5. Model sezonowości i autoregresji zmiennej prognozowanej 1. Model Sezonowości kwartalnej i autoregresji zmiennej prognozowanej (rząd istotnej autokorelacji K = 1) Szacowana postać: y = c Q + ρ y, t = 1, 2,, N l = 1, 2, 3, 4 numer kwartału w cyklu sezonowym rocznym, c, c, c, c to przyrosty sezonowe zmiennej prognozowanej odpowiednio w kwartale 1, 2, 3 i 4, nadkropką jest oznaczany przyrost sezonowy brutto, który spełnia warunek: c = b + c, l = 1, 2, 3, 4, b 0 wyraz wolny, czyli stały poziom y, c, c, c, c to czysty przyrost (efekt) sezonowy zmiennej prognozowanej odpowiednio w kwartale 1, 2, 3 i 4, Q tl=1, Q tl=2, Q tl=3 i Q tl=4 to zmienne wystąpienia w obserwacji t-tej odpowiednio efektu kwartału 1, 2, 3 i 4, na przykład: 0, l = 2,3,4 Q = 1, l = 1 1
Postać końcowa modelu: y = b + c Q + ρ y, t = 1, 2,, N Własności 1) b = 2) c = 0,, c = c b l = 1, 2, 3, 4. 3) b = y 1 ρ, 4) Liczba parametrów szacowanych to K + L, gdzie rząd autoregresji K = 1, a liczba sezonów i efektów sezonowych L = 4. Stopni swobody w przykładzie jest: 24 1 4 = 19 4) s = 5) v s 1 N K L e, 2. Przykład. Kwartalna wysokość sprzedaży artykułów oraz urządzeń zootechnicznych i weterynaryjnych do hodowli zwierząt (tys. zł) w sklepie ABC od kwartału 1 w 2010 do kwartału 4 w 2016 w podziale na próbę uczącą i testową była następująca: t = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y t = 20 22 19 19 26 28 23 26 25 32 26 28 23 21 t = 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 y t = 19 16 26 28 24 25 30 26 25 19 23 30 22 20 2.1. Oceń własności szeregu czasowego obserwacji. 2.2. Czy model efektów kwartalnych i autoregresji pasuje do danych? Jeśli tak, oszacuj go. 2.3. Oblicz: prognozy i miary ich błędu szacunkowego. Dopuszczalny błąd względny 15%. 2.4. Policz błędy faktyczne i miary trafności prognoz. 2
Odp.2.1. Wykres `Sprzedaz_zootech (Zmienna\ Wykres szeregu czasowego) Obserwacje w próbie uczącej: 2010:1-2015:4 32 30 28 Sprzedaz_zootech 26 24 22 20 18 16 2010 2011 2012 2013 2014 2015 Statystyki `Sprzedaz_zootech (Zmienna\ Statystyki opisowe) Średnia 24,00 Wsp. zmienności 0,17 Mediana 25,00 Skośność -0,10 Minimalna 16,00 Kurtoza -0,64 Maksymalna 32,00 Odchylenie Standardowe 3,99 Korelogram (Zmienna\ Korelogram) Początkowy rząd opóźnień K = 4 (liczba sezonów w cyklu) ACF dla zmiennej Sprzedaz_zootech 0,4 +- 1,96/T^0,5 0,2 0-0,2-0,4 0 1 2 3 4 5 opóľnienia PACF dla zmiennej Sprzedaz_zootech 0,4 +- 1,96/T^0,5 0,2 0-0,2-0,4 0 1 2 3 4 5 opóľnienia PACF 1 = ρ 1 =0,36. t-student Kr,α=0,05 = 0,41, a t-student Kr,α=0,1 = 0,35 3
Wprowadzamy zmienną czasową (dodawanie zmiennych\ time zmienna czasowa t) oraz zmienne sezonowe (dodawanie zmiennych\ periodyczne zmienne 0-1) Test ADF (Zmienna\ Testy pierwiastka jednostkowego\ Test ADF) zmiennej `Sprzedaz_zootech`. Wybieramy w oknie funkcji: - opóźnienie dla testu ADF równe 1 (to istotny rząd autokorelacji K), - z wyrazem wolnym i trendem liniowym, - Włącz periodyczne zmienne 0-1, - Pokaż detale regresji - wykorzystaj poziomy zmiennej. Wyniki. Okno gretl: ADF test : liczebność próby: 23, Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1) Wartość empiryczna p = 0,34 > 0,1 Zmienna zależna (Y): d_sprzedaz_zootech współczynnik błąd standardowy t-studenta wartość p ------------------------------------------------------------------------- const 