Klasyczny rachunek zdań 1/2

Klasyczny rachunek zdań /2 Elementy logiki i metodologii nauk spotkanie VI Bartosz Gostkowski Poznań, 7 XI 9

Plan wykładu: Zdanie w sensie logicznym Klasyczny rachunek zdań reguły słownikowe reguły składniowe reguły semantyczne Schematy zdaniowe

ZDANIE W SENSIE LOGICZNYM Zdanie w sensie logicznym, to taki obiekt językowy, o którym można orzekać prawdę i fałsz. Ostatni dinozaur miał niebieskie oczy. W Jaworznie Szczakowej kibicują Pogoni. E. Husserl studiował u F. Brentany. 2+2=5 SĄ ZDANIAMI W SENSIE LOGICZNYM Ostatnia nadzieja chrześcijańskiej Europy Czy tu można kupić kawę? 7x8 Nie należy ufać superłotrom. NIE SĄ ZDANIAMI W SENSIE LOGICZNYM

ZDANIE W SENSIE LOGICZNYM Zdanie w sensie logicznym, to taki obiekt językowy, o którym można orzekać prawdę i fałsz. Uwaga! Koncepcja zdania w sensie logicznym przedstawiona w dalszej części prezentacji jest bardzo silnie związana z Fregowską koncepcją filozofii języka, która identyfikuje się jako Fregowska. Nie jest to jedyne dostępne rozwiązanie problemów semantyki zdań i sądów.

ZDANIE W SENSIE LOGICZNYM: sądy i wartości logiczne Zdanie w sensie logicznym, to taki obiekt językowy, o którym można orzekać prawdę i fałsz. WARTOŚCI LOGICZNE ZDANIE PRAWDA / FAŁSZ

ZDANIE W SENSIE LOGICZNYM- ZNACZENIE I OZNACZANIE Relacja między zdaniem a odpowiadającą mu wartością logiczną (prawdą lub fałszem) jest analogiczna do relacji między nazwą a jej desygnatami. ZDANIE PRAWDA / FAŁSZ ODNOSI SIĘ DO, OZNACZA

ZDANIE W SENSIE LOGICZNYM- ZNACZENIE I OZNACZANIE Sądem nazywamy każdą myśl, która zdaje sprawę z pewnego stanu rzeczy, czyli która zdaje sprawę z tego, że tak a tak jest, lub, że tak a tak nie jest. K. Ajdukiewicz, Logika pragmatyczna Sąd pełni podobną rolę w przypadku zdań, jaką treść pełniła w przypadku nazw. (i) wyraża znaczenie, jakie przysługuje zdaniu, WYRAŻA ZDANIE SĄD PRAWDA / FAŁSZ ODNOSI SIĘ DO, OZNACZA

ZDANIE W SENSIE LOGICZNYM- ZNACZENIE I OZNACZANIE Sądem nazywamy każdą myśl, która zdaje sprawę z pewnego stanu rzeczy, czyli która zdaje sprawę z tego, że tak a tak jest, lub, że tak a tak nie jest. K. Ajdukiewicz, Logika pragmatyczna Sąd pełni podobną rolę w przypadku zdań, jaką treść pełniła w przypadku nazw. (i) wyraża znaczenie, jakie przysługuje zdaniu, (ii) determinuje odniesienie przedmiotowe zdania. WYRAŻA DETERMINUJE ZDANIE SĄD PRAWDA / FAŁSZ ODNOSI SIĘ DO, OZNACZA

KRZ: ALFABET KLASYCZNY RACHUNEK ZDAŃ, to język formalny, określony za pomocą zestawu reguł słownikowych, składniowych i semantycznych. A. Reguły słownikowe [ALFABET] Def.. Symbolem języka KRZ jest: (i) p, q, r, (ii),,,, (iii) (, ) [dowolna zmienna zdaniowa] [dowolny spójnik zdaniowy] [nawias- pełni funkcję pomocniczą]

KRZ: SKŁADNIA KLASYCZNY RACHUNEK ZDAŃ, to język formalny, określony za pomocą zestawu reguł słownikowych, składniowych i semantycznych. B. Reguły składni Def.2. Wyrażeniem języka KRZ jest dowolny skończony ciąg symboli języka KRZ. ((((((((((((((pqr ppppppppppppppppp p q SĄ WYRAŻENIAMI KRZ

KRZ: SKŁADNIA KLASYCZNY RACHUNEK ZDAŃ, to język formalny, określony za pomocą zestawu reguł słownikowych, składniowych i semantycznych. B. Reguły składni Def.3. Formuła języka KRZ [wyrażenie dobrze zbudowane]: (i) dowolna zmienna jest formułą języka KRZ; (ii) jeśli wyrażenie α jest formułą języka KRZ, to α jest formułą języka KRZ; (iii) jeśli wyrażenia α i β są formułami języka KRZ, to następujące wyrażenia KRZ również będą formułami języka KRZ: (α β) (α β) (α β) (α β) (iv) żadne inne wyrażenie nie jest formułą języka KRZ.

