Kvantum homogenizálás Koniorczyk Mátyás Pécsi Tudományegyetem, Fizikai Intézet (jelentős részben Vladimír Bužek és Mário Ziman cikkei alapján) ELFT Elméleti Fizika Iskola, Tihany, 2010 szeptember 1.
Motiváció Theroetical phyiscists live in a classical world looking out in the quantum mechanical world. The latter we describe only subjectively, in terms of procedures and results in our classical domain. J. S. Bell
Motiváció Egyensúly (pl. hőmérsékleti) T S T R T Eq
Motiváció Kvantum modell Legyen egyszerű, Analitikusan megérthető, Legyen benne jelen a termalizációhoz hasonló viselkedés
Vázlat Ütközéses modellek Homogenizálás: definíció Homogenizálás ütközéses modellben Konstrukció Homogenizálás Összefonódottság Mester egyenlet Spingázok
Ütközéses modell ± ¼µ Ë Ø Ø Ø Í Í Í Ø Ø Ø ½ ½ ¼ ¾ ¾ ¼ ¼ Ê Ë ÊÎÇÁÊ ¹ ± µ Ë
Ütközéses modell Kvantumállapotok S(H) = {ϱ : ϱ O, tr[ϱ] = 1} Dinamika 1 lépés: n lépés: E[ϱ] = tr env [U(ϱ ξ)u ] ϱ 0 ϱ n = tr env [U(ϱ n 1 ξ)u ] = E[ϱ n 1 ] = E n [ϱ 0 ] Ω n = U n U 1 (ϱ S ξ n )U 1 U n
Kvantum homogenizálás Ideális homogenizálás Klónozás, nem lehet. ϱ S ξ ξ ξ S ξ ξ
Kvantum homogenizálás δ-homogenizálás triviális homogenizálás ξ S ξ ξ Ω n = ξ S ξ ξ konvergencia a rezervoár stabilitása j D(ϱ (n) S, ξ) δ D(ξ j, ξ) δ
A homogenizáló kölcsönhatás Szimmetrikus és antiszimmetrikus altér Csere-operátor H H-n: S(ϱ ξ)s = ξ ϱ H ± : SΦ = ±Φ H H = H + H
A homogenizáló kölcsönhatás A triviális homogenizálás miatt U ψ ψ = ψ ψ, vagyis legáltalánosabban: U = e iγ I + V
A homogenizáló kölcsönhatás Qubitekre 1D antiszimmetrikus altér V = e iβ U 00 = e iγ 00, U 11 = e iγ 11, U( 01 + 10 ) = e iγ ( 01 + 10 ), U( 01 10 ) = e i(γ+β) ( 01 10 ). Másként (η = β/2): U η = cos ηi + i sin ηs
A homogenizáló kölcsönhatás Általában U η = cos ηi + i sin ηs = e iηs megfelel, de nem a legáltalánosabb. Fennmaradt kérdések konvergencia a rezervoár stabilitása
A dinamika ϱ (n) S = c 2 ϱ (n 1) S + s 2 ξ + ics[ξ, ϱ (n 1) S ] ξ n = s 2 ϱ (n 1) S + c 2 ξ + ics[ϱ (n 1) S, ξ]
Konvergencia Kontrakciók E szigorú kontrakció, ha ( ϱ, ξ S) D(E[ϱ], E[ξ]) kd(ϱ, ξ), 0 k < 1 Hilbert-Schmidt távolság esetünkben: D(ϱ 1, ϱ 2 ) = ϱ 1 ϱ 2 = tr[ϱ 2 1 ] + tr[ϱ2 2 ] 2tr[ϱ 1ϱ 2 ] D 2 (E[ϱ 1 ], E[ϱ 2 ]) = c 2 (c 2 D 2 (ϱ 1, ϱ 2 ) + s 2 [ξ, ϱ 1 ϱ 2 ] 2 ) (mivel E[ϱ] = c 2 ϱ + s 2 ξ + ics[ξ, ϱ])
Konvergencia Ami bizonyítandó Az, hogy ξ fixpont, helyettesítéssel adódik. Tehát be kell látni, hogy: [ξ, ] 2 2 = D 2 (ϱ 1, ϱ 2 ) ahol = ϱ 1 ϱ 2 Ha ez teljesül, a Banach-féle fixponttétel alapján az egyértelmű fixponthoz konvergál a dinamika.
Konvergencia Bizonyítás ξ = k λ k k k ξ ξ 2 = tr[(ξ ξ) (ξ ξ)] = 2tr[ξ 2 2 ] 2tr[(ξ ) 2 ] = 2 j λ2 j j 2 j 2 j,k λ j λ k j k 2 = 2 j,k λ2 j j k k j 2 j,k λ j λ k j k 2 = j,k (2λ2 j 2λ j λ k ) j k 2 = j,k (λ2 j + λ 2 k 2λ j λ k ) j k 2 = j,k (λ j λ k ) 2 j k 2 j,k j k 2 = tr[ ] = 2
Konvergencia A kontrakció D(E[ϱ 1 ], E[ϱ 2 ]) c D(ϱ 1, ϱ 2 ), a kontrakciós együttható c = cos η, a fixpont pedig ξ.
