Testy pierwiastka jednostkowego

2 listopada 2017

Proces generujący ceny Wnioski Słaba efektywność rynkowa i błądzenie przypadkowe Załóżmy, że rynek jest słabo efektywny Logarytmicznej stopy zwrotu ( p t = ln ( Pt P t 1 )) w czasie t nie da się przewidzieć na podstawie stóp zwrotu znanych w czasie t 1: E ( p t p t 1,...) = µ Wynika z tego, że E (p t p t 1,...) p t 1 = µ Dodając do obu stron p t i przenosząc wartość oczekiwaną na drugą stronę otrzymujemy: p t = µ + p t 1 + [p t E (p t p t 1,...)]

Proces generujący ceny Wnioski Słaba efektywność rynkowa i błądzenie przypadkowe Oznaczając błędy predykcji przez: otrzymujemy lub Zauważmy, że ε t = p t E (p t p t 1,...) p t = µ + p t 1 + ε t p t = µ + ε t E (ε t p t 1,...) = E (p t p t 1,...) E (p t p t 1,...) = 0 E [E (ε t p t 1,...)] = E (0) = 0 a więc błędy ε t są nieskorelowane z historycznymi cenami/stopami zwrotu i mają oczekiwaną wartość oczekiwaną równą zero

Proces generujący ceny Wnioski Słaba efektywność rynkowa i błądzenie przypadkowe Dla s > t Cov (ε t,ε s ) = E (ε t ε s ) = E [E (ε t ε s p s 1,...)] = E [ε t E (ε s p s 1,...)] = E (0) = 0 ponieważ dla zbioru informacji z okresu s 1 t, p t a więc i ε t jest znane. Implikuje to, że także Cov ( p t, p s ) = Cov (µ + ε t, µ + ε s ) = Cov (ε t,ε s ) = 0 Jeśli dodatkowo założymy, że Var (ε t ) = σ 2 <, toε t jest (słabym) białym szumem a zatem p t jest dane błądzeniem przypadkowym z dryfem.

Proces generujący ceny Wnioski Słaba efektywność rynkowa i błądzenie przypadkowe Wniosek Hipoteza o efektywności rynkowej implikuje, że ceny zachowują się zgodnie z procesem błądzenia stochastycznego z dryfem więc jest niestacjonarny i I (1). Stopy zwrotu są nieskorelowane i stacjonarne. Zauważmy, że dla błądzenia losowego i y 0 = 0 p t = y 0 + Var (p t ) = Var ( t s=1 ε t ) = t ε t s=1 t s=1 Var (ε t ) = tσ 2 Jeśli p t jest stacjonarne to z definicji stacjonarności Var (p t ) = σ 2

Wnioski Proces generujący ceny Wnioski Jeśli ceny są stacjonarne, to warunek efektywności rynkowej jest niespełniony wariancja bezwarunkowa cen jest stała w czasie Jeśli cen są dane błądzeniem przypadkowym z dryfem warunek efektywności rynkowej jest spełniony wariancja bezwarunkowa cen rośnie wprost proporcjonalnie do czasu Zauważmy jednak, że występowanie pierwiastka jednostkowego nie dowodzi efektyności rynkowej np. proces y t = µ + y t 1 + α y t 1 + ε t zawiera pierwiastek jednostkowy (współczynnik przy y t 1 równy 1) ale zwroty są nim częściowo przewidywalne: y t = µ + α y t 1 + ε t

Testy oparte na testowaniu istotności korelacji Test serii (Wald-Wolfowitz) Testy oparte na testowaniu istotności korelacji Jeśli prawdziwa jest hipoteza o efektywności rynkowej, to przychody powinny być nieskorelowane Wynika z tego, że w modelu: p t = µ + k i=1 prawdziwa powinna być hipoteza α i p t i + ε t H 0 : α 1 = α 2 =... = α k oraz błędu losowe powinny być nieskorelowane Testując H 0 oraz hipotezę o braku autokorelacji ε t testujemy zatem hipotezę o efektywności słabej Wada tego podejścia: test ten jest prawidłowy jeśli prawidłowo sformułowany jest model kształtowania się cen.