KRZ: SKŁADNIA Def.3. Formuła języka KRZ [wyrażenie dobrze zbudowane]: (i) dowolna zmienna jest formułą języka KRZ; (ii) jeśli wyrażenie α jest formułą języka KRZ, to α jest formułą języka KRZ; (iii) jeśli wyrażenia α i β są formułami języka KRZ, to następujące wyrażenia KRZ również będą formułami języka KRZ: (α β) (α β) (α β) (α β) (iv) żadne inne wyrażenie nie jest formułą języka KRZ. Poprawność dowolnej formuły KRZ można udowodnić za pomocą definicji 3. (p q) ( p q)

KRZ: SKŁADNIA Def.3. Formuła języka KRZ [wyrażenie dobrze zbudowane]: (i) dowolna zmienna jest formułą języka KRZ; (ii) jeśli wyrażenie α jest formułą języka KRZ, to α jest formułą języka KRZ; (iii) jeśli wyrażenia α i β są formułami języka KRZ, to następujące wyrażenia KRZ również będą formułami języka KRZ: (α β) (α β) (α β) (α β) (iv) żadne inne wyrażenie nie jest formułą języka KRZ. Poprawność dowolnej formuły KRZ można udowodnić za pomocą definicji 3.. (p q) ( p q) są formułami na mocy warunku (i)

KRZ: SKŁADNIA Def.3. Formuła języka KRZ [wyrażenie dobrze zbudowane]: (i) dowolna zmienna jest formułą języka KRZ; (ii) jeśli wyrażenie α jest formułą języka KRZ, to α jest formułą języka KRZ; (iii) jeśli wyrażenia α i β są formułami języka KRZ, to następujące wyrażenia KRZ również będą formułami języka KRZ: (α β) (α β) (α β) (α β) (iv) żadne inne wyrażenie nie jest formułą języka KRZ. Poprawność dowolnej formuły KRZ można udowodnić za pomocą definicji 3.. (p q) ( p q) są formułami na mocy warunku (i) 2. (p q) ( p q) jest formułą na mocy warunku (iii) oraz.

KRZ: SKŁADNIA Def.3. Formuła języka KRZ [wyrażenie dobrze zbudowane]: (i) dowolna zmienna jest formułą języka KRZ; (ii) jeśli wyrażenie α jest formułą języka KRZ, to α jest formułą języka KRZ; (iii) jeśli wyrażenia α i β są formułami języka KRZ, to następujące wyrażenia KRZ również będą formułami języka KRZ: (α β) (α β) (α β) (α β) (iv) żadne inne wyrażenie nie jest formułą języka KRZ. Poprawność dowolnej formuły KRZ można udowodnić za pomocą definicji 3.. (p q) ( p q) są formułami na mocy warunku (i) 2. (p q) ( p q) jest formułą na mocy warunku (iii) oraz. 3. (p q) ( p q) są formułami na mocy warunku (ii) oraz.

KRZ: SKŁADNIA Def.3. Formuła języka KRZ [wyrażenie dobrze zbudowane]: (i) dowolna zmienna jest formułą języka KRZ; (ii) jeśli wyrażenie α jest formułą języka KRZ, to α jest formułą języka KRZ; (iii) jeśli wyrażenia α i β są formułami języka KRZ, to następujące wyrażenia KRZ również będą formułami języka KRZ: (α β) (α β) (α β) (α β) (iv) żadne inne wyrażenie nie jest formułą języka KRZ. Poprawność dowolnej formuły KRZ można udowodnić za pomocą definicji 3.. (p q) ( p q) są formułami na mocy warunku (i) 2. (p q) ( p q) jest formułą na mocy warunku (iii) oraz. 3. (p q) ( p q) są formułami na mocy warunku (ii) oraz. 4. (p q) ( p q) jest formułą na mocy warunku (iii) oraz 3.

