PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ z. 98 Transport 2013 Wadysaw Koc Politechnika Gdaska PROJEKTOWANIE UKÓW KOSZOWYCH DOSTOSOWANE DO POMIARÓW SATELITARNYCH Rkopis dostarczono, kwiecie 2013 roku Streszczenie: W pracy przedstawiono now metod projektowania rejonu zmiany kierunku trasy kolejowej, dostosowan do techniki ciagych pomiarów satelitarnych. Metoda ta moe si okaza szczególnie przydatna podczas projektowania regulacji osi istniejcego toru, kiedy okrelenie obu kierunków gównych trasy okazuje si niemoliwe. Jedynym rozwizaniem staje si wówczas wprowadzenie do ukadu geometrycznego dwóch uków koowych o rónym promieniu, czyli zastosowanie uku koszowego.w prezentowanej metodzie projektowanie nowego ukadu odbywa si w lokalnym ukadzie wspórzdnych. Rozwizanie problemu projektowego wykorzystuje zapis matematyczny i polega na wyznaczeniu uniwersalnych równa opisujcych cao ukadu geometrycznego. Odbywa si to sekwencyjnie, obejmujc kolejne fragmenty tego ukadu. Zaprezentowana metoda zostaa zilustrowana odpowiednim przykadem obliczeniowym. Sowa kluczowe: tor kolejowy, ukad geometryczny, nowa metoda projektowania 1. WPROWADZENIE Globalny system pozycjonowania GPS [10] pozwala na wyznaczanie wspórzdnych punktów w jednolitym, trójwymiarowym ukadzie wspórzdnych WGS 84, którego pocztek znajduje si w centrum masy Ziemi. Moliwo uzyskania odpowiedniej efektywnoci pomiaru w torze kolejowym daje opracowana przez zespó naukowy Politechniki Gdaskiej i Akademii Marynarki Wojennej w Gdyni metoda cigych (mobilnych) pomiarów satelitarnych [7, 8], polegajca na objedzie badanego odcinka trasy z antenami zainstalowanymi na poruszajcym si pojedzie szynowym. Efektywne wykorzystanie systemu GPS do projektowania, inwentaryzacji i eksploatacji stao si moliwe w Polsce dopiero w poowie 2008 roku po uruchomieniu narodowej Aktywnej Sieci Geodezyjnej ASGEUPOS. Ju na pocztku 2009 roku zespó badawczy Politechniki Gdaskiej i Akademii Marynarki Wojennej w Gdyni, przy wspópracy z Zakadem Linii Kolejowych PKP PLK S.A. w Gdyni oraz firm Leica Geosystems, przeprowadzi eksperyment terenowy zwizany z wykorzystaniem mobilnych technik.
248 Wadysaw Koc satelitarnych do okrelenia pooenia osi toru kolejowego. Pomiary te miay charakter pilotaowy, a ich gównym celem byo sprawdzenie, czy metoda cigych pomiarów satelitarnych moe okaza si przydatna do okrelania ksztatu geometrycznego toru w paszczynie poziomej. Wykorzystujc przyczep (wagon-platform) PWM-15 oraz cignik szynowy WM-15 stworzono pierwowzór kolejowego zestawu pomiarowego. Na pododze przyczepy zostay przytwierdzone specjalnie zaprojektowane i wykonane stalowe podstawy, na których umocowano spodarki, na nich za anteny do odbioru sygnaów satelitarnych. Ju pierwsze pomiary satelitarne (przeprowadzone na odcinku linii kolejowej o dugoci ponad 30 km) wykazay, e zastosowana technika pomiarowa otwiera zupenie nowe perspektywy. Jej wykorzystanie umoliwia bardzo precyzyjne okrelenie danych do projektowania modernizacji linii (kierunków gównych i kta zwrotu trasy). Uzyskane wyniki pozwoliy na weryfikacj metodyki pomiarowej, zastosowanego sprztu i jego ustawienia. Cige pomiary satelitarne umoliwiaj wyznaczenie wspórzdnych istniejcej trasy kolejowej w