Podstawowe pojęcia. Definicja kryształu. Sieć przestrzenna i sieć krystaliczna. Osie krystalograficzne i jednostki osiowe. Ściana jednostkowa i stosunek osiowy. Położenie węzłów, prostych i płaszczyzn w sieciach przestrzennych. Układy krystalograficzne. Komórki elementarne Bravais'go
Zadanie 1 (przykładowe) Na rysunku 1 przedstawiono fragment wzoru powstałego przez translacyjne powtórzenie zespołu różnych elementów budujących. Znaleźć charakterystyczny motyw całego wzoru, obrać podstawowe kierunki translacji, narysować odpowiadającą wzorowi płaszczyznę sieciową i zaznaczyć na niej równoległobok elementarny. Rozwiązanie: Motyw wydzielono ze wzoru linią przerywaną, natomiast równoległobok elementarny zaznaczono linią ciągłą. Należy motyw całego wzoru zastąpić węzłami i narysować płaszczyznę sieciową, obrać odpowiedni równoległobok elementarny i porównać go z zaznaczonym na rysunku. Zadanie 2 Poniżej przedstawiono dwa fragmenty wzorów powstałych przez translacyjne powtórzenie zespołu różnych elementów budujących. Znaleźć charakterystyczny motyw wzoru, obrać podstawowe kierunki translacji, narysować odpowiadającą wzorowi płaszczyznę sieciową i zaznaczyć na niej równoległobok elementarny.
Zadanie 3 Narysować płaszczyzny sieciowe odpowiadające płaszczyźnie krystalicznej zbudowanej z atomów A i B, których fragmenty przedstawione są poniżej. Zadanie 4 Poniżej przedstawiono komórkę krystaliczną chlorku sodu. Narysuj elementarną komórkę sieci przestrzennej chlorku sodu. Zadanie 5 Wyjaśnij różnice pomiędzy kryształem a krystalitem oraz przyporządkuj odpowiednio te terminy do rysunku. Zadanie 6 Uzupełnij odpowiednio tekst dotyczący zasad wyboru osi krystalograficznych: Początek układu umieszcza się w Przyjmuje się układ, wyjątkowo osi Osie powinny być, w miarę możliwości, wzajemnie oraz pokrywać się z. lub, w gdy ich nie ma, z normalnymi do płaszczyzn symetrii
W kryształach nie mających osi symetrii czy płaszczyzn symetrii osie krystalograficzne powinny odpowiadać krawędziom utworzonym przez wyróżniające się ściany. Kryształy o niskiej symetrii mają osie wzajemnie nieprostopadłe. Zadanie 7 Opisać odpowiednio osie krystalograficzne w układzie heksagonalnym Zadanie 8 Zaznacz na poniższym rysunku parametry komórki Zadanie 9 Uzupełnij odpowiednio tekst dotyczący zasad wyboru osi krystalograficznych: Kształt ścian musi być zgodny z Liczba kątów prostych między krawędziami komórki musi być.. Występuje w niej maksymalna liczba. Objętość musi być.. Zadanie 10 Ściana jednostkowa kryształu odcina na osiach krystalograficznych X, Y, Z odcinki równe odpowiednio: a = 0.393cm, b = 0.742cm i c= 0.353cm. Obliczyć stosunek osiowy charakterystyczny dla tego kryształu. Zadanie 11 Określić współrzędne x, y, z wszystkich oznaczonych węzłów w tetragonalnej sieci przestrzennej przedstawionej na poniższym rysunku.
Zadanie 12 Określić współrzędne x, y, z wszystkich oznaczonych węzłów w heksagonalnej sieci przestrzennej przedstawionej na poniższym rysunku. Zadanie 13 Wykreślić kierunki o symbolach [110], [120], [111] oraz [ 1 1 1] w kryształach z układów regularnego, tetragonalnego i rombowego. Zadanie 14 Wykreślić położenie kierunków opisanych symbolami [210], [011] i [111] w krysztale z układu heksagonalnego. Rozwiązanie podać na przykładzie kryształów o postaciach słupa heksagonalnego i podwójnej piramidy heksagonalnej, które przedstawiono na rysunkach: Zadanie 15 Podać symbole prostych sieciowych zaznaczonych na poniższym rysunku
Zadanie 16 Obliczyć symbol [mnp] ([uvw]) kierunku przeprowadzonego przez punkty (węzły) A i B, jeśli są znane współrzędne tych węzłów: dla węzła A: 0, ½, ½ dla węzła B: ½, 0, 1/2 Zadanie 17 Obliczyć symbol [mnp] prostej przechodzącej przez punkty A i B w tetragonalnej sieci płaskiej, jeśli współrzędne tych punktów wynoszą odpowiednio 1,0,0 i 3,1,0. Odpowiedź uzasadnić rysunkiem. Zadanie 18 Obliczyć czterowskaźnikowy symbol [MNOP] prostej w heksagonalnej sieci przestrzennej, jeśli kierunek ten jest podany za pomocą symbolu trójwskaźnikowego [121]. Przypomnienie: Symbole trójwskaźnikowe [mnp] przelicza się na symbole czterowskaźnikowe [MNOP] stosując zależności: M = 2m n N = 2n m O = -(m + n) P = 3p Zadanie 19 Zastąpić trójwskaźnikowy symbol kierunku [430] czterowskaźnikowym symbolem [MNOP] oraz czterowskaźnikowy symbol [ 1540] symbolem trójswkaźnikowym. Przypomnienie: Wyznaczenie symbolu prostej sieciowej [mnp] z symbolu czterowskaźnikowego [MNOP] przeprowadza się za pomocą zależności: m = M O n = N O p = P Zadanie 20 Obliczyć symbole Weissa i Millera ścian A, B i C, które na osiach krystalograficznych X, Y, Z odcinają odcinki a, b, c wyrażone za pomocą jednostek osiowych a 0, b 0 i c 0 : dla ściany A a = 6a 0 b = 12b 0 c = 3c 0 dla ściany B a = 4a 0 b = 3b 0 c = 2c 0 dla ściany C a = 4a 0 b = 6b 0 c = 3c 0
