O CHROMATYZMIE SOCZEWEK Dr inż. Marek Zając Pracownia Optyki Widzenia Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej e-mail: zajac@if.pwr.wroc.pl (artykuł był publikowany w Ogólnopolskim Kurierze Oftalmicznym "OKO", 1 / 2001) W roku 1666 sir Isaac Newton (rysunek 1) przeprowadził swoje słynne doświadczenie z rozszczepieniem światła słonecznego przez pryzmat. W jego notatkach zachował się szkic przedstawiający to doświadczenie (rysunek 2). Podobny eksperyment możemy z łatwością powtórzyć skierowując na pryzmat wąską wiązkę światła na przykład od zwykłej lampy i obserwując na ekranie ustawionym za pryzmatem wielobarwne widmo (rysunek 3). W ten sposób przekonujemy się o dwóch faktach: że białe światło jest mieszaniną fal wywołujących wrażenie różnych barw (barwom odpowiadają różne długości fali λ - rysunek 4), oraz że fale świetlne o różnych barwach rozchodzą się w szkle z różną prędkością. Ten ostatni fakt oznacza, że współczynnik załamania n jest różny dla światła o różnych długościach falλ. Efekt ten nazywa się dyspersją. Rys. 1 Sir Isaac Newton Rys.2 Oryginalny szkic Isaaca Newona przedstawiający doświadczenie z rozszczepieniem światła słonecznego przez pryzmat Rys. 3 Rozszczepienie światła białego przez pryzmat
Rys. 4 Widmo światła białego Możemy więc powiedzieć, że fala świetlna rozchodząca się w przezroczystym ośrodku takim jak szkło czy woda ulega dyspersji, czyli rozszczepieniu na składowe jednobarwne (monochromatyczne). Występowanie dyspersji oznacza, że współczynnik załamania światła przez dany ośrodek zależy od długości fali świetlnej, jest więc jej funkcją: n = n(λ ). Zależność ta jest oczywiście różna dla różnych materiałów. Są materiały o silniejszej i słabszej zależności n od λ. Rysunek 5 przedstawia kilka typowych krzywych dyspersji. Widać, że współczynnik załamania dla fal długich (czerwona część widma) jest mniejszy od współczynnika załamania dla fal krótkich (niebieska część widma). Nachylenie krzywej dyspersji pokazuje jak bardzo współczynnik załamania zmienia się wraz ze zmianą długości fali, czyli jak silne rozszczepienie światła powoduje ten materiał. Rys. 5 Krzywe dyspersji dla wybranych gatunków szkła optycznego: 1 - kron, 2 - lekki flint, 3 - flint, 4 - ciężki flint Z tego co powiedziano wyżej wynika, że dla pełnego scharakteryzowania właściwości optycznych materiału nie wystarcza podać jednej wartości współczynnika załamania, ale należy
znać te wartości przynajmniej dla kilku różnych długości fal w całym zakresie widma. W katalogach szkieł optycznych podawane są zwykle wartości współczynnika załamania dla kilku (lub kilkunastu) wybranych długości fal od czerwieni do fioletu. Są to długości fal odpowiadające światłu wysyłanemu przez niektóre pierwiastki pobudzone do świecenia np. w łuku elektrycznym. Oznacza się je tradycyjnie pojedynczymi literami alfabetu łacińskiego, np. C, d, e, F, g. Za podstawową przyjmuje się zwykle długość fali λ d = 0,5876 µm (jest to linia wodoru) albo bardzo jej bliską λ D = 0,5893 µm (linia sodu; tak świeci płomień palnika gazowego posypanego zwykłą solą kuchenną). Te długości fali odpowiadają barwie żółtej i przypadają mniej więcej na środek zakresu widma widzialnego, gdzie oko jest najbardziej czułe. Inne typowo używane długości fal to linie wodoru: czerwona (λ C = 0,6563 µm) i niebieska (λ F = 0,4861 µm). Właściwości dyspersyjne szkła zależą od jego składu chemicznego. Tradycyjnie wyróżnia się kilka podstawowych gatunków szkła optycznego, z których najważniejszymi są kron o stosunkowo małym współczynniku załamania