KRZ: SKŁADNIA Def.3. Formuła języka KRZ [wyrażenie dobrze zbudowane]: (i) dowolna zmienna jest formułą języka KRZ; (ii) jeśli wyrażenie α jest formułą języka KRZ, to α jest formułą języka KRZ; (iii) jeśli wyrażenia α i β są formułami języka KRZ, to następujące wyrażenia KRZ również będą formułami języka KRZ: (α β) (α β) (α β) (α β) (iv) żadne inne wyrażenie nie jest formułą języka KRZ. Poprawność dowolnej formuły KRZ można udowodnić za pomocą definicji 3.. (p q) ( p q) są formułami na mocy warunku (i) 2. (p q) ( p q) jest formułą na mocy warunku (iii) oraz. 3. (p q) ( p q) są formułami na mocy warunku (ii) oraz. 4. (p q) ( p q) jest formułą na mocy warunku (iii) oraz 3. 5. (p q) ( p q) jest formułą na mocy warunku (iii), oraz 4. i 2.

KRZ: SKŁADNIA Konwencja notacyjna: Jeśli formuła ma kształt (α funk β), gdzie funk to któryś z funktorów dwuargumentowych (,,, ), to zewnętrzny nawias można opuścić.

KRZ: SEMANTYKA KLASYCZNY RACHUNEK ZDAŃ, to język formalny, określony za pomocą zestawu reguł słownikowych, składniowych i semantycznych. B. Reguły semantyczne KRZ to (bardzo podstawowy) język logiki klasycznej, to znaczy, że obowiązują w nim dwa ważne założenia: (i) ekstensjonalność- wszystkie występujące w języku funktory są ekstensjonalne. (ii) dwuwartościowość- każde zdanie języka przyjmuje jedną z dwu wartości logicznych (oznaczanych tradycyjnie jako i ).

EKSTENSJONALNOŚĆ- intuicje Porównajmy dwa zdania: (a) Słoń kroczy naprzód i krowy patrzą z podziwem. (b) Podróżnik jest przekonany, że słoń kroczy naprzód, a krowy patrzą z podziwem. 3. Prawdziwość zdania (a), zależy od tego jaką wartość logiczną mają zdania, z których zostało zbudowane i od tego, jakiego spójnika (funktora) użyto dla złączenia ich ze sobą. Jeśli jest tak, że zdanie słoń kroczy naprzód oraz zdanie krowy patrzą z podziwem są zdaniami prawdziwymi, to zdanie (a) jest prawdziwe. 4. Prawdziwość zdanie (b) nie zależy od prawdziwości/ fałszywości zdań, z których się ono składa, oraz tego jakich funktorów użyto, by połączyć je ze sobą, tylko od tego, jakie były przekonania podróżnika. W szczególności, jeśli jego przekonania były inne, to choćby słoń kroczył, a krowy patrzyły, zdanie (b) będzie fałszywe.

EKSTENSJONALNOŚĆ Porównajmy dwa zdania: (a) Słoń kroczy naprzód i krowy patrzą z podziwem. (b) Podróżnik jest przekonany, że słoń kroczy naprzód, a krowy patrzą z podziwem. W zdaniu (a) występuje i, które jest funktorem ekstensjonalnym. Def. 4. Funktor ekstensjonalny, to taki spójnik zdaniowy, że wartość logiczna zdania, które powstanie przy jego użyciu zależy tylko od: (i) (ii) wartości logicznej zdań składowych (lub jednego zdania składowego), charakterystyki prawdziwościowej zastosowanego spójnika.

EKSTENSJONALNOŚĆ Porównajmy dwa zdania: (a) Słoń kroczy naprzód i krowy patrzą z podziwem. (b) Podróżnik jest przekonany, że słoń kroczy naprzód, a krowy patrzą z podziwem. W zdaniu (b) występuje intensjonalny spójnik jest przekonany, że. Def. 5. Funktor intensjonalny, to taki spójnik zdaniowy, który nie jest ekstensjonalny. Janina wierzy, że Janina wie, że Janina boi, się, że Janina ma nadzieję, że etc. przykłady funktorów intensjonalnych

SPÓJNIKI EKSTENSJONALNE Wszystkie spójniki języka KRZ są ekstensjonalne, oto ich charakterystyka: NEGACJA p p Konwencja notacyjna: Alternatywna notacja: ~ Interpretacja w j. naturalnym: nieprawda, że

SPÓJNIKI EKSTENSJONALNE Wszystkie spójniki języka KRZ są ekstensjonalne, oto ich charakterystyka: KONIUNKCJA p q p q Konwencja notacyjna: Alternatywna notacja:, & Interpretacja w j. naturalnym: i

SPÓJNIKI EKSTENSJONALNE Wszystkie spójniki języka KRZ są ekstensjonalne, oto ich charakterystyka: ALTERNATYWA p q p q Konwencja notacyjna: Interpretacja w j. naturalnym: lub