Test serii Testy oparte na testowaniu istotności korelacji Test serii (Wald-Wolfowitz) Załóżmy, że mamy zmienną losową, która może przyjmować wartości ujemne i dodatnie Nazwijmy serią zbiór następujących po sobie obserwacji o tym samym znaku np. w ciagu mamy 6 serii + + + + + + + + + + + + +

Test serii c.d. Testy oparte na testowaniu istotności korelacji Test serii (Wald-Wolfowitz) Jeśli ciąg zmiennych losowych ma elementy niezależne to liczba serii ma w przybliżeniu rozkład normalny o wartości oczekiwanej i wariancji µ = 2N +N N σ 2 = + 1 (µ 1)(µ 2) N 1 gdzie N to liczba obserwacji, N + liczba obserwacji dodatnich, N liczba obserwacji ujemnych Znany jest także małopróbkowy rozkład testu serii Wykorzystujemy, go do weryfikacji niezależności zwrotów y t

Jeśli rzeczywiście ceny zachowują się zgodnie z modelem błądzenia przypadkowego, to ( q ) Var (p t p t q ) = Var ε t q = qσ 2 i=0 Zdefiniujmy σ 2 (q) = 1 q Var (p t p t 1 ) Wtedy dla błądzenia przypadkowego σ 2 (q) = σ 2

Test ilorazu wariancji c.d. W szczególności iloraz wariancji VR = σ 2 (q) σ 2 (1) = 1 Lo i MacKinlay zaprojektowali statystykę VR (q) 1 ( ) D N (0,1) Var VR (q)

Standardowe testy pierwiastka jednostkowego Testy z załamaniem (czas znany) Testy z załamaniem (czas nieznany) Testy z dwoma załamaniami Standardowe testy pierwiastka jednostkowego Nelson i Plosser (1982) Test ADF (parametryczna poprawka dla autokorelacji ε t ) y t = y t 1 + µ + βt + ε t DFGLS (inny sposób usuwania trendów, pokazano, że ma wyższą moc niż ADF) Test Phillips-Perrona (nieparametryczna poprawka dla autokorelacji ε t ) Test KPSS (hipoteza zerowa - stacjonarność) Testy panelowe pierwiastka jednostkowego

Test z załamaniem (czas znany) Standardowe testy pierwiastka jednostkowego Testy z załamaniem (czas znany) Testy z załamaniem (czas nieznany) Testy z dwoma załamaniami Perron The Great Crash, the Oil Price Shock and the Unit Root Hypothesis (1989) Hipoteza zerowa załamanie w stałej ( crash model ) y t = µ + y t 1 + dd (T B ) t + ε t załamanie wzrostu ( changing growth model ) załamanie stałej i wzrostu y t = µ + y t 1 + (µ 2 µ 1 )DU t + ε t y t = µ + y t 1 + δd (T B ) t + (µ 2 µ 1 )DU t + ε t gdzie D (T B ) t = 1 jeśli t = T B + 1 i 0 w innych przypadkach, DU t = 1 jeśli t > T B i 0 w innych przypadkach

Test z załamaniem (czas znany) c.d. Standardowe testy pierwiastka jednostkowego Testy z załamaniem (czas znany) Testy z załamaniem (czas nieznany) Testy z dwoma załamaniami Hipoteza alternatywna załamanie w stałej y t = µ 1 + βt + (µ 2 µ 1 )DU t + ε t załamanie wzrostu załamanie w stałej i wzrostu y t = µ 1 + βt + (β 2 β 1 )DT t + ε t y t = µ 1 + βt + (β 2 β 1 )DU t + (β 2 β 1 )DT t + ε t gdzie DT t = t T B, DT t = t jeśli t > T B i 0 w innych przypadkach

Test załamaniem (czas znany) c.d. Standardowe testy pierwiastka jednostkowego Testy z załamaniem (czas znany) Testy z załamaniem (czas nieznany) Testy z dwoma załamaniami Regresje ADF załamanie w stałej y t = αy t 1 + µ + θdu t + βt + δd (T B ) t + załamanie w trendzie y t = αy t 1 + µ + βt + τdt t + załamanie w trendzie i stałej k i=1 k i=1 γ i y t i + ε t γ i y t i + ε t y t = αy t 1 +µ +θdu t +βt +δd (T B ) t +τdt t + k i=1 γ i y t i +ε t

