ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET

CPS - - ZASTOSOWANIA PRZEKSZTAŁCENIA ZET Rozwiązywanie równań różnicowych Dyskretny system liniowy-stacjonarny można opisać równaniem różnicowym w postaci ogólnej N M aky[ n k] bkx[ n k] k k Przekształcenie ZET pozwala w efektywny sposób obliczać odpowiedzi systemu na zadane wymuszenia. UPrzykład: Rozważmy przyczynowy LTI system opisany równaniem różnicowym [ ].9 [ ] [ ] yn yn xn Wyznaczymy odpowiedź systemu na wymuszenie jednostkowe x[n][n] dla wartości początkowej odpowiedzi y[-]. Wykorzystamy własności przesunięcia w dziedzinie czasu dla transformaty jednostronnej Z Z Jeżeli yn [ ] Y( z) to yn [ ] zy( z) + y[ ] Przekształcamy ( transformacja Z ) obie strony równania różnicowego.9( + [ ] ) Y z z Y z y X z

CPS - - (.9 ) +.9 [ ] Y z z X z y Y z.9y[ ] X z +.9z.9z Ponieważ transformata skoku jednostkowego wynosi z X z oraz wartość początkowa y[-] to: Y z.8 +.9.9z ( z )( z ) Stosujemy rozkład na ułamki proste: A A.8 + + z Y z.9z z.9 Współczynniki ułamków prostych obliczamy z zależności A 9 A z.9 z 9 z 9.9z Stąd 9.8 Y( z) + + OZ z >.9z z.9z

CPS - 3 - Jeżeli system jest przyczynowy to oznacza, że odpowiedź na skok jednostkowy jest funkcją prawostronną, dla czasów dodatnich. Obszar zbieżności będzie zatem zewnętrzem okręgu o promieniu. Odwrotna transformata dla przyjętego obszaru zbieżności daje rozwiązanie w postaci sygnału wyjściowego systemu: [ ] 9(.9) n n [ ] + [ ] +.8(.9) [ ] yn n n n [ ] 8. (.9) n [ n] yn UPrzykład Wyznaczymy odpowiedź impulsową systemu przyczynowego LTI opisanego równaniem różnicowym, dla zerowych warunków poczatkowych. Wykorzystamy własności: [ + ] + [ ] [ ] yn yn xn [ + ] Z [ ] yn zy z zy δ Z [ n] Transformując obie strony równania różnicowego ( przy wyznaczaniu odpowiedzi impulsowej zakłada się zerowe warunki początkowe ) otrzymamy: [ ] zy z zy + Y z zy z Y ( z) + Y( z)( z+ )

P powoduje CPS - 4 - Ostatecznie transformata odpowiedzi impulsowej wynosi: Y( z) z + z + z + z z Transformata odwrotna wyrażenia w nawiasie (obszar zbieżności jest zewnętrzem okręgu o promieniu ) wynosi - + z Z n ( ) [ n] Mnożenie przez zp w dziedzinie czasu opóźnienie sygnału o jedną próbkę, stąd otrzymujemy: z Z + z Odpowiedź impulsowa systemu wynosi n ( ) [ n ] n [ ] ( ) [ n ] yn Transmitancja systemu dyskretnego UDefinicjaU: Transmitancję H(z) systemu LTI definiujemy jako transformatę ZET odpowiedzi impulsowej systemu h[n]. Odpowiedź y[n] systemu na dowolne wymuszenie x[n] oblicza się jako splot odpowiedzi impulsowej h[n] systemu oraz wymuszenia: yn [ ] hn [ ] xn [ ]