A rezervoár stabilitása Vizsgálandó D(ξ j, ξ) valamint a lépések szükséges N δ száma, melyre Beláttuk, hogy és tudjuk, hogy E[ξ] = ξ, innen: de mi lehet a δ? D(ϱ (N δ) S, ξ) δ. D(E[ϱ], E[ξ]) c D(ϱ, ξ), N δ = ln(δ/ 2) ln c
A rezervoár stabilitása Számolás D(ξ, ξ n ) = ξ c2 ξ s 2 ϱ (n 1) S s 2 ξ ϱ (n 1) S s 2 D(ξ, ϱ (n 1) S 2 sc ( s c n 2 + 2) < 2 sc (1 + 2) δ ics[ϱ (n 1), ξ] S + cs [ϱ (n 1), ξ] S ) + 2 cs ϱ (n 1) ξ S vagyis U η -ra (2 + 2) sin η cos η δ, a szükséges lépések száma pedig N δ ln [(1 + 2) sc ] ln c
Összefonódottság sok qubit esetén tangle ahol τ(ω) = min ω= p j τ(ψ j ) j p j ψ j ψ j τ(ψ) = S lin (tr 1 ψ ψ ) = 2(1 tr[(tr 1 ψ ψ ) 2 ]) = 4 det tr 1 [ ψ ψ ] (lineáris entrópia) j
Összefonódottság sok qubit esetén C = max{0, 2 max{ λ j } j Konkurrencia λj } λ j = eig(ω(σ y σ y )ω (σ y σ y )) Monogámia Coffman-Kundu-Wootters: τ jk τ j k,k j
Összefonódottság a homogenizálás modellben entanglement 0.25 τ 0 τ 1 0.2 0.15 0.1 0.05 τ 01 τ 02 τ 2 τ 12 0 2 4 6 8 10 12 14 n
Mester egyenlet Diszkrét dinamikai félcsoport ϱ E 1 [ϱ] E 2 [ϱ] E n [ϱ], E k = E E = E k ahol E n E m = E n+m Interpoláció dϱ t dt = ( ) ( ) det det [ϱ 0 ] = dt dt E 1 t [ϱ t ] = G t [ϱ t ]
Markov dinamika generátora Lindblad-GKS alak E t = e Gt G[ϱ] = i [H, ϱ] + 1 c jk ([Λ j ϱ, Λ k ] + [Λ j, ϱλ k ]) 2 jk ahol {Λ 1,..., Λ d 2 1} ONB a spurtalan Hermitikus mátrixok terén.
Bloch-gömb Állapot ϱ r = tr[ϱ σ] Csatorna E kj := 1 2 tr[σ ke[σ j ]] (a spur megmaradása miatt E 00 = 1 2 tr[e[i ]] = 1 és E 0j = tr[e[σ j ]] = 0) r r = t + T r t j = E j0, T jk = E jk
Bloch-gömb Generátor G = 0 0 0 0 g 10 g 11 g 12 g 13 g 20 g 21 g 22 g 23 g 30 g 31 g 32 g 33, g jk = 1 2 tr[σ jg[σ k ]]
Bloch-gömb Lindblad-GKS alak G[X ] = i h j [σ j, X ] + 1 2 j=x,y,z c jk ([σ j, X σ k ] + [σ j X, σ k ]) j,k=x,y,z h 1 = g 32 g 23 4, h 2 = g 13 g 31 4 c jj = g jj 1 2 k g kk, h 3 = g 21 g 12 4 c 12 = 1 2 (g 12 + g 21 ig 30 ), c 21 = 1 2 (g 12 + g 21 + ig 30 ), c 23 = 1 2 (g 23 + g 32 ig 10 ), c 32 = 1 2 (g 23 + g 32 + ig 10 ), c 13 = 1 2 (g 13 + g 31 + ig 20 ), c 31 = 1 2 (g 13 + g 31 ig 20 ).
