Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady) Wykład nr 11: Funkcje w matematyce szkolnej Semestr zimowy 2018/2019

Funkcje uwagi historyczne Wprowadzenie liczb rzeczywistych i liczb zespolonych (Bombelli XVI w., Stifel XV-XVI w.). Stworzenie algebry symboli (Viète XVI w., Kartezjusz XVII w.). Badanie ruchu jako centralnego problemu nauki (Kepler XVI-XVII w., Galileusz XVI-XVII w.). Połączenie geometrii i algebry (Fermat XVII w., Kartezjusz). Rozwinięty w XVII wieku rachunek różniczkowy i całkowy (Newton, Leibniz) omijał precyzyjną definicję funkcji, zajmował się krzywymi. W 1692 roku Leibniz traktował funkcję jako obiekt związany z krzywą.

Funkcje definicje (historia) W 1718 roku Johann Bernoulli podał następującą definicję: Funkcją wielkości zmiennej nazywamy analityczne wyrażenie utworzone w dowolny sposób za pomocą tej wielkości oraz stałych. W Introductio in Analysin Infinitorum (1748) Euler napisał: Funkcją wielkości zmiennej nazywamy analityczne wyrażenie utworzone w dowolny sposób za pomocą tej wielkości oraz za pomocą liczb i wielkości stałych. Kolejny etap to definicja Dirichleta: y jest funkcją zmiennej x określonej na przedziale a < x < b, jeśli każdej wartości x z tego przedziału odpowiada jednoznacznie określona wartość y. Ponadto, nie ma znaczenia, w jaki sposób określono to przyporządkowanie.

Zasada trzech etapów w nauczaniu funkcji etap enaktywny Przykłady (nauczanie wczesnoszkolne)

Zasada trzech etapów w nauczaniu Przykłady (SP) funkcji etap enaktywny

Zasada trzech etapów w nauczaniu funkcji etap enaktywny Przykłady (SŚ) Uczniowie, podzieleni na grupy, obserwują swobodny spadek ciał, przyporządkowując wysokości, z jakiej spada np. kulka plasteliny, czas tego spadania. Wyniki pomiarów mogą zapisywać w wybrany przez siebie sposób. Do tej wersji doświadczenia potrzebny jest CBR (urządzenie do rejestracji i analizy ruchu) oraz kalkulator TI 83. Urządzenie CBR (Calculator Based Ranger) emituje fale, które, odbijając się od obiektu poruszającego się na linii emisji fal, wracają do CBR; zebrane dane przesyłane są do kalkulatora, w którym można wyświetlić funkcje: odległość obiektu od CBR w zależności od czasu, prędkość tego obiektu i przyśpieszenie.

CBR Uczniowie w zeszytach wykonują wykres obrazujący zależność przebytej drogi od czasu w ruchu jednostajnym. Uczniowie w zeszytach za pomocą wykresu ilustrują zmiany prędkości w zależności od czasu w ruchu jednostajnym. Uczniowie za pomocą wykresu ilustrują zmiany prędkości w zależności od czasu w ruchu jednostajnie przyśpieszonym. Uczniowie na wykresie próbują zilustrować zmiany przebytej odległości w zależności od czasu w ruchu jednostajnie przyśpieszonym. CBR: rejestracja ruchu dwóch obiektów: nieruchomej ściany oraz poruszającego się ucznia. Uczniowie na ekranie mogą zobaczyć trzy wykresy obrazujące zależność odległości (drogi), prędkości i przyśpieszenia przy zmieniającym się czasie. CBR (opcja MATCH): Program RANGER zainstalowany w kalkulatorze generuje różne wykresy przedstawiające zależność odległości poruszającego się obiektu przy zmieniającym się czasie. Zadaniem uczniów jest poruszanie się tak, aby ich ruch jak najdokładniej przypominał ruch wygenerowany przez kalkulator.