CPS - 5 - Przekształcając obie strony wyrażenia oraz wykorzystując własność transformaty ZET ( splotu w dziedzinie czasu ), możemy wyrazić transformatę odpowiedzi Y[z] w postaci iloczynu transmitancji H[z] oraz transformaty wymuszenia X[z]. H( z) X( z) Y z Stąd transmitancja: Y z X z Transmitancja systemu w zależności od współczynników równania różnicowego System LTI w dziedzinie czasu opisuje równanie różnicowe. N M k [ ] i [ ayn k bxn i k i ] Wykorzystując własność liniowości przekształcenia ZET oraz transformaty przesuniętych w czasie sygnałów otrzymuje się: N k i az k Y( Z) bz i X( z) M k i Stąd transmitancja systemu może być opisana jako: Y( z) i N X( z) M k bz i az k i k

P i CPS - 6 - UPrzykład: Znajdziemy równanie różnicowe opisujące system jeżeli dana jest jego transmitancja 5z + z + 3z+ Pomnożymy licznik i mianownik przez zp dla H(z) - porównamy z zależnością ogólną b + bz + b z a az a z + + 5z + z + 3z + z Stąd wynika równanie różnicowe opisujące system ma postać: [ ] + [ ] + [ ] [ ] + [ ] ayn ayn ayn bxn bxn [ ] + 3 [ ] + [ ] 5 [ ] + [ ] yn yn yn xn xn Transmitancja systemu w zależności od macierzy stanu System liniowy-stacjonarny w dziedzinie czasu opisują równania stanu [ n+ ] [ n] + x[ n] [ ] cq[ ] + [ ] Q AQ b yn n Dxn

CPS - 7 - Transformata Z wektora stanu wynosi: Q ( z) Q Q QN ( z) ( z) ( z) Transformata pierwszego równania macierzowego wynosi + zq z AQ z b X z ( z) ( z ) X( z) Q I A b Dla drugiego równania mamy cq + Y z z DX z Podstawiając pierwsze do drugiego: c( I A) b + Y z z D X z Stąd transmitancja systemu z zależności od macierzy stanu A, b, c, D: Y z X z ( z ) c I A b+ D

P CPS - 8 - UPrzykład Wyznaczymy transmitancję oraz równanie różnicowe systemu LTI, opisanego w przestrzeni stanu: A, b, c [ 3 ], D[ ] Obliczamy: z zi A z z z z z+ z ( zi A ) Transmitancja systemu ( z ) c I A b+ D [ ] z z z 3 + z z+ z [ 3 ] z+ z 6 z+ Mnożymy licznik i mianownik przez zp Równanie różnicowe: 6z z + z [ ] [ ] + [ ] 6 [ ] yn yn yn xn -

CPS - 9 - UWykorzystanie funkcji Matlab a Charakterystyki systemów LTI MATLAB zawiera szereg specjalnych funkcji pozwalających na swobodne przechodzenia między tymi różnymi opisami systemu. Jeżeli wektory b i a zawierają współczynniki wielomianów funkcji transmitancji odpowiednio licznika i mianownika, to funkcja tfss(b,a) określa opis systemu w przestrzeni stanu, natomiast tfzp(b,a) przekształca funkcję transmitancji do postaci zero-biegunowej. Podobnie zpss i zptf konwertują opis zero-biegunowy do opisów odpowiednio w przestrzeni stanu oraz transmitancji. Funkcje sstf i sszp to konwersje opisu w przestrzeni stanu do opisu w postaci transmitancji i zero-biegunowej. UPrzykład Rozpatrzymy system dyskretny opisany funkcją transmitancji 4 3 ( z + z + z + z+ ).94 4 6 4 4 z +.486z +.77 Matlab» b.94*[ 4 6 4 ];» a[.486.77];» zplane(b,a)

CPS - -.8.6.4 Imaginary Part. -. -.4 -.6 -.8-4 - -.5.5 Real Part System w postaci zero-biegunowej: >> [r,p]tfzp(b,a) r -. -. +.i -. -.i -.9998 p +.668i -.668i +.99i -.99i

CPS - - System opisany w przestrzeni stanu: >> [A,B,C,D ]tfss(b,a) A B C D -.486 -.77....376.583.376.93.94 Charakterystyka częstotliwościowa:» [H,w]freqz(b,a,5);» plot(w,abs(h)).4 Widmo amplitudowe. Amplituda.8.6.4..5.5.5 3 3.5 Czestotliwosc System posiada zero ( o krotności 4) w punkcie z- oraz cztery bieguny na osi urojonych. Takie położenie zer implikuje, bardzo małe wartości na charakterystyce amplitudowej dla wysokich częstotliwości.