SPÓJNIKI EKSTENSJONALNE Wszystkie spójniki języka KRZ są ekstensjonalne, oto ich charakterystyka: IMPLIKACJA p q p q Konwencja notacyjna: Alternatywna notacja:, Interpretacja w j. naturalnym: jeśli, to

SPÓJNIKI EKSTENSJONALNE Wszystkie spójniki języka KRZ są ekstensjonalne, oto ich charakterystyka: RÓWNOWAŻNOŚĆ p q p q Konwencja notacyjna: Alternatywna notacja:, Interpretacja w j. naturalnym: wtedy i tylko wtedy, gdy

SCHEMATY ZDANIOWE W KRZ Język KRZ okazuje się przydatny do ukazania (pewnych aspektów) logicznej struktury zdań języka naturalnego. Słoń jest największym żyjącym ssakiem lądowym lub kawa jest gorąca.

SCHEMATY ZDANIOWE W KRZ Język KRZ okazuje się przydatny do ukazania (pewnych aspektów) logicznej struktury zdań języka naturalnego. lub oznacza Słoń jest największym żyjącym ssakiem lądowym. oznacza Kawa jest gorąca.

SCHEMATY ZDANIOWE W KRZ Język KRZ okazuje się przydatny do ukazania (pewnych aspektów) logicznej struktury zdań języka naturalnego. oznacza Słoń jest największym żyjącym ssakiem lądowym. oznacza Kawa jest gorąca.

SCHEMATY ZDANIOWE W KRZ Język KRZ okazuje się przydatny do ukazania (pewnych aspektów) logicznej struktury zdań języka naturalnego. p q p oznacza Słoń jest największym żyjącym ssakiem lądowym. q oznacza Kawa jest gorąca.

SCHEMATY ZDANIOWE W KRZ Tłumacząc zdanie języka naturalnego na KRZ, otrzymujemy jego schemat logiczny. Def. 4. Schematem logicznym zdania, jest zatem formuła KRZ, która powstała przez: (i) konsekwentne zastąpienie wszystkich zdań prostych przez przyporządkowane im zmienne zdaniowe (wszystkie wystąpienia tego samego zdania prostego zastępujemy z pomocą tej samej zmiennej zdaniowej); (ii) zastąpienie spójników ekstensjonalnych obecnych w zdaniu z języka naturalnego, przez odpowiednie spójniki KRZ.

SCHEMATY ZDANIOWE W KRZ Dzięki schematowi widać jak wartość logiczna zdania złożonego zależy w sposób systematyczny od wartości logicznych zdań prostych, z których jest zbudowane. Jeśli doña Leona szła na zachód i spotkała uciekające słonie, to została zdeptana. (p q) r p- Doña Leona szła na zachód. q- Doña Leona spotkała uciekające słonie. r- Doña Leona została zdeptana.

SCHEMATY ZDANIOWE W KRZ (p q) r Schemat, który odpowiada badanemu zdaniu, zawiera trzy zmienne zdaniowe. Każda ze zmiennych może przyjmować wartość lub 2, musimy zatem rozważyć 8 różnych kombinacji wartości logicznych. 2 n W ogólności, kombinacji będzie zawsze 2 n gdzie n to liczba zmiennych zdaniowych występujących w badanej formule. Dla ciekawych, dlaczego tak jest, proponuję rozważyć problem w następujący sposób: niech każdą zmienną reprezentuje worek, w którym ukryto dwie kulki: czarną i białą. Teraz, należy wylosować z każdego worka po jednej kulce. Na ile sposobów może przebiegać takie losowanie?

SCHEMATY ZDANIOWE W KRZ (p q) r p q r Najłatwiej wypisać wszystkie możliwe kombinacje wartości logicznych, kierując się następujacą regułą: Niech i będzie liczbą wszystkich kombinacji. (i) Dla pierwszej zmiennej (pierwsza kolumna), wypisz najpierw i/2 jedynek, oraz i/2 zer.

SCHEMATY ZDANIOWE W KRZ (p q) r p q r Najłatwiej wypisać wszystkie możliwe kombinacje wartości logicznych, kierując się następujacą regułą: Niech i będzie liczbą wszystkich kombinacji. (i) Dla pierwszej zmiennej (pierwsza kolumna), wypisz najpierw i/2 jedynek, oraz i/2 zer. (ii) Dla kolejnej zmiennej, weź liczbę jedynek z poprzedniej kolumny, podziel ją przez 2, wynik oznacza liczbę jedynek, zanim zaczniesz wpisywać zera, powtarzaj, aż zapełnisz kolumnę.

TABELA PRAWDZIWOŚCIOWA (p q) r p q r (p q) r

p q r (p q) (p q) r (p q) r TABELA PRAWDZIWOŚCIOWA