pastwowym ukadzie odniesie przestrzennych 2000 [7, 10]. W takiej sytuacji staje si spraw oczywist, e w tyme ukadzie powinny by wyznaczane równie wspólrzdne nowo projektowanej osi toru, suce do wytyczenia trasy w terenie. Wymaga to zmiany dotychczasowej metodyki projektowania. Przykady nowych metod projektowania rejonu zmiany kierunku trasy, dostosowanych do techniki ciagych pomiarów satelitarnych, przedstawiono w pracach [1, 2, 3]). Opracowano ju take pierwszy program wspomagajcy projektowanie [4]. W przypadku rejonu zmiany kierunku trasy projektowanie bdzie najczciej polega na takim skorygowaniu promienia uku koowego oraz rodzaju i dugoci krzywych przejciowych, aby nowy ukad geometryczny by jak najkorzystniejszy z punktu widzenia kinematyki ruchu pojazdów szynowych, a jednoczenie jego pooenie w paszczynie poziomej nie odbiegao zbytnio od pooenia istniejcego. Jak wykazay przeprowadzone dotd pomiary satelitarne, ksztat eksploatowanych torów kolejowych jest czsto tak zdeformowany, e okrelenie kierunków gównych okazuje si niemoliwe; nie mona wic podczas projektowania zastosowa modelowego ukadu: krzywa przejciowa uk koowy krzywa przejciowa. Jedynym rozwizaniem staje si wówczas wprowadzenie do ukadu geometrycznego dwóch uków koowych o rónym promieniu, czyli zastosowanie uku koszowego. To wanie zagadnienie stanowi przedmiot niniejszego opracowania. Naley w tym miejscu zaznaczy, e mamy tutaj do czynienia z uogólnieniem przypadku zarówno symetrycznego [1, 2], jak te niesymetrycznego [3] sposobu rozwizania problemu; uk koszowy mona bowiem atwo sprowadzi do jednego uku koowego o ustalonym promieniu. W prezentowanej metodzie projektowanie nowego ukadu geometrycznego odbywa si w lokalnym ukadzie wspórzdnych x, y (rys. 1). Najbardziej istotnym elementem nowej procedury jest to, e rozwizanie problemu projektowego polega na wyznaczeniu uniwersalnych równa opisujcych cao ukadu geometrycznego. Tworzenie kolejnych wariantów przebiegu trasy odbywa si zatem nie za pomoc techniki graficznej (np. z wykorzystaniem programu Autocad), lecz poprzez wprowadzanie do odpowiednich formu matematycznych kolejnych wartoci projektowych (promieni uków i dugoci krzywych przejciowych)..
Projektowanie uków koszowych dostosowane do pomiarów satelitarnych 249 Rys. 1. Cao rozpatrywanego ukadu geometrycznego w lokalnym ukadzie wspórzdnych 2. PROCEDURA PROJEKTOWANIA Tworzenie zapisu analitycznego odbywa si sekwencyjnie, obejmujc kolejne fragmenty ukadu geometrycznego trasy: pierwsz krzyw przejciow (KP1), pierwszy uk koowy (K1), drug krzyw przejciow (KP2), drugi uk koowy (K2) oraz trzeci krzyw przejciow (KP3). Podstawow przyjt zasad stanowi zachowanie zgodnoci stycznych w miejscach pocze poszczególnych elementów geometrycznych. 2.1. PIERWSZA KRZYWA PRZEJCIOWA (KP1) Rozpoczynamy procedur od okrelenia rzdnych krzywej przejciowej KP1 o dugoci l 1, czcej prost z ukiem koowym K1 o promieniu R 1, zlokalizowanej w pomocniczym ukadzie wspórzdnych (rys. 1). Przyjcie rodzaju tej krzywej okrela funkcj jej krzywizny k 1 (l), na podstawie której jestemy w stanie okreli równanie krzywej przejciowej zapisane w postaci parametrycznej x 1 (l) i y 1 (l) (gdzie parametrem l jest pooenie danego punktu na dugoci krzywej).