CPS - - Przyczynowość systemów LTI Odpowiedź impulsowa systemu przyczynowego jest zerowa dla n<. Dlatego odpowiedź impulsowa systemu przyczynowego jest zdeterminowana przez prawostronną transformatę odwrotną transmitancji. Patrząc na bieguny transmitancji, to wszystkie muszą mieć moduł mniejszy niż promień obszaru zbieżności, inaczej obszar zbieżności transmitancji jest na zewnątrz dla wszystkich biegunów. Stabilność systemów LTI Wszystkie bieguny generują składniki wykładnicze (patrz: rozkład na ułamki proste): malejące, gdy bieguny znajdują się wewnątrz okręgu jednostkowego (sy)» b[ ];» a[.5];» x[ ];» zplane(b,a);» yfilter(b,a,x);» stem(y);.8.6 Imaginary Part.4. -. -.4.5 -.6 -.8 - - -.5.5 Real Part -.5 4 6 8 4 6 8

CPS - 3 - rosnące gdy bieguny znajdują się na zewnątrz okręgu jednostkowego.» b[ ];» a[ -.5];» x[ ];» zplane(b,a);» yfilter(b,a,x);» stem(y); Imaginary Part.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8 7 6 5 4 3 - - -.5.5.5 Real Part 4 6 8 4 6 8 System jest stabilny (BIBO) jeżeli odpowiedź impulsowa jest bezwzględnie sumowalna, dotyczy to przypadku gdy odpowiedź impulsowa systemu jest suma malejących składników. Patrząc na transmitancję, oznacza to, że jej obszar zbieżności musi zawierać okrąg jednostkowy. Wnioski: System jest stabilny i przyczynowy jeżeli wszystkie bieguny są położone wewnątrz okręgu jednostkowego. System przyczynowy, stabilny jest minimalnofazowy jeżeli wszystkie zera i bieguny transmitancji są położone wewnątrz okręgu jednostkowego

CPS - 4 - Przykład: Transmitancja systemu stabilnego wynosi Oblicz odpowiedź impulsową systemu. z ( z )( ) + 3 z Odpowiedź impulsowa to odwrotna transformata ZET transmitancji. Rozkład na ułamki proste: A + ( ) ( 3z 3 6) z B ( z ) ( ) + 3 z z 3 A + 7 z 3 3 B + + 3 7 ( z ) z 3 + 3 3 7 7 ( z ) ( ) + 3 z Wybieram dla układu stabilnego OZ jako pierścień miedzy okręgami o promieniach i /3 ( dlatego, ten obszar zawiera okrąg jednostkowy). ( + z ) ( 3 z ) 3 7 3 7 n [ n ] 3 7 3 7 3 Odpowiedź impulsowa: n [ n] [ ] 3 n [ ] 3 ( n 7 + 7 3 ) [ ] hn n n

CPS - 5 - Matlab - schematy blokowe MATLAB pozwala na konwersję modelu zero-biegunowego lub opisanego w przestrzeni stanu na kaskadowe połączenie układów drugiego rzędu postaci opisanych jako: b + bz + b z + + az az W dziedzinie czasu taki system opisuje równanie różnicowe y n a y n a y n b x n bx n b x n + + + + Schemat blokowy, który odpowiada powyższym równaniom: X(z) Σ b Σ Y(z) z - Σ -a b Σ z - -a b