i niewielkiej dyspersji oraz flint o współczynniku załamania znacznie większym, ale też większej dyspersji. Na rysunku 5 przedstawione są wykresy przedstawiające dyspersję podstawowych gatunków szkła optycznego. Z wykresu widać, jak niewiele zmienia się wraz z barwą światła współczynnik załamania szkła kronowego, a jak ta zależność jest silniejsza w przypadku ciężkiego flintu. Wspomniane wyżej klasyczne szkła optyczne to substancje powstałe przez stopienie krzemionki, czyli piasku kwarcowego, z tlenkami metali. Taka technologia, stosowana od stuleci, a doprowadzona do perfekcji dzięki wieloletniej praktyce oraz intensywnym badaniom naukowym, pozwala otrzymywać szkła o dokładnie zadanych parametrach optycznych. Szkła te stosowane są na odpowiedzialne układy optyczne takie jak obiektywy fotograficzne, czy mikroskopowe. W optyce okularowej szkło optyczne (nazywane popularnie "szkłem mineralnym") stosuje się niezbyt chętnie między innymi ze względu na jego dużą masę właściwą a więc duży ciężar wykonanych z niego soczewek. Powszechnie stosowane są tworzywa sztuczne takie jak polimetakrylan metylu (czyli PMMA, "plexi", szkło organiczne), estry celulozy, termoplastyczne żywice poliwęglanowe, czy żywice termoutwardzalne ze szczególnie popularną CR39 na czele. Wartości współczynników załamania (dla żółtej linii sodu n d ) dla szkła oraz wymienionych tworzyw sztucznych zawarte są w tabeli 1. W celu lepszego scharakteryzowania stopnia dyspersji podaje się zwykle wielkość zwaną liczbą Abbego ν zdefiniowaną następującym wzorem: (1) Jak widać z postaci tego wzoru im bardziej różnią się od siebie współczynniki załamania dla światła czerwonego i niebieskiego tym mniejsza jest wartość liczby Abbego. Duża jej wartość oznacza mniejszą różnicę pomiędzy współczynnikami załamania dla tych dwóch barw. Liczba Abbego jest ważnym parametrem charakteryzującym właściwości optyczne materiału, a jej znajomość pozwala zorientować się o stopniu barwnego rozszczepiania światła powodowanego przez element optyczny wykonany z tego materiału. Wartości liczby Abbego dla różnych gatunków szkieł zebraliśmy także w tabeli1. Te dwa parametry: n d oraz ν d są podstawowymi parametrami charakteryzującymi każdy materiał optyczny. Przyglądając się uważnie liczbom w tabeli 1 można zauważyć, że szkła o niskich współczynnikach załamania charakteryzują się wyższą liczbą Abbego i odwrotnie. Zależność ta jest prawdziwa dla większości materiałów optycznych. Wyraźnie to widać na rysunku 6 przedstawiającym tzw. diagram n d - ν d. Poszczególne punkty na tym diagramie reprezentują różne gatunki szkieł optycznych. Symbole literowe opisujące poszczególne grupy szkieł odnoszą się do ich typowych nazw. Prawie wszystkie punkty układają się wzdłuż jednej linii. Wyjątkiem
są specjalne materiały takie jak np. fluoryt. Ten minerał, stosunkowo miękki i łatwo chłonący wodę, stosowany jest jednak tylko w bardzo złożonych i szczególnie odpowiedzialnych obiektywach np. mikroskopowych. Rys. 6 Diagram n d - ν d ilustrujący różne gatunki szkieł optycznych Dyspersja światła daje o sobie znać we wszystkich elementach optycznych. Dla nas szczególne znaczenie ma soczewka. Zdolność zbierająca Φ cienkiej soczewki o dwóch powierzchniach sferycznych umieszczonej w powietrzu zależy od promieni krzywizn obu jej powierzchni R 1 i R 2 oraz współczynnika załamania n materiału, z którego jest wykonana: (2) Rys. 7 Aberracja chromatyczna soczewki Ponieważ współczynnik załamania zależy od długości fali świetlnej zatem i zdolność zbierająca soczewki dla światła o