Zadanie 21 Podać symbole Millera ścian zaznaczonych na poniższych rysunkach Zadanie 22 Przyporządkuj symbole (100), (hkl), (hk0), (001), (h0l), (0kl) i (010) poszczególnym ścianom
Zadanie 23 Obliczyć wskaźniki Millera płaszczyzny M, której położenie w układzie osi krystalograficznych X, Y, Z przedstawia rysunek. Podać symbol (hkl) płaszczyzny M. Położenie płaszczyzny M w układzie osi krystalograficznych X, Y, Z; na osiach zaznaczono jednostki osiowe a 0, b 0, c 0 oraz parametry a, b, c płaszczyzny M Zadanie 24 Obliczyć wskaźniki Millera ścian A, B, C, D i E kryształu, znając odcinki a, b, c odcięte przez nie na osiach krystalograficznych oraz parametry a o, b o,, c o wyznaczone przez ścianę jednostkową W. Napisać symbole wskaźnikowanych ścian. Lp. Oznaczenia ścian Parametry ściany jednostkowej [cm] Parametry ścian wskaźnikowanych a o b o c o a b c Wskaźniki hkl 1 W 0,322 0,420 0,360 - - - 111 2 A 0,322 0,210 0,120 3 B 0,645 0,140 0,360 4 C 0,968 0,840 0,270 5 D 0,630 0,540 6 E 0,107 0,042 0,180 Zadanie 25 Wyznaczyć symbole Millera płaszczyzn, które odcinają na osiach krystalograficznych znane odcinki (parametry), wyrażone w jednostkach osiowych: 1 A 2 a, 1 0 2 b, 1c 0 0 B C D E.,1b 0, 2 5 c 0 2 3 a,, 1 0 6 c 0 1 3 a, 2 0 5 b, 0 1 6 a, 1 0 5 b, 1c 0 0
Zadanie 26 Nakreślić w regularnej komórce elementarnej płaszczyzny o symbolach: (110), (120), (111), ( 11 1), ( 2,10). Zadanie 27 Płaszczyzny P, R i W w sieci przestrzennej kryształu tetragonalnego przecinają się z osiami krystalograficznymi X, Y i Z w punktach odległych od początku układu o odcinki a, b i c, które dla poszczególnych osi wynoszą: P a = 18Å b = 18 Å c = 8,5 Å R a = 8 Å b = 8 Å c = 34 Å W a = 12 Å b = 12 Å c = 17 Å Opisać płaszczyzny symbolami Weissa i Millera, przyjmując płaszczyznę W jako jednostkową. Zadanie 28 Jaka płaszczyznę sieciową wyznaczają proste sieciowe [101] i [011]. Rozwiązanie przedstawić na perspektywicznym rysunku komórki elementarnej. Zadanie 29 Na perspektywicznym rysunku komórki elementarnej narysować płaszczyznę sieciowa (hkl) przechodząca przez prostą sieciową [001] i prostą sieciową [(2110/(001)], tzn. prostą sieciową, w której przecinają się płaszczyzny sieciowe (211) i (001). Zadanie 30 Poniżej podano kształt komórek sieciowych. Pod każdą z nich podaj nazwę układu krystalograficznego, który reprezentuje ta komórka.
Zadanie 31 Określ typy podanych poniżej komórek elementarnych i podaj ich oznaczenia Zadanie 32 Wyznacz bazy dla wszystkich typów komórek Bravais go układu rombowego. Zadanie 33 Istnieje 14 typów tzw. przestrzennych sieci translacyjnych, czyli podstawowych sposobów uporządkowanego powtarzania się w trójwymiarowej przestrzeni atomów, jonów (cząsteczek) budujących ciało krystaliczne Wykaż na rysunku, dlaczego w przypadku układu jednoskośnego nie ma translacyjnych komórek elementarnych Bravais'go typu F oraz typu I.
Zadanie 34 Komórki elementarne kilku kryształów należących do układu rombowego zawierają: a) dwa atomy jednego rodzaju w pozycjach 0, 1 2,0 i 1 2,0, 1 2 ; 1 1 b) cztery atomy tego samego rodzaju w pozycjach: x,y,z; x, y, z ; + x, y, z ; 2 2 1 1 x, + y, z 2 2 c) dwa atomy jednego rodzaju w pozycjach 1 2,0,0 ; 0, 1 2, 1 2 i dwa atomy innego rodzaju w pozycjach 0,0, 1 2 ; 1 2, 1 2,0. Określić komórkę translacyjną Bravais'go tych kryształów. Zadanie 35 Zakładając, że atomy są stykającymi się sztywnymi kulami o średnicy D i zajmują pozycje węzłów w komórkach regularnych typu P, I, F, obliczyć: a) objętość komórek wyrażoną wartością D; b) liczbę atomów w komórce; c) gęstość wyrażoną liczbą atomów na objętość komórki. Zadania 1, 2, 3, 10-20, 23-27, 34 oraz 35 pochodzą z podręcznika: Z. BOJARSKI, H. HABLA i M. SUROWIEC Materiały do nauki krystalografii PWN, Warszawa 1986