Test załamaniem (czas znany) c.d. Standardowe testy pierwiastka jednostkowego Testy z załamaniem (czas znany) Testy z załamaniem (czas nieznany) Testy z dwoma załamaniami Test pierwiastka jednostkowego bazuje na statystyce t α (λ) Statystytka liczona jest jako standardowa statystyce t dla hipotezy α = 0. Rozkład asymptotyczny tej statystki zależy od H 0 (rodzaju załamania) i założonego momentu załamania λ = T B T (specjalne tablice wartości krytycznych) λ intepretujemy jako proporcję obserwacji sprzed załamania W teście Perrona przyjmujemy, że czas załamania a więc i λ są z góry znane (egzogeniczne) Wniosek w artykule Perrona (1989): z 14 szeregów analizowanych przez Nelsona i Plossera (1982) dla 11 można odrzucić H 0 o pierwiastku jednostkowym jeśli uwzględnimy załamanie związane z kryzysem naftowym

Testy z załamaniem (czas nieznany) Standardowe testy pierwiastka jednostkowego Testy z załamaniem (czas znany) Testy z załamaniem (czas nieznany) Testy z dwoma załamaniami Zivot, Andrews (1992) Hipotezy alternatywne identyczne jak w przypadku Perrona (1989) Hipoteza zerowa zawsze taka sama y t = µ + ε t Regresje ADF takie same jak u Perrona (1989) z wyjątkiem tego, że pomijamy czynnik D (T B ) t Podstawowa różnica: czas załamania jest nieznany (endogeniczny)

Testy z załamaniem (czas nieznany) Standardowe testy pierwiastka jednostkowego Testy z załamaniem (czas znany) Testy z załamaniem (czas nieznany) Testy z dwoma załamaniami Statystyka testowa liczona jest jako minimum (infinum) statystyk t α (λ) dla wszytkich możliwych λ ) t α ( λinf = inf t α (λ) λ Λ gdzie λ inf jest oszacowanym proporcją obserwacji sprzed załamania Rozkład statystyki zależy od hipotezy od rozważanego typu załamania oraz od oszacowanej wielkości λ inf Wniosek Zivota i Adrews a (1992): z 11 szeregów Nelsona i Plossera (1982), które w przypadku testu zastosowania testu Perrona zostały uznane z stacjonarne, 8 jest niestacjonarna jeśli przyjmiemy, że moment załamania jest nieznany

Testy z dwoma załamaniami Standardowe testy pierwiastka jednostkowego Testy z załamaniem (czas znany) Testy z załamaniem (czas nieznany) Testy z dwoma załamaniami Lee and Strazicich (2003b) Zakładamy, że mamy do czynienia z dwoma załamniami a nie jednym Czas załamań nieznany Hipotezy H 0 i H 1 analogiczne jak w przypadku Perrona (1989) Statystykę testową (LM) uzyskujemy z regresji y t = δ Z t + α S t 1 + u t gdzie Z t = [1,t,D (T 1B ) t,d (T 2B ) t,dt 1t,DT 2t ] a S t 1 jest wektorem reszt z regresji y t na stałej i Z t.

Testy z dwoma załamaniami Standardowe testy pierwiastka jednostkowego Testy z załamaniem (czas znany) Testy z załamaniem (czas nieznany) Testy z dwoma załamaniami Dwie wersje statystyki testowej ρ α = T ˆα i statystka t α dla hipotezy α = 0. Dla nieznanego momentu załamania obie liczymy jako minimum (infinum) dla zbioru możliwych mementów załamań ) ρ α ( λinf = inf ρ α (λ) λ 1,λ 2 Λ ) t α ( λinf = inf t α (λ) λ 1,λ 2 Λ Specjalne tablice wartości krytycznych

Testy z dwoma załamaniami Standardowe testy pierwiastka jednostkowego Testy z załamaniem (czas znany) Testy z załamaniem (czas nieznany) Testy z dwoma załamaniami Narayan and Popp (2010) dwa załamania o nieznanym czasie zastosowanie testu ADF ale w przeciwieństwie do Zivota i Andrewsa (1992) zarówno w przypadku hipotezy zerowej jak i alternatywnej obecne załamanie Narayan and Liu (2013) bardziej rozbudowana wersja, w której uwzględnia się możliwość wystąpienia w części losowej procesu GARCH(1,1)

Test Shillera Testy zakresu wariancji Testy oparte na testach integracji i kointegracji Prawostronne testy pierwiastka jednostkowego Test Shillera (1981) Racjonalna cena p t = Racjonalna cena ex post s=1 p t = ( ) 1 s E t (d t+s) 1 + r s=1 ( ) 1 s d t+s 1 + r W przypadku racjonalnych oczekiwań d t+s = E t (d t+s ) + ε t+s i ε i jest nieskorelowana z żadną informacją dostępną w czasie t