11,8400 4,91300 2,410 0,0276 ** Sprzedaz_zoote~_1-0,542146 0,219039-2,475 0,34 time -0,00366667 0,117746-0,03114 0,9755 dq1 3,76862 2,13724 1,763 0,0958 * dq2 2,92434 2,12879 1,374 0,1874 Test ADF (Zmienna\ Testy pierwiastka jednostkowego\ Test ADF) zmiennej `Sprzedaz_zootech` Wybieramy w oknie funkcji: - opóźnienie dla testu ADF równe 1 (to istotny rząd autokorelacji K), - z wyrazem wolnym, - Włącz periodyczne zmienne 0-1, - Pokaż detale regresji - wykorzystaj poziomy zmiennej. Wyniki. Okno gretl: ADF test : liczebność próby: 23, Hipoteza zerowa: występuje pierwiastek jednostkowy a = 1; proces I(1) Wartość empiryczna p = 0,09 < 0,10 Zmienna zależna (Y): d_sprzedaz_zootech współczynnik błąd standardowy t-studenta wartość p ------------------------------------------------------------------------- const 11,8387 4,77455 2,480 0,0233 ** Sprzedaz_zoote~_1-0,544353 0,201413-2,703 0,0888 * dq1 3,77258 2,07340 1,820 0,0855 * dq2 2,93682 2,03185 1,445 0,1655 dq3-1,09476 2,09868-0,5216 0,6083 4
Odp.2.2. Oszacowanie modelu (Model\ Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów) W oknie gretl: specyfikacja modelu wybieramy: - Zmienna zależna (Y): `Sprzedaz_zootech`, - Regresory (zmienne x): 1) usuwamy zmienną domyślną const, 2) wybieramy zmienne dq1-4, 3) przycisk opóźnienia, opcja opóźnienia dla zmiennej zależnej od 1 do 1 Model 1: Estymacja KMNK, wykorzystane obserwacje 2010:2-2015:4 (N = 23) Zmienna zależna (Y): Sprzedaz_zootech Współczynn Błąd stand. t-studenta wartość p ik dq1 (Q tl=1 ) 15,6113 4,84076 3,2250 0,00470 *** dq2 (Q tl=2 ) 14,7755 5,22573 2,8274 0,01116 ** dq3 (Q tl=3 ) 10,7439 5,45252 1,9705 0,06437 * dq4 (Q tl=4 ) 11,8387 4,77455 2,4795 0,02328 ** Sprzedaz_zootech_1 (y t-1 ) 0,455647 0,201413 2,2622 0,03629 ** Wsp. determ. R-kwadrat 0,395924 Błąd std. reszt 3,423826 Model empiryczny to: y = 15,6Q + 14,8Q + 10,7Q + 11,8Q + 0,46y Odp.2.3. Obliczenie prognoz i błędów szacunkowych Obliczamy b, c, c, c, c Otrzymujemy postać końcową modelu: y = 13,2 + 2,4Q + 1,6Q 2,5Q 1,4Q + 0,46y i prognozę statyczną: y () = 13,2 + 2,4 1 + 1,6 0 2,5 0 1,4 0 + 0,46 19 = 24,34 Wyznacz prognozy dynamiczne punktowe: y (), y (), y () Przyjmij średni błąd szacunkowy prognozy w kwartale t = 25: v = s Oblicz prognozę przedziałową o poziomie ufności α = 0,05 w kwartale t = 25, jeśli dla liczby stopni swobody N K m = 24 5 statystyka t- Studenta wynosi: t Student,, = 2,1 Wyznacz wielkość zapasu dającą poziom obsługi popytu 97,5%. 5
Odp.2.4. Obliczenie błędów faktycznych i miar trafności q = 23 24,34 = 1,34 Policz błędy faktyczne q, q, q oraz błędy ME, MSE, RMSE, MAE, MPE i MAPE. Odpowiedzi dla miar trafności uzyskujemy następująco: W oknie gretl: model 1 wybieramy: Analiza\ Prognoza W oknie gretl: prognoza wybieramy: - zakres prognozy 2016.1 2016.4, - automatyczna prognoza (dynamiczna poza zakresem próby), - liczba obserwacji przed prognozą na wykresie: 24. Średni błąd predykcji ME = 0,07 Błąd średniokwadratowy MSE = 5,91 Pierwiastek błędu średniokwadr. RMSE = 2,43 Średni błąd absolutny MAE = 2,01 Średni błąd procentowy MPE = -1,11 Średni absolutny błąd procentowy MAPE = 8,06 34 32 Sprzedaz_zootech prognoza 95 procentowy przedział 30 28 26 24 22 20 18 16 14 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 6