różnych długościach fali jest różna. Wiązka światła wielobarwnego padająca na soczewkę zostaje przez nią załamywana i skupiana w różnych punktach zależnie od barwy. Nigdy nie można uzyskać ostrego obrazu. Punkt, w którym skupia się światło o krótkich długościach fali (niebieskie) otoczony jest rozmytą obwódką czerwoną, punkt, w którym skupia się światło czerwone otoczony jest rozmytym krążkiem niebieskim; punkt skupienia światła żółtozielonego otoczony jest krążkiem purpurowym (złożeniem czerwieni i błękitu) itd. Ilustruje to rysunek 7. Zjawisko to nazywa się aberracją chromatyczną lub po prostu chromatyzmem soczewki. Znaczny chromatyzm w zauważalny sposób pogarsza jakość obrazów dawanych przez soczewkę. Nietrudno się domyślić, że wielkość chromatyzmu związana jest z wielkością dyspersji: soczewki wykonane ze szkła o dużej liczbie Abbego cechują się małym chromatyzmem, zaś soczewki wykonane ze szkła o małej liczbie Abbego mają większy
chromatyzm. Aby scharakteryzować ilościowo aberracje chromatyczną wykorzystamy wzór (2) by wyrazić zdolności zbierające soczewki dla światła czerwonego (linia C), żółtego (linia d) oraz niebieskiego (linia F): (3a) (3b) (3c) Obliczmy teraz jaka jest względna różnica zdolności zbierających soczewki dla światła niebieskiego i czerwonego w stosunku do podstawowej zdolności zbierającej określonej dla światła żółtego: (3d) Okazuje się więc, że ta względna różnica zdolności zbierającej jest odwrotnie proporcjonalna do liczby Abbego. Wyjaśnia to dlaczego aberracja chromatyczna jest tym większa im mniejsza jest liczba Abbego. Aby sobie to jaśniej uzmysłowić zbierzmy w tabeli 2 wielkości względnej procentowej zmiany zdolności zbierającej dla różnych wartości liczby Abbego. Powyższa tabela pozwala zorientować się jak wielki jest wpływ chromatyzmu na odwzorowanie dawane przez soczewkę. Rys. 8 Wykresy aberracji chromatycznej podłużnej dla soczewek o mocy +2 dptr wykonanych z różnych szkieł optycznych i przedmiocie położonym w nieskończoności (A) i w odległości 40 cm przed soczewką (B) Aberrację chromatyczną soczewki charakteryzuje się jednak najczęściej podając zależność położenia ogniska soczewki od barwy światła. Jeśli przyjąć, że na soczewkę pada równoległa wiązka światła (tak jest jeśli przedmiot leży w nieskończoności, czyli myślimy o soczewce okularowej dla dali), to obraz powstaje w ognisku. Odległość od soczewki do ogniska, czyli jej ogniskowa, jest odwrotnością zdolności zbierającej. Jeśli wyliczymy ogniskowe soczewki dla różnych długości fal f λ i odejmiemy on nich ogniskową dla światła żółtego f d to otrzymamy krzywą aberracji chromatycznej podłużnej. Rysunek 8 przedstawia krzywe aberracji chromatycznej podłużnej dla soczewek skupiających o mocy +2 dptr wykonanych z różnych gatunków szkła i przedmiotu w nieskończoności (soczewki do dali). Warto zauważyć, że właściwości chromatyczne soczewki nie zależą od jej kształtu. We wzorach opisujących czy to zdolność zbierającą czy ogniskową soczewki występują, co prawda, promienie krzywizn jej obu powierzchni R 1 i R 2, ale nie jako niezależne wielkości lecz zawsze jako różnica odwrotności. Określoną zdolność zbierającą soczewki np. dodatniej można uzyskać dobierając różnie wartości