250 Wadysaw Koc Kolejnym etapem dziaa jest transformacja krzywej przejciowej KP1 do przyjtego lokalnego ukadu wspórzdnych, poprzez dokonanie obrotu jej ukadu odniesienia o kt /2. W wyniku tej operacji otrzymujemy równania parametryczne krzywej przejciowej w lokalnym ukadzie wspórzdnych [9]: (1) (2) Wystpujcy w równaniach (1) i (2) parametr, a odcita krzywej przejciowej, gdzie (3) Rzdna kocowa krzywej przejciowej KP1 wynosi (4) Warto stycznej na kocu krzywej KP1 jest okrelona wzorem (5) 2.2. PIERWSZY UK KOOWY (K1) uk koowy K1 o zadanej dugoci l R1 musi by styczny do krzywej przejciowej KP1 na jej kocu, tj. w punkcie K 1, a na prostej prostopadej do stycznej, poprowadzonej w punkcie K 1, lee bdzie promie uku koowego R 1. Wspórzdne rodka uku koowego s nastpujce: (6) Moemy teraz zapisa równanie uku koowego K1. (7), (8) Wspórzdne pooenia koca uku koowego K1, tj. punktu, s nastpujce:
Projektowanie uków koszowych dostosowane do pomiarów satelitarnych 251 (9) (10) gdzie 1 jest ktem zwrotu stycznych uku K1 (rys. 1), którego warto wynosi. Nachylenie stycznej do K1 w punkcie O 2 jest równe (11) 2.3. DRUGA KRZYWA PRZEJCIOWA (KP2) Krzywa przejciowa KP2 o dugoci l 2 czy ze sob uki koowe o promieniach R 1 i R 2 ; jest zlokalizowana w pomocniczym ukadzie wspórzdnych (rys. 1). Sposób wyznaczania krzywizny k 2 (l) oraz równa parametrycznych tej krzywej x 2 (l) i y 2 (l), gdzie, zosta przedstawiony w pracach [5, 6]. W przypadku liniowej zmiany krzywizny otrzyman krzyw okrelono tam mianem krzywej klasy C 0, za dla krzywizny nieliniowej (w postaci wielomianu trzeciego stopnia) krzywej klasy C 1. Transformacja KP2 do lokalnego ukadu wspórzdnych x, y odbywa si poprzez pomocniczy ukad wspórzdnych, (rys. 1), powstay po obrocie ukadu o kt. Równania parametryczne krzywej przejciowej KP2 s nastpujce: (12), (13), za Wspórzdne punktu K 2 koca KP2 wynosz, (14)
252 Wadysaw Koc (15) a warto stycznej w punkcie K 2 (16) 2.4. DRUGI UK KOOWY (K2) uk koowy K2 musi by styczny do krzywej przejciowej KP2 na jej kocu, tj. w punkcie K 2, a na prostej prostopadej do stycznej, poprowadzonej w punkcie K 2, lee bdzie promie uku koowego R 2. W tej fazie procedury nie znamy jeszcze wartoci stycznej na kocu uku oraz samego pooenia tego koca, czyli wspórzdnych punktu. Wspórzdne rodka uku koowego K2 s nastpujce: Moemy te zapisa równanie uku koowego K2. (17) (18), (19) 2.5. TRZECIA KRZYWA PRZEJCIOWA (KP3) Krzywa przejciowa KP3 ma dugo l 3 i jest zlokalizowana w pomocniczym ukadzie wspórzdnych (rys. 1), przy czym dokadne pooenie punktu O 3 jest jeszcze na tym etapie nieznane (wiemy tylko, ze ley on na drugim kierunku gównym trasy). W tym ukadzie moemy jednak zamodelowa sam krzyw przejciow i ustali jej podstawowe dane, niezbdne do wyznaczenia wspórzdnych punktu K 3 (tj. wartoci i ). Przyjcie rodzaju krzywej okrela funkcj jej krzywizny k 3 (l), na podstawie której jestemy w stanie okreli równania parametryczne x 3 (l) i y 3 (l) krzywej przejciowej. Moliwa jest równie transformacja punktów krzywej do pomocniczego ukadu wspórzdnych, (rys. 1). Poniewa osie tego ukadu s równolege do osi ukadu lokalnego Oxy, operacja ta pozwoli na okrelenie l KP3 i y KP3. Wspórzdne punktów krzywej KP3 w ukadzie s okrelone równaniami parametrycznymi (20)
