PROBABILISTYKA I STATYSTYKA - Zadania do oddania Parametr k = liczba trzycyfrowa, dwie ostatnie cyfry to dwie ostatnie cyfry numeru indeksu, pierwsza cyfra to pierwsza cyfra liczby liter pierwszego imienia. Poszczególne zadania oddajemy na oddzielnych kartkach! Naley wypełni załczon stron tytułow i w czci dodatkow, wpisujc wskazane wyniki. Zadanie W skrzyni jest k detali wyprodukowanych w zakładzie A, k detali wyprodukowanych w zakładzie B i 5k detali wyprodukowanych w zakładzie C. Wadliwo produkcji poszczególnych zakładów wynosi odpowiednio:,k%,,5k % i,k %. a) Obliczy prawdopodobiestwo, e losowo wybrany detal okae si dobry, b) Wylosowany detal okazał si wadliwy jakie jest prawdopodobiestwo, e wyprodukował go zakład B? Zadanie Zmienna losowa X ma rozkład okrelony funkcj prawdopodobiestwa: x k,k p k 3 a) wyznaczy dystrybuant tej zmiennej losowej i naszkicowa jej wykres, b) obliczy P(X > ), P(X ), P(X < ), P( X ), c) obliczy EX, D X. Zadanie 3. X jest zmienn losow o gstoci c dla x [,k ;,k ] [,k + ;,k + 4] f ( x) = dla innych x a) wyznaczy c, b) wyznaczy dystrybuant, c) obliczy P (,k,5 X,k + 3) i zinterpretowa na wykresie gstoci, d) obliczy EX, D X. Zadanie 4 Zmienna losowa (X, Y) ma rozkład okrelony tabel: X Y - a) Wyznaczy macierz kowariancji, b) Obliczy współczynnik korelacji midzy tymi zmiennymi. c) Czy X, Y s skorelowane? Czy X, Y s niezalene? 4
Zadanie 5 Zmienna losowa (X, Y) ma rozkład okrelony tabel: X Y - a) wyznaczy F(; ), P X ; Y, b) obliczy ( ) 8 c) Wyznacz rozkład zmiennej losowej X. d) Wyznacz rozkład zmiennej losowej Y. e) wyznacz rozkładów warunkowych X Y = ; Y X =, f) Obliczy współczynnik korelacji midzy tymi zmiennymi. g) Czy X, Y s skorelowane? Czy X, Y s niezalene? Zadanie 6 Zmienna losowa (X, Y) ma macierz kowariancji: 4,5k K =,5k 6 Ile wynosi współczynnik korelacji midzy X i Y? Zadanie 7. Zmienna losowa X ma rozkład N( k;, k). Obliczy: a) P(X >,9 k), b) P(X <,95 k), c) P ( X + k <,5k ) Otrzymane wyniki zinterpretowa na wykresie gstoci. Zadanie 8. Zmienna losowa X ma rozkład N( k;, k). Wyznaczy x aby: a) P(X > x) =,98, b) P(X < x) =,, c) P ( X + k > x) =, 5. Otrzymane wyniki zinterpretowa na wykresie gstoci.
Zadanie 9. a) Zmienna losowa X ma rozkład N(k;, k). Obliczy P (,9k < X 9 <,95k), b) Zmienna losowa X ma rozkład N(m;, k). Obliczy P ( S <,k), c) Zmienna losowa X ma rozkład N(k;, k). Obliczy P ( S >,3k), d) Zmienna losowa X ma rozkład N(-; σ). S = 5. Obliczy P ( X,85 ) < k. Otrzymane wyniki zinterpretowa na wykresach odpowiednich gstoci. Zadanie A. Cecha X ma rozkład N( m; σ). Dokonano pomiarów tej cechy i obliczono, e Przyjmujc poziom ufnoci α =, 98 a) Oszacowa przedziałem ufnoci parametr m, b) Wyznaczy błd wzgldny tego oszacowania, c) Jak liczna powinna by próba aby błd wzgldny wynosił, k%? x = k, s =, k. Zadanie B. Cecha X ma rozkład N( m;, k). Dokonano 9 pomiarów tej cechy i obliczono, e poziom ufnoci α =,9 +, k a) Oszacowa przedziałem ufnoci parametr m, b) Wyznaczy błd wzgldny tego oszacowania, c) Jak liczna powinna by próba aby błd wzgldny wynosił, k%? x = k. Przyjmujc Zadanie C. Dokonano pomiarów badanej cechy X i obliczono, e x = k, s =, 5 k. Przyjmujc poziom ufnoci α =, k a) Oszacowa przedziałem ufnoci parametr m, b) Wyznaczy błd wzgldny tego oszacowania, c) Jak liczna powinna by próba aby błd wzgldny wynosił, k%? Zadanie D. W losowo wybranej próbie + k 5 wyborców, + k 5 osób zadeklarowało udział w zbliajcych si wyborach. Przyjmujc poziom ufnoci α =, 94 a) Oszacowa przedziałem ufnoci procent wszystkich uprawnionych osób, które wezm udział w zbliajcych si wyborach, b) Wyznaczy błd wzgldny tego oszacowania, c) Jak liczna powinna by próba aby błd wzgldny wynosił 3 %? Zadanie. Cecha X ma rozkład N( m; σ). Dokonano pomiarów tej cechy i obliczono, e Przyjmujc poziom ufnoci α =, 95 Oszacowa przedziałem ufnoci parametr σ, s =, k.
