VII. CZĄSTKI I FALE VII.1. POSTULAT DE BROGLIE'A (1924) De Broglie wysunął postulat fal materii tzn. małym cząstkom przypisał fale. Światło wykazuje zjawisko dyfrakcyjne. Rys.VII.1.Światło padające na przeszkodę D ze szczeliną o szerokości d. Na ekranie E widać obraz szczeliny. Gdy d jest znacznie dłuższa od λ to obserwujemy dyfrakcję. Rys.VII.2. Obrazy dyfrakcyjne dla różnych szczelin. 1
Promieniowanie elektromagnetyczne ma charakter dualny. Hipoteza: Być może cząstki zachowują sie jak fale fale materii (de Broglie'a). De Broglie przypisał falą długość i częstość. λ= h p (VII.1.1) gdzie: p pęd cząstki f = E h (VII.1.2) (λ, f) wielkości falowe (p, E) wielkości korpuskularne (cząstkowe) E 2 = c 2 p 2 m 0 2 c 4 (VII.1.3) De Broglie przypisał cząstce falę opisaną funkcją (4): i Et p x Ψ x,t = exp[ ] (VII.1.4) ħ VII.2. DOŚWIADCZALNA WERYFIKACJA HIPOTEZY W optyce efekty dyfrakcyjne obserwujemy, gdy λ d, gdzie d to średnica przeszkody. Dyfrakcja fal materii powinna być obserwowana przy podobnych warunkach. a) Obiekt makroskopowy cząstki kurzu o promieniu r i gęstości ρ, poruszające się z prędkością v r=10 6 m ρ = 10 g cm 3 Ag = 10,5 g 3 cm 2
v = 1 m s p = mv bo v c p = mv = 3 4 r3 ρv 4 10 11 g cm s Ze wzoru (VII.1.1) otrzymujemy, że: = h p 1,6 10 16 cm Ponieważ r 1 H 10 8 cm, to: r 1 H Wniosek: Fal de Broglie'a nie możemy obserwować dla cząstek takich jak cząstka kurzu. b) Elektrony o energii E k, poruszające się z prędkością v. E k = 10eV, v 1 %c E k = 1 2 mv 2 = p2 2m, stąd: 19 g cm p = 2mE k 1,7 10 s Z wzoru (VII.1.1) możemy obliczyć, że długość fali λ jest równa: = h p 4 10 8 cm czyli r 1 H A zatem gdybyśmy rozpraszali elektrony na atomach, byłby spełniony warunek dyfrakcyjny. 3
Potwierdzenia hipotezy de Broglie'a można szukać rozpraszając elektrony na ciałach krystalicznych. Są to różnego rodzaju minerały, metale. Atomy są w nich uporządkowane w regularny sposób. Doświadczenie Davisona- Germera (1927) Rys.VII.3. Schematyczne przedstawienie zjawiska rozpraszania elektronów na sieci krystalicznej. D detektor, K katoda, a odległość pomiędzy atomami w sieci (jest charakterystyczna dla danej sieci krystalicznej). Rys.VII.4. Doświadczenia potwierdziły prawdziwość hipotezy de Broglie'a Otrzymano liczbowe wartości długości fali materii λfm i energii kinetycznej Ek: fm = h p = 1,67 Å, E k = 54eV (VII.2.1) 4
Warunek dyfrakcji dla fal (warunek Bragga): n = dsin, n=1,2,3,... (VII.2.2) Z powyższego wzoru można obliczyć, że długość fali λ1 wynosi: 1 = 1,65 Å A zatem jak widać z (VII.2.1) i otrzymanego wyniku dla λ1: ~1% 1 = fm Podobne doświadczenie do przeprowadzonego przez Davisona i Germera wykonał Thomson. Różnica była taka, że badał promieniowanie po przejściu przez próbkę (a nie odbite) obrazy dyfrakcyjne w transmisji. W ten sposób została jednoznacznie potwierdzona słuszność hipotezy de Broglie'a. Na jej podstawie można dokonać interpretacji drugiego postulatu Bohra. VII.3. INTERPRETACJA REGUŁY KWANTOWANIA BOHRA (L=nħ) L = df mvr = pr (VII.3.1) gdy r prostopadłe do v p = h (VII.3.2) Z zależności (VII.3.1) i (VII.3.2) wynika, że: L = hr (VII.3.3) Ze wzorów (VII.3.) i (VII.3.4) otrzymujemy, że: L = n ħ (VII.3.4) 5
hr = n ħ (VII.3.5) 2 r n = n, n = 1,2,3,... (VII.3.6) Z (VII.3.6) wzoru wynika, że na n-tej orbicie mieści się n długości fali λ. Rys.VII.5. Czwarta orbita 4 długości fali. W interpretacji de Broglie'a elektronowi na orbicie odpowiada fala stojąca. VII.4. ZASADA NIEOZNACZONOŚCI HEISENBERGA (1927) Zasada nieoznaczoności: mówi o tym, że niepewność zawsze będzie częścią każdego przewidywania dokonanego przez naukę. Dla niektórych problemów nie da się dokładnie wyliczyć, co się stanie w przyszłości. jest kuriozalna z punktu widzenia fizyki klasycznej stosuje się do mechaniki kwantowej postuluje, że istnieje granica poznawalności dotyczy wielkości komplementarnych, czyli wielkości, które nie komutują ze sobą (ich komutator jest różny od 0, patrz: IX.3). Przykłady zasady nieoznaczoności dla różnych par komplementarnych: a) położenie r= x, y, z i pęd p= p x, p y, p z Zapis wektorowy: 6
r p ħ 2 (VII.4.1) Zapis skalarny: x p x ħ 2 (VII.4.2a) y p y ħ 2 (VII.4.2b) z p z ħ 2 (VII.4.2c) Wzory (VII.4.1) i (VII.4.2a,b,c) to zasada nieoznaczoności Heisenberga zastosowana do wektorów położenia i pędu. x dokładność określenia położenia p dokładność określenia pędu We współrzędnych kartezjańskich otrzymujemy: x ħ 2 p x (VII.4.3a) Oraz we współrzędnych biegunowych: L ћ (VII.4.3b) b) Energia E i czas t Zasada nieoznaczoności Heisenberga dla tej pary komplementarnej wyraża wzór (VII.4.4): E t ħ (VII.4.4) Czas życia danego stanu (τ) maksymalny czas w jakim możemy mierzyć dany stan, im τ 7
mniejsze tym mniej dokładnie poznajemy energię tego stanu. Nazywamy to rozmyciem stanu. 8