uzyskano wskaźnik 5,5% dzieci przejawiających specyficzne trudności w uczeniu się matematyki. Podkreślić należy duże zróżnicowanie wewnątrzgrupowe, bowiem badane dzieci (N = 300) miały za sobą różnej długości staż edukacji szkolnej, który mieścił się w przedziale od jednego do ośmiu lat. W Wielkiej Brytanii badania Lewisa i współpracowników (1994), przeprowadzone na reprezentatywnej próbie N = 1206 dzieci, wykazały występowanie specyficznych zaburzeń arytmetycznych u 1,3% badanych. U 2,3% dzieci rozpoznano mieszane zaburzenia uczenia się (arithmetic-and-reading difficulties). W Izraelu badania z udziałem 140 dzieci w początkowym okresie edukacji szkolnej (por. Shalev i wsp., 1993) wskazały na obecność dyskalkulii rozwojowej u 5,5% badanych. Epidemiologiczne badania belgijskie przeprowadzono na 3978 dzieciach z kl. II IV i rozpoznano wśród nich MLD (dyskalkulia) u 2,3 7,7% oraz łagodniejsze problemy w uczeniu się matematyki u 23,5 25,5%, przy czym częstość występowania trudności była wprost proporcjonalna do etapu edukacji im starsze dzieci, tym większy procent wśród nich ujawniał zaburzenia matematyczne (por. Desoete, Roeyers, de Clercq, 2004). We Włoszech zbadano 3595 dzieci z kl. I V (por. Cornoldi, Lucangeli, 2004) i stwierdzono u 5% z nich występowanie zaburzeń w liczeniu o różnym stopniu nasilenia i głębokości. Australijskie dane szacunkowe (por. Kraayenoord, Elkins, 2004) podają liczbę 10% dzieci z trudnościami w uczeniu się matematyki w tym kraju. Modele psychologicznej diagnozy trudności w uczeniu się matematyki u dzieci Analiza sposobu ujmowania procesu diagnozy trudności arytmetycznych w różnych krajach zwraca uwagę na dużą różnorodność proponowanych podejść, a także różny stopień ich zaawansowania widoczny w dostępności precyzyjnych metod pomiaru bądź ich braku.

Niedostępne w wersji demonstracyjnej. Zapraszamy do zakupu pełnej wersji książki w serwisie