Test Shillera Testy zakresu wariancji Testy oparte na testach integracji i kointegracji Prawostronne testy pierwiastka jednostkowego Wynika z tego, że ( ) 1 s pt = (E t (d t+s) + ε t+s) = p t + 1 + r s=1 Wariancja p t jest równa Var (p t ) = Var (p t ) + Testujemy: s=1 H 0 : Var (p t ) > Var (p t ) H 1 : Var (p t ) Var (p t ) (bąbel?) s=1 ( ) 1 s ε t+s 1 + r ( ) 1 2s Var (ε t+s) > Var (p t ) 1 + r

Test Shillera Testy zakresu wariancji Testy oparte na testach integracji i kointegracji Prawostronne testy pierwiastka jednostkowego Implementacja testu sprawia trudności, ponieważ p t jest nieznane. W związku z tym szacuje się je na podstawie danych ex post p t = T s=1 ( ) 1 s ( ) 1 T t d t+s + E t (p T ) 1 + r 1 + r i przyjmuje się, że E t (p T ) = p T bądź, że E t (p T ) = p. Wynik testu uzyskany przez Shillera: wariancja Var (p t ) wieksza o rząd wielkości od Var (p t ) Wniosek Shillera: standardowy model wyceny aktywów nie może być prawdziwy

Test Shillera Testy zakresu wariancji Testy oparte na testach integracji i kointegracji Prawostronne testy pierwiastka jednostkowego Krytyka: warunek końcowy E t (p T ) = p obciąża test w kierunku odrzucenia H 0 przy warunku E t (p T ) = p T nie ma mocy w stosunku do H 1 o istnieniu bąbla jeśli dywidendy i ceny są niestacjonarne to H 0 jest odrzucana mimo braku bąbla

Testy zakresu wariancji Testy oparte na testach integracji i kointegracji Prawostronne testy pierwiastka jednostkowego West A specification test for speculative bubbles (1987) Zgodnie z hipotezą o racjonalnych oczekiwaniach i równaniem Eulera dla problemu maksymalizacji międzyokresowej Wzór ten można zapisać: gdzie δ = 1 1+r i E t (u t ) = 0. p t = 1 1 + r E t (p t+1 + d t+1 ) p t = δ (p t+1 + d t+1 ) + u t (1) u t = δ (p t+1 + d t+1 E t (p t+1 + d t+1 ))

Testy zakresu wariancji Testy oparte na testach integracji i kointegracji Prawostronne testy pierwiastka jednostkowego Estymator MNK dla równania (1) nie jest zgodny Zmienna objaśniająca skorelowana z błędem losowym: E t [(p t+1 + d t+1 )u t ] = δvar t (p t+1 + d t+1 ) Z założenia o racjonalnych oczekiwaniach błąd predykcji nie zależy od zmiennych znanych w czasie t E t (u t p t,d t,p t 1,d t 1,...) = 0 Zgodne oszacowanie β 1 można uzyskać MZI przyjmując za instrumenty zmienne znane w czasie t (np. d t,p t 1 itd)

Testy zakresu wariancji Testy oparte na testach integracji i kointegracji Prawostronne testy pierwiastka jednostkowego Załóżmy, że dywidendy dane procesem AR(1) d t = φd t 1 + ε t (2) Za pomocą MNK możemy uzyskać zgodne oszacowanie φ Dywidenda d t+s jest równa: s=1 d t+s = φ s d t + s i=1 Oczekiwana fundamentalna część ceny: ( ) 1 s v t = E t (d t+s) = 1 + r gdzie β = 1 φ φ 1+r φ s ε t+s s=1 ( φ 1 + r = φδ 1 φδ ) s d t = βd t 1+r (3)

Testy zakresu wariancji Testy oparte na testach integracji i kointegracji Prawostronne testy pierwiastka jednostkowego Wartość β można uzyskać na podstawie oszacowań φ i δ bezpośrednio, szacując równanie p t = v t + b t = βd t + b t (4) W przypadku występowania korelacji między b t (bąblem) a d t uzyskane oszacowanie β nie będzie spełniać (3). Test przeprowadzamy: szacując φ z (2) i β z (4) MNK a δ MZI z (1) znajdując β = φ δ 1 φ δ przeprowadzając test H 0 : β = β (test Hausmana)