Funkcje w szkole odczytywanie danych i własności z wykresu, etap ikoniczny Pierwsze kontakty z funkcjami (dawniej trzecia klasa gimnazjum) powinny dotyczyć wykresów, nie mówimy jeszcze o funkcji, używamy sformułowania Wykres przedstawia, jak zmienia się.... Wiadomo, że woda podczas ogrzewania od 0 0 do 4 0 zmniejsza swoją objętość, a gdy ogrzewamy ją dalej objętość się powiększa. Który z powyższych wykresów opisuje to zjawisko?

Przykłady cd.

Przygotowanie do wprowadzenia formalnej definicji

Funkcje etap symboliczny

Definicja funkcji wykładniczej w podręcznikach Przykład 1 (podręcznik GWO, II klasa)

Definicja funkcji wykładniczej w podręcznikach Przykład 2 ( Matematyka się liczy, klasa 3, 2004) Na kilka miesięcy przed rozpoczęciem sezonu wędkarskiego liczba ryb w pewnym stawie zaczyna się zwiększać o 12% miesięcznie. Jeśli t oznacza liczbę miesięcy, które upłynęły od początku sezonu, to zależność N t = 1800 1,12 t modeluje liczbę ryb w tym okresie. Ile ryb było na początku sezonu? Ile ryb będzie 3,5 miesiąca później? A ile ich było miesiąc przed rozpoczęciem sezonu? Po zadaniu pojawia się typowa definicja funkcji wykładniczej, z tą różnicą, że w stosunku do definicji z przykładu 1 zakłada się, że w f x = a x liczba a jest różna od 1.

Stefan Straszewicz 1985 r., podręcznik licealny WSiP Kolejne etapy wprowadzania potęgi: potęga a n, gdzie n jest liczbą naturalną dodatnią: a 1 = 1, a n+1 = a n a potęga o wykładniku zerowym lub ujemnym: a 0 = 1 dla a 0, a n = 1/a n dla n N {0} potęga o wykładniku wymiernym: dla dowolnego a > 0 i dowolnych liczba całkowitych m, n, przy czym n 0 definiujemy: a m/n = (a 1 n ) m dla n > 0 oraz a m/n = a m/ n = (a 1/ n ) m dla n < 0 potęga o wykładniku rzeczywistym Wprowadzenie tej definicji zostało poprzedzone uzasadnieniem następującej własności potęg o wykładniku wymiernym: Potęga liczby większej od 1 zwiększa się, gdy zwiększamy wykładnik. Na przykładzie potęgi 2 π pokazuje się jak określić tę liczbę: przybliżamy liczbę π z góry i z dołu przez zbiegające do niej przybliżenia, na przykład: 3, 3.1, 3.14, < π < 4, 3.2, 3.15, Dalej otrzymuje się nierówności 2 r < 2 π < 2 r, gdzie r to dowolna liczba ze zbioru {3, 3.1, 3.14, } a liczba r należy do zbioru {4, 3.2, 3.15, }. Pojawia się liczba g kres górny liczb 2 r oraz liczb g kres dolny liczb 2 r. Końcowe stwierdzenie zacytujemy dokładnie: Ponieważ liczby 2 r i 2 r różnią się dowolnie mało, o ile tylko różnica r r jest dostatecznie mała (stwierdzimy to, jak poprzednio), więc g i g są jedną i tą samą liczbą, tj. g = g. Liczbę tę nazywamy 2 π. W kolejnym rozdziale pojawia się definicja funkcji wykładniczej: Funkcja f określona dla danego a > 0 wzorem f(x) = a x dla każdego x R nazywa się funkcją wykładniczą o podstawie a, a jej wykres krzywą wykładniczą.

Egzamin 4 lutego, godz. 10.15, aula 1 Opisz metody szukania zer wielomianów. Wprowadzanie i definiowanie matematycznych pojęć. Twierdzenia i ich dowody w matematyce szkolnej. Nauczanie algorytmów w szkole. Matematyczne modelowanie w szkole. Etapy definiowania pola figury płaskiej. DGS: charakterystyka wybranego programu, blaski i cienie. Funkcje w matematyce szkolnej. Etapy definicji funkcji wykładniczej. Prawdopodobieństwo w szkole.

Uwaga W prezentacjach do wykładów często nie ma szczegółów rozpatrywanych przykładów, ale są one ważną częścią wykładów i będą wymagane na egzaminie.