Miejsce na naklejk z kodem szkoy dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdajcego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 11). Ewentualny brak zgo przewodniczcemu zespou nadzorujcego egzamin.. Rozwizania zada i odpowiedzi zamie w miejscu na to przeznaczonym.. W rozwizaniach zada przedstaw tok rozumowania prowadzcy do ostatecznego wyniku. 4. Pisz czytelnie. Uywaj dugopisu/pióra tylko z czarnym tuszem/atramentem. 5. Nie uywaj korektora, a bdne zapisy przekrel. 6. Pamitaj, e zapisy w brudnopisie nie podlegaj ocenie. 7. Obok kadego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, któr moesz uzyska za jego poprawne rozwizanie. 8. Moesz korzysta z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. 9. Wypenij t cz karty odpowiedzi, któr koduje zdajcy. Nie wpisuj adnych znaków w czci przeznaczonej dla egzaminatora. 10. Na karcie odpowiedzi wpisz swoj dat urodzenia i PESEL. Zamaluj pola odpowiadajce cyfrom numeru PESEL. Bdne zaznaczenie otocz kókiem i zaznacz waciwe. yczymy powodzenia! MAJ ROK 007 Za rozwizanie wszystkich zada mona otrzyma cznie 50 punktów Wypenia zdajcy przed rozpoczciem pracy PESEL ZDAJCEGO KOD ZDAJCEGO
Zadanie 1. (5 pkt) Dana jest funkcja f x x1 x dla x R. a) Wyznacz zbiór wartoci funkcji f dla x,. b) Naszkicuj wykres tej funkcji. c) Podaj jej miejsca zerowe. d) Wyznacz wszystkie wartoci parametru m, dla których równanie rozwizania. f x m nie ma a) Niech x,, wtedy: x 1 0, czyli x1 x 1 oraz x 0, czyli x x. Zatem dla x, otrzymuj: f x x1 x x1x. Funkcja f dla x, jest funkcj sta, a jej zbiorem wartoci jest zbiór. b) Po zastosowaniu definicji wartoci bezwzgldnej funkcj f zapisuj w nastpujcej postaci: dla x, f x x1 dla x,1 dla x 1,
Szkicuj wykres funkcji f. y - 1 x -1 - Funkcja ma jedno miejsce zerowe w przedziale,1 (co wida na sporzdzonym wykresie). Miejsce zerowe funkcji f wyznaczam, korzystajc z jej wzoru w tym przedziale: 1 x 1 0, std x0. c) Równanie f x m nie ma rozwiza, gdy prosta o równaniu y m nie przecina wykresu funkcji f, czyli dla m lub m.
4 Zadanie. (5 pkt) Rozwi nierówno: log x 1 log 5 x log x 1. 1 1 1 Wyznaczam dziedzin nierównoci logarytmicznej: x x x 10 5 0 1 0. Rozwizania tych nierównoci zaznaczam na osi liczbowej: Dziedzin danej nierównoci jest przedzia 1,5. Korzystam ze wzoru na sum logarytmów i otrzymuj nierówno równowan: x x x log 1 5 log 1 1 1 x 1 0 1 5. Funkcja logarytmiczna przy podstawie 1 jest malejca, wic po opuszczeniu logarytmów i zmianie zwrotu nierównoci otrzymuj nierówno równowan: x 15 x x 1. Przedstawiam j w postaci iloczynowej: x1 x15x x 1 x x x x 1 1 5 1 0 x x x 1 1 5 0 x x x 1 6 8 0 x x x 1 4 0 Rozwizaniem nierównoci jest suma przedziaów 1, 4,. Rozwizaniem nierównoci logarytmicznej jest cz wspólna otrzymanego zbioru i dziedziny: 1, 45,.