Projektowanie uków koszowych dostosowane do pomiarów satelitarnych 253, (21) Parametr, a odcita krzywej przejciowej, gdzie Warto wynosi (22) (23) Jestemy równie w stanie okreli warto stycznej w punkcie K 3. (24) Dziki temu moemy ju wyznaczy brakujce wspórzdne punktu koca uku koowego K2 i krzywej przejciowej KP3 oraz punktu pocztku krzywej KP3. (25) (26) (27) (28) Wykorzystujc wzory (20), (21), (27) i (28) uzyskuje si równania parametryczne krzywej przejciowej KP3 w lokalnym ukadzie wspórzdnych x, y. (29), (30)
254 Wadysaw Koc 3. PRZYKAD OBLICZENIOWY Przedstawiony algorytm postpowania zostanie zilustrowany przykadem obliczeniowym, dotyczcym zaprojektowania poczenia dwóch kierunków gównych trasy kolejowej z zastosowaniem elementów geometrycznych podanych w tablicy 1. Kt zwrotu trasy wynosi 40 0, a planowana prdko pocigów 110 km/h. Tablica 1 zawiera charakterystyk projektowanego ukadu geometrycznego. Przyjto wartoci promieni obydwu uków koowych oraz dugo uku K1. Z warunków kinematycznych wyznaczono wartoci przechyki na ukach oraz dugoci krzywych przejciowych. Dugo uku K2 jest wartoci wynikow, stanowi zamknicie caoci ukadu geometrycznego. Charakterystyka projektowanego ukadu geometrycznego Tablica 1 Krzywa KP1 uk K1 Krzywa KP2 uk K2 Krzywa KP3 klotoida R 1 = 1200 m krzywa kl. C 0 [6] R 2 = 700 m klotoida l 1 = 80 m l R1 = 150 m l 2 = 50 m l R2 = 273,275 m l 3 = 130 m h 1 = 70 mm h 2 = 115 mm Zestawienie obliczonych wartoci dla charakterystycznych punków trasy (rys. 1) podano w tablicy 2. Zestawienie wartoci liczbowych dla charakterystycznych punków trasy Tablica 2 Punkt O K 1 O 2 K 2 K 3 O 3 Nachylenie s 0,36397 0,32666 0,19308 0,13500 0,26197 0,36397 Odcita x [m] 0,000 75,471 220,593 269,907 540,946 664,376 Rzdna y [m] 0,000 26,523 64,079 72,288 55,730 15,085 Zaprojektowany ukad geometryczny jest opisany nastpujcymi równaniami: krzywa przejciowa KP1 m gdzie x 1 (l) i y 1 (l) to równania parametryczne klotoidy w ukadzie. uk koowy K1 m krzywa przejcia KP2 m
Projektowanie uków koszowych dostosowane do pomiarów satelitarnych 255, m Równania parametryczne x 2 (l) i y 2 (l) tej krzywej w ukadzie wspórzdnych wyznacza si zgodnie z procedur podan w pracach [5, 6]. uk koowy K2 m krzywa przejciowa KP3 m, m gdzie x 3 (l) i y 3 (l) to równania parametryczne klotoidy w ukadzie. Na rysunku 2 przedstawiono zaprojektowany ukad geometryczny w lokalnym ukadzie wspórzdnych. Zostay tam równie naniesione obydwa kierunki gówne. Rys. 2. Graficzna ilustracja zaprojektowanego ukadu geometrycznego y(x) (w skali skaonej); y 1 (x) i y 2 (x) kierunki gówne trasy
256 Wadysaw Koc 4. PODSUMOWANIE Zastosowanie mobilnych pomiarów satelitarnych, z antenami zainstalowanymi na poruszajcym si pojedzie szynowym, umoliwia odtworzenie pooenia osi torów w bezwzgldnym ukadzie odniesienia. Stwarza to zupenie nowe moliwoci w zakresie ksztatowania geometrycznego torów kolejowych. W zaistniaej sytuacji pojawia sie konieczno opracowania nowych metod projektowania. W niniejszym opracowaniu przedstawiono kolejn (po opisanych w pracach [1, 2, 3]) metod projektowania rejonu zmiany kierunku trasy kolejowej, dostosowan do techniki ciagych pomiarów satelitarnych. Metoda ta moe si okaza szczególnie przydatna podczas projektowania regulacji osi istniejcego toru, kiedy okrelenie obu kierunków gównych trasy okazuje si trudne do ustalenia. Jedynym rozwizaniem staje si wówczas wprowadzenie do ukadu geometrycznego dwóch uków koowych o rónym promieniu, czyli zastosowanie uku koszowego. Przedstawiona koncepcja sposobu projektowania rejonu zmiany kierunku trasy