R 1 i R 2 (a więc różne kształty soczewek - dwuwypukłych, meniskowych, płasko-wypukłych). W każdym przypadku aberracja chromatyczna podłużna jest jednak taka sama. Dla danej soczewki aberracja chromatyczna zależy od położenia obrazu. Przypomnijmy wzór, z którego wylicza się położenie obrazu w zależności od odległości s przedmiotu od soczewki: (4) Stosując ten wzór wyliczymy odległość s' od soczewki do obrazu dla różnych długości fal świetlnych. Względne przesunięcie tego obrazu w stosunku do położenia obrazu obserwowanego w świetle żółtym jest podłużną aberracją chromatyczną przy określonym położeniu przedmiotu. Na rysunku 8 przedstawione są także krzywe aberracji chromatycznej podłużnej dla tych samych soczewek ale dla przedmiotu leżącego 40 cm przed soczewką (ustawienie "do bliży"). Jak widać z porównania odpowiednich krzywych charakter aberracji jest taki sam, ale w przypadku soczewek do bliży wielkość chromatyzmu jest większa. Rys. 9 Dublet achromatyczny Niestety, pojedyncza soczewka jest zawsze obarczona chromatyzmem. Jedynym sposobem kompensacji tej aberracji (czyli achromatyzacji układu optycznego) jest zbudowanie układu optycznego złożonego z co najmniej dwóch soczewek (dubletu) - rysunek 9. Takie rozwiązanie nie jest jednak stosowane w przypadku soczewek okularowych ze względów technologicznych. Jednak bardziej złożone układy optyczne, takie jak choćby lupy, powinny być tak projektowane, by skorygować chromatyzm przynajmniej dla dwóch długości fali. Można to zrobić budując układ z dwóch soczewek wykonanych z różnych gatunków szkła (np. flintowego i kronowego). Jedna z tych soczewek powinna być dodatnia a druga ujemna. Wartości mocy optycznych części skupiającej i rozpraszającej Φ 1 i Φ 2 zależeć powinny od wartości liczb Abbego obu gatunków szkła ν 1 i ν 2. (5) W dubletach achromatycznych położenie obrazu dla dwóch długości fal (zwykle λ F i λ C ) jest takie samo. Jednak promienie odpowiadające pozostałym barwom przecinają się bliżej lub dalej. Tworzy się tzw. widmo wtórne. Żeby je zmniejszyć trzeba budować układy optyczne złożone z większej ilości soczewek. Można tak uzyskać układy apochromatyczne (skorygowane dla trzech długości fal) a nawet apochromatyczne (skorygowane dla czterech długości fal). Krzywe aberracji chromatycznej odpowiadające poszczególnym rodzajom korekcji przedstawia rysunek 10.
Rys. 10 Korekcja chromatyzmu: (a) brak korekcji, (b), (c) korekcja achromatyczna, (d), (e), (f) korekcja apochromatyczna, (g) korekcja superachromatyczna. W przypadku okularów chromatyzm zależy tylko od dyspersji materiału, z którego wykonane są soczewki. Za względu na minimalizację chromatyzmu pożądane jest, by było to szkło o jak największej liczbie Abbego, nie zawsze jest to jednak możliwe do spełnienia. Na szczęście znaczenie aberracji chromatycznej w okularach nie jest tak wielkie jak w innych układach optycznych. Wynika to z małej rozwartości kątowej wiązek świetlnych wpadających przez źrenicę do oka. O wielkości rozmycia barwnego decyduje bowiem nie tyle podłużna aberracja chromatyczna co wielkość barwnych plamek rozmycia. Rysunek 11 ilustruje zależność wielkości rozmycia barwnego r (aberracji chromatycznej poprzecznej) od aberracji chromatycznej podłużnej s oraz kąta aperturowego u. Jak widać z tego rysunku nawet przy znacznej wartości chromatyzmu podłużnego s rozmycie barwne może być niewielkie jeśli tylko kąt aperturowy będzie wystarczająco mały. Rys. 11 Zależność aberracji chromatycznej podłużnej i poprzecznej W praktyce chromatyzm daje się odczuć tylko podczas patrzenia przez skrajne części soczewki i to pod sporym kątem. Ciekawe efekty można zaobserwować przyglądając się w ten sposób np. kolorowym światłom samochodowym, odległym lampom ulicznym czy barwnym neonom reklamowym. Czy aberracja chromatyczna jest zawsze szkodliwa? Otóż niekoniecznie. W optometrii może być nawet pomocna. Jak wiadomo