5 Zadanie. (5 pkt) Kapsua ldownika ma ksztat stoka zakoczonego w podstawie pókul o tym samym promieniu co promie podstawy stoka. Wysoko stoka jest o 1 m wiksza ni promie pókuli. Objto stoka stanowi objtoci caej kapsuy. Oblicz objto kapsuy ldownika. Sporzdzam pomocniczy rysunek: h r Zapisuj zaleno miedzy dugoci promienia stoka i jego wysokoci: hr 1. Objto V kapsuy zapisuj jako sum objtoci stoka i pókuli: 1 V r h r 1 1 std V r r. r r 1 r Zaleno midzy objtoci z treci zadania ma posta: VS V, std V S stoka i objtoci V kapsuy wynikajc 1 1 r r1 r r 1 1 1 r r r r 1 r1r 1 r. Obliczam objtoci V kapsuy ldownika: m V. 7
6 Zadanie 4. ( pkt) Dany jest trójkt o bokach dugoci 1,,. Oblicz cosinus i sinus kta lecego naprzeciw najkrótszego boku tego trójkta. Wykonuj rysunek pomocniczy, na którym zaznaczam poszukiwany kt: 1 Wykorzystuj twierdzenie cosinusów do zapisania równania: 1 cos i obliczam warto cosinusa kta : 7 cos. 8 Warto funkcji sinus kta wyznaczam z tosamoci trygonometrycznej. sin cos 1 sin 1, 8 7 15 sin. 64 15 Kt jest ktem ostrym, wic sin. 8
7 Zadanie 5. (7 pkt) Wierzchoki trójkta równobocznego ABC s punktami paraboli y x 6x. Punkt C jest jej wierzchokiem, a bok AB jest równolegy do osi Ox. Sporzd rysunek w ukadzie wspórzdnych i wyznacz wspórzdne wierzchoków tego trójkta. Aby sporzdzi rysunek wyznaczam wspórzdne wierzchoka danej paraboli: 6 9, wic wierzchoek paraboli ma wspórzdne y x x x Wykonuj rysunek ilustrujcy tre zadania:,9. 9 y C A 60 0 B 60 0 0 6 x Trójkt ABC jest równoboczny, wic kt BAC ma miar 60. Wspóczynnik kierunkowy prostej przechodzcej przez punkty A i C jest wic równy tg60. Wyznaczam równanie prostej AC: prosta y x b przechodzi przez punkt C,9 równy b 9. Prosta AC ma równanie: y x 9., wic wspóczynnik b jest
8 Aby wyznaczy wspórzdne punktu A rozwizuj ukad równa: y x 9 y x 6x Po dokonaniu podstawienia y x 6x otrzymuj równanie x 9 6 x x x, które po uporzdkowaniu przyjmuje posta: x 6 9 0. Rozwizaniem równania s liczby: x1, x. Wspórzdne punktów przecicia prostej AC z parabol nastpujce:,6 oraz,9. 6 s wic y x x Punkt,9 jest wierzchokiem paraboli, wic punkt A ma wspórzdne,6. Wspórzdne punktu B wyznaczam wykorzystujc fakt, i osi symetrii paraboli 6 jest prosta x. Punkt B jest wic obrazem punktu A w symetrii y x x wzgldem tej prostej, czyli B,6.
9 Zadanie 6. (4 pkt) Niech A, B bd zdarzeniami o prawdopodobiestwach P A i PA 0,85 i PB 0,75 PA B 0,8. P B. Wyka, e jeeli, to prawdopodobiestwo warunkowe spenia nierówno Poniewa P AB 1 z wasnoci prawdopodobiestwa, wic 1P AB P A PB P A B. Std po przeksztaceniu otrzymuj: P AB P A PB 1 B 0,85 0,75 1 P A B 0,6 P A Korzystam z definicji prawdopodobiestwa warunkowego: P A B P A B i otrzymuj 0,8 P B 0,6 0,75 P A B.
