Koło zainteresowań Teleinformatyk XXI wieku PROJEKT 1 Temat: Modulacja FM Imię i nazwisko ucznia: Adam Szulc Klasa: III Ti a Numer z dziennika: 25 Suwałki, grudzień 2012 1
Spis treści 1.Modulacja częstotliwości FM (ang. Frequency Modulation)... 3 1.1 Wzór matematyczny... 3 1.2 Założenia projektowe... 3 1.3 Wyniki symulacji... 3 1.4 Wpływ indeksu modulacji na kształt sygnału... 6 a) W dziedzinie czasu.... 6 b) W dziedzinie częstotliwości.... 8 1.5 Wpływ częstotliwości sygnału modulującego na sygnał zmodulowany... 10 a) W dziedzinie czasu.... 10 b) W dziedzinie częstotliwości.... 12 1.6 Wpływ zmiany częstotliwości nośnej na sygnał zmodulowany... 14 a) W dziedzinie czasu.... 14 b) W dziedzinie częstotliwości.... 16 2.Wnioski... 19 3.Przykłady wykorzystywania... 19 4.Źródła... 19 5.Załącznik (listing)... 20 6.Podziękowania... 21 2
1.Modulacja częstotliwości FM (ang. Frequency Modulation) 1.1 Wzór matematyczny x(t) = A(t)sin[2πfct + I(t)sin(2πfmt)] x(t) sygnał zmodulowany w częstotliwości A(t)-amplituda sygnału f c -częstotliwość sygnału nośnego 2πf c -częstotliwość kątowa sygnału nośnego t- czas I(t)-indeks modulacji zwany spółczynnikiem modulacji f m -częstotliwość sygnału modulującego 1.2 Założenia projektowe f c =25kHz f m =2kHz l=2 1.3 Wyniki symulacji Rys. 1. Modulacja FM w dziedzinie czasu. 3
Na przedstawionym powyżej zrzucie z ekranu pierwszy od góry przedstawiony jest sygnał sinusoidalny o amplitudzie równej 1 i częstotliwości 2kHz, który został zmodulowany w częstotliwości. Drugim sygnałem od góry jest sygnał nośny o częstotliwości 25kHz. Trzeci sygnał to sygnał zmodulowany z indeksem modulacji równym 2. W tym sygnale nie wiele widać, żeby był zmodulowany, co widać dobrze na wykresie czwartym, który ukazuje sygnał zdemodulowany i nie ma już on amplitudy 1 ale jego wartością maksymalną jest około 0,37. Zobaczmy zatem, co dzieje się wtedy w dziedzinie częstotliwość. Rys. 2. Widmo sygnału modulowanego. Na powyższym rysunku widać, że sygnał modulujący to jest idealny sinus ( lub cosinus) o częstotliwości 2000Hz. To samo będzie widać na poniższym rysunku z widmem sygnału nośnego, czyli będzie ukazany idealne jeden prążek na częstotliwości 25kHz. Ale najbardziej ciekawi nas co będzie się działo później na rysunku czwartym, który będzie ukazywał widmo sygnały zmodulowanego. A więc spójrzmy niżej i sprawdźmy to. 4
Rys. 3. Widmo sygnału nośnego. Rys. 4. Widmo sygnału zmodulowanego. 5
Nasze założenia co do sygnału nośnego się sprawdziły, ale zobaczmy co się dzieje w widmie sygnału zmodulowanego. Porównując do niego poprzednie widma można zobaczyć, że środkowy prążek tego widna to nic innego niż prążek z widma nośnego; więc skąd reszta prążków? Jeżeli dobrze się przyglądniemy to zauważymy, że prążki po lewej stronie oraz po prawej stronie są oddalone do siebie w jednakowych odstępach. Możemy zaobserwować również, że te odległości mają po 2kHz czyli tyle samo co częstotliwość sygnału modulowanego. Wszystkie te prążki po jednej stronie nazywamy wstęgą. Czyli w widmie sygnału zmodulowanego mamy dolną(lewą) wstęgę, prążek sygnału nośnego oraz górną(prawą) wstęgę. 1.4 Wpływ indeksu modulacji na kształt sygnału a) W dziedzinie czasu. Rys. 5. Modulacja FM w dziedzinie czasu (l=5). Porównując rysunki 5. oraz 1., gdzie rysunek 1. przedstawia modulacje z indeksem modulacji równym 2, a rysunek 5. przedstawia modulacje z indeksem modulacji równym 5, można stwierdzić, że im większy indeks modulacji tym bardziej jest widoczna modulacja w sygnale zmodulowanym. Warto wspomnieć o tym, że również sygnał zdemodulowany się polepszył w swoim obrazie, gdyż wartość maksymalna zwiększyła się z około 0,37 do około 0,45. 6