oko cechuje się dużą wartością tej aberracji. Różnica zdolności mocy optycznych oka dla światła czerwonego i niebieskiego wynosi około 2 dptr. Obraz tworzony na siatkówce nawet przez miarowe oko jest więc w pewnym stopniu rozmyty barwnie. Prawdopodobnie oko wykorzystuje to w mechanizmie akomodacji. Tutaj zwrócimy uwagę na inne efekt wykorzystywany przy dokładnym określaniu wady refrakcji. Chodzi o zastosowanie tzw. testu duochromatycznego czerwono-zielonego. Jest to plansza składająca się z dwóch części na których na kolorowym tle - w jednej części zielonym, w drugiej czerwonym wykreślone są wyraźne czarne znaki (np. koła czy pierścienie) - rysunek 12. Przy odległości badania wynoszącej 5 m średnice takich pierścieni powinny wynosić około 5 cm (odpowiada to wielkości kątowej około 5 o ). Maksimum czułości oka przypada na światło o barwie zielonożółtej i dla tej barwy określamy refrakcję oka. Przy oku miarowym (lub prawidłowej korekcji) na siatkówce tworzy się więc ostry obraz utworzony przez światło żółte a obrazy zielone i czerwone są nieznacznie rozmyte (rysunek 13a). Jeśli zdolność zbierająca oka jest nieco za duża (oko lekko krótkowzroczne lub przekorygowane) to na siatkówce utworzy się ostry obraz czerwony a obraz zielono-niebieski będzie bardziej rozmyty (rysunek 13b). W przypadku zbyt małej
zdolności zbierającej, czyli oka nieco nadwzrocznego lub niedokorygowanego na siatkówce powstanie ostry obraz niebiesko-zielony, a obraz czerwony będzie rozmyty (rysunek 13c). Rys. 12 Test duochromatyczny czerwono-zielony Klasyczne szkła optyczne Szkła eralne stosowane czewki okularowe orzywa sztuczne Rys. 13 Odwzorowanie testu duochromatycznego a) przez oko miarowe, (b) przez oko nieco krótkowzroczne (c) przez oko nieco nadwzroczne Stąd następująca zasada: Jeśli pacjent widzi obie czarne figury równo wyraźnie to oznacza właściwą korekcję refrakcji. Jeśli pacjent widzi wyraźniej figurę na czerwonym tle (określa ją jako "bardziej czarną", "wyraźniejszą") to mamy do czynienia z niewielką krótkowzrocznością i koniecznością wstawienia przed oko soczewki ujemnej (w typowej kasecie okulistycznej jest to soczewka w czerwonej oprawce). Jeśli wyraźniejsza wydaje się pacjentowi figura na zielonym tle to oznacza niewielką nadwzroczność i konieczność skorygowania wady refrakcji soczewką dodatnią. Test duochromatyczny jest bardzo czułym narzędziem i przy pewnej wprawie pozwala określać wadę refrakcji sferycznej z dokładnością do 0,25 dptr. Tabela 1 Parametry charakteryzujące podstawowe gatunki szkła optycznego oraz niektórych innych materiałów stosowanych w optyce. Gatunek szkła n d ν d Borowy kron 1,516 64 Kron 1,518 59 Lekki flint 1,573 43 Flint 1,613 37 Ciężki flint 1,640 35 Szkło kronowe 1,52 58 Szkła o wysokim współczynniku załamania 1,56-1,66 47-32 Szkła o bardzo wysokim współczynniku 1,7-1,9 30-20 załamania CR39 1,498 58 Żywica poliwęglanowa 1,59 31 Inne szkła organiczne 1,498-1,66 58-32 Polistyren przezroczysty 1,59-1,60 30,8 Kwarc 1,459 67 Fluoryt 1,434 61
Tabela 2 Wartości procentowej zmiany zdolności zbierającej dla światła niebieskiego i czerwonego w stosunku do zdolności zbierającej dla światła żółtego w zależności od liczby Abbego. ν d (Φ F -Φ C )/Φ d 20 5 % 30 3 % 40 2,5 % 50 2 % 60 1,7 % 70 1,4 % PRZYPISY 1. Sir Isaac Newton (1643-1727), jeden z największych uczonych nowożytnych, astronom, matematyk i fizyk. 2. Warto może zwrócić uwagę że dyspersji nie ulegają fale głosowe, dzięki czemu możemy słyszeć niezniekształcone dźwięki nawet ze znacznej odległości. "OKO" i M. Zając'2001