Testy zakresu wariancji Testy oparte na testach integracji i kointegracji Prawostronne testy pierwiastka jednostkowego Wnioski Westa: hipoteza o braku bąbli spekulacyjnych silnie odrzucana Test można uogólnić na przypadek, gdy dywidendy zachowują się zgodnie z procesem ARIMA(p,d,q). Krytyka: odrzucenie H 0 może być spowodowane błędnym wyspecyfikowaniem modelu dla dywidend zmienną w czasie stopą dyskonta występowaniem rzadkich zdarzeń, które brane są pod uwagę przez inwestorów ale nie są obserwowane w próbie

Test Diby i Grossmana Testy zakresu wariancji Testy oparte na testach integracji i kointegracji Prawostronne testy pierwiastka jednostkowego Test Shillera i Westa nie wykorzystują żadnych założeń co do formy bąbla Diba, Grossman (1988) zaproponowali test wykorzystujący własności bąbli oparty na teście integracji Zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami a więc gdzie E t (z t ) = 0 E t [b t+1 ] = (1 + r)b t b t+1 = (1 + r)b t + z t Wartość b 0 > 0 a więc bąbel musi być obecny od początku notowań i nie może być ujemny

Test Diby i Grossmana Testy zakresu wariancji Testy oparte na testach integracji i kointegracji Prawostronne testy pierwiastka jednostkowego Proces stochastyczny dla b t jest niestacjonarny (eksplozywny) Model dla cen aktywów wygląda następująco: ( ) 1 s p t = E t (d t+s + o t ) + b t 1 + r s=1 gdzie o t są nieobserwowalnymi czynnikami fundamentalnymi. Załóżmy ceny i dywidendy są I (1) a o t jest stacjonarne

Test Diby i Grossmana Testy zakresu wariancji Testy oparte na testach integracji i kointegracji Prawostronne testy pierwiastka jednostkowego Równanie obserwowalne ( 1 p t = 1 + r T s=1 ) s ( ) 1 T t d t+s + p T + u t 1 + r gdzie u t = o t + ε t + b t ( ) 1 s ε t = [d t+s + o t E t (d t+s + o t )] s=1 1 + r ( ) 1 T t [p T E t (p T )] 1 + r i ε t jest stacjonarne Powyższe równanie implikuje, że dla H 0 : b t = 0 (brak bąbla) p t i d t,p T są skointegrowane dla H 1 : b t 0 (bąbel) p t i d t,p T nie są skointegrowane

Prawostronny test Diby i Grossmana Testy zakresu wariancji Testy oparte na testach integracji i kointegracji Prawostronne testy pierwiastka jednostkowego Proces stochastyczny dla b t jest wybuchowy W konsekwencji w przypadku występowania bąbla także proces dla p t będzie eksplozywny Dla procesu formułujemy: y t = αy t 1 + ε t H 0 : α = 1 (pierwiastek jednostkowy) H 1 : α > 1 (proces ekspolozywny - bąbel)

Prawostronny test Diby i Grossmana Testy zakresu wariancji Testy oparte na testach integracji i kointegracji Prawostronne testy pierwiastka jednostkowego W przypadku klasycznego testu DF oznacza to y t = ρy t 1 + ε t H 0 : ρ = 0 (pierwiastek jednostkowy) H 1 : ρ > 0 (proces wybuchowy - bąbel) Używamy więc prawostronnego a nie lewostronnego (klasyczny ADF) obszaru krytycznego dla statystyki t Specjalne tablice Wniosek z badania empirycznego Diby i Grossmana: p t i d t są rzeczywiście I (1) oraz są skointegrowane, brak bąbla

Testy Diby i Grossmana Testy zakresu wariancji Testy oparte na testach integracji i kointegracji Prawostronne testy pierwiastka jednostkowego Krytyka: o t może także być niestacjonarne Evans (1991), bańki cykliczne: pękają z p-stwem 1 π ale nie całkowicie (b t spada ale nie do zera) a później odradzają się dla takich baniek moc testu Diby i Grossmana bliska zeru nawet dla niskich 1 π Odpowiedź na krytykę: prawostronne testy oparte na przesuwanych i sekwencyjnych oknach estymacja modelu MSM

Froot, Obsfeld (1991) Testy zakresu wariancji Testy oparte na testach integracji i kointegracji Prawostronne testy pierwiastka jednostkowego