10 Zadanie 7. (7 pkt) mx y Dany jest ukad równa: x my m. Dla kadej wartoci parametru m wyznacz par liczb x,y, która jest rozwizaniem tego ukadu równa. Wyznacz najmniejsz warto sumy x y dla m, 4. Rozwizaniem ukadu równa m x m 1 m y. m 1 mx y x my m m Sum x y zapisuj w postaci funkcji f m dla kadego m R jest para liczb m m 1, m R. Aby znale najmniejsz warto sumy w danym przedziale obliczam pochodn funkcji f: fm m 1 m 6m, m R. Obliczam miejsca zerowe pochodnej funkcji f: m 0 f gdy m 6m 0. Rozwizaniami równania s liczby: m1 1, m 1, przy czym m1,4. Badam znak pochodnej w przedziale,4 :, wic funkcja f jest rosnca w przedziale Poniewa f m 0dlam,1, 1, wic funkcja f jest. Poniewa f m 0dlam 1,4 malejca w przedziale 1, 4. Std wnioskuj, e funkcja f przyjmuje najmniejsz warto w jednym z koców przedziau,4.
Obliczam warto funkcji f na kocach przedziau: i porównuj otrzymane liczby. 6 Najmniejsz wartoci sumy x y jest f 4. 17 8 5 f oraz 4 11 6 f 17
1 Zadanie 8. ( pkt) Dana jest funkcja f okrelona wzorem a) Naszkicuj wykres funkcji f. b) Wyznacz miejsca zerowe funkcji f. f sin x sin x x dla x 0,, sin x. Korzystam z definicji wartoci bezwzgldnej i zapisuj wzór funkcji f w postaci: f x sin x sin x sin x sin x sin x sin x dla sin x 0 dla sin x 0 f x sin x1 dla sin x0 sin x1 dla sin x0. Szkic wykresu funkcji w podanym zbiorze jest nastpujcy: y 1 x -1 Na podstawie wzoru wyznaczam miejsca zerowe funkcji: f x 0 dla x takich, e sin x 1 0 lub sin x 1 0, czyli dla x, oraz x.
1 Zadanie 9. ( pkt) Przedstaw wielomian 4 W x x x x 4x 1 w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o wspóczynnikach cakowitych i takich, e wspóczynniki przy drugich potgach s równe jeden. Dany wielomian 4 W x x x x 4x 1 przedstawiam w takiej postaci, aby mona byo zastosowa wzory skróconego mnoenia: 4 W x x x x 4x 4x 1. Grupuj wyrazy i przedstawiam wyraenie w postaci rónicy kwadratów dwóch wyrae: Wx x x x 1. Wykorzystuj wzory skróconego mnoenia do rozkadu wielomianu na iloczyn dwóch wielomianów stopnia drugiego: 1 1 1 x x 1 x x 1 W x x x x x x x x x x.
14 Zadanie 10. (4 pkt) Na kole opisany jest romb. Stosunek pola koa do pola powierzchni rombu wynosi Wyznacz miar kta ostrego rombu. 8. Sporzdzam rysunek pomocniczy i wprowadzam nastpujce oznaczenia: a dugo boku rombu, r promie koa wpisanego w romb, P K pole koa wpisanego w romb, P R pole rombu, kt ostry rombu. D C a r A E B Zgodnie z wprowadzonymi oznaczeniami PK r, R P a r. Z warunków zadania wynika proporcja: PK r, std P a r 8 R r a 8. Z otrzymanej równoci wyznaczam promie okrgu: r a. 4 DE Z trójkta prostoktnego AED wyznaczam sinus kta : sin AD r a a 4 sin. a Zatem 60.
15 Zadanie 11. (4 pkt) Suma n pocztkowych wyrazów cigu arytmetycznego a wyraa si wzorem S n n n dla n 1. a) Oblicz sum 50 pocztkowych wyrazów tego cigu o numerach parzystych: a a a... a. 4 6 100 Sn b) Oblicz lim. n n n a) Wyznaczam wzór ogólny cigu a n, korzystajc z wasnoci sum czciowych cigów: an Sn Sn 1 a n n n n n n 1 14 1. Wyznaczam warto wyrazu a 7 i rónicy cigu ( a, a 4,..., a 100 ), r 8. Obliczam sum n 50 pocztkowych wyrazów cigu o numerach parzystych: S 50 7 501 8 50 10150. S n b) Obliczam granic cigu n : lim n Sn n n lim n n n.
16 BRUDNOPIS