CPS - 6 - Współczynniki kaskadowo połączonych układów rzędu otrzymuje się stosując funkcję MATLABA zpsos lub sssos. Format funkcji jest nastepujący: >> soszpsos(z,p,k) gdzie z- wektor zawierający zera transmitancji, p- wektor zawierający bieguny transmitancji, k- wzmocnienie. W wyniku otrzymuje się macierz 6 kolumnową o liczbie wierszy zależnej od liczby wyznaczonych kaskad. Kolejne elementy każdego wie rsza zawierają współczynniki kolejno b, b, b,, a, a. UPrzykład: ( + jz )( jz )( + z ) jπ /4 /4 /8 /8 ( jπ )( 3 jπ )( 3 jπ e z e z 4e z )( 4e z ) ± jπ / 4 3 ± jπ / 8 System posiada zera dla z±j oraz z-, bieguny dla z e oraz z e. 4 Zastosujemy funkcję zpsos:» z[- -j j];» p[.5*exp(j*pi/4),.5*exp(-j*pi/4),.75*exp(j*pi/8),.75*exp(- j*pi/8)];» k;» soszpsos(z,p,k); sos... -.77.5... -.3858.565

CPS - 7 - Wyznaczone kaskady rzędu mają następujące transmitancje: H H z + z.77z +.5z ( z) + z.3858z +.565z ( z) Na tej podstawie można narysować schemat blokowy systemu. X(z) Σ Σ Σ Y(z) z - z - Σ.7 Σ Σ.3858 z - z - -.5 -.565 Przykład: Zadanie polega na doborze systemu, który skutecznie będzie tłumił sygnał wejściowy sinusoidalny. Wówczas z charakterystyki amplitudowej tego filtru będzie można odczytać częstotliwość tłumionego sygnału.

CPS - 8 - Prostym systemem, który może pełnić funkcję filtru wycinającego pojedynczą składową sinusoidalną jest filtr przedstawiony na rysunku: X n- X n X n+ Z - Z - a a + e n Sygnał na wyjściu filtru opisuje równanie : e ax + x + ax n n n n+ Transformata Z równania różnicowego: + ( + ) E z X z a z z Transmitancja filtru wynosi: + az ( + z) Podstawiając z j e ω oblicza się charakterystykę częstotliwościową filtru: j j ( ω ) + ae ( + e ) H j ω ω

CPS - 9 - ( ω ) + acos H j ω Charakterystyka amplitudowa: ( ω ) + acos H j ω.9.8.7.6.5.4.3.. pi/ pi /3 / / Filtr zerowy dla a[ /3 / /]; Miejsce zerowe charakterystyki amplitudowej + acosω odpowiada częstotliwości tłumionego sygnału: ω arccos a

CPS - - Dla częstotliwości próbkowania fp częstotliwość sygnału wyniesie: f fp fp ω arccos π π a Pozostaje zatem wyznaczyć współczynnik a filtru. Założymy, opisany filtr przetwarza sygnał wejściowy o długości M+ próbek. Chcemy aby filtr był tak dobrany, aby na jego wyjściu nic się nie pojawiało. Jednak ze względu na szum w sygnale wejściowym i błędy numeryczne wystarczy jeżeli będzie spełniony warunek minimum średniokwadratowego: a M n ( e ) n Podstawiając: a M n a M n ( ax [ n xn+ ] xn) + + ( a [ xn xn+ ] axn[ xn xn+ ] ) + + + +... M M ax [ n + xn+ ] + xn[ xn + xn+ ] n n M M [ + ] [ + ] a x x x x x n n+ n n n+ n n

CPS - - Współczynnik filtru: a M n M n [ ] x x + x n n n+ [ x + x ] n n+ Stąd ostatecznie częstotliwość sygnału: f f p arccos π M [ xn + xn+ ] n M n [ + ] x x x n n n+ Wyniki symulacji: frequency (Hz) 5.5 5 M4 Estim. True 49.5.3.6 time (s) U*)Przygotowano na podstawie: S. Haykin, B.Van Veen Signals and System New York 999