prowadzi do uzyskania rozwizania analitycznego, z zastosowaniem odpowiednich formu matematycznych, a wic najbardziej przyjaznego w praktycznym stosowaniu. Procedura projektowania ma charakter uniwersalny i stwarza moliwo zrónicowania rodzaju i dugoci stosowanych krzywych przejciowych oraz uków koowych. Naley j traktowa jako uogólnienie przypadku zarówno symetrycznego [1, 2], jak te niesymetrycznego [3] sposobu rozwizania problemu; uk koszowy mona bowiem atwo sprowadzi do pojedynczego uku koowego o ustalonym promieniu. Efekty zastosowania omawianej metody projektowania zilustrowano konkretnym przykadem obliczeniowym. W celu wdroenia podanej procedury niezbdne bdzie opracowanie w najbliszym czasie odpowiedniego wspomagania komputerowego. Bibliografia 1. Koc W.: Design of rail-track geometric systems by satellite measurement. Journal of Transportation Engineering 2012, Vol. 138, No. 1, January 1 ASCE. 2. Koc W.: Metoda projektowania rejonu zmiany kierunku trasy kolejowej. Problemy Kolejnictwa 2011, zeszyt 152. 3. Koc W.: Projektowanie rejonu zmiany kierunku trasy kolejowej w zapisie matematycznym. Przegld Komunikacyjny 2012, nr 7-8. 4. Koc W., Chrostowski P.: Program komputerowy do projektowania zmiany kierunku trasy kolejowej. Zeszyty Naukowo-Techniczne Stowarzyszenia Inynierów i Techników Komunikacji Rzeczpospolitej Polskiej Oddzia w Krakowie, seria: Materiay Konferencyjne, nr 3 (zeszyt 99), Kraków 2012. 5. Koc W., Palikowska K.: Analiza sposobów modelowania krzywizny krzywe Bezier a metoda analityczna. Zeszyty Naukowo-Techniczne Stowarzyszenia Inynierów i Techników Komunikacji Rzeczpospolitej Polskiej Oddzia w Krakowie, seria: Materiay Konferencyjne, nr 3 (zeszyt 99), Kraków 2012. 6. Koc W., Palikowska K.: Ocena dynamiczna wybranych sposobów czenia elementów trasy o zrónicowanej krzywinie. Technika Transportu Szynowego 2012, nr 9, CD-ROM. 7. Koc W., Specht C.: Selected problems of determining the course of railway routes by use of GPS network solution. Archives of Transport 2011, vol. XXIII, issue 3. 8. Koc W., Specht C.: Wyniki pomiarów satelitarnych toru kolejowego. Technika Transportu Szynowego 2009, nr 7-8.
Projektowanie uków koszowych dostosowane do pomiarów satelitarnych 257 9. Korn G.A., Korn T.M.: Matematyka dla pracowników naukowych i inynierów. PWN, Warszawa 1983. 10. Specht C.: System GPS. Wydawnictwo BERNARDINUM, Pelplin 2007. DESIGN OF CIRCULAR ARCS ADAPTED TO THE SATELLITE MEASUREMENTS Summary: The paper presents a new design method for the railway area of the change of main direction. The method is adapted to the technique of continuous satellite measurements. This method may be particularly useful in the design of axis adjustment of an existing track, especially when it is a real problem to define the main directions of the considered bow. In such cases, the only solution is to design a layout of two circular arcs of different radius. In the presented method, the design of the new geometrical layout is given in the local coordinate system. The design method uses a mathematical notation and also is based on the determination of the universal system of equations, describing the whole geometrical layout of the designed area. The process is sequential and covers the subsequent parts of the layout. The presented method is illustrated by a proper calculation example. Keywords: railway track, geometrical system, new design method