Rys. 6. Modulacja FM w dziedzinie czasu (l=8). Na powyższym rysunku widać, że powyższa teza, była poprawna, ale jak ze wszystkim tak też i z indeksem modulacji nie można przesadzić gdyż, jeżeli przesadzimy to sygnał zdemodulowany będzie zakłócony co widać na przedstawionym rysunku poniżej. Do poniższego przykładu dobrałem indeks modulacji równy 15. 7
Rys. 7. Modulacja FM w dziedzinie czasu (l=15). Przyjęta częstotliwość próbkowania (5GHz) jest wystarczająca, gdyż spełnia warunek Nequista. b) W dziedzinie częstotliwości. A więc wiemy jak wygląda wpływ indeksu modulacji na kształt sygnału w dziedzinie czasu to teraz czas przejść do ukazania jak wygląda wpływ indeksu modulacji na kształt sygnału w dziedzinie częstotliwości. Na sam początek na chwile wróćmy się do rysunku 4., który znajduje się na stronie 4. Przypomnę, że tam indeks modulacji jest równy 2 (l=2) a teraz przejdźmy dalej i zobaczmy co się dzieje w widmie jak zwiększymy indeks modulacji. 8
Rys. 8. Widmo sygnału zmodulowanego (l=5). Jak można bardzo szybko zaobserwować im większy indeks modulacji tym szersze widmo sygnału zmodulowanego. Ale jak się ma liczby indeksu modulacji do ilość prążków w jednej wstędze? Różne źródła podają różne wartości, ale najczęściej spotykaną funkcją na ten temat jest ilość prążków w wstędze równa jest liczbie indeksu modulacji dodać 2, czyli, gdzie L-ilość prążków w jednaj wstędze.(tak więc gdy I=5 to L=7). Tak więc stąd możemy się dowiedzieć dlaczego gdy daliśmy indeks modulacji równy 15 otrzymaliśmy duże zakłócenia. A mianowicie gdy I=15 to L=17 a przypomnijmy sobie, że f c =25kHz a f m =2kHz, wiec z tego wynika, że wstęgi powinny być co najmniej długości 34kHz ( ) a po lewej stronie ( na dolnej wstędze ) mamy tylko 25k Hz i z tego właśnie wynika zniekształcenie ukazane w rysunku numer 7 na stronie 7. Zobaczmy teraz jak tak jak to wygląda w widmie. 9
f c Rys. 9. Widmo sygnału zmodulowanego (l=15). Proszę zauważyć, że f c teraz nie jest na środku. Prawa(górna) wstęga jest dłuższa niż lewa(dolna). Wystąpiło tu zjawisko nietypowego aliazingu tzn. takiego aliazingu, gdzie składowe schodzą w dół pasma poniżej 0 Hz. Tam następuje symetryczne odbicie wraz ze zmianą fazy i zmiksowanie z oryginalnymi składowymi. 1.5 Wpływ częstotliwości sygnału modulującego na sygnał zmodulowany a) W dziedzinie czasu. Znów musimy powrócić do rysunku 1. bo będziemy porównywać go tym razem zwracając uwagę na wpływ częstotliwości sygnału modulującego na sygnał zmodulowany. Przypomnienie f m =2kHz w parametrach początkowych. A więc teraz to zwiększmy do 5kHz. 10
Rys. 10. Modulacja FM w dziedzinie czasu (f m =5kHz). Jak można zauważyć zwiększając częstotliwość sygnału modulowanego zmienił nam się sygnał zmodulowany odpowiednio do sygnału modulującego oraz polepszył nam się obraz sygnału zdemodulowanego co działo się również wcześniej przy rozsądnym zwiększaniu wartości indeksu modulacji. Według tego co napisałem to zmniejszając częstotliwość powinienem pogorszyć widoczność modulacji, więc zmniejszmy f m do 1kHz. 11