Homogenizáció: mester egyenlet Diszkrét dinamika r r = c 2 r + s 2 w cs w r
Mester-egyenlet levezetés (1) Új bázis: S j = V σ j V : ξ = 1 2 (I + ws 3) Új paraméterek: θ = arctan(ws/c) = arctan(w tan η), q = c 2 + w 2 s 2 Ekkor: E = 1 0 0 0 0 cq cos θ cq sin θ 0 0 cq sin θ cq cos θ 0 s 2 w 0 0 c 2
Mester-egyenlet levezetés (2) E n = 1 0 0 0 0 c n q n cos nθ c n q n sin nθ 0 0 c n q n sin nθ c n q n cos nθ 0 w(1 c 2n ) 0 0 c 2n
Mester-egyenlet levezetés (3) Legyen (ad hoc) n = t/τ, tau valamilyen időskála! E t = Ω = θ/τ, c 2t/τ = e Γ 1t, (cq) t/τ = e Γ 2t 1 0 0 0 0 e Γ2t cos Ωt e Γ2t sin Ωt 0 0 e Γ2t sin Ωt e Γ2t cos Ωt 0 w(1 e Γ1t ) 0 0 e Γ 1t Félcsoport, de ellenőrizni kell, hogy minden t-re CP.
Mester-egyenlet levezetés (4) Végül: G = 0 0 0 0 0 Γ 2 Ω 0 0 Ω Γ 2 0 wγ 1 0 0 Γ 1 dϱ dt = i Ω [Sz, ϱ] iwγ1(sxϱsy Sy ϱsx + iϱsz + iszϱ) 2 + 1 4 Γ1(SxϱSx + Sy ϱsy 2ϱ) + 1 (2Γ2 Γ1)(SzϱSz ϱ) 4
Spingázok A rendszer Klasszikus részecskék Belső kvantumos szabadsági fok: qubit Különféle modellek: Véletlen párkölcsönhatás Billiárdasztal 1D diffuzív rácsgáz Q-kölcsönhatás: ha ütköznek, ill. szomszédok Diszkrét idejű dinamika Numerikus szimuláció
Spingázok Kölcsönhatás PSWAP generátora: Heisenberg-XXX U pswap (η) = exp ( iηĥ(xxx)) σ x σ x + σ y σ y + σ z σ z Helyette: XX : H (XX) = σ x σ x + σ y σ y. ( iηĥ(xx)) U XX (η) = exp
Spingázok XX tulajdonságai Invariáns altér: k = 0 1 0 2... 0 k 1 1 k 0 k+1... 0 N Ezen a pillanatnyi Hamilton a szomszédsági mátrix ( quantum walk) Az 1-gerjesztéses altérben a CKW teĺıtett: csak kétrészű összefonódás Ezen az altéren a sűrűségoperátor főátlója: 1 valószínűsége off-diag elemei (koherenciák): konkurrencia C k,k = 2 ϱ k,k
Spingázok Mennyiségek inhomogenitás σ 2 (t) = p 2 k k p k 2 k teljes konkurrencia C tot (t) = k<k C k,k (t)
Billiárdasztal σ 2 0.01 0.009 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 A B C D 0 0 5000 10000 15000 20000 No. of collisions Σ C 90 80 70 60 50 40 30 20 A B 10 C D 0 0 5000 10000 15000 20000 No. of collisions B): billárd szekvenciák, (C, D): random szekvenciák N = 100 egység sugarú és tömegű merev gömb. Sebesség: normál eloszás σ = 0.32. Illesztés ütközés szám szerint. (A,
1D rácsgáz σ 2 0.01 0.009 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 A B C 0 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 t Σ C 90 80 70 60 50 40 30 20 10 A B C 0 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 t véletlen párok, B: 1D rácsgáz 150 hey, C: 1D rácsgáz 200 hely, 100 részecske, η = 0.1. Minden 100. időlépés ábrázolva. A:
Összefoglalás A dekoherencia egy egyszerű mikroszkopikus modelljének részleteit tárgyaltuk: Homogenizáció általában Dinamikai félcsoport, Mester-egyenlet Összefonódottság Spingázok: összetettebb modell
Irodalom M. Ziman, V. Bužek: Open system dynamics of simple collison models, quant-ph/1006.2794 (2010) M. Koniorczyk, Á. Varga, P. Rapčan, V. Bužek: Quantum homogenization and state randomization in semiquantal spin systems, Phys. Rev. A 77, 052106 (2008) V. Scarani, M. Ziman, P. Štelmachovič, N. Gisin and V. Bužek: Thermalizing quantum machines: dissipation and entanglement, Phys. Rev. Lett. 85 097905 (2002) M. Ziman, P. Štelmachovič, V. Bužek, M. Hillery, V. Scarani and N. Gisin: Diluting quantum information: An analysis of information transfer in system-reservoir interactions, Phys. Rev. A 65 042105 (2002) Diósi Lajos: A Short Course in Quantum Information Theory - An Approach From Theoretical Physics Lecture Notes in Physics, Vol. 713, 2. kiadás (nyomdában) Kallus Zsófia: Kvantuminformáció és irreverzibilitás: ütközéses kvantum-termalizáció mester egyenletei, szakdolgozat, ELTE TTK, 2010 (témavezető: Diósi Lajos)