Zadanie A. W losowo wybranej próbie + k 5 wyborców, + k 5 osób zadeklarowało udział w zbliajcych si wyborach. a) Na poziomie istotnoci α =, 4 sprawdzi e 5,% ogółu wyborców wemie udział w zbliajcych si wyborach. b) Błd którego rodzaju moemy popełni podejmujc decyzj dotyczc rozpatrywanych Zadanie B. Cecha X ma rozkład N( m; ). Dokonano 9 pomiarów tej cechy i obliczono, e x = k. a) Na poziomie istotnoci α =, k sprawdzi hipotezy H ( m =,94 k), H( m >,94 k) Zadanie C. Cecha X ma rozkład N( m; σ). Dokonano pomiarów tej cechy i obliczono, e x = k, s =, k. a) Na poziomie istotnoci α =, sprawdzi hipotezy H ( m =,94 k), H( m,94 k) Zadanie D. Dokonano pomiarów badanej cechy X i obliczono, e x = k, s =, 5 k. a) Na poziomie istotnoci α =, k sprawdzi hipotezy H ( m =,5 k), H( m <,5 k) Zadanie E. Cecha X ma rozkład N( m; σ). Dokonano pomiarów tej cechy i obliczono, e s =, k +. a) Na poziomie istotnoci α =, 5 sprawdzi hipotezy H ( σ =, k), H( σ >, k), Zadanie 3A. Badano wydatki na owiat (w zł) dorosłych mieszkaców Warszawy i Krakowa. Dokonano pomiarów badanej cechy w Krakowie i obliczono, e x =, 95k, s =, 5 k. Dokonano 8 pomiarów badanej cechy w Warszawie i obliczono, e x =, 5k, s =, 5 k.
a) Na poziomie istotnoci α =, k sprawdzi czy wydatki na owiat dorosłych ogółu mieszkaców Warszawy i Krakowa s takie same, Zadanie 3B. Badano poparcie osób dorosłych dla wprowadzenia kary mierci w Polsce i w Czechach. W losowo wybranych próbach liczacych po + k 5 osób dorosłych w tych krajach, + k 5 osób w Polsce i 5+ k 5 w Czechach zadeklarowało takie poparcie. a) Na poziomie istotnoci α =, k sprawdzi czy poparcie ogółu osób dorosłych dla wprowadzenia kary mierci w Polsce i w Czechach jest takie samo. Zadanie 4. Przez k dni rejestrowano w pewnym miecie liczb zabójstw: Liczba zabójstw 3 4 Liczba dni k - 8 55 5 8 a) Na poziomie istotnoci α =, 5 sprawdzi e dobowa liczba zabójstw w tym miecie ma rozkład Poissona, b) Wyznaczy krytyczny poziom istotnoci, Zadanie 5. Pewien produkt mona wytworzy dwiema metodami produkcji. Wysunito e wadliwo produkcji nie zaley od metody produkcji. Wylosowano niezalenie prób k sztuk wyrobu i otrzymano nastpujce wyniki badania jakoci dla poszczególnych metod: METODA PRODUKCJI JAKO I II DOBRA 4 ZŁA k - 7 a) Na poziomie istotnoci α =, sprawdzi hipotez o niezalenoci jakoci produkcji od metod produkcji, b) Wyznaczy krytyczny poziom istotnoci. Uwaga. Z zada A, B, C, D wybieramy tylko jedno. Z zada A, B, C, D, E wybieramy tylko jedno. Z zada 3 A, B wybieramy tylko jedno. Z serii zada 8 naley odda przynajmniej 5 zada. Z serii zada 9 5 naley odda przynajmniej 5 zada. L.Kowalski, 9.9.5
... data Zadania Cz. I PROBABILISTYKA i STATYSTYKA......... Imi Nazwisko grupa...... nr indeksu k ZADANIE ODPOWIEDZI DO WSKAZANYCH PODPUNKTÓW a b b c 3 c 3 d 4 b 5 b 5 f 6 7 a 7 c 8 a 8 b
... data Zadania Cz. II PROBABILISTYKA i STATYSTYKA......... Imi Nazwisko grupa...... nr indeksu k ZADANIE ODPOWIEDZI DO WSKAZANYCH PODPUNKTÓW 9a 9b A a A c B a B c C a C c D a D c A A c
B B c C C c D D c E E c 3A 3A c 3B 3B c 4 4 b 5 5 b