Rys. 11. Modulacja FM w dziedzinie czasu (f m =1kHz). Powyższym rysunkiem potwierdziły się moje poprzednie stwierdzenie, gdyż niemal nie widać różnicy pomiędzy sygnałem nośnym a sygnałem zmodulowanym. b) W dziedzinie częstotliwości. Wiemy już jak wygląda wpływ częstotliwości sygnału modulującego na sygnał zmodulowany w dziedzinie czasu. Pora teraz zobaczyć jak to się ma w dziedzinie częstotliwości. Zaczniemy tak jak w podpunkcie a od zwiększenia częstotliwości do 5kHz a później zmniejszymy ją do 1kHz. 12
Rys. 12. Widmo sygnału zmodulowanego (f m =5kHz). Na tym rysunku idealnie widać, że każdy kolejny prążek w wstędze jest oddalony od siebie o częstotliwość modulującą (f m ), która w tym przypadku wynosi 5kHz. 13
Rys. 13. Widmo sygnału zmodulowanego (f m =1kHz). Na powyższym rysunku widać, że prążki rozmieszczone są co 1kHz. Przejdźmy do wpływu zmiany częstotliwości nośnej na sygnał zmodulowany. Ale zanim to zrobimy chciałbym przypomnieć co już jest zawarte w tym projekcie, co przedstawiłem tak jak tylko najlepiej umiałem. A więc przedstawiłem już: 1. Wzór matematyczny modulacji częstotliwościowej FM 2. Podstawową modulację, którą modyfikuję, aby przedstawić wpływ na modulację które powoduje zmiana podstawowych wartości takich jak f m, f c oraz l. 3. Wpływ indeksu modulacji na kształt sygnału zmodulowanego. 4. Wpływ częstotliwości sygnału modulującego na sygnał zmodulowany. 1.6 Wpływ zmiany częstotliwości nośnej na sygnał zmodulowany a) W dziedzinie czasu. Ponownie musimy powrócić do rysunku 1, aby móc porównać wpływ zmiany częstotliwości nośnej, czyli drugiego wykresu. A więc zacznijmy tym razem również od zwiększenia tej wartości. 14
Rys. 14. Modulacja FM w dziedzinie czasu.(f c =50kHz) Na powyższym rysunku widać zmianę częstotliwości nośnej na dwa razy większą niż jest to w podstawowej strukturze projektu, czyli na 50kHz. Przyglądając się obu rysunkom (nr. 1 oraz 14) można powiedzieć że jeszcze bardziej sygnał zmodulowany jest podobny do sygnału nośnego oraz, że wartość średnia w sygnale zdemodulowanym jest przeniesiona dwa razy wyżej. A teraz porównajmy co się będzie działo jak zmniejszymy częstotliwość do zaledwie 10k Hz. 15
Rys. 15. Modulacja FM w dziedzinie czasu.(f c =10kHz) Jak widać zmniejszenie częstotliwości spowodowało dokładnie odwrotne skutki co zwiększenie tej że częstotliwości. Więc lepiej widać modulację sygnału nośnego oraz asymptota pozioma w sygnale zdemodulowanym jest przeniesiona w dół. b) W dziedzinie częstotliwości. Wiemy co się dzieje w dziedzinie częstotliwości a teraz czas zobaczyć jak zmiana częstotliwości nośnej ma się do obrazu widma sygnału. W związku z tym zwiększmy oraz zmniejszmy częstotliwość sygnału tak jak to zrobiliśmy w podpunkcie a. Na samym początku jeszcze powróćmy do rysunku 4. A teraz popatrzmy na rysunek 15. 16
Rys. 16. Widmo sygnału zmodulowanego. (f c =50kHz) Jak możemy zauważyć f c aktualnie znajduje się na 50kHz ale Magnituda wzrosła nam 2razy co by wyjaśniało dlaczego mamy przesuniętą asymptotę poziomą w sygnale zdemodulowanym co powinien potwierdzić następny rysunek, gdyż wtedy f c będzie równe 10kHz to Magnituda w widmie powinna sięgać maksymalnie lekko powyżej 100000. 17
Okazuje się, że teza znów się potwierdza. Rys. 17. Widmo sygnału zmodulowanego. (f c =10kHz) To już wszystko co chciałbym ukazać w sposób porównawczy. 18
