Planimetria Uczeń: a) stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym, b) korzysta z własności stycznej do okręgu i własności okręgów stycznych, c) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa trójkątów, d) korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi. 1. 2. 3. 4. 5. 1
6. 7. 8. 9. 2
10. 11. 12. 12b. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 3
18b. 19. 20. 21. 4
22. 23. 24. 25. 5
26. 27. 28. 29. 30. 31. 6
32. 33. 34. 35. 36. 37. 7
38. 39. 40. 41. 42. 43. 8
44. 45. 46. 47. 48. 9
49. 50. 51. Udowodnij, że punkt styczności okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny z przeciwprostokątną dzieli tę przeciwprostokątną na odcinki, których iloczyn jest równy polu tego trójkąta. 52. 53. 54. 10
55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 11
63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 12
70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 13
77. 78. 79. 80. 81. V2012 82. 83. 84. 14
85. 86. 87. 88. VI 2012 89. 90. 08.2012 91. 15
92. 93. 94. 95. 96. 02.2013 16
97. 98. 05.2013 Średnice AB i CD okręgu o środku S przecinają się pod kątem 50 0 (tak jak na rysunku). Miara kąta jest równa A. 25 0 B. 30 0 C. 40 0 D. 50 0 99. Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest trzy razy większy od kąta BAS, a kąt CBS jest dwa razy większy od kąta BAS. Oblicz kąty trójkąta ABC. 100. Z prostokąta ABCD o obwodzie 30 wycięto trójkąt równoboczny AOD o obwodzie 15 (tak jak a rysunku). Obwód zacieniowanej figury jest równy 17
A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 101. Punkt O jest środkiem okręgu o średnicy AB (tak jak na rysunku). Kąt ma miarę A. 40 0 B. 50 0 C. 60 0 D. 80 0 102. Najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego ma długość 8. Wówczas pole koła opisanego na tym sześciokącie jest równe A. 4 B. 8 C. 16 D. 64 103. Pole równoległoboku o bokach długości 4 i 12 oraz kącie ostrym 30 0 jest równe A. 24 B. 12 C. 12 D. 6 05-14 104. 105. 106. Nowa formuła 1. 18
2. 3. 4. 5. 6. 7. 19
8. 9. Miara kąta wpisanego w okrąg jest o 20 mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 10. Pole rombu o obwodzie 8 jest równe 1. Kąt ostry tego rombu ma miarę α. Wtedy A. 14 <α <15 B. 29 <α < 30 C. 60 <α < 61 D. 75 <α < 76 11. Zadania CKE Zadanie 71. Punkty A, B, C, D, E są położone w tej kolejności na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Odcinki są średnicami tego okręgu oraz BEC 60. Oblicz miarę kąta CBD. BD i AC 20
Zadanie 72. Punkty A, B, C, D są położone w tej kolejności na okręgu o środku O (zobacz rysunek). Odcinek średnicą tego okręgu i BAC, CBD. Wykaż, że 90. DB jest Zadanie 73. Parami różne punkty A, B, C, D, E leżą na okręgu. Odcinki DE i AC są równoległe, zaś odcinek BD jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Wykaż, że prosta BE zawiera wysokość trójkąta ABC opuszczoną na bok AC. Zadanie 74. Końce odcinka AB o długości 9 są środkami okręgów o promieniach 6 i 4 (zobacz rysunek). 21
Punkt C leży na odcinku AB i jest środkiem takiego okręgu, o promieniu większym od 6, że dwa dane okręgi są do niego wewnętrznie styczne. Promień okręgu o środku C ma długość A. 6,5 B. 7,5 C. 8,5 D. 9,5 Zadanie 75. Dwa okręgi o promieniach r i R są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej w punktach A i B (zobacz rysunek). Oblicz wartość iloczynu rr, jeżeli wiadomo, że odcinek AB ma długość 5. A B Zadanie 76. Dane są dwa okręgi styczne wewnętrznie: okrąg o środku S i promieniu równym 6 oraz okrąg O o środku T i promieniu długości 2. Z punktu S poprowadzono półproste styczne do okręgu L. Oblicz pole czworokąta SKTL. Zadanie 77. O1 2 O 2 w punktach K i Pole trójkąta ABC równe jest S. Każdy bok trójkąta podzielono w stosunku x : y : x, gdzie x i y są pewnymi liczbami dodatnimi. Wyznacz pole sześciokąta, którego wierzchołkami są punkty podziałów boków trójkąta (zobacz rysunek). C L M K N A P O B Zadanie 78. Odcinki AD i BE przecinają się w punkcie C. W trójkątach ABC i CDE zachodzą związki: CAB CED, AC 5, BC 3, CE 10 (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty ABC i CDE są podobne. Oblicz długość boku CD. 22
Zadanie 79. Dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym przyprostokątna AC ma długość 12. Punkt E jest środkiem przeciwprostokątnej AB, spodek D wysokości CD leży między punktami A i E, a odległość między punktami D i E jest równa 1 (zobacz rysunek). C 12 A D 1 E B Oblicz obwód tego trójkąta. Zadanie 80. Na rysunku przedstawiono trapez ABCD oraz zaznaczono wysokości DE i CF tego trapezu. Punkt F jest środkiem podstawy AB, a punkt E dzieli tę podstawę w stosunku 2:5. Wykaż, że punkt przecięcia wysokości CF z przekątną DB dzieli tę przekątną w stosunku 3: 7, licząc od wierzchołka D. Zadanie 81. W trójkącie ABC o bokach długości AC b, BC a i kącie między nimi 60 poprowadzono dwusieczną kąta ACB, która przecięła bok AB w punkcie D. Zapisz długość odcinka CD w zależności od a i b. 23
Zadanie 82. Dany jest trapez prostokątny ABCD taki, że kąty przy wierzchołkach A i D są proste oraz AB 10, DC 6, a przekątna AC jest dwa razy dłuższa od ramienia DA.Na podstawie AB obrano taki punkt X, że CX CB (zobacz rysunek). Oblicz sinus kąta XCB. 24