2.Wnioski Zwiększenie indeksu modulacji i wzrost częstotliwości modulującej powodują poszerzenie widma sygnału oraz zwiększenie różnicy pomiędzy sygnałem nośnym a zmodulowanym w dziedzinie czasu. Zmniejszenie zaś tych wartości powoduje zwężenie widma oraz zmniejszenie różnicy pomiędzy sygnałami nośnym a zmodulowanym w dziedzinie czasu. Zmiana częstotliwości sygnału nośnego przesuwa nam widmo sygnału na wyższe pasmo bądź niższe pasmo częstotliwościowe odpowiadające wartości częstotliwości tegoż sygnału. Im wyższy indeks modulacji i częstotliwość modulująca tym większa amplituda sygnały zdemodulowanego. 3.Przykłady wykorzystywania 1. Radiofonia na falach ultra krótkich (np. Radio ZET) 2. Klawiszowe instrumenty muzyczne (np. Yamaha DX7) 3. Transmisja sygnałów telewizyjnych (np. telewizja satelitarna) 4.Źródła Wszystkie informacje zawarte w tym projekcie pochodzą z notatek z zajęć dodatkowych, moich własnych przemyśleń oraz z informacji przekazanych mi przez Pana Sławomira poza zajęciami (np. w drodze email). Podczas tworzenia projektu poszukiwałem informacji w internecie na temat przykładów zastosowań. Jedynym źródłem jakiego użyłem jest strona pl.wikipedia.org (dokładny adres: http://pl.wikipedia.org/wiki/modulacja_cz%c4%99stotliwo%c5%9bci) 19
5.Załącznik (listing) Modulacja FM w dziedzinie czasu: f_c = 25000; % Czestotliwosc sygnalu nosnego, czyli modulwanego [Hz] f_m = 2000; % Czestotliwosc sygnalu modulujacego [Hz] I = 2; % Indeks modulacji CzasTrw = 0.001; % Czas trwania sygnalu [sek] Fp = 50000000; % Czestotliwosc probkowania [Hz] Tp = 1 / Fp; % Okres probkowania N = floor(czastrw / Tp); % Liczba probek w sygnale t = Tp * (0:N-1); % Czasowe momenty probkowania m = sin(2*pi*f_m*t); % Sygnal modulujacy c = sin(2*pi*f_c*t); % Sygnal nosny x_fm = sin(2*pi*f_c*t - I*sin(2*pi*f_m*t + pi/2)); % Sygnal zmodulowany FM d = diff(unwrap(arg(hilbert(x_fm)))); % Sygnal zdemodulowany subplot(4,1,1); plot(t,m); ylabel('amplituda'); subplot(4,1,2); plot(t,c); ylabel('amplituda'); subplot(4,1,3); plot(t,x_fm); ylabel('amplituda') subplot(4,1,4); plot(t(1:n-1),d); ylabel('amplituda') xlabel('czas [sek.]'); ylabel('amplituda') clear Modulacja FM w dziedzinie częstotliwości: f_c = 25000; % Czestotliwosc sygnalu nosnego, czyli modulwanego [Hz] f_m = 2000; % Czestotliwosc sygnalu modulujacego [Hz] I = 2; % Indeks modulacji CzasTrw = 10; % Czas trwania sygnalu [sek] Fp = 100000; % Czestotliwosc probkowania [Hz] Tp = 1 / Fp; % Okres probkowania N = floor(czastrw / Tp); % Liczba probek w sygnale t = Tp * (0:N-1); % Czasowe momenty probkowania m = sin(2*pi*f_m*t); % Sygnal modulujacy c = sin(2*pi*f_c*t); % Sygnal nosny x_fm = sin(2*pi*f_c*t - I*sin(2*pi*f_m*t + pi/2)); % Sygnal zmodulowany FM % Wykreslanie sygnalu w dziedzinie czestotliwosci %w = window(@hamming,n); Widmo = fft(x_fm); f=fp*(0:(n/2))/n; n=length(f); M = abs(widmo); %M = 20*log10(abs(Widmo)); % Widmo w skali logarytmicznej plot(f,abs(m(1:n)),"linewidth",2) xlabel("czestotliwosc [Hz]"); ylabel("magnituda"); grid on 20
Oba programy zmieniałem podczas pracy aby uzyskać dany efekt, ale te zmiany dotyczyły tylko wartości poszczególnych udziałów. 6.Podziękowania Chciałbym złożyć najgorętsze podziękowania mojej siostrze, która mi pomogła utworzyć automatyczny spis treści oraz mojej mamie, która podczas mojej (ciągłej) ośmiogodzinnej pracy nad tym projektem przynosiła mi przed monitor jedzenie oraz picie. Ale największe podziękowania należą się dla Pana Sławomira Zielińskiego, dzięki któremu dowiedziałem się wszystkich potrzebnych informacji potrzebnych do wykonania tego projektu, oraz który użyczył stworzonych przez niego programów w Octave aby poprzez nałożenie pewnych modyfikacji można było wykreślać te wszystkie wykresy, które